第一章 1.1 第2课时集合的表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

参 考 答 案 第一章　预备知识 §１　集合 １．１　集合的概念与表示 第１课时　集合的概念 课前预习学案 情境引入 　提示　参加阅兵式的所有女兵能够组成一个集合． 知识梳理　知识点一 １．指定　全体　A,B,C,􀆺　２．对象　３．不相同　重复　４．确 定性 [思考] １．提示:集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式,也可以 是现实生活中的各种各样的事物或人等． ２．提示:某班所有的高个子男生不能构成集合,因为高个子男 生没有明确的标准． 知识点二 a是集合A 中的元素　a∈A　a不是集合A 中的元素 [思考] ３．提示:对于一个元素a与一个集合A 而言,只有“a∈A”与 “a∉A”这两种结果． ４．提示:N＋ 是所有正整数组成的集合,而 N 是由０和所有的 正整数组成的集合,所以 N比 N∗ (N＋ )多一个元素０． 预习自测 １．D　２．C　３．C 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)试卷中的哪些题才能称为是“难题”,是无 法确定的,故不能组成一个集合;(２)元素“观众”是确定的, 所以能组成一个集合;(３)接近１的实数没有一个明确的标 准,所以 这 些 实 数 是 无 法 确 定 的,不 能 组 成 一 个 集 合; (４)哪些球员比林书豪打得好是不确定的,所以不能组成一 个集合． [例２]　A　[①∵ ２是无理数,∴ ２∉Q,故①错误; ②∵０是非负整数,∴０∈N,故②错误; ③∵π是实数,∴π∈R,故③错误; ④∵|－４|＝４是整数,∴|－４|∈Z,故④正确．] [例３]　[解]　若x２＝０,则x＝０,此时集合A 中有两个相同 元素０,不符合集合中元素的互异性,舍去． 若x２＝１,则x＝±１． 当x＝１时,集合A 中有两个相同元素１,舍去; 当x＝－１时,集合A 中三个元素为１,０,－１,符合． 若x２＝x,则x＝０或x＝１, 不符合互异性,都舍去． 综上可知:x＝－１． 变式训练 １．AC　[B中,由于“较胖”的标准不明确,不满足集合元素的 确定性,所以B错误;D 中的所有整数能组成集合,所以 D 错误．] ２．解析:若a＝２,则６－a＝４∈A,符合题意; 若a＝４,则６－a＝２∈A,符合题意; 若a＝６,则６－a＝０∉A,不符合题意． 综上可知,a的值为２或４． 答案:２或４． ３．解析:由题意知a２＝４,即a＝±２． 答案:±２ 随堂步步夯实 １．C　[A 中,“比较长”无明确标准;B中,“快”的标准不确定; D中,“高”的标准不确定．因而 A、B、D中的对象均不能组成 集合．对于 C,雄 安 新 区 的 所 有 中 学 生 是 确 定 的,能 组 成 集合．] ２．C　[因为集合中的元素具有互异性,所以a－３≠２a－１,所 以a≠－２．] ３．A　[④⑤⑥错误,①②③⑦正确．] ４．解析:因为５∈M,所以m＋１＝５或m２＋４＝５．若m＋１＝５, 解得m＝４;若m２＋４＝５,解得m＝±１,经验证,３个值都符 合题意,所以m 的值为４或１或－１． 答案:４或１或－１ ５．解:因为a∈A 且３a∈A, 所以 a＜６, ３a＜６,{ 解得a＜２． 又a∈N,所以a＝０或１． 第２课时　集合的表示 课前预习学案 知识梳理　知识点一 １．一一　３．顺序 [思考] １．提示:用 列 举 法 表 示 集 合 时 不 必 考 虑 元 素 的 顺 序．例 如: {a,b}与{b,a}表示同一个集合． 知识点二 １．满足的条件　２．x满足的条件　３．符号　范围　共同特征 [思考] ２．提示:A＝{x|x－１＝０}＝{１}与集合B 表示同一个集合． 知识点三 １．有限个　２．无限个　３．任何 [思考] ３．提示:列举法与描述法在表示形式上的最大区别是“{　}”内 是否含有“|” 知识点四 ３．[a,＋∞)　(a,＋∞)　(－∞,b]　(－∞,b) 预习自测 １．B　[A＝{x|１＜x≤３}＝(１,３]．] ２．B　[①中说法是错误的,因为“周围”是个模糊的概念,不满 足集合中元素的确定性． ②中说法是正确的,虽然满足条件的数有无数多个,但任意 给出一个元素都能判断出其是否属于这个集合． ③中说法是错误的,因为集合中的元素具有无序性．] ３．A　[∵x２＝０的解为x１＝x２＝０, ∴x２＝０的解集中只有一个元素０．] 