第五章 函数应用 B卷·素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

(３)易知f(x)＝k＋ x＋２在[－２,＋∞)上单调递 增,假设满足条件②的区间为[a,b],０＜a＜b, 则方 程 组 k＋ a＋２＝a, k＋ b＋２＝b,{ 有 解,即 方 程 x＝k＋ x＋２有两个不同的解． 故方程x２－(２k＋１)x＋k２－２＝０有两个都不小于k 的不等实根 ∴ Δ＞０, k２－k(２k＋１)＋k２－２≥０, ２k＋１ ２ ＞k , ì î í ï ï ïï 得－９４＜k≤－２． ∴实数k的取值范围为 －９４ ,－２( ] 第五章　函数应用 (B卷) １．B　[函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．] ２．D　[由题意可得,剩下的部分依次为 １２ ,１ ４ ,１ ８ ,􀆺, 因此x 天 后 剩 下 的 部 分y 与x 的 函 数 关 系 式 为 y＝１２x (x∈N＋)．] ３．B　[∵(１＋１０％)３(１－１０％)３＝０．９９３＜１,∴该股民 在这只股票上的盈亏情况是略有亏损．] ４．C　[已知f(１)＝２＋１４－５＜０ ,f(２)＝４＋１２－５＜０ , f(３)＝８＋３４－５＞０ ,所以f(２)􀅰f(３)＜０,可知函数 零点所在区间为[２,３],故a＝３．] ５．A　[f(a)＝０,又f(x)在(０,＋∞)上单调递增,０＜x０＜a． ∴f(x０)＜f(a)＝０．] ６．D　[∵f(x)是定义在 R上的偶函数,∴函数f(x)的 图象关于y轴对称．又f(x)在(０,＋∞)上是减函数, 且f １２( )＞０＞f(３), ∴f(x)在(０,＋∞)上有且仅有１个零点,则f(x)在 (－∞,０)上也仅有１个零点,若f(０)＝０,则共有３个 零点;若f(０)≠０,则共有２个零点．] ７．C　[f(x)＝x２－２x＋a(ex－１＋e－x＋１) ＝(x－１)２＋a[ex－１＋e－(x＋１)]－１, 令t＝x－１,则g(t)＝f(t＋１)＝t２＋a(et＋e－t)－１． ∵g(－t)＝(－t)２＋a(e－t＋et)－１＝g(t), ∴函数g(t)为偶函数,∵f(x)有唯一零点, ∴g(t)也有唯一零点,又g(t)为偶函数,由函数的性 质知g(０)＝０,∴２a－１＝０,解得a＝１２． ] ８．B　[∵x１＋x２＝－２m,x１x２＝２m＋３, ∴(x１＋x２)􀅰x１x２＝－２m(２m＋３) ＝－４ m＋３４( ) ２ ＋９４． 在方程f(x)＝０中,Δ＝４m２－４(２m＋３)≥０, 解得m≤－１或m≥３． 令t＝(x１＋x２)􀅰x１x２, ∵t＝－４ m＋３４( ) ２ ＋９４ 在m∈(－∞,－１]上单调递 增,∴当 m＝－１时,t取最大值,最大值为２; ∵t＝－４ m＋３４( ) ２ ＋９４ 在m∈[３,＋∞)上单调递减． ∴当m＝３时,t取最大值,最大值为－５４, ∴(x１＋x２)􀅰x１x２ 的最大值为２．] ９．BD　[对于 A,Δ＝(－４)２－４×３×５＜０,f(x)无零 点;对于 B,f(x)＝x(x２－１)＝x(x＋１)(x－１)在 [１,２]上有零点１;对于C,令f(x)＝０,在同一坐标系 中,画出函数y＝lnx与y＝３x－６的图象(图象略), 它们在[１,２]上无交点;对于D,f(１)＝e－３＜０,f(２)＝e２ ＞０,f(１)􀅰f(２)＜０,所以f(x)在[１,２]上有零点．] １０．ABC　[作出函数f(x)的大致图 象如图所示,由图可得关于x的方 程f(x)＝t的根有两个或三个(t ＝１时三个,t≠１时有两个),所以 关于t的方程t２＋bt＋c＝０只能 有一个根t＝１(若有两个根,则关 于x的方程[f(x)]２＋bf(x)＋c＝０有四个或五个 根)．