第1章 2.1 第2课时 充要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．若a∈R，则“a2＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 2．两个三角形全等的一个充要条件是(　　) A．两个三角形的面积相等 B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等 D．两个三角形的对应外角相等 答案：C 3．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＝－2”的(　　) ＋ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[法一：因为xy≠0，且＝－2”的充要条件． ＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋ 法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＝－1－1＝－2，所以充分性成立； ＋＝＋ 必要性：因为xy≠0，且＝－2”的充要条件．] ＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“＋ 4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(　　) A．x＋y＝2　　　　　　　 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1 答案：B 5．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　) 解析：BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A 中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．] 6．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B＝A B．(∁UA)∩B≠∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 解析：ACD　[由Venn图可知，A，C，D都是充要条件．] 7．下列不等式： ①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1；⑤x>－1. 其中，可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为　________　；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为　________　. 解析：由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0}{x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件．因为{x|－1<x<1}{x|x<1}，{x|－1<x<1}{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件． 答案：②③　①⑤ 8．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是　________　. 解析：由题意知|2x－3|＞a恒成立， ∵|2x－3|≥0，∴a＜0. 答案：a＜0 9．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2，或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是　________　. 解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2. 答案：0≤a≤2 10．已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 解：设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1，x2， 由题意知⇔ ⇔⇔ ⇔m≥6. 即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6. 11．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明：充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy＞0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 当xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0时． 又当x＞0，y＞0时， |x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立． 当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件． 12．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 解析：A　[要求P∈A∩(∁UB)的充要条件，应从充分性、必要性两方面入手． (1)∁UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}， A∩(∁UB)＝{(x，y)|x＋y－n＞0，且2x－y＋m＞0}， 由P∈A∩(∁UB)知，即m＞－1，n＜5. 所以m＞－1，n＜5是P(2,3)∈A∩(∁UB)的必要条件． (2)当m＞－1，n＜5时，，解得 即P(2,3)∈A∩(∁UB)，所以m＞－1，n＜5是P(2，3)∈A∩(∁UB)的充分条件．] 13．设a，b，c为△ABC三边长，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0，有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2xc－b2＝0，有公共根x0， 则x＋2cx0－b2＝0且a≠c，＋2ax0＋b2＝0，x 两式相减，得x0＝， 将此式代入x＋2ax0＋b2＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2，① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 而(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0， 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0， 故两方程有公共根x＝－(a＋c)． 综上，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 14．在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3.给出下列四个结论． ①2 025∈[1]；②－1∈[1]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中正确的结论是　__________　(填所有正确的结论的序号)． 解析：对于①，∵2 025＝4×506＋1，则2 025∈[1]，①正确；对于②，∵－1＝4×(－1)＋3，则－1∈[3]，②不正确；对于③，∵任意整数除以4，余数可以且只可以是0,1,2,3四类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，③正确；对于④，若整数a、b属于同一“类”，则整数a、b被4除的余数相同，可设a＝4n1＋k，b＝4n2＋k，其中n1，n2∈Z，k∈{0,1,2,3}，则a－b＝4(n1－n2)，故a－b∈[0]，若a－b∈[0]，不妨令a＝4n1＋k1，b＝4n2＋k2(n1，n2∈Z，k1，k2∈{0,1,2,3})，则a－b＝4(n1－n2)＋(k1－k2)，显然n1－n2∈Z，|k1－k2|∈{0,1,2,3}，于是得|k1－k2|＝0，∴k1＝k2，即整数a，b属于同一‘类’，∴“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，④正确．综上所述，正确的结论是①③④. 答案：①③④ 学科网（北京）股份有限公司 $$