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是 {«三国演义»,«西游记»,«水浒传»,«红楼梦»}． (２)因为不大于１０是指小于或等于１０,非负是大于或等于０ 的意义,所以不大于１０的非负偶数集是{０,２,４,６,８,１０}． (３)方程x３＝x的实数解是x＝０或x＝１或x＝－１,所以方 程的实数解组成的集合为{０,１,－１}, (４)解方程组 y ＝x－２, y＝－x,{ 得 x＝１, y＝－１,{ 即交点 是 (１,－１),故 两 函 数 图 象 的 交 点 组 成 的 集 合 是{(１,－１)}． [例２]　[解]　(１)偶数可用式子x＝２n,n∈N表示,但此题要 求为正偶数,故限定n∈N＋ ,所以正偶数可表示为{x|x＝ ２n,n∈N＋ }． (２)设被３除余２的数为x,则x＝３n＋２,n∈Z,但元素为正 整数,故 n∈N,所 以 被 ３ 除 余 ２ 的 正 整 数 集 合 可 表 示 为{x|x＝３n＋２,n∈N}． (３)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个 为０,即xy＝０,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合 可表示为{(x,y)|xy＝０}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１２􀅰 数学􀅰必修第一册 [例３]　[解]　(１)因为２x－６＜０, 所以x＜３,用区间表示为(－∞,３)． (２)由题意得x＋５≥０,故x≥－５, 用区间表示为[－５,＋∞)． [例４]　[解]　①当k＝０ 时,方 程kx２ －８x＋１６＝０ 变 为 －８x＋１６＝０,解得x＝２,满足题意; ②当k≠０,要使集合A＝{x|kx２－８x＋１６＝０}中只有一个 元素,则方程kx２－８x＋１６＝０有两个相等的实数根,所以 Δ＝６４－６４k＝０,解得k＝１,此时集合A＝{４},满足题意．综 上所述,k＝０或k＝１,故实数k的值组成的集合为{０,１}． 变式训练 １．解:(１)方程x２＝２x的解是x＝０或x＝２,所以方程的解组 成的集合为{０,２}． (２)将x＝０代入y＝２x＋１,得y＝１,即所求交点是(０,１), 故交点组成的集合是{(０,１)}． (３)正整数有１,２,３,􀆺,所求集合为{１,２,３,􀆺}． ２．解:(１)可表示为{x|x＝２n,n∈N＋ 且n≤６}． (２)可表示为 x|x＝ nn＋２ ,n∈N＋ 且n≤５{ }． (３)可表示为{x|x＝n２,n∈N＋ }． 集合中各元素为正整数的平方,故各元素可表示为x＝n２, n∈N＋ ,也可以写成{x|x＝(n＋１)２,n∈N}． ３．解:由１＜２x＋１＜２,得０＜x＜１２ , ∴原不等式的解集为 ０,１２( )． ４．解:由题意可知,方程kx２－８x＋１６＝０有两个不等实根, 故k≠０,且Δ＝６４－６４k＞０,解得k＜１,且k≠０． 所以实数k的值组成的集合为{k|k＜１,且k≠０}． 随堂步步夯实 １．D　[此集合由小于６的正整数组成．] ２．C　[因为集合A＝{x|５－５x＞０}＝{x|x＜１}, 所以５∉A,１∉A,０∈A,－１∈A．] ３．B　[集合{０}中有一个元素０;集合{x|x２－１＝０}＝{－１,１}; 集合{x|x＜０}表示小于０的实数组成的集合;集合{x|x２＋４ ＝０}表示方程x２＋４＝０的实数解组成的集合,而方程x２＋ ４＝０无实数解,因此该集合是空集．] ４．解析:因为(２a,３a－２]为一确定区间,所以２a＜３a－２,解得a＞２, 所以实数a的取值范围是(２,＋∞)． 答案:(２,＋∞) ５．解:(１)能整除１２的正整数有１,２,３,４,６,１２,用列举法可以 表示为{１,２,３,４,６,１２}． (２)方程(２x－１)(x＋１)＝０的解为x１＝ １ ２ ,x２＝－１,故用列举 法可以表示为 －１,１２{ }． (３)点用有序实数对(x,y)表示,故一次函数y＝２x＋５的图象 上所有点组成的集合用描述法可以表示为{(x,y)|y＝２x＋５}． １．２　集合的基本关系 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)集合A 中的元素都是集合B 中的元素． (２)A 是B 的子集． 知识梳理　知识点一 １．封闭曲线　２．任意一个　A⊆B　B⊇A　包含于　包含　 都是　都是　A＝B　A＝B　x∈B　x∉A　A⊆A　A⊆C　 A＝C　⫋　⫋ [思考] １．提示:不一定．如集合A＝{１,３},B＝{２,３},这两个集合就 没有包含关系． ２．