由根与系数关系得－b＝１＋１,c＝１×１＝１,得 b＝－２,c＝１,所以 A,B正确;不妨设x１＜x２＜x３, 令f(x)＝１,可得x１,x２,x３ 的值分别为１,２,３,则 x１x２＋x２x３＋x１x３＝１×２＋２×３＋３×１,由loga|１－２|＋１ ＝１,得a０＝１(a＞１),故a的值无法确定,所以 C正 确,D错误．] １１．AD　[设y＝f(x)的零点为t,即f(t)＝０． 由f(x)与f(f(x))的零点相同可知: f(f(t))＝０,∴f(０)＝０． 又f(０)＝a,∴a＝０, ∴f(x)＝－x２＋２bx, 令f(x)＝０,解得x１＝０,x２＝２b． 当b＝０时,f(x)仅有一个零点０,符合题意; 当b≠０时,f(f(x))＝－(－x２＋２bx)２＋２􀅰b(－x２ ＋２bx)＝(－x２＋２bx)(x２－２bx＋２b), ∴x２－２bx＋２b＝０无实根, ∴Δ＝(－２b)２－８b＜０,解得０＜b＜２．∴０≤b＜２, ∴－２＜a－b≤０．] １２．解析:当t＝０时,y＝a;当t＝６时,y＝ae－６b＝１２a , 所以e－６b＝１２ ,若容器内的细沙只有开始时的八分 之一,则y＝１８a ,所以e－bt＝１８＝ (e－６b)３＝e－１８b, 则t＝１８,１８－６＝１２min． 答案:１２ １３．解析:若λ＝２,则当x≥２时,令x－４＜０,得２≤x＜ ４;当x＜２时,令x２－４x＋３＜０,得１＜x＜２．综上可 知不等式f(x)＜０的解集为(１,４),令x－４＝０,解得 x＝４;令x２－４x＋３＝０,解得x＝１或x＝３．因为函 数f(x)恰有２个零点,结合函数的图象(图略)可知 １＜λ≤３或λ＞４． 答案:(１,４)　(１,３]∪(４,＋∞) １４．解析:方程x４＋ax－４＝０可化为x３＋a＝４x ,在同 一平面直角坐标系中,分别画出函数y＝x,y＝４x , y＝x３的图象,如图所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 参考答案 由 y＝x, y＝４x ,{ 解得 x１＝２ , y１＝２,{ x２＝－２, y２＝－２,{ 则 A,B 点的坐 标分别为(２,２),(－２,－２)． 将函数y＝x３ 的 图 象 向 下 移 动 到 过 点 A 时,得 到 a＝－６,再向下移动即可满足题意,此时a＜－６, 将函数y＝x３ 图象向上移动到B 时得到a＝６再向 上移动即可满足题意,此时a＞６, 综上可知,实数a的取值范围是(－∞,－６)∪(６,＋∞)． 答案:(－∞,－６)∪(６,＋∞) １５．解:因为f(x)是定义在R上的偶函数, 当０≤x≤１时,f(x)＝－x２＋１, 所以当－１≤x≤０时,０≤－x≤１, f(x)＝f(－x)＝－(－x)２＋１＝－x２＋１． 因为f(２＋x)＋f(x)＝０, 所以f(４＋x)＝－f(２＋x)＝f(x)． 因为f(２＋x)＋f(x)＝０,f(x)为R上的偶函数, 所以f(２＋x)＋f(－x)＝０, 所以f(１＋x)＋f(１－x)＝０, 所以函数f(x)的图象关于点(１,０)对称． 作出f(x)在[－１,５]上的 图象,如图所示． 因为a[f(x)]２－bf(x)＋ ３＝０在[－１,５]上有五个 根,结合f(x)的图象可得 f(x)＝－１或０≤f(x)＜１, 当f(x)＝－１时,x＝２; 当０≤f(x)＜１时,根据图象的对称性可得四个根的 和为８．故五个根的和为１０． １６．解:(１)因为函数f(x)＝２x－a２x (a∈R)为奇函数,所 以f(０)＝１－a＝０,所以a＝１．经检验,符合题意． (２)设t＝２x,因为x∈[０,１],所以t∈[１,２]． 由方程f(x)＝a,即２x－a２x ＝a,得t－at ＝a , 即t２－at－a＝０, 所以原问题等价于t２－at－a＝０在t∈[１,２]上有且 仅有一个实根． 