第一章 预备知识 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

１．不等式x ２－２x－２ x２＋x＋１ ＜２的解集为 (　　) A．{x|x≠－２}　　B．R C．∅ D．{x|x＜－２,或x＞２} ２．某商品在最近３０天内的价格m 与时间t(单 位:天)的函数关系是m＝t＋１０(０＜t≤３０,t∈ N);销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋ ３５(０＜t≤３０,t∈N),则使这种商品日销售金额 不小于５００元的t的范围为 (　　) A．{t|１５≤t≤２０} B．{t|１０≤t≤１５} C．{t|１０＜t＜１５} D．{t|０＜t≤１０} ３．在R上定义运算􀱋:A􀱋B＝A(B－２),若不 等式ax􀱋x＞－１的解集为x∈R,则实数a 的取值范围是 (　　) A．０＜a＜４ B．－４＜a＜０ C．０≤a＜１ D．－４＜a≤０ ４．若关于x的不等式是kx２－６kx＋k＋８≥０在R 上恒成立,则实数k的取值范围是　　　　． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [网络构建] 集 合 集合的含义 元素与集合关系 属于 ∈,不属于 ∉ 集合的表示 列举法 图示法 描述法 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 集合间的 基本关系 包含 子集 A ⊆B 真子集 A ⫋B 相等 A ＝B 集合的运算 并集 A ∪B＝ {x|x∈A,或x∈B} 交集 A ∩B＝ {x|x∈A,且x∈B} 补集 ∁UA ＝ {x|x∈U,且x∉A} 常 用 逻 辑 用 语 充分条件与 必要条件 充要条件 判定定理 必要条件 性质定理 充要条件 数学定义 全称量词与 存在量词 全称量词 全称量词命题 存在量词 存在量词命题 全称量词 命题和存 在量词命 题的否定 􀅰０５􀅰 数学􀅰必修第一册 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 不等 关系 　　 比较大小 　　 实数的性质 a－b＞０⇔a＞b a－b＝０⇔a＝b a－b＜０⇔a＜b 比较法 不等式的有关概念 不 等 式 的 基 本 性 质 １．a＞b⇔b＜a(对称性) ２．a＞b,b＞c⇒a＞c(传递性) ３．a＞b⇒a＋c＞b＋c(可加性) ４．a＞b,c＞０⇒ac＞bc(可乘性) a＞b,c＜０⇒ac＜bc(可乘性) ５．a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d(同向可加性) ６．a＞b＞０,c＞d＞０⇒ac＞bd(同向同正可乘性) ７．a＞b＞０⇒an ＞bn(n∈N,n≥２)(可乘方性) 基 本 不 等 式 　 １．a,b∈R,a２＋b２ ≥２ab(当且 仅当a＝b时取等号) 变式:(a＋b)２ ≥４ab, 　　a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．a,b＞０,a＋b２ ≥ ab (当且仅当a＝b时取等号) 推广:a１,a２,􀆺,an ＞０ a１＋a２＋􀆺＋an n ≥ n a１a２􀆺an 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 基本不等式 与最大(小)值 　 　 x,y＞０,若和x＋y＝s(定值),当x＝y时,积xy取得最大值s ２ ４ x,y＞０,若积xy＝p(定值),当x＝y时,和x＋y取得最小值２ p 求最值 ———“一正,二定,三相等”解决实际问题 一 元 二 次 不 等 式 　　 　 　 　 　 　 一元二次不等式的解集 ax２＋bx＋c＞０(a＞０)的解集 Δ＞０,{x|x＜x１,或x＞x２} Δ＝０,x|x∈R,且x≠－b２a{ } Δ＜０,x∈R ì î í ï ï ï ï ax２＋bx＋c＜０(a＞０)的解集 Δ＞０,{x|x１ ＜x＜x２} Δ≤０,∅{ (ax２＋bx＋c＝０的两根为x１,x２ 且x１ ＜x２) 一元二次不 等式的应用 从实际问题中建立一元二次不等式 􀅰１５􀅰 第一章　预备知识 [归纳提升] 　　集合的基本概念 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (１)确定集合的元素是什么,即集合是数集、点 集还是其他集合． (２)看这些元素满足什么限制条件． (３)根据限制条件列式求参数的值或确定集合 中元素的个数时,要注意检验集合是否满 足元素的互异性． [例１]　(１)设集合A＝{１,２,４},集合B＝{x| x＝a＋b,a∈A,b∈A},则集合B 中元素的 个数是 (　　) A．４　　　B．５　　　C．６　　　D．７ (２)已知集合A＝{０,１,２},则集合B＝{x－ y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 (　　) A．１　　　B．３　　　C．５　　　D．９ 􀳀[变式训练] １．(１)设集合A＝{x|x２－３x＋２＝０},则满足 A∪B＝{０,１,２}的集合B 的个数是 (　　) A．１　　　B．３　　　C．４　　　D．６ (２)已知集合 M＝{１,m＋２,m２＋４},且５∈ M,则m 的值为　　　　． 　　集合的基本关系 　集合与集合之间的关系是包含和相等的关 系,判断两集合之间的关系,可从元素特征 入手,并注意代表元素． [例２]　(１)已知集合A＝{x|x２－３x＋２＝０, x∈R},B＝{x|０＜x＜５,x∈N},则满足条 件A⊆C⊆B 的集合C 的个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ (２)设A＝{１,４,２x},若B＝{１,x２},若B⊆A, 则x＝　　　　． (３)已知集合A＝{x|－２≤x≤７},B＝{x| m＋１＜x＜２m－１},若B⊆A,则实数m 的 取值范围是　　　　． 􀳀[变式训练] ２．已知集合A＝{２,３},B＝{x|mx－６＝０},若 B⊆A,则实数m 等于 (　　) A．３　　　　　　　B．２ C．２或３ D．０或２或３ 　　集合的基本运算 　集合的基本运算是指集合间的交、并、补这 三种常见的运算,在运算过程中往往由于运 算能力差或考虑不全面而出现错误,不等式 解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列 举法表示的集合运算常用维恩图法,运算时 特别注意对∅的讨论,不要遗漏． [例３]　(１)设集合A＝{１,２,４},B＝{x|x２－ ４x＋m＝０}．若A∩B＝{１},则B＝ (　　) A．{１,－３}　　　　　B．{１,０} C．{１,３} D．{１,５} (２)若集合A＝{x|－２＜x＜１),B＝{x|x＜ －１,或x＞３),则A∩B＝ (　　) A．{x|－２＜x＜－１} B．{x－２＜x＜３} C．{x|－１＜x＜１} D．{x|１＜x＜３} (３)已知集合A＝{x|２≤x＜７},B＝{x|３＜ x＜１０},C＝{x|x＜a}． ①求A∪B,(∁RA)∩B; ②若A∩C≠∅,求a的取值范围． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知集合A＝{１,２,３,４},B＝{y|y＝ ３x－２,x∈A},则A∩B＝ (　　) A．{１} B．{４} C．{１,３} D．{１,４} (２)已知全集U＝{１,２,３,４,５},集合 A＝ {１,３,４},集合B＝{２,４},则(∁UA)∪B＝ (　　) A．{２,４,５} B．{１,３,４} C．{１,２,４} D．{２,３,４,５} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 数学􀅰必修第一册 　　全称量词命题与存在量词命题 　已知含量词的命题真假求参数的取值范围, 实质上是对命题意义的考查．解决此类问 题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确 定解题思路．解决此类问题的关键是根据含 量词命题的真假转化为相关数学知识,利用 函数、方程、不等式等知识求解参数的取值 范围,解题过程中要注意变量取值范围的 限制． [例４]判断下列命题是全称量词命题还是存 在量词命题,判断真假,并写出它们的否定: (１)空集是任何一个非空集合的真子集; (２)∀x∈R,４x２＞２x－１＋３x２; (３)∃x∈{－２,－１,０,１,２},|x－２|＜２; (４)∀a,b∈R,方程ax＋b＝０恰有一解． 􀳀[变式训练] ４．(１)命题“存在一个无理数,它的平方是有理 数”的否定是 (　　) A．任意一个有理数,它的平方是有理数 B．任意一个无理数,它的平方不是有理数 C．存在一个有理数,它的平方是有理数 D．存在一个无理数,它的平方不是有理数 (２)(多选)在下列命题中,真命题有 (　　) A．∃x∈R,x２＋x＋３＝０ B．∀x∈Q,１３x ２＋１２x＋１ 是有理数 C．∃x,y∈Z,使３x－２y＝１０ D．∀x∈R,x２＞|x| 　　　充分条件与必要条件 　充要条件是数学的重要概念之一,在数学中 有着非常广泛的应用,在高考中有着较高的 考查频率,其特点是以高中数学的其他知识 为载体考查充分条件、必要条件、充要条件 的判断． [例５]　若a,b都是实数,试从①ab＝０;②a＋b ＝０;③a(a２＋b２)＝０;④ab＞０中选出满足 下列条件的式子,用序号填空: (１)使a,b都为０的必要条件是　　　　; (２)使a,b都不为０的充分条件是　　　　; (３)使a,b 至 少 有 一 个 为 ０ 的 充 要 条 件 是　　　　． 􀳀[变式训练] ５．已知p:|x－３|≤２,q:(x－m＋１)(x－m－１)≤０, 若命题p的否定是命题q 的否定的充分不 必要条件,求实数m 的取值范围． 　　　不等式的性质及应用 不等关系与不等式的解法是高考重点考查 的内容之一,在试题中多以选择题或填空题 的形式考查,有时也渗透到解答题中,主要 考查不等式的性质及运用． [例６](１)如果a,b,c满足c＜b＜a且ac＜０, 那么下列选项中不一定成立的是 (　　) A．ab＞ac　　　　　　　B．c(b－a)＞０ C．cb２＜ab２ D．ac(a－c)＜０ (２)对于实数a,b,c,下列命题中正确的是 (　　) A．若a＞b,则a２＞b２ B．若a＞b(ab≠０),则１a＜ １ b C．若a＞b,则ac２＞bc２ D．若ac２＞bc２,则a＞b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 第一章　预备知识 (３)已知２＜a＜３,－２＜b＜－１,求ab,b ２ a 的 取值范围． 􀳀[变式训练] ６．(１)(多选)下列命题正确的有 (　　) A．若a＞１,则１a＜１ B．若a＋c＞b,则１a＜ １ b C．对任意实数a,都有a２≥a D．若ac２＞bc２,则a＞b (２)已知a＞０,b＞０,且a≠b,比较a ２ b＋ b２ a 与a＋b 的大小． 　　　解一元二次不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系, 虽在高考中不直接考查,但它是解决某些数 学问题的基础,常在解题过程中用到,主要 涉及到一元二次方程的解法及其根与系数 的关系的应用． [例７]　解下列关于x的不等式: (１)－１＜x２＋２x－１≤２; (２)m２x２＋２mx－３＜０． 􀳀[变式训练] ７．解下列不等式(组): (１) x(x＋２)＞０, x２＜１;{ (２)６－２x≤x２－３x＜１８． 　　　利用基本不等式求最值 　基本不等式:ab≤a＋b２ (a＞０,b＞０)是每年 高考的热点,主要考查命题判断、不等式证 明以及求最值问题,特别是求最值问题往往 与实际问题相结合,同时在基本不等式的使 用条件上设置一些问题,实际上是考查学生 恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与 积的转化在高考中也经常出现． [例８]　(１)设a＞０,b＞０,２a＋b＝１,则１a＋ ２ b 的最小值为　　　　． (２)已知a,b都是正数,且a２＋b ２ ２＝１ ,则 y＝a１＋b２的最大值为　　　　． 