第二章 1 生活中的变量关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　第二章　函数 　　　§１　生活中的变量关系 １．下列各图中,可表示函数图象的是 (　　) ２．一辆汽车在公路上正常行驶,其中有这 样一些量:①行驶的速度v;②汽车的重 量y;③车上乘坐的人数x;④行驶的时 间t．其中有函 数 的 对 应 关 系 的 两 个 量是 (　　) A．t与v B．x与v C．v与y D．x与t ３．某同学骑自行车上学,开始时匀速行 驶,途中因红灯停留了一段时间,然后 加快速度赶到了学校,下列各图中,符 合这一过程的是 (　　) ４．向高为 H 的水瓶中注入 水,注满为止,如果注水量 V 与水深h 的函数关系如 图,那么水瓶的形状是图中的 (　　) ５．(多 选)如 图 是 反映 某 市 某 一 天的 温 度 随 时 间变 化 情 况 的 图象．由图象可 知,下列说法中 符合温度随时间变化情况的是 (　　) A．这天１５时的温度最高 B．这天３时的温度最低 C．这天的最高温度与最低温度相差 １３℃ D．这天２１时的温度是３２℃ ６．(多选)一辆赛车在一个周长为３km 的 封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯 道组成,图１反应了赛车在“计时赛”整 个第二圈的行驶速度与行驶路程之间 的关系． 根据图１,以下四个说法中正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０３􀅰 第二章　函数 A．在这第二圈的２．６km 到２．８km 之 间,赛车速度逐渐增加 B．在整个跑道,最长的直线路程不超过 ０．６km C．大约在这第二圈的０．４km到０．６km 之间,赛车开始了那段最长直线路程 的行驶 D．在图２的四条曲线(注:S 为初始记 录数据位置)中,曲线B 最能符合赛 车的运动轨迹 ７．已知集合A＝{１,２,３,４,５},集合B＝ {２,４,６,８}．集合A 中的元素乘２．若A 中的元素为自变量,B 中的元素为因变 量,是否能形成函数　　　　．(填“能” 或“不能”) ８．已知分段函数y＝ x２－２x＋１,(x≥０) －x,(x＜０){ ,当 x＝－１时,函数值y＝　　　　． ９．已知分段函数y＝ x２－２x＋１,(x≥０) －x,(x＜０){ ,当 x∈A 时,x对应的函数值y＝１,则集合 A＝　　　　． １０．有研究表明,声音在空气中的传播速 度与空气的温度有关,当空气的温度 变化时,声音的传播速度也将随着变 化．声音在空气中传播速度与空气温 度关系一些数据(如下表格) 温度/℃ 􀆺 －２０ －１０ ０ １０ ２０ ３０ 􀆺 声速/m/s 􀆺 ３１８ ３２４ ３３０ ３３６ ３４２ ３４８ 􀆺 (１)指出在这个变化过程中的自变量 和因变量; (２)当声音在空气中传播速度为３４２m/s 时,此时空气的温度是多少? (３)该数据表明:空气的温度每升高１０℃, 声音 的 传 播 速 度 将 增 大 (或 减 少) 多少? (４)用y 表示声音在空气中的传播速 度,x 表示空气温度,根据(３)中你发 现的规律,直接写出y 与x 之间的关 系式． １１．如图是一辆汽车的速度随时间变化而 变化的情况示意图． (１)汽车从出发到最后停止共经过多 少时间? 它的最高时速是多少? (２)出发后８分到１０分之间速度是 多少? (３)汽车在哪些时间段保护匀速行驶? 时速分别是多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２０３􀅰 必修第一册 １２．如图,是某个函数 的图象,则该函数 的 解 析 式 为 ＝　　　　． １３．某桶装水经营部 每天的房租、工人工资等固定支出为 ２００元,每桶水的成本价为５元． 销售单价与每日销售量的关系如下 表,根据表中的数据,回答下列问题: 销售单价(元) ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 日销售量(桶)４８０ ４４０ ４００ ３６０ ３２０ ２８０ ２４０ (１)销售单价与每日销售量之间有什 么关系? (２)单价确定为多少时? 