设g(t)＝t２－at－a(１≤t≤２), ①当方程的根在区间的端点时,t＝１或t＝２, 若g(１)＝１－a－a＝０,则a＝１２ , 此时t２－１２t－ １ ２＝０ , 解得t＝１或t＝－１２ ,所以在区间[１,２]上g(t)有且 只有一个实根,符合题意; 若g(２)＝４－２a－a＝０,则a＝４３ ,此时t２－４３t－ ４ ３ ＝０,解得t＝２或t＝－２３ ,所以在区间[１,２]上g(t) 有且只有一个实根,符合题意． ②当方程的根在区间的内部时,由方程在(１,２)内有 且仅有一个实根, 得g(１)g(２)＜０或 Δ＝a２＋４a＝０, １＜a２＜２ ,{ 解得１ ２＜a＜ ４ ３． 综上,a的取值范围为 １２ ,４ ３[ ]． １７．解:令log２x＝t,则g(t)＝t２＋４t＋m,t∈[－３,２]． (１)因为函数f(x)存在大于１的零点． 所以方程t２＋４t＋m＝０在t∈(０,２]内存在根． 由t２＋４t＋m＝０得m＝－t２－４t, 当t∈(０,２]时,m∈[－１２,０)． 故实数m 的取值范围为[－１２,０)． (２)函数f(x)有两个互异的零点α,β,则函数g(t)＝ t２＋４t＋m 在[－３,２]内有两个互异的零点t１,t２,其 中t１＝log２α,t２＝log２β, 所以 Δ＝１６－４m＞０, g(－３)≥０, g(２)≥０, { 解得３≤m＜４． 所以实数m 的取值范围是[３,４)． 根据根与系数的关系,可知t１＋t２＝－４, 即log２α＋log２β＝－４,所以log２(α􀅰β)＝－４, 故α􀅰β＝２－４＝ １ １６． １８．解:(１)∵f(x)＝ax２＋bx＋１的图象关于直线x＝１ 对称,∴b＝－２a, 又y＝f(x)＋２x＝ax２＋(b＋２)x＋１为偶函数, ∴b＝－２,a＝１． ∴f(x)＝x２－２x＋１＝(x－１)２． (２)证明:设h(x)＝f(x)＋g(x)＝(x－１)２＋１－２x, ∵h(０)＝１＞０,h(１)＝－１＜０,∴h(０)h(１)＜０． 又f(x)＝(x－１)２,g(x)＝１－２x 在区间[０,１]上均 为单调递减, ∴h(x)在区间[０,１]上单调递减, ∴h(x)在区间[０,１]上存在唯一零点． ∴方程f(x)＋g(x)＝０在区间[０,１]上有唯一实数根． (３)由题可知f(x)＝(x－１)２≥０,g(x)＝１－２x＜１, 若存在实数m,使得f(m)＝g(n),得g(n)∈[０,１), 即１－２n≥０,解得n≤０． ∴实数n的取值范围是(－∞,０]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 数学􀅰必修第一册 １９．解:(１)由题意,ω＝２,m０＝１６０,mk＝４０, ∴v＝ωln m０ mk ＝２×ln１６０４０＝２ln４＝４ln２≈２．８ , ∴该火箭的最大理想速度为２􀆰８千米/秒． (２)∵ m０ mk ≤１０,ω＝２,∴v＝ωln m０ mk ≤２ln１０． ∵e７．９＞２７．９＞２７＝１２８, ∴７．９＝lne７．９＞ln１２８＞ln１００＝２ln１０, 即vmax＝２ln１０＜７．９． ∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度 ７􀆰９千米/秒． 第二次月考卷 (A卷) １．D　[由题意A∩B＝{０,１},因此它的子集个数为４．] ２．A　[由题意知函数f(x)＝ax 在R上是减函数等价于 ０＜a＜１,函数g(x)＝(２－a)x３ 在 R上是增函数等价 于０＜a＜１或１＜a＜２,∴“函数f(x)＝ax 在 R上是 减函数”是“函数g(x)＝(２－a)x３ 在 R上是增函数” 的充分不必要条件．] ３．B　[由|x－１|－ln１y＝０ ,得y＝e－|x－１|,当x＝１时, y＝１,排除C,D;当x＞１时,y＝e１－x在区间(１,＋∞) 上单调递减,排除 A．] ４．D 　 [要 使 函 数 f (x)有 意 义,则 x 需 满 足 １０＋９x－x２≥０, x－１＞０, lg(x－１)≠０, { 即 －１≤x≤１０, x＞１, x≠２, { 所以不等式组的解集为(１,２)∪(２,１０]．] ５．