􀳀[变式训练] ８．若x＞０,y＞０,且x＋２y＝５,求９x＋ ２ y 的最 小值,并求出取得最小值时x,y的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类 型及解法有以下几种 (１)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元,一 般知道取值范围的变量要看作主元． (２)分离参数法 若m＜y恒成立,则m＜y的最小值． 若m＞y恒成立,则m＞y的最大值． (３)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通 过函数图象直观化． [例９]　设函数y＝mx２－mx－１,(１≤x≤３), 若y＜－m＋５恒成立,求m 的取值范围． 􀳀[变式训练] ９．设x＞０,y＞０,不等式１x＋ １ y＋ m x＋y≥０ 恒 成立,则实数m 的最小值是 (　　) A．－２　　　B．２　　　C．１　　　D．－４ 　　　构建不等式模型解决实际问题 数学建模是应用数学实际问题的基本手段, 在本章中体现在:(１)基本不等式的实际应 用;(２)一元二次不等式的实际应用． [例１０]　某水产养殖场拟造 一个平面图为矩形且面积 为１６０平方米的水产养殖 网箱,为了避免混养,箱中要安装一些筛网, 如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实 线部分)建造单价为每米１１２元,筛网(图中 虚线部分)的建造单价为每米９６元,网箱底 面建造单价为每平方米１００元,网衣及筛网 的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y (元)表示为网箱的长x(如图所示,单位为 米)的函数,并求出最低造价． 􀳀[变式训练] １０．某商品的成本价８０元/件,售价１００元/ 件,每 天 售 出 １００ 件,若 售 价 降 低 x 成 (１成＝１０％),售出商品的数量就增加８５x 成,要求售价不能低于成本价． (１)设该商店一天的营业额为y,试求出y 与x 之间的函数关系式y＝f(x),并写出 定义域; (２)若 再 要 求 该 商 品 一 天 营 业 额 至 少 １０２６０元,求x的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 第一章　预备知识 ３．解:∵ax２＋bx＋c＞０的解集为{x|－３＜x＜４}, ∴a＜０且－３和４是一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的两根, ∴ －３＋４＝－ba －３×４＝ca ì î í ïï ï ,解得 b＝－a c＝－１２a{ ． ∴不等式bx２＋２ax－c－３b＜０ 可化为－ax２＋２ax＋１５a＜０, 即x２－２x－１５＜０, ∴－３＜x＜５, ∴所求不等式的解集为{x|－３＜x＜５}． 随堂步步夯实 １．B　２．BCD　３．{a|１≤a≤２}　４．m≤１或m≥９ ５．解:将x２－３ax－１８a２＞０变形得(x－６a)(x＋３a)＞０, 方程(x－６a)(x＋３a)＝０的两根为６a,－３a． 所以当a＞０时,６a＞－３a,原不等式的解集为{x|x＜－３a, 或x＞６a}; 当a＝０时,６a＝－３a＝０,原不等式的解集为{x|x≠０}; 当a＜０时,６a＜－３a,原不等式的解集为{x|x＜６a, 或x＞－３a}． ４．３　一元二次不等式的应用 课前预习学案 情境引入 　提示:不等价;{x|０＜x＜１}． 知识梳理　知识点一 １．０⇔f(x)􀅰g(x)＞０　２．f(x)􀅰g(x)≤０　g(x)≠０ 预习自测 １．C　２．B ３．{m|０＜m＜２} 课堂互动学案 [例１]　解:(１)原不等式等价于 ⇔ x ２－x－６＞０ x－１＞０{ ,或 x２－x－６＜０ x－１＜０{ ． 解得x＞３或－２＜x＜１． ∴原不等式的解集为{x|x＞３,或－２＜x＜１}． (２)原不等式可化为２x－１３－４x－１＞０ , 即３x－２ ４x－３＜０ ,等价于(３x－２)(４x－３)＜０, ∴２３＜x＜ ３ ４． ∴原不等式的解集为 x|２３＜x＜ ３ ４{ }． [例２]　[解]　(１)由题意,得y＝[１．２×(１＋０．７５x)－１× (１＋x)]×１０００×(１＋０．６x)(０＜x＜１), 整理得y＝－６０x２＋２０x＋２００(０＜x＜１)． (２)要 保 证 本 年 度 的 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加,当 且 仅 当 y－(１．２－１)×１０００＞０, ０＜x＜１,{ 即 －６０x２＋２０x＞０, ０＜x＜１,{ 解不等式组,得０＜x＜１３ ,所以为保证本年度的年利润比上年 度有所增加,投入成本增加的比例x的范围为 x|０＜x＜１３{ }． [例３]　[解]　函数y＝mx２＋mx＋(m－１)的值恒为负值,即 不等式mx２＋mx＋(m－１)＜０对一切实数x都成立,于是 ①当m＝０时,－１＜０恒成立; ②当m≠０时,要使其恒成立, 则有 m＜０, Δ＝m２－４m(m－１)＜０,{ 解得m＜０． 综上,m 的取值范围为{m|m≤０}． 变式训练 １．解析:(１)x－ax＋１＞０⇔ (x＋１)(x－a)＞０, 又因为原不等式的解集为{x|x＜－１,或x＞４}, 所以(x＋１)(x－４)＞０,所以a＝４． (２)原不等式化为２x－１３＋４x－１＞０ ,即x＋２ ４x＋３＜０ , 所以(x＋２)(４x＋３)＜０,所以－２＜x＜－３４． 所以原不等式的解集为 x|－２＜x＜－３４{ }． 答案:(１)４　(２)x|－２＜x＜－３４{ } ２．解:税率降低后是(８－x)％,收购量为 m(１＋２x％)kg,税率 降低后的税收为１２m(１＋２x％)(８－x)％元,原来的税收为 １２m×８％元． 根据题意,可得１２m(１＋２x％)(８－x)％≥１２m×８％×７８％, 即x２＋４２x－８８≤０,解得－４４≤x≤２． 又x＞０,∴０＜x≤２, ∴实数x的取值范围是{x|０＜x≤２}． ３．解析:∀１≤x≤４,不等式x２－(a＋２)x＋４≥－a－１恒成 立,即∀１≤x≤４,a(x－１)≤x２－２x＋５恒成立． ①当x＝１时,不等式为０≤４恒成立,此时a∈R; ②当１＜x≤４时,a≤x ２－２x＋５ x－１ ＝x－１＋ ４ x－１． ∵１＜x≤４,∴０＜x－１≤３, ∴x－１＋ ４x－１≥２ (x－１)􀅰 ４x－１＝４ (当 且 仅 当 x－１ ＝ ４x－１ ,即x＝３时取等号),∴a≤４．综上,实数a的取值范 围为{a|a≤４}． 答案:{a|a≤４} 随堂步步夯实 １．A　２．B ３．C　[由ax􀱋x＞－１的解集为x∈R,可得ax(x－２)＞－１ 恒成立,即ax２－２ax＋１＞０恒成立,当a＝０时,１＞０恒成 立,满足题意;当a≠０时,有 a＞０ ４a２－４a＜０{ ,解得０＜a＜１,综 上可得,０≤a＜１．] ４．{k|０≤k≤１} 章末归纳提升 归纳提升　 [例１]　[解析]　(１)　∵a∈A,b∈A,x＝a＋b,所以x＝２,３, ４,５,６,８,∴B 中有６个元素,故选 C． (２)当x＝０,y＝０时,x－y＝０;当x＝０,y＝１时,x－y＝ －１;当x＝０,y＝２时,x－y＝－２;当x＝１,y＝０时,x－y＝ １;当x＝１,y＝１时,x－y＝０;当x＝１,y＝２时,x－y＝－１; 当x＝２,y＝０时,x－y＝２;当x＝２,y＝１时,x－y＝１;当x ＝２,y＝２时,x－y＝０．根据集合中元素的互异性知,B 中元 素有０,－１,－２,１,２,共５个． [答案]　(１)C　(２)C [例２]　[解析]　(１)用列举法表示集合A,B,根据集合关系 求出集合C 的 个 数．由x２－３x＋２＝０ 得x＝１ 或x＝２, ∴A＝{１,２}．由题意知B＝{１,２,３,４},∴满足条件的C 可 为{１,２},{１,２,３},{１,２,４},{１,２,３,４},共４个． (２)由B⊆A,则x２＝４或x２＝２x．当x２＝４时,x＝±２,但 x＝２时,２x＝４,这与集合元素的互异性相矛盾;当x２＝２x 时,x＝０或x＝２(舍), 综上所述,x＝－２或x＝０． (３)当B＝∅时,有m＋１≥２m－１,则m≤２． 当B≠∅时,若B⊆A,如图． 则 m＋１≥－２, ２m－１≤７, m＋１＜２m－１, { 解得２＜m≤４． 综上,m 的取值范围为(－∞,４]． [答案]　(１)D　(２)０或－２　(３)(－∞,４] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２２􀅰 数学􀅰必修第一册 [例３]　[解析]　(１)由A∩B＝{１},得１∈B, 所以m＝３,B＝{１,３}． (２)A∩B＝{x|－２＜x＜－１}． [答案]　(１)C　(２)A (３)[解]　①因为A＝{x|２≤x＜７},B＝{x|３＜x＜１０}, 所以A∪B＝{x|２≤x＜１０}． 因为A＝{x|２≤x＜７}, 所以∁RA＝{x|x＜２,或x≥７}, 则(∁RA)∩B＝{x|７≤x＜１０}． ②因为A＝{x|２≤x＜７},C＝{x|x＜a},且A∩C≠∅, 所以a＞２, 所以a的取值范围是{a|a＞２}． [例４]　[解]　(１)该命题是全称量词命题,是真命题．该命题 的否定:存在一个非空集合,空集不是该集合的真子集． (２)该命题是全称量词命题,是假命题． 因为４x２－(２x－１＋３x２)＝x２－２x＋１＝(x－１)２≥０, 所以当x＝１时,４x２＝２x－１＋３x２． 该命题的否定:∃x∈R,４x２≤２x－１＋３x２． (３)该命题是存在量词命题,是真命题． 因为当x＝１时,|x－２|＝１＜２． 该命题的否定:∀x∈{－２,－１,０,１,２},|x－２|≥２． (４)该命题是全称量词命题,是假命题． 当a≠０时,方程ax＋b＝０才恰有一解． 该命题的否 定:∃a,b∈R,方 程ax＋b＝０ 无 解 或 至 少 有 两解． [例５]　[解析]　①ab＝０⇔a＝０或b＝０,即a,b至少有一个 为０; ②a＋b＝０⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为０,也可能为 一正数一负数; ③a(a２＋b２)＝０⇔a＝０,b为任意实数; ④ab＞０⇔ a＞０ , b＞０{ 或 a＜０, b＜０,{ 即a,b同为正数或同为负数． 综上可知:(１)使a,b都为０的必要条件是①②③． (２)使a,b都不为０的充分条件是④． (３)使a,b至少有一个为０的充要条件是①． [答案]　(１)①②③　(２)④　(３)① [例６]　[解析]　(１)因为c＜a．且ac＜０,所以c＜０,a＞０． A成立,因为c＜b,所以ac＜ab,即ab＞ac． B成立,因为b＜a,b－a＜０, 所以c(b－a)＞０． C不一定成立,当b＝０时,cb２＜ab２ 不成立． D成立,因为c＜a,所以a－c＞０, 所以ac(a－c)＜０． (２)对于 A,由a＞b,取a＝２,b＝－３,则a２＞b２ 不成立,故 A 错误;对于B,由a＞b(ab≠０),取a＝１,b＝－１,则１a ＜ １ b 不 成立,故B错误;对于 C,当c＝０时,ac２＞bc２ 不成立,故 C 错误;对于 D,因为ac２＞bc２,所以c２＞０,故ac２×１ c２ ＞bc２× １ c２ ,则a＞b,故 D正确． [答案]　(１)C　(２)D (３)　[解]　因为－２＜b＜－１,所以１＜－b＜２． 又因为２＜a＜３,所以２＜－ab＜６, 所以－６＜ab＜－２． 因为－２＜b＜－１,所以１＜b２＜４． 因为２＜a＜３,所以１３＜ １ a＜ １ ２ , 所以１ ３＜ b２ a＜２． 所以ab的取值范围为－６＜ab＜－２,b ２ a 的取值范围为 １ ３＜ b２ a＜２． [例７]　[解]　(１)原不等式等价于 x ２＋２x－１＞－１, x２＋２x－１≤２,{ 即 x２＋２x＞０,　　　　　① x２＋２x－３≤０, ②{ 由①得x(x＋２)＞０, 所以x＜－２或x＞０; 由②得(x＋３)(x－１)≤０, 所以－３≤x≤１． 将①②的解集在数轴上表示出来,如图． 求其交集得原不等式的解集为{x|－３≤x＜－２,或０＜x≤１}． (２)当m＝０时,－３＜０恒成立,解集为 R． 