提示:①“∈”是表示元素与集合之间的关系,比 如 １∈N, －１∉N． ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系,比如 N⊆R,{１,２,３} ⊆{３,２,１}． ③“∈”的左边是元素,右边是集合,而“⊆”的两边均为集合． 知识点二 不含任何元素　子集　⫋ [思考] ３．提示: ∅与０ ∅与{０} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅ 是 集 合;０ 是 实数 ∅ 不 含 任 何 元 素; {０}含 一 个 元素０ ∅ 不 含 任 何 元 素; {∅}含 一 个 元 素,该 元素是∅ 关系 ０∉∅ ∅⫋{０} ∅⫋{∅} 预习自测 １．B　２．A ３．{１}⫋{x|x２－１＝０}． 课堂互动学案 [例１]　[解]　由０个元素构成的子集:∅; 由１个元素构成的子集:{１},{２},{３}; 由２个元素构成的子集:{１,２},{１,３},{２,３}; 由３个元素构成的子集:{１,２,３}． 由此得集 合 A 的 所 有 子 集 为 ∅,{１},{２},{３},{１,２}, {１,３},{２,３},{１,２,３}． 在上述子集中,除去集合A 本身,即{１,２,３},剩下的都是A 的真子集． [例２]　[解]　(１)集合A 的代表元素是数,集合B 的代表元 素是有序实数对,故A 与B 之间无包含关系． (２)集合B＝{x|x＜５},用 数 轴 表 示 集 合 A,B 如 图 所 示, 由图可知A⫋B． (３)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相 等的三角形,故A⫋B． (４)两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N＋ ,因 此集合 M 含有元素“１”,而集合 N 不含元素“１”,故 N⫋M． [例３]　(１)　[解析]　化简 M＝{x|x２＋x－６＝０}＝{－３, ２},因为ax＋２＝０ 的 系 数a 是 字 母,所 以 对a 分 类 讨 论 如下: 当a＝０时,ax＋２＝０无解,所以 N＝∅满足题意;当a≠０ 时,ax＋２＝０的解为x＝－２a ,因为 N⫋M,所以由－２a ＝ －３,得a＝２３ ;由－２a＝２． 得a＝－１．所以符合条件的a的 取值集合为 ０,２３ ,－１{ }． [答案]　 ０,２３ ,－１{ } (２)　[解]　因为B⊆A,①当B＝∅时,m＋１≤２m－１,解得 m≥２． ②当B≠∅时有 －３≤２m－１, m＋１≤４, ２m－１＜m＋１, { 解得－１≤m＜２,综上得m≥－１． 变式训练 １．(１)解析:集合A＝{x|x２－３x＋２＝０,x∈R}＝{１,２}, B＝{x|０＜x＜８,x∈N}＝{１,２,３,４,５,６,７},由A⊆C⫋B, 得{１,２}⊆C⫋{１,２,３,４,５,６,７}, 所以C是{３,４,５,６,７}的真子集,故有２５－１＝３１． 答案:３１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１２􀅰 参考答案 第２课时　集合的表示 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解空集的含义 ２．会正确选用列举法与描述法表示集合 ３．掌握区间的含义 通过列举法和描述法表示集合、发展学生的数 学抽象和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　“今有三女,长女五日一归,中女四日一 归,小女三日一归,问三女何日相会”．(选自 «孙子算经»)则三女前三次相会的天数你能一 一列举出来吗? [知识梳理] [知识点一]　列举法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．方案:把集合中的元素　　　　列举出来写 在花括号“{　}”内． ２．一般形式:{a,b,c,􀆺}． ３．关注点:元素的排列　　　　可以不同． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．一一列举元素时,需要考虑元素的顺 序吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　描述法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:通过描述元素　　　　　　表示集合的 方法． ２．形式:{x及x 的范围|　　　　　　．} ３．方法:在花括号内先写出集合中元素的一般 　　　及　　　　,再画一条竖线“|”,在竖 线后写出集合中元素所具有的　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．集合A＝{x|x－１＝０}与集合B＝ {１}表示同一个集合吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点三]　有限集、无限集和空集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．有限集:含有　　　　元素的集合叫作有 限集． ２．无限集:含有　　　　元素的集合叫作无 限集． ３．空集:不含　　　　元素的集合叫作空集, 记作∅． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．列举法与描述法在表示形式上有 何区别． 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点四]　区间 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．区间的概念:设a,b是两个实数,而且a＜b． 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a,b) {x|a≤x＜b} 左闭右开区间 [a,b) {x|a＜x≤b} 左开右闭区间 (a,b] ２．无穷区间表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a}{x|x＜a} 符号 (－∞,＋∞) [a,＋∞) (a,＋∞) (－∞,a](－∞,a) ３．特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} 　　　　 {x|x＞a} 　　　　 {x|x≤b} 　　　　 {x|x＜b} 　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 数学􀅰必修第一册 [预习自测] １．将集合A＝{x|１＜x≤３}用区间表示正确 的是 (　　) A．(１,３)　B．(１,３]　C．[１,３)　D．[１,３] ２．给出下列说法: ①地球周围的行星能构成一个集合;②实数 中,不是有理数的所有数能构成一个集合; ③{１,２,３}与{１,３,２}是不同的集合． 其中正确说法的个数是 (　　) A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ３．方程x２＝０的解组成的集合为 (　　) A．{０}　　　　　　　B．{０,０} C．{(０,０)} D．∅ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　列举法表示集合 [例１]用列举法表示下列集合． (１)中国古典长篇小说 四 大 名 著 构 成 的 集合; (２)不大于１０的非负偶数组成的集合; (３)方程x３＝x的实数解组成的集合; (４)一次函数y＝x－２与y＝－x的图象的 交点组成的集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　把集合中的元素一一列举出 来,写在花括号内． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．用列举法表示集合的三个步骤 (１)求出集合的元素． (２)把元素一一列举出来,且相同元素只能 列举一次． (３)用花括号括起来． ２．在用列举法表示集合时的关注点 (１)明确集合中的元素是什么,如例１(４) 是点集,而非数集,集合的所有元素用 有序数对表示,并用“{　}”括起来,元 素间用分隔号“,”． (２)元素不重复,元素无顺序．如{１,１,２}为 错误表示．又如集合{１,２,３,４}与{２,１, ４,３}表示同一集合． 􀳀[变式训练] １．用列举法表示下列集合: (１)方程x２＝２x的所有实数解组成的集合; (２)直接y＝２x＋１与y轴的交点所组成的 集合; (３)由所有正整数构成的集合． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第一章　预备知识 　描述法表示集合 [例２]用描述法表示下列集合: (１)正偶数集; (２)被３除余２的正整数集合; (３)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的 集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依据描述法的结构特征写出 集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．描述法表示集合的两个步骤 写代表元素 ⇩ 明确元素 的特征 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋将集合中元素所具有的公 共特征写在竖线的后面 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋分清楚集合中的元素是点 还是数或是其他的元素 ２．用描述法表示集合应注意的四点 (１)写清楚该集合代表元素的符号．例如, 集合{x∈R|x＜１}不能写成{x＜１}． (２)所有描述的内容都要写在花括号内．例 如,{x∈Z|x＝２k},k∈Z,这种表达方 式就不符合要求,需将k∈Z也写进花 括号内,即{x∈Z|x＝２k,k∈Z}． (３)不能出现未被说明的字母． (４)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所 属范围为实数集时可以省略不写．例如, 方程x２－２x＋１＝０的实数解组成的集合 可表示为{x∈R|x２－２x＋１＝０},也可写 成{x|x２－２x＋１＝０}． 􀳀[变式训练] ２．用描述法表示下列集合: (１){２,４,６,８,１０,１２}; (２)１３ ,２ ４ ,３ ５ ,４ ６ ,５ ７{ }; (３){１,２２,３２,４２,􀆺}． 区间表示集合 [例３]用区间表示下列集合: (１)不等式２x－６＜０的所有实数解组成的 集合; (２)使 x＋５有意义的所有实数x 组成的 集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　“∞”是一个符号,不是数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 区间表示集合的适用情况和注意点 (１)适用情况:表示一定范围内的所有实数 所构成的集合,也就是数轴上某一“段” 所有点所对应的实数． (２)注意点:①区间的两个端点必须保证左 小右大; ②“∞”是一个符号,不是数,以－∞或＋∞ 为区间一端时,这一端必须是小括号． 􀳀[变式训练] ３．用区间表示不等式１＜２x＋１＜２的解集． 集合表示方法的综合应用 [例４]集合A＝{x|kx２－８x＋１６＝０},若集 合A 中只有一个元素,求实数k的值组成的 集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　分k＝０和k≠０两种情况讨论． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)若已知集合是用描述法给出的,读懂集 合的代表元素及其属性是解题的关键, 如本例集合A 中的元素就是所给方程 的根,由此便把集合的元素个数问题转 化为方程的根的个数问题． (２)在学习过程中要注意数学素养的培养, 如本例中用到了等价转化思想和分类 讨论的思想． 􀳀[变式训练] ４．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个 元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的 集合． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．集合{x∈N＋|x－２＜４}用列举法可表示为 (　　) A．{０,１,２,３,４} B．{１,２,３,４} C．{０,１,２,３,４,５} D．{１,２,３,４,５} ２．已知A＝{x|５－５x＞０},则有 (　　) A．５∈A B．１∈A C．０∈A D．－１∉A ３．下列集合为∅的是 (　　) A．{０} B．{x|x２＋４＝０} C．{x|x２－１＝０} D．{x|x＜０} ４．若(２a,３a－２]为一确定区间,则实数a的取 值范围是　　　　． ５．选择适当的方法表示下列集合; (１)能整除１２的正整数组成的集合; (２)方程(２x－１)(x＋１)＝０的解组成的 集合; (３)一次函数y＝２x＋５的图象上所有点组 成的集合． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第一章　预备知识