2.1 生活中的变量关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦生活中的变量关系这一核心知识点，从摩天轮高度与时间、声速与气温等生活实例入手，系统梳理依赖关系与函数关系的概念、区别及联系，构建从具体实例到抽象概念再到实际应用的学习支架。 资料以生活情境为载体，通过辨析衣着价格与视力等依赖关系、推理摩天轮时间与高度的对应关系，引导学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考变量联系。借助表格转化解析式解决烟花燃放距离问题，培养数学语言表达能力，课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固查漏。

§1　生活中的变量关系 学习任务 核心素养 1．了解生活中两个变量之间的依赖关系．(重点) 2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．(重、难点) 通过对生活中的变量关系的学习，培养数学建模素养． 怎样的依赖关系是函数关系？ 1．依赖关系 一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 2．函数关系 一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数． (1)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？ (2)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，把摩天轮的转动时间作为自变量，他的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？ [提示]　(1)该人的高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟． (2)每取一个t值，有唯一一个h值与之对应． 1．下列各量间不存在依赖关系的是(　　) A．扇形的圆心角与它的面积 B．某人的体重与其饮食情况 C．水稻的亩产量与施肥量　 D．某人的衣着价格与视力 [答案]　D 2．给出下列关系： ①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； ②抛物线上的点与该点坐标之间的关系； ③橘子的产量与气候之间的关系； ④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系． 其中不是函数关系的有________(填序号)． ①③④　[由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．] 类型1　依赖关系与函数关系的辨析 【例1】　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ ①速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； ②家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； ③正三角形的面积和它的边长． [解]　①中在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系； ②中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性； ③中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系． 综上可知①②③中两个变量间都存在依赖关系，其中①③是函数关系． 　判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化．而判断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应． [跟进训练] 1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系． [解]　(1)冷却时间与温度计示数之间具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系； (2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系． 综上可知，(1)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系． 类型2　变量关系的表示 【例2】　声音在空气中传播的速度简称声速，实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温x/℃ 0 5 10 15 20 声速y(米/秒) 331 334 337 340 343 (1)根据表内数据作图； (2)用x表示y； (3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花的所在地约相距多少米？ [解]　(1) 此图反映的是变量声速随气温的变化． (2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，声速加快3米/秒，又过点(0，331)， 故所求函数关系式为y＝x＋331． (3)由(2)可知气温为22 ℃时，声速y＝×22＋331(米/秒)， 故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×＝66＋1 655＝1 721(米)． 　借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律． [跟进训练] 2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系(其中0≤x≤20)： 提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ (4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？ [解]　(1)画出图如下： 此图反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量． (2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59． (3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强． (4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)一个人受教育的程度与他的能力之间的关系是依赖关系． (　　) (2)圆上的点的纵坐标与横坐标之间的关系是函数关系． (　　) (3)若y是x的函数，则x一定是y的函数． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．下列说法不正确的是(　　) A．圆的周长与其直径的比值是常量 B．任意四边形的内角和的度数是常量 C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系 D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系 [答案]　D 3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．下图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D A　[开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A．] 4．如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图． 该汽车在这段时间内的最高时速是________． 80千米/时　[由图知最高时速为80千米/时．] 5．下列关系不是函数关系的是________(填序号)． ①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系； ②某同学学习时间与其学习成绩的关系； ③人的睡眠质量与身体状况的关系． ②③　[对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．] 课时分层作业(十三)　生活中的变量关系 一、选择题 1．下列变量间的关系是函数关系的是(　　) A．某人的年龄和他的身高之间的关系 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．正方形的面积S与其边长a之间的关系 D．光照时间和苹果的亩产量 C　[A是依赖关系，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．] 2．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是(　　) A．这天15时的温度最高 B．这天3时的温度最低 C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D．这天21时的温度是30 ℃ C　[这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故选C．] 3．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 D　[当y取一个正值时，有两个x与它对应，故选D．] 4．谚语“瑞雪兆丰年”说明(　　) A．下雪与来年的丰收具有依赖关系 B．下雪与来年的丰收具有函数关系 C．下雪是丰收的函数 D．丰收是下雪的函数 A　[下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．] 二、填空题 5．当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，________是自变量，____________________________是因变量． [答案]　圆柱底面半径　圆柱的体积 6．自变量x与因变量y之间的关系如下表： x 0 1 2 3 4 … y 0 2 4 6 8 … (1)写出x与y的关系式：________． (2)当x＝2.5时，y＝________． [答案]　(1)y＝2x　(2)5 7．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道： (1)甲、乙两人中先到达终点的是________． (2)乙在这次赛跑中的速度为________ m/s． (1)甲　(2)8　[(1)由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12 s、12.5 s，故甲先到达终点． (2)v乙＝＝8(m/s)．] 三、解答题 8．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图． (1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？ (2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？ (3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？ [解]　(1)上午8时气温是0 ℃，全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到，全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到． (2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃． (3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上．变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系． 9．国内某快递公司快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表： 运送距离x(km) 0<x≤500 500<x≤1 000 1 000<x≤1 500 … 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 … 如果某人在西安用这家快递邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km 的某地，那么他应付的邮资是(　　) A．5.00元 　 B．6.00元 C．7.00元 　 D．无法确定 C　[∵800 g<1 000 g，∴适用表格给出的邮资标准． ∵1 000<1 200<1 500，∴应付邮资7.00元．] 10．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图①所示，那么水瓶的形状是图②中的(　　) 图① A　　 　B　　　　C　　　D 图② B　[通过图象反映的两个变量h与V的变化情况知，注水量随高度的变化是先快后慢，再结合选项中四个容器的形状来判断，只有B符合要求．] 11．现有含盐7%的食盐水200克，生产需要含盐在5%以上且6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水x克，则x的范围是________． (100，400)　[由题设得0.05＜＜0.06，解得100＜x＜400．] 12．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆． (1)在这个变化过程中，有哪些变量？ (2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？ (3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？ [解]　(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量． (2)圆的面积S与半径R存在依赖关系， 对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应， 所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2．圆的面积S、半径R都是变量． (3)C＝2πR． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $