第一章 2.1 第2课时 充要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

第２课时　充要条件 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 通过对典型数学命题的梳理,理解充要条 件的意义,理解数学定义与充要条件的 关系 针对充要条件问题,通过几个数学定义的研究比 较,学生经历梳理知识,提炼定义,感悟思想的学 习过程,提升逻辑推理素养与数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　姚明大家都认识,他说过 很多很经典的话,其中有一句 给我留下了很深刻的印象,他 说:“努力不一定成功,但放弃 一定失败”． 话语中有两组关键词:“努力” 和“成功”;“放弃”和“失败”．每组中的两个词 之间有什么样的逻辑关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[知识梳理] [知识点]　充要条件 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作 p⇔q．此时,我们说,p是q的　　　　　　 条件,简称　　　　条件． 概括地说,如果p⇔q,那么p与q　　　　　 条件． ２．若p⇒q,但q⇒/p,则称p 是q 的充分不必 要条件． ３．若q⇒p,但p⇒/q,则称p 是q 的必要不充 分条件． ４．若p⇒/q,且q⇒/p,则称p 是q 的既不充分 也不必要条件． ５．本质:当原命题、逆命题都是真命题时,命题 的条件和结论互为充要条件,是等价的． ６．应用:充要条件是数学中非常重要的概念, 应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻 画很多数学内容． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．若p是q的充要条件,则p和q 是 两个相互等价的命题,这种说法对吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２．“p是q的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪里? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．以下选项中p是q的充要条件的是 (　　) A．p:３x＋２＞５,q:－２x－３＞－５ B．p:a＞２,b＜２,q:a＞b C．p:四边形的两条对角线互相垂直平分, q:四边形是正方形 D．p:a≠０,q:关于x 的方程ax＝１有唯 一解 ２．已知条件甲:０＜x＜５,条件乙:－３＜x－２ ＜３,那么甲是乙的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．不等式mx２－mx－２＜０对任意x∈R恒成 立的充要条件是m∈　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　充要条件的判断 [例１]判断下列各题中p是q的什么条件． (１)在△ABC中,p:A＞B,q:a＞b; (２)p:x＞１,q:x２＞１; (３)p:(a－２)(a－３)＝０,q:a＝３; (４)p:a＜b,q:ab＜１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　按充要条件的定义判断． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 １．定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q,但q⇒/p,则p是q的充分而不 必要条件; 若q⇒p,但p⇒/q,则p是q的必要而不 充分条件; 若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件; 若p⇒/q且q⇒/p,则p是q的既不充分 也不必要条件． ２．集合法(适用于需对命题的条件或结论化 简的命题)首先建立与p,q相应的集合, 即p:A＝{x|p(x)};q:B＝{x|q(x)}． 若A⊆B,则p是q的充分条件; 若B⊆A,则p是q的必要条件; 若A⫋B,则p是q的充分而不必要条件; 若B⫋A,则p是q的必要而不充分条件; 若A＝B,则p是q的充要条件; 若A⊈B,B⊈A,则A 是B 的既不充分 也不必要条件． ３．传递性法(适用于多个条件之间的关系 推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传 递性,因此可根据几个条件的关系,经过 若干次的传递,判断所给的两个条件之 间的相互关系． 􀳀[变式训练] １．下列各题中,哪些p是q的充要条件? (１)p:x≠０,q:x＋|x|＞０． (２)p:a,b∈R,|a－b|＝|a|＋|b|,q:a,b∈R, ab＜０． (３)p:x１,x２ 是方程x２＋５x－６＝０的两个 实数根,q:x１＋x２＝－５． (４)p:A⊆B,q:A∩B＝A． 　　　　充要条件的证明 [例２]求证:方程mx２－２x＋３＝０有两个同 号不相等实根的充要条件是０＜m＜１３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　从充分性和必要性两个方面 证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充要条件的证明策略 (１)准确理解题意明确证明方向． ①条件已知证明结论成立是充分性,结 论已知推出条件成立是必要性． ②“p是q 的充分(必要)条件”常写为 “q的充分(必要)条件是p”． (２)关注证明的两个环节． 一是充分性;二是必要性．证明时,不要 认为它是推理过程的“双向书写”,而应 该进行由条件到结论,由结论到条件的 两次证明． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 第一章　预备知识 􀳀[变式训练] ２．已知a＋b≠０,证明:a２＋b２－a－b＋２ab＝０ 成立的充要条件是a＋b＝１． 　　　充要条件的应用 [例３]已知p:x∈{x|－２≤x≤１０},q:x∈{x|１－m ≤x≤１＋m},若p是q的必要不充分条件,求实 数m的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由已知,{x|１－m≤x≤１＋ m}⫋{x|－２≤x≤１０},注意端点值的取舍． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 应用充分不必要、必要不充分及充要条 件求参数值(范围)的一般步骤 (１)根据已知将充分不必要条件、必要不充 分条件或充要条件转化为集合间的 关系． (２)根据集合间的关系构建关于参数的方 程或不等式求解． 􀳀[变式训练] ３．已知p:x＜－２或x＞３,q:４x＋m＜０,若p 是q的必要不充分条件,求实数 m 的取值 范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．设x∈R,则“１＜x＜２”是“１＜x＜３”的 (　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(２０２３􀅰天津卷)“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．“x≠－１”是“x２－１≠０”的　　　　条件． ４．条件p:１－x＜０,条件q:x＞a,若p是q的充 分不必要条件,则a的取值范围是　　　　． ５．已知p:－１＜x＜３,若－a＜x－１＜a是p 的一个必要条件,求使a＞b恒成立的实数b 的取值范围． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 数学􀅰必修第一册 知识点二 １．判定　２．性质 预习自测 １．B　[当x＝０时,(２x－１)x＝０．当(２x－１)x＝０时,x＝１２ 或 x＝０．∴“(２x－１)x＝０”是“x＝０”的必要不充分条件．] ２．B　[当a＞０,b＞０时, ab ＝ a b 成立;而当 a b ＝ a b 成立 时,a≥０,b＞０．] ３．解析:(１)当x,y互为相反数时有x２＝y２ 但x≠y; (２)是平行线判定定理． 答案:(１)⇒/ 　(２)⇒ 课堂互动学案 [例１]　解:(１)等腰梯形的两条对角线相等．因此,p⇒q, 所以q是p 的必要条件． (２)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此p⇒/q,所以q不是p 的必要条件． (３)若１x＝ １ y ,则x＝y是真命题． 因此p⇒q,所以q是p 的必要条件． (４)命题“若关于x的方程ax＋b＝０(a,b∈R)有唯一解,则 a＞０”为假命题,因此p⇒/q,所以q不是p 的必要条件． [例２]　解:(１)由于 Q⫋R, 所以p⇒q,所以p是q的充分条件． (２)由于a＜b,当b＜０时,ab ＞１ ;当b＞０时,ab ＜１ , 因为p⇒/q, 所以p不是q的充分条件． (３)由x＞１可以推出x２＞１．因此p⇒q, 所以p是q的充分条件． (４)由三角形中大角对大边可知,若∠A＞∠B,则BC＞AC． 因此p⇒q,所以p是q的充分条件． [例３]　[解]　p:３a＜x＜a, 即集合A＝{x|３a＜x＜a,a＜０}． q:－２≤x≤３,即集合B＝{x|－２≤x≤３}． 因为p⇒q,所以A⊆B, 所以 ３a≥－２, a≤３, a＜０,{ 解得－ ２ ３≤a＜０． 所以实数a的取值范围是 a|－２３≤a＜０{ }． 变式训练 １．解:(１)该命题是真命题,p⇒q,所以q是p 的必要条件． (２)因为∠α＝６０°３２′, 所以∠α的余角为９０°－６０°３２′＝２９°２８′． p⇒q,所以q是p 的必要条件． (３)因为３＋４＜９,所以长分别为３cm、４cm 和９cm 的三条 线段不 能 组 成 三 角 形,所 以 p⇒/q,所 以q 不 是p 的 必 要 条件． (４)两个偶数的乘仍是偶数． 所以p⇒q,所以q是p 的必要条件． ２．D　[由２x２－５x－３＜０,可得(２x＋１)(x－３)＜０,解得－１２ ＜x＜３．则不等式的解集为A＝ x|－１２＜x＜３{ },因此,不 等式２x２－５x－３＜０成立的一个充分不必要条件,对应的x 的取值范围应该是集合A 的真子集,只有选项 D满足．] ３．解析:由题意得,M∪N＝N,所以“a∈M”⇒“a∈N”, 所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案:充分 ４．解:(１)若２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的充分条件． 则只要{x|x＜－m２} ⊆{x|x＜－１,或x＞３}, 即只需－m２≤－１ ,所以m≥２． 故存在实数m≥２,使２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的充分 条件． (２)若２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的必要条件, 则只要{x|x＜－１,或x＞３}⊆{x|x＜－m２ } ,这 是 不 可 能的． 故不存在实数 m,使２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的必要 条件． 随堂步步夯实 １．B　[由于“x２＝x＋６”,则“x＝± x＋６”,故“x２＝x＋６”是 “x＝ x＋６”的必要不充分条件．] ２．BD　[因为|x＋１|≤４⇒－５≤x≤３⇒－６≤x≤３,但－６≤x ≤３⇒/ －５≤x≤３． 同理－５≤x≤３⇒－５≤x≤４,但－５≤x≤４⇒/ －５≤x≤３．] ３．解析:方程x２－４x＋a＝０有实根,需要Δ≥０,即a≤４, 所以当a＝２时方程有实根．所以是充分条件． 答案:充分 ４．解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以p⇒q但 q⇒/p,即{x|－２≤x≤１０}是{x|１－m≤x≤１＋m}的真子集, 所以 １－m＜－２, １＋m≥１０,{ 或 １－m≤－２, １＋m＞１０,{ 解得m≥９． 所以实数m 的取值范围为{m|m≥９}． 第２课时　充要条件 课前预习学案 情境引入 　提示　一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作:p⇔q． 知识梳理　知识点 １．充分必要　充要　互为充要 [思考] １．提示:正确．若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q． ２．提示:①p是q的充要条件说明p 是条件,q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件,p是结论． 预习自测 １．D　[对于 A,p:x＞１,q:x＜１,所以p 是q 的既不充分也不 必要条件;对于B,p⇒q,但q⇒/p,所以p是q的充分不必要 条件;对于 C,p⇒/q,但q⇒p,所以p 是q 的必要不充分条 件;对于 D,显然q⇔p,所以p是q的充要条件．] ２．A　[条件乙:－１＜x＜５．∴０＜x＜５⇒－１＜x＜５,但－１＜ x＜５⇒/０＜x＜５,∴甲是乙的充分不必要条件．] ３．