A　[f(１)＝ln２－２＝ln２e２ ＜ln１＝０, f(２)＝ln３－１＝ln３e＞ln１＝０ , 所以函数f(x)＝ln(x＋１)－２x 的零点所在的大致区 间是(１,２)．] ６．C　[令g(x)＝f(x)－１＝ax３＋blog２(x＋ x２＋１), 则g(－x)＝－ax３＋blog２(－x＋ x２＋１)＝－ax３＋ blog２ １ x＋ x２＋１ ＝ －ax３ －blog２ (x＋ x２＋１)＝ －g(x),所以g(x)是奇函数,依题意g(x)min＝－４－１＝ －５,则g(x)max＝５,所以f(x)max＝g(x)max＋１＝６．] ７．B　[x＞２时,y＝log２x＞１,所以要使函数的值域为 R,则使y＝－x２＋a,x≤２的最大值a≥１．] ８．B　[函数y＝loga(x＋４)－１(a＞０,a≠１)的图象恒过 A(－３,－１),由点A 在直线xm ＋ y n ＝－１ 上可得, －３ m ＋ －１ n ＝－１ ,即３ m＋ １ n＝１ ,故３m＋n＝(３m＋n)× ３ m＋ １ n( )＝１０＋３ n m ＋ m n( ),因为m＞０,n＞０, 所以n m＋ m n ≥２ n m× m n ＝２ (当且仅当n m ＝ m n ,即m＝n 时取等号),故３m＋n＝１０＋３ nm ＋ m n( ) ≥１０＋３×２ ＝１６．] ９．BC　[y＝log１２ (x＋１)和y＝|x－１|在区间(０,１)上单 调递减,y＝x １ ２ 和y＝２x＋１在区间(０,１)上单调递增．] １０．BD　[对 于 A, ab＞ ２aba＋b⇒１＞ ２ ab a＋b ⇒ a＋b ２ ＞ ab,当a＝b＞０时,不等式不成立,故 A 中不等式 错误;对于B,a＋b＞|a－b|⇒a＞|a－b|－b,故B中 不等式正确;对于 C,a２＋b２＞４ab－３b２⇒a２＋４b２－ ４ab＞０⇒(a－２b)２＞０,当a＝２b时,不等式不成立, 故C中不等式错误;对于 D,ab＋２ab≥２ ２＞２ ,故 D 中不等式正确．] １１．AC　[f(x)的定义域为(０,２)．由于f(x)＝lnx＋ ln(２－x)＝ln(２x－x２),从而对f(x)的研究可转化 为对二次函数g(x)＝２x－x２(x∈(０,２))的研究．因 为g(x)＝２x－x２＝－(x－１)２＋１,所以g(x)在(０,１)上 单调递增,在(１,２)上单调递减,直线x＝１是y＝ g(x)的图象的对称轴．从而排除B,D．] １２．解析:∵f(x)在[－５,－４]上单调递减, f(－５)＝ ３－５＋２＝－１ ,f(－４)＝ ３－４＋２＝－ ３ ２． ∴f(x)∈ －３２ ,－１[ ]． 答案: －３２ ,－１[ ] １３．解析:(１)由m２－５m＋７＝１,得m＝２或３． 当m＝２时,f(x)＝x－３是奇函数,∴不满足题意, ∴m＝２舍去; 当m＝３时,f(x)＝x－４是偶函数,满足题意, ∴f(x)＝x－４． ∴f １２( )＝ １ ２( ) －４ ＝１６． (２)由f(x)＝x－４为偶函数及f(２a＋１)＝f(a),可 得|２a＋１|＝|a|,即２a＋１＝a或２a＋１＝－a, ∴a＝－１或a＝－１３． 答案:(１)１６　(２)－１或－１３ １４．解析:令t＝３x,x∈(０,＋∞), 则t∈(１,＋∞),且y＝t２－mt＋m＋１, 由题意可知,对任意t∈(１,＋∞),y＝t２－mt＋m＋１ ＞０恒成立, 则m 满足Δ＝m２－４(m＋１)＜０或 Δ＞０, m ２＜１ , f(１)＞０, ì î í ï ï ïï 解得m＜２２＋２,所以m的取值范围是(－∞,２＋２２)． 答案:(－∞,２＋２ ２) １５．解:(１)因为A＝{x|x＞２}＝(２,＋∞), B＝{y|０＜y≤９}＝(０,９]． 