可以获得最 大利润,并求出最大利润． １４．向平静的湖面投一块石子,便会形成 以落水点为圆心的一系列同心圆． (１)在这个变化过程中,有哪些变量? (２)若圆的面积用S表示,半径用R 表 示,则S和R 的关系是什么? 它们是 常量还是变量? (３)若圆的周长用C表示,半径用R 表 示,则C与R 的关系式是什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０３􀅰 第二章　函数 (２)若a≠±１,则当 Δ＝(a－１)２＋４(a２－１)＜０, a２－１＜０{ 时, 不等式的解集为 R,解得－３５＜a＜１． 综上,实数a的取值范围是 a|－３５＜a≤１{ }． 答案:a|－３５＜a≤１{ } ９．解析:由２－３xx－４≤１ ,得２－３x x－４ －１≤０ ,整理得６－４x x－４≤０ ,解 得x＞４或x≤３２ ,即A＝ x|x＞４,或x≤３２{ }, 因为B＝{x||２x－５|≥３}＝{x|２x－５≥３,或２x－５≤－３} ＝{x|x≥４或x≤１},所以A∩B＝{x|x＞４,或x≤１}; A∪B＝ x|x≥４,或x≤３２{ }． 答案:{x|x＞４,或x≤１}　 x|x≥４,或x≤３２{ } １０．解:(１)由已知条件得m＝０,或 m＜０ m２＋４m＜０{ , 解得:－４＜m≤０．因此实数m 的取值范围是(－４,０]． (２)当x∈[１,３]时,不等式等价于mx２－mx－１＜－m＋５, m＜ ６ x２－x＋１ ,函数y＝ ６x２－x＋１ 在[１,３]上随x 的增 大而减小,则当x＝３时,函数取到最小值ymin＝ ６ ７ ,由 已知条件m＜６７ ,因此实数m的取值范围是 －∞,６７( )． １１．解:由题知(１)降低税率后的税率为(１０－x)％,农产品 的收购量为a(１＋２x％)万担,收购总金额为２００a(１＋ ２x％)万元．依题意:y＝２００a(１＋２x％)(１０－x)％ ＝１５０a (１００＋２x)(１０－x)(０＜x＜１０)． (２)原计划税收为２００a􀅰１０％＝２０a(万元)． 依题意得:１ ５０a (１００＋２x)(１０－x)≥２０a×８３．２％, 化简得x２＋４０x－８４≤０, ∴－４２≤x≤２． 又∵０＜x＜１０,∴０＜x≤２． ∴x的取值范围是０＜x≤２． １２．解:不等式mx２－２x－m＋１＜０恒成立, 即函数f(x)＝mx２－２x－m＋１的图象全部在x轴下方． 当m＝０时,１－２x＜０,则x＞１２ ,不满足题意; 当m≠０时,函数f(x)＝mx２－２x－m＋１为二次函数, 需满足开 口 向 下 且 方 程 mx２ －２x－m＋１＝０ 无 解, 即 m＜０, Δ＝４－４m(１－m)＜０,{ 不等式组的解集为空集,即m 不存在． 综上可知不存在这样的m． １３．解:(１)A＝{x|１＜x≤３},B＝{x|x２－３x－c≤０},由A ⊆B,可知函数y＝x２－３x－c在(１,３]上恒有y≤０,由 x２－３x－c≤０,可得c≥x２－３x＝ x－３２( ) ２ －９４ ,故c≥０． 所以实数c的取值范围为[０,＋∞)． (２)由B⊆A,可知B 可能为∅,也可能不为∅． ①当B＝∅时,Δ＝９＋４c＜０,可得c＜－９４． ②当B≠∅时,设函数f(x)＝x２－３x－c, 则 Δ≥０ f(１)＞０ f(３)≥０ { ,即 ９＋４c≥０ １－３－c＞０ ９－９－c≥０{ ,解得－ ９ ４≤c＜－２． 综合①②,知实数c的取值范围为(－∞,－２)． １４．解:(１)f(x)在(０,＋∞)上随x的增大而增大,若 m＋１ ＝０,则m＝－１,f(x)＝x－１,在(０,＋∞)上随x 的增 大而增大,所以 m＝－１;若 m≠－１,f(x)在(０,＋∞) 上随x的增大而增大,则 m＋１＞０ －m －２(m＋１)≤０{ ,解得－１＜m ≤０,综上所述,实数m 的取值范围是－１≤m≤０． (２)若m＜－１,f(x)≥０,则(m＋１)x２－mx－１≥０,即 [(m＋１)x＋１)(x－１)]≥０,所以 x＋ １m＋１( )(x－１)≤０, 若m＋１＝－１,即 m＝－２,不 等 式 的 解 集 为 {１};若 m＋１＞－１,即－２＜m＜－１,此时 －１m＋１＞１ ,不等式的 解集为 １,－１m＋１[ ] ;若 m＋１＜ －１,即 m＜－２,此 时 －１ m＋１＜１ ,不等式的解集为 －１ m＋１ ,１[ ] , 综上可知,当m＝－２时,不等式的解集是{１}; 当－２＜m＜－１时,不等式的解集是 １,－１m＋１[ ] ; 当m＜－２时,不等式的解集是 －１m＋１ ,１[ ]． 