3.2 分式的乘法与除法 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学上册

3.2 分式的乘法与除法 第三章 分式 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 分式的约分 最简分式 分式的乘法 分式的除法 分式的乘方 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 分式的约分 1 1. 约分： 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除 1 以外的公因式约去，叫作分式的约分。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式 感悟新知 知1－讲 特别解读 1.约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式。 2.约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式。 3.分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变，即“形变值不变”。 感悟新知 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 ； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再按(1)中的方法找公因式。 知1－讲 感悟新知 3. 约分的方法 (1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式 ； (2)若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去。 知1－讲 感悟新知 知1－练 [母题 教材 P55 例 1 ]约分： (1) ；(2) ； (3) 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分； (1) ； 解： = =－ . 知1－练 感悟新知 解题秘方：(2)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分； (2) ； 解：= 知1－练 感悟新知 解题秘方： (3)中的分子、分母都是多项式，先将分子、分母分解因式，再进行约分 . (3) 解： = ==－. 知1－练 感悟新知 1-1.约分： (1) ； (2 ； (3 ； (4 。 感悟新知 知1－练 [母题 教材 P56 例 2]计算：(1)5x÷(－25x2)； (2)(9a2+6ab+b2)÷(3a+b)。 例2 解题秘方：把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行计算。 解：5x÷(－25x2)= =－ 。 (9a2+6ab+b2)÷(3a+b)= = =3a+b。 知1－练 感悟新知 2-1.计算： (1)(9ab2+6abc)÷ 3a2b； (2)(x2－49)÷(2x+14)。 感悟新知 知2－讲 知识点 最简分式 2 1. 最简分式： 一个分式的分子与分母，如果除 1 以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式。 2.最简分式的条件 (1)分子、分母必须是整式； (2)分子、分母除 1 以外没有其他公因式。 注意： 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式。 知2－讲 感悟新知 拓宽视野 用整式A（含有字母）除以整式B（含有字母，且不等于0），如果所得的结果是整式，我们就称整式A能被整式“整除”。 感悟新知 知2－练 [母题 教材 P56 练习 T3]下列各式：， ， ， ， 其中最简分式有 _____个. 解题秘方：根据最简分式的定义识别 . 例3 2 知2－练 感悟新知 解： = =； ==。 因此最简分式有和 共两个。 知2－练 感悟新知 3-1. [ 中 考· 滨 州 ] 下列分式 中，最简分式是(     ) A. B. C. D. A 知3－讲 感悟新知 知识点 分式的乘法 3 1. 分式的乘法法则  两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为 积的分母。 用字母表示： · = 。 感悟新知 知3－讲 特别解读 分式乘法运算的基本步骤： 1.确定积的符号，写在积中分式的前面; 2.运用法则，将分子与分母分别相乘，是多项式的要带括号; 3.约分，将结果化成最简分式或整式。 感悟新知 2. 法则的运用 (1) 若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分； (2) 若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； (3)若分式乘整式，可把整式看成分母为 1 的“分式”进行 运算 。 