所以A∩B＝(２,９]＝{x|２≤x≤９}． (２)因为x２－(２a＋１)x＋a(a＋１) ＝(x－a)(x－a－１)＜０, 所以C≠⌀,因此C＝{x|a＜x＜a＋１}, 由C⊆A∩B,得 a≥２, a＋１≤９,{ 解得２≤a≤８, 即实数a的取值范围为[２,８]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 参考答案 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 第五章　函数应用　B卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共３小题,每小题５分,共１５分,其中１３题第一空２分,第二空３分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题:本题共５小题,共７７分． １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　卷 　章五第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　卷 　章五第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　卷 　章五第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　卷 　章五第　卡题答学数 　　　　第五章　函数应用 　　　　　　B卷􀅰素养提升卷 (时间:１２０分钟,满分:１５０分) 第Ⅰ卷(选择题　共５８分) 一、单项选择题(本题共８小题,每小题５ 分,共４０分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) １．y＝２x－１的图象与x轴的交点坐标及其 零点分别是 (　　) A．０,１２ æ è ç ö ø ÷,１ ２　　　　B． １ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷,１ ２ C．０,－１２ æ è ç ö ø ÷,－１２ D．－ １ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷,－１２ ２．我国古代著名的思想家庄子在«庄子􀅰天下 篇»中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭􀆰” 用现代语言叙述为:“一尺长的木棒,每 天取其一半,永远也取不完”􀆰 这样,每天 剩下的部分都是前一天的一半,如果把 “一尺之棰”看成单位“１”,那么x天后剩 下的部分y 与x 的函数关系式为 (　　) A．y＝１２x (x∈N＋) B．y＝x １ ２(x∈N＋) C．y＝２x(x∈N＋) D．y＝１２x (x∈N＋) ３．股票价格上涨 １０％ 称为“涨停”,下跌 １０％称为“跌停”􀆰 某位股民购进某只股 票,在接下来的交易时间内,这只股票先 经历了３次涨停,又经历了３次跌停,则 该股民在这只股票上的盈亏情况(不考 虑其他费用)为 (　　) A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况 ４．函数f(x)＝２x＋１４x－５ 的零点x０∈[a－１,a], a∈N＋,则a＝ (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ５．已知a 是函数f(x)＝２x－log１２x 的零 点,若０＜x０＜a,则f(x０)的值满足 (　　) A．f(x０)＜０　　B．f(x０)＝０ C．f(x０)＞０ D．f(x０)的符号不确定 ６．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, 且有(０,＋∞)上是减函数,若f １２ æ è ç ö ø ÷＞０＞ f(３),则方程f(x)＝０的根的个数是 (　　) A．２　　　　　　　　B．２或１ C．３ D．２或３ ７．已知函数 f(x)＝x２ －２x＋a(ex－１ ＋ e－x＋１)有唯一零点,则a＝ (　　) A．