第二章　函数 §１　生活中的变量关系 １．D　[根据函数的定义,每一个自变量x 的值,都有唯一 确定的y值与之对应,所以正确选项为 D．] ２．A　[公路上行驶的汽车,每个行驶的时间t,都有唯一的 速度v对应,所以两个变量“时间t”与“速度v”之间是函 数关系,所以正确选项为 A．] ３．C　[由于开始匀速行驶,所以离学校的距离匀速减少, 中间一段停留,与学校距离没变,然后加速赶到学校,与 学校的距离在同样的时间段内减少的越来越快,所以正 确选项为 C．] ４．B　[从给出的水的深度h与水量V(体积)的对应关系图 中,可以看出随着水的深度h的增加,开始部分水量V (体积)增加的很快,后部分水量V(体积)增加得要慢一 些,说明容器下面部分横截面面积较大,上面部分横截 面面积较小,所以正确选项为B．] ５．ABD　[最高温度与最低温度的差为(３８－２２)℃＝１６℃, 故 C错误,ABD正确．] ６．AD　[由图１知,在２．６km 到２．８km 之间,图象上升, 故在这第二圈的２．６km 到２．８km 之间,赛车速度逐渐 增加,故 A 正 确;在 整 个 跑 道 上,高 速 行 驶 时 最 长 为 (１􀆰８,２􀆰４)之间,但直道加减速也有过程,故最长的直线 路程有可能超过０．６km,故 B不正确;最长直线路程应 在１．４km 到１．８km 之间开始,故 C不正确;由图１可 知,跑道应有３个弯道,且两长一短,故 D正确．] ７．解析:因为 A 中 的 元 素 ５的 ２倍 为 １０,并 没 有 在 集 合 B 中． 答案:不能 ８．解析:因为x＝－１＜０,所以y＝－x＝－(－１)＝１． 答案:１ ９．解析:当x≥０时,则x２－２x＋１＝１,解得x＝０或x＝２, 当x＜０时,则－x＝１． 解得x＝－１,所以A＝{－１,０,２}． 答案:{－１,０,２} １０．解:(１)自变量是温度,因变量是声速． (２)由题图表数据可得出,当声音在空气中传播速度为 ３４２m/s时,此时空气的温度是２０℃． (３)利用表格中数据得出:空气的温度每升高１０℃,声音 的传播速度将增大６m/s． (４)由图表中数据可得出:y＝０．６x＋３３０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８３􀅰 参考答案 １１．解:(１)汽车从出发到最后停止共经过了２４分钟,最高 时速为８０km/h． (２)出发后８分到１０分之间汽车速度为０km/h． (３)汽车在出发后２分钟到６分钟,出发后１８分钟到 ２２ 分 钟 均 保 持 匀 速 行 驶,时 速 分 别 为３０km/h 和８０km/h． １２．解析:当０≤x＜１时,设函数为y＝kx(k≠０),x＝１时y ＝２, 解得k＝２;当１≤x≤３时,设函数为y＝ax＋b(a≠０), x＝１时,y＝３,x＝３时y＝０,解得a＝－３２ ,b＝９２． 所以y＝ ２x,(０≤x＜１) －３２x＋ ９ ２ ,(１≤x≤３){ 答案:y＝ ２x,(０≤x＜１) －３２x＋ ９ ２ ,(１≤x≤３){ １３．解:(１)随着单价的提高,日销售在减少,销售单价每提 高１元,日销售量减少４０桶,销售单价与日销售量之间 为函数关系． (２)设销售单价为x元,获得的利润为y元． 根据题意得y＝(x－５)(－４０x＋７２０)－２００, 其中x≥５, 即y＝－４０x２＋９２０x－３８００ ＝－４０ x－２３２( ) ２ ＋１４９０, 当x＝２３２ 时,ymax＝１４９０, 所以单价确定为１１．５元,获得最大利润为１４９０元． １４．解:(１)形 成 的 一 系 列 同 心 圆 的 半 径、周 长、面 积 都 是 变量． (２)圆的面积S与半径R 存在依赖关系,对于半径R 的 每一个取值,都有唯一的面积S 与之对应,所以圆的面 积S是半径R 的函数,其函数关系式是S＝πR２．圆的 面积S、半径R 都是变量． (３)C与R 的关系式为C＝２πR． §２　函数 ２．１　函数概念 １．