知3－讲 知3－练 感悟新知 计算： (1) · ； (2) ·( － 4xy2)； (3) · 解题秘方：利用分式的乘法法则进行计算 . 例4 知3－练 感悟新知 解： ·==. (1) · (2) ·( － 4xy2) (3) ·. ·( － 4xy2) =－ ·4xy 2=－ · =·= 先确定结果的符号 知3－练 感悟新知 4-1.计算 : (1) · ； (2) · ； (3) ·。 感悟新知 知4－讲 知识点 分式的除法 4 1. 分式的除法法则  两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被 除式相乘。 用式子表示： ÷ = · 。 感悟新知 知4－讲 2. 法则的运用 (1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算； (2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是 1 的“分式” 进行运算。 知4－讲 感悟新知 特别解读 分式除法运算的基本步骤： 1.将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 2.将除法转化成乘法； 3.利用分式的乘法法则计算。 知4－练 感悟新知 计算： (1) ÷ ； (2) ÷(－2xy2)； (3) ÷ 例5 解题秘方：利用分式的除法法则将分式的除法运算转化为分式的乘法运算 . 知4－练 感悟新知 解： ÷ = ▪ ==－ . (1) ÷ (2) ÷(－2xy2) ÷(－2xy2) = ·=－= － . 知4－练 感悟新知 解：÷ =·= =. (3) ÷. 知4－练 感悟新知 5-1.计算 : (1) ÷ ； (2) ÷ ； 知4－练 感悟新知 (3) ÷ ; (4) ÷ 。 感悟新知 知5－讲 知识点 分式的乘方 5 1. 分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方 .即() n= ( n 为正整数，其中 b ≠ 0) . 感悟新知 知5－讲 2.乘方法则的运用方法 (1) 分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与确定有理数乘方结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体进行乘方，避免出现 () 2= 的错误 . 知5－讲 感悟新知 特别解读 1. 分式乘方是分式乘法中因式相同时的一种特殊情况，因此分式乘方都可转化为分式乘法进行计算. 2.在计算分式的乘方时，先确定结果的符号，再把分子、分母分别乘方. 感悟新知 知5－讲 3. 分式的乘除、乘方混合运算： 分式的乘除、乘方混合运算顺序 与 分 数 的 乘 除、乘 方 混 合 运 算 顺 序 相 同，即 先 算 乘 方，再算乘除，有括号的先算括号里面的。 感悟新知 知5－练 计算： (1)() 4；(2) () 3；(3) () 3； (4) () 2. 例6 解题秘方：先运用分式乘方的法则将分子、分母分别乘方，再运用幂的乘方和积的乘方的性质进行计算 。 知5－练 感悟新知 解： () 4 ==. (1) () 4 (2) () 3 () 3 == － . 也可先确定结果的符号，再计算乘方 知5－练 感悟新知 解： () 3 ==. (3) () 3 (4) () 2 () 2 = =. 知5－练 感悟新知 6-1.下列各式中，正确的是(　　) A．( ) 4 = B.( ) 2 = C.() 3 = D． () 2 = A 感悟新知 知5－练 [母题 教材 P61 习题 T8]计算： (1) ÷ · ； (2) ÷( x ＋ 1) · ； (3)() 2÷() 3· － () 3； (4) () 2· ÷() 3。 例7 知5－练 感悟新知 解题秘方：先算乘方，再算乘除，将除法运算转化为乘法运算。 解： ÷ · = · · =. (1) ÷ · ； 知5－练 感悟新知 解： ÷( x ＋ 1) · = ·· (－ ) = － = － (2) ÷( x ＋ 1) · ； 知5－练 感悟新知 解： () 2÷() 3· － () 3 = ÷ · (－ ) = · · (－ ) = － (3)() 2÷() 3· － () 3； 知5－练 感悟新知 解： () 2· ÷() 3 = · ÷() 3 = · · = (4) () 2· ÷() 3. 知5－练 感悟新知 7-1.计算 : (1)－ ÷ · ； (2) ÷ · ； 知5－练 感悟新知 (3)( ) 2· ( ) 3÷ ( ) 2; (4)() 3÷ 3÷ (） 分式的乘法与除法 转化 分式的乘法 混合运算 分式的乘法与除法 分式的乘方 分式的除法 转化 最简分式或整式 约分 课堂小结 解：原式＝＝。 原式＝－＝－。 原式＝＝a－b。 原式＝＝＝。 解：原式＝＝。 原式＝＝＝。 解：原式＝－。 原式＝·＝。 原式＝·＝。 解：原式＝·＝。 原式＝－÷＝－×＝－。 原式＝·＝。 原式＝·＝。 解：原式＝－··＝－。 原式＝··＝a＋1。 原式＝·÷＝··＝－。 原式＝··＝··＝。 $$