解析:当m＝０时,显然满足条件,当m≠０时, 由一元二次不等式恒成立得 m ２＋８m＜０ m＜０{ , 解得－８＜m＜０,综上可知,m∈(－８,０], 所以不等式mx２－mx－２＜０对任意x∈R恒成立的充要条 件是m∈(－８,０]． 答案:(－８,０] 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由三角形中大角对大边可知,若A＞B,则a ＞b,即p⇒q,反之,若a＞b,则A＞B,即q⇒p． 因此,p是q的充要条件． (２)由x＞１可以推出x２＞１即p⇒q;由x２＞１,得x＜－１或 x＞１,不一定有x＞１即q⇒/p． 因此,p是q的充分不必要条件． (３)由(a－２)(a－３)＝０可以推出a＝２或a＝３,不一定有 a＝３即p⇒/q; 由a＝３可以得出(a－２)(a－３)＝０即q⇒p． 因此p是q的必要不充分条件． (４)由于a＜b,当b＜０时,ab ＞１ ;当b＞０时,ab ＜１ , 故若a＜b,不一定有ab ＜１ ;当a＞０,b＞０,ab ＜１ 时, 可以推出a＜b; 当a＜０,b＜０,ab ＜１ 时,可以推出a＞b． 因此p是q的既不充分也不必要条件． [例２]　[解]　设p:０＜m＜１３ ,q:方程mx２－２x＋３＝０有两 个同号不相等实根． (１)充分性(p⇒q): 因为０＜m＜１３ ,所以Δ＝４－１２m＞０, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１２􀅰 数学􀅰必修第一册 所以一 元 二 次 方 程 mx２－２x＋３＝０有 两 个 不 等 的 实 根． 设方程的两根为x１,x２, 当０＜m＜１３ 时,x１＋x２＝ ２ m＞０ 且x１x２＝ ３ m＞０ , 故方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根． (２)必要性(q⇒p): 若方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根． 则有 Δ＝４－１２m＞０, x１x２＞０,{ 所以０＜m＜ １ ３． 即方程 mx２ －２x＋３＝０ 有 两 个 同 号 且 不 相 等 的 实 根 ⇒ ０＜m＜１３． 综上可知,方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实 根的充要条件是０＜m＜１３． [例３]　[解]　p:x∈{x|－２≤x≤１０}, q:x∈{x|１－m≤x≤１＋m}． 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p 的充分不必要条件, 即{x|１－m≤x≤１＋m}⫋{x|－２≤x≤１０}, 故有 １－m≥－２, １＋m＜１０,{ 或 １－m＞－２, １＋m≤１０,{ 解得m≤３．又１－m＜１＋m,所以m＞０, 所以实数m 的取值范围为０＜m≤３． 变式训练 １．解:(１)因为由x≠０推不出x＋|x|＞０, 如x＝－１时,x＋|x|＝０,所以p⇒/q, 所以p不是q的充要条件． (２)由|a－b|＝|a|＋|b|,两边平方得a２－２ab＋b２ ＝a２＋２|ab|＋b２,即|ab|＝－ab, 得ab≤０,即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤０”． 所以p⇒/q,所以p不是q的充要条件． (３)当x１＝－１,x２＝－４时,x１＋x２＝－５, 而－１,－４不是方程x２＋５x－６＝０的两根． 所以q⇒/p,所以p不是q的充要条件． (４)由A⊆B,得A∩B＝A;反过来,由A∩B＝A,且(A∩B) ⊆B,得A⊆B,因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件, 即p是q的充要条件． ２．证明:充分性: 若a＋b＝１, 则a２＋b２－a－b＋２ab＝(a＋b)２－(a＋b)＝１－１＝０, 即充分性成立, 必要性: 若a２＋b２－a＋b＋２ab＝０, 则(a＋b)２－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－１)＝０． ∵a＋b≠０,∴a＋b－１＝０, 即a＋b＝１,必要性成立, 综上,a２＋b２－a－b＋２ab＝０成立的充要条件是a＋b＝１． ３．解:设A＝{x|x＜－２,或x＞３}, B＝ x|x＜－m４{ }, 因为p是q的必要不充分条件, 所以B⫋A,所以－m４≤－２ ,即m≥８． 所以实数m 的取值范围为m≥８． 