当m≠０时,二次项系数 m２＞０,Δ＝１６m２＞０,不等式化为 (mx＋３)(mx－１)＜０． 当m＞０时,解集为 x|－３m＜x＜ １ m{ }; 当m＜０时,解集为 x|１m＜x＜－ ３ m{ }． [例８]　[解析]　(１)∵a＞０,b＞０,且２a＋b＝１, ∴１a＋ ２ b＝ １ a＋ ２ b( )(２a＋b) ＝４＋ba ＋ ４a b ≥４＋２ b a 􀅰４a b ＝８ , 当且仅当 ２a＋b＝１, b a ＝ ４a b ,{ ,即 a＝１４ , b＝１２ ì î í ïï ï 时等号成立． ∴１a＋ ２ b 的最小值为８． (２)∵a２＋b ２ ２＝１ ,∴２a２＋b２＝２． 又∵a是正数,b也是正数, ∴y＝a １＋b２＝ a２􀅰(１＋b２) ＝１ ２ 􀅰 ２a２(１＋b２)≤１ ２ 􀅰２a ２＋１＋b２ ２ ＝３４ ２ , 当且仅当 ２a２＝１＋b２, a２＋b ２ ２＝１ , a＞０,b＞０, ì î í ïï ï 即 a＝ ３２ , b＝ ２２ ì î í ï ï ïï 时取等号, y＝a １＋b２有最大值３４ ２． [答案](１)８　(２)３４ ２ [例９]　[解]　y＜－m＋５恒成立． 即m(x２－x＋１)－６＜０恒成立, ∵x２－x＋１＝ x－１２( ) ２ ＋３４＞０ , 又m(x２－x＋１)－６＜０, ∴m＜ ６ x２－x＋１ ． ∵y＝ ６x２－x＋１ ＝ ６ x－１２( ) ２ ＋３４ 在１≤x≤３上的最小值 为６ ７ ,∴只需m＜６７ 即可． ∴m 的取值范围为 m|m＜６７{ }． [例１０]　[解]　y＝１１２ ２x＋１６０x ×２( ) ＋９６ x＋ １６０ x ×３( ) ＋ １００×１６０＝３２０× x＋２５６x( )＋１６０００≥２６２４０． 此时,x＝２５６x ,即x＝１６时,取得最小值． 最小值为２６２４０元．故最低造价为２６２４０元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２２􀅰 参考答案 变式训练 １．解析:(１)易知A＝{１,２},又 A∪B＝(０,１,２},所以集合B 可以是:{０},{０,１},{０,２},{０,１,２}． (２)当m＋２＝５时,m＝３,M＝{１,５,１３),符合题意; 当m２＋４＝５时,m＝１或m＝－１,若m＝１,则 M＝{１,３,５}, 符合题意;若m＝－１,则m＋２＝１,不满足元素的互异性,故 m＝３或１． 答案:(１)C　(２)３或１ ２．D　[当m＝０时,方程mx－６＝０无解,B＝∅,满足B⊆A; 当m≠０时,B＝{ ６m } ,因为B⊆A,所以 ６ m＝２ 或６ m＝３ , 解得m＝３或m＝２．] ３．(１)D　[由题意得,B＝{１,４,７,１０},所以A∩B＝{１,４}．] (２)A　[由题意知∁UA＝{２,５}, 所以(∁UA)∪B＝{２,４,５}．] ４．(１)B　[量词“存在”否定后为“任意”,结论“它的平方是有 理数”否定后为“它的平方不是有理数”．] (２)BC　[A 中,x２＋x＋３＝ x＋１２( ) ２ ＋１１４ ＞０ ,故 A 是假 命题;B中,x∈Q,１３x ２＋１２x＋１ 一定是有理数,故 B是真 命题;C中,x＝４,y＝１时,３x－２y＝１０成立,故 C 是真命 题;对于 D,当x＝０时,左边＝右边＝０,故 D为假命题．] ５．解:由题意知p:－２≤x－３≤２, 即１≤x≤５,∴命题p的否定:x＜１或x＞５． ∵命题q:m－１≤x≤m＋１, ∴命题q的否定:x＜m－１或x＞m＋１． 又∴命题p的否定是命题q的否定的充分不必要条件, ∴ m－１＞１ , m＋１≤５{ 或 m－１≥１, m＋１＜５,{ ∴２≤m≤４． ∴实数m 的取值范围是[２,４]． ６．(１)AD　[因为a＞１,所以１a ＜１ ,所以 A 正确;若a＋c＞b, 可令a＝１,c＝１,b＝－１,则有１a＞ １ b ,故 B错误;对于 C,可 取a＝１２ ,则a２＜a,故 C错误;因为ac２＞bc２,所以c２＞０, 所以a＞b,故 D正确．] (２)解:a ２ b＋ b２ a( )－(a＋b)＝ a２ b－b＋ b２ a－a ＝a ２－b２ b ＋ b２－a２ a ＝(a２－b２) １b－ １ a( ) ＝(a２－b２)a－bab ＝ (a－b)２(a＋b) ab , 因为a＞０,b＞０,且a≠b, 所以(a－b)２＞０,a＋b＞０,ab＞０, 所以 a ２ b＋ b２ a( )－(a＋b)＞０, 即a ２ b＋ b２ a＞a＋b． ７．