C　[∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(x)２(x≥０)两个函 数的定义域不一致,∴A中的两个函数不相等; ∵f(x)＝x２,g(x)＝(x＋１)２ 两个函数的对应关系不一 致,∴B中的两个函数不相 等;易 知 C 正 确;f(x)＝０, g(x)＝ x－１＋ １－x两个函数的定义域不一致, ∴D中的两个函数不相等．] ２．A　[M＝{x|２－x＞０}＝(－∞,２),N＝{x|x＋２≥０} ＝[－２,＋∞),故 M∩N＝[－２,２)．] ３．B　[选项 A 中,当x＝８时,y＝０,不符合题意,排除 A; 选项 C中,存在一个x对应多个y 值,不是函数的图象, 排除 C;选项 D中,x取不到０,不符合题意,排除 D．] ４．B　[y＝ x的值域为[０,＋∞),y＝１x 的值域为(－∞,０) ∪(０,＋∞),y＝x２＋１的值域为[１,＋∞)．] ５．AD　[A中,可构成函数关系;B中,对于集合A 中元素 １,在集合B 中有两个 元 素 与 之 对 应,因 此 不 是 函 数 关 系;C中,A 中元素０的倒数没有意义,在集合B 中没有 元素与 之 对 应,因 此 不 是 函 数 关 系;D 中,可 构 成 函 数 关系．] ６．ABC　[函数y＝x２－４x－４的图象如图, f(０)＝f(４)＝－４,f(２)＝－８． 因为函数y＝x２－４x－４的定义域为[０,m], 值域为[－８,－４],所以实数m 的取值范围是[２,４]．] ７．解析:∵f(x)的定义域为 R, ∴不等式mx２－２mx＋１＞０的解集为 R, ①m＝０时,１＞０恒成立,满足题意; ②m≠０时, m＞０, Δ＝４m２－４m＜０,{ 解得０＜m＜１． 综上,实数m 的取值范围是[０,１)． 答案:[０,１) ８．解析:由题意,得抛物线y＝x２＋２开口向上,对称轴是y 轴,所以函数f(x)＝x２＋２在[－１,３]上的最小值为２, 最大值为１１,所以函数f(x)的值域是[２,１１]． 答案:[２,１１] ９．解析:由题可知f(３)＝１,f(４)＝２,则f(f(４))＝f(２) ＝０． 答案:１　０ １０．解:(１)函数的定义域为{－１,０,１,２,３},当x＝－１时, y＝[(－１)－１]２＋１＝５,同理可得f(０)＝２,f(１)＝１, f(２)＝２,f(３)＝５,所以函数的值域为{１,２,５}． (２)函数的定义域为 R,因为(x－１)２＋１≥１,所以函数 的值域为{y|y≥１}． (３)函数的定义域是{x|x≠１},y＝５x＋４x－１＝５＋ ９ x－１ , 所以函数的值域为{y|y≠５}． (４)要使函数式有意义,需x＋１≥０,即x≥－１,故函数 的定义域是{x|x≥－１}．设t＝ x＋１,则x＝t２－１(t ≥０),于是f(t)＝t２－１－t＝ t－１２( ) ２ －５４． 又t≥０, 故f(t)≥－５４． 所以函数的值域是 y|y≥－５４{ }． １１．解:∵函数f x－１x( )＝x ２＋１ x２ －１, ∴f x－１x( )＝ x－ １ x( ) ２ ＋１, ∴f(x)＝x２＋１(x∈R), ∴f(x)的解析式为f(x)＝x２＋１(x∈R)． １２．B　[与２互素且不超过２的正整数为１,与４互素且不 超过４的正整数为１、３,与６互素且不超过６的正整数 为１、５,与８互素且不超过８的正整数为１、３、５、７,与１０ 互素且不超过１０的正整数为１、３、７、９,因为φ(２)＝１, φ(４)＝２,φ(６)＝２,φ(８)＝４,φ(１０)＝４,所以∑ m i＝１ φ(２i)＝ ∑ ５ i＝１ φ(２i)＝１＋２＋２＋４＋４＝１３,则m＝５,因为与５互素 且不超过５的 正 整 数 为 １、２、３、４,所 以φ(m)＝φ(５) ＝４．] １３．解:由 题 意 y＝f(x)＝２x ２＋ax＋b x２＋１ 定 义 域 为 R, 则(y－２)x２－ax＋y－b＝０在 R上有解, 当y＝２时符合题意, 当y≠２时,Δ＝a２－４(y－２)(y－b)≥０, 即(y－２)(y－b)－a ２ ４≤０ 的解集为[１,３], 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９３􀅰 必修第一册