随堂步步夯实 １．B　[１＜x＜２”⇒“１＜x＜３”,反之不成立． ∴“１＜x＜２”是“１＜x＜３”的充分不必要条件．] ２．B　[a２＝b２,即(a＋b)(a－b)＝０,解得a＝－b或a＝b,a２＋b２＝ ２ab,即(a－b)２＝０,解得a＝b,故“a２＝b２”不能推出“a２＋b２ ＝２ab”,充分性不成立,“a２＋b２＝２ab”能推出“a２＝b２”,必要 性成立,故“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的必要不充分条件．] ３．解析:由x２－１≠０,x≠１且x≠－１, 因为“x≠－１”是“x≠１且x≠－１”的必要不充分条件, 所以“x≠－１”是“x２－１≠０”的必要不充分条件． 答案:必要不充分 ４．解析:p:x＞１,若p是q的充分不必要条件,则p⇒q, 但q⇒/p,也就是说,p对应集合是q对应集合的真子集, 所以a＜１． 答案:{a|a＜１} ５．解:因为－a＜x－１＜a是p:－１＜x＜３的一个必要条件,且 －a＜x－１＜a⇔１－a＜x＜１＋a, 所以{x|－１＜x＜３}⊆{x|１－a＜x＜１＋a}, 所以 １－a≤－１, １＋a≥３, １＋a＞１－a．{ 解得a≥２, 则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b＜２． ２．２　全称量词与存在量词 第１课时　全称量词命题与存在量词命题 课前预习学案 情境引入 　(１)提示:任意一个,全部,每个． (２)提示:表示某个范围的整体或全部． 知识梳理　知识点一 １．所有 知识点二 １．某些 [思考] １．提示:判断一个命题是不是全称(存在)量词命题,关键看该 命题是否含有全称(存在)量词,如果含有,直接判断,否则看 该命题是不是省去全称(存在)量词的命题,如果是,可以把 全称(存在)量词补充出来,看是否能讲通． 知识点三 １．全称量词　存在量词　∀x∈M,p(x)　∃x∈M,p(x)． [思考] ２．提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示 几何图形,相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围, p(x)表示集合 M 的所有元素满足的性质,也可以用q(x), r(x)等符号表示． 预习自测 １．A ２．D　[D选项是存在量词命题．] ３．解析:①当x＝０时,x２＝０,是假命题． ②x２＋x＋１＝ x＋１２( ) ２ ＋３４≥ ３ ４＞０ ,是假命题． ③当a＝２－ ２,b＝３＋ ２时,a＋b＝５,是真命题． 答案:１ 课堂互动学案 [例１]　解:(２)(３)含有存在量词“有的”“有一个”为存在量词 命题,(１)(４)是省略了全称量词的全称量词命题． [例２]　[解]　(１)因为－１∈Z,且(－１)３＝－１＜１, 所以“∃x∈Z,x３＜１”是真命题． (２)真命题,如梯形． (３)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知, 它是真命题． (４)因为０∈N,０２＝０,所以命题“∀x∈N,x２＞０”是假命题． [例３]　(１)　[解析]　当１≤x≤２时,１＋m≤x＋m≤２＋m, 因为一次函数y＝x＋m 的图象在x 轴上方,所以１＋m＞０, 即m＞－１,所以实数m 的取值范围是{m|m＞－１}． [答案]　{m|m＞－１} (２)解:由题意得,关于x的方程ax２＋２x－１＝０有实数根, 当a＝０时,方程为２x－１＝０,显然有实数根,满足题意;当a ≠０时,Δ＝４＋４a≥０,解得a≥－１,且a≠０．综上知,实数a 的取值范围是{a|a≥－１}． 变式训练 １．解:(１)∀x∈R,x２＋x＋１＞０． (２)∀x∈Q,１３x ２＋１２x＋１ 是有理数． (３)∀a,b∈R,方程ax＋b＝０恰有一解． (４)∃x∈Z,x既能被２整除,又能被３整除． ２．解析:(１)∀x∈N,x２＞０,因为０也是自然数,０的平方是０． 所以,全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题． (２)∃x,y∈Z,２x＋４y＝３．由２x＋４y＝３,得x０＋２y＝ ３ ２ , 若x,y∈Z,则x＋２y也是整数,不可能等于 ３２ ,所以,存在 量词命题“存在一对整数x,y,使２x＋４y＝３”是假命题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１２􀅰 参考答案