解:(１)原不等式组可化为 x＜－２ 或x＞０, －１＜x＜１,{ ,即０＜x＜１, 所以原不等式组的解集为{x|０＜x＜１}． (２)原不等式等价于 ６－２x≤x２－３x, x２－３x＜１８,{ 即 x２－x－６≥０, x２－３x－１８＜０,{ 因式分解,得 (x－３)(x＋２)≥０, (x－６)(x＋３)＜０,{ 所以 x≤－２,或x≥３, －３＜x＜６,{ 所以－３＜x≤－２或３≤x＜６． 所以不等式的解集为{x|－３＜x≤－２,或３≤x＜６}． ８．解:因为x＞０,y＞０,且x＋２y＝５, 所以９ x＋ ２ y＝ １ ５ (x＋２y) ９x＋ ２ y( ) ＝１５ １３＋ １８y x ＋ ２x y( ) ≥ １ ５ １３＋２ １８y x 􀅰２x y æ è ç ö ø ÷＝５, 当且仅当 x＋２y＝５, １８y x ＝ ２x y ,{ 即 x＝３,y＝１,{ 时等号成立． 所以９ x＋ ２ y 的最小值为５,此时x＝３,y＝１． ９．D　[∵x＞０,y＞０,不等式 １x ＋ １ y ＋ m x＋y≥０ 恒成立,即 m≥－ １x＋ １ y( ) (x ＋ y)恒 成 立,∴ 只 需 m ≥ － １x＋ １ y( )(x＋y)[ ] max,∵ １ x＋ １ y( )(x＋y)＝２＋ x y ＋ y x ≥２＋２ x y 􀅰y x ＝４ ,当且仅当x＝y时取等号． 所以－ １x＋ １ y( )(x＋y)≤－４．∴实数m≥－４, ∴实数m 的最小值为－４．] １０．解:(１)依题意y＝１００ １－x１０( ) 􀅰１００ １＋ ８ ５０x( ) , 又售价不能低于成本价, 所以１００ １－x１０( )－８０≥０,解得x≤２, 所以y＝f(x)＝２０(１０－x)(５０＋８x)(０≤x≤２)． (２)２０(１０－x)(５０＋８x)≥１０２６０, 化简得:８x２－３０x＋１３≤０,解得１２≤x≤ １３ ４． 又x∈[０,２],所以x的取值范围为１２≤x≤２． 第二章　函数 §１　生活中的变量关系 课前预习学案 知识梳理　知识点二 每一个值　都有唯一确定 [思考] １．提示:判断两个变量有无依赖关系,主要看其中一个变量变 化时,另一个变量是否随之变化． ２．提示:能,符合函数关系,可以是多对一,一对一． ３．提示:一个函数． 预习自测 １．D　[D中,当x＝２时,y＝±３,即给定了一个x 的值,有两 个y值与之对应,因此y不是x的函数;当y＝３时,x＝±２,即 给定了一个y的值,有两个x值与之对应,因此x也不是y 的 函数．] ２．A　 [小 麦 总 产 量 与 种 子、施 肥 量、水、日 照 时 间 等 都 有 关系．] ３．解析:(１)球的表面积随半径的变化而变化,且由半径唯一确 定,所以是函数关系． (２)一般情况下,家庭支出随家庭收入的变化而变化,但收入 一定时,支出并不唯一确定,所以是依赖关系． 答案:(１)函数　(２)依赖 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)科学家通过实验发现,做自由落体运动的 物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝ １２gt ２,其中g 是常量,很显然,对于时间t在其变化范围内的每一个取值, 都有唯一的下落距离h与之对应,故这两个变量存在依赖关 系,且距离是时间的函数． (２)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依 赖关系,但商品的销售额还受其他因素的影响,比如产品的 质量、价格、售后服务等,所以商品的销售额与广告费之间不 是函数关系． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２２􀅰 数学􀅰必修第一册