－１２ B． １ ３ C．１２ D．１ ８．已知函数f(x)＝x２＋２mx＋２m＋３(m∈R), 若关于x的方程f(x)＝０有实数根,且 两根分别为x１,x２,则(x１＋x２)􀅰x１x２ 的 最大值为 (　　) A．９２　　　B．２　　　C．３　　　D． ９ ４ 二、多项选择题(本题共３小题,每小题６ 分,共１８分．在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得６分, 选对但不全的得部分分,有选错的得０分) ９．下列函数在区间[１,２]上一定有零点的是 (　　) A．f(x)＝３x２－４x＋５ B．f(x)＝x３－x C．f(x)＝lnx－３x＋６ D．f(x)＝ex＋３x－６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　章五第　题试学数 １０．设函数f(x)＝ １,x＝２, loga|x－２|＋１,x≠２,a＞１,{ 若 函 数 g(x)＝[f(x)]２＋bf(x)＋c有三个零 点,x１,x２,x３,则下列说法正确的是 (　　) A．b的值为－２ B．c的值为１ C．a的值无法确定 D．x１x２＋x２x３＋x１x３＝１０ １１．已知函数f(x)＝a２x＋ １ ２x －１ æ è ç ö ø ÷－x２＋２bx (a,b∈R),若函数y＝f(x)与函数y＝ f(f(x))的零点相同,则a－b的值可能为 (　　) A．－１　　B．１　　C．－２　　D．０ 第Ⅱ卷(非选择题　共９２分) 三、填空题(本题共３小题,每小题５分,共１５ 分,其中１３题第一空２分,第二空３分) １２．一个容器装有细沙acm３,细沙从容器 底下一个细微的小孔漏出,tmin后剩余 的细沙量(单位:cm３)为y＝ae－bt,６min 后发现容器内还有一半的细沙,要使容 器内的细沙只有开始时的八分之一,则 需再经过　　　　 min􀆰 １３．已 知 λ ∈ R,函 数 f (x) ＝ x－４,x≥λ x２－４x＋３,x＜λ,{ 当λ＝２时,不等式 f(x)＜０的解集是　　　　．若函数 f(x)恰有２个零点,则λ的取值范围 是　　　　． １４．方程x２＋ ２x－１＝０的解可视为函数 y＝x＋ ２的图象与函数y＝１x 的图象交 点的横坐标􀆰 若方程x４＋ax－４＝０的 各个实数根,x１,x２,􀆺,xk(k≤４)所对应 的点 xi, ４ xi æ è ç ö ø ÷(i＝１,２,􀆺,k)均在直线 y＝x 的 同 侧,则 实 数a 的 取 值 范 围 是　　　　　　　． 四、解答题(本题共５小题,共７７分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(１３分)已知f(x)是定义在 R上的偶 函数,对于任意x∈R,都有f(２＋x)＋ f(x)＝０,当x∈[０,１]时,f(x)＝－x２＋１􀆰 若关于x的方程a[f(x)]２－bf(x)＋３ ＝０在[－１,５]上有五个根,求这五个根 的和􀆰 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　章五第　题试学数 １６．(１５分)已知函数f(x)＝２x－a２x (a∈R)􀆰 (１)若f(x)为奇函数,求a的值; (２)若方程f(x)＝a在x∈[０,１]上有 且仅有一个实根,求a的取值范围􀆰 １７．(１５分)已知函数f(x)＝(log２x)２＋ ４log２x＋m,x∈ １ ８ ,４é ë êê ù û úú,m 为常数􀆰 (１)若函数f(x)存在大于１的零点,求 实数m 的取值范围; (２)若函数f(x)有两个互异的零点α,β, 求实数m 的取值范围及α􀅰β的值􀆰 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　章五第　题试学数 １８．(１７分)已知函数f(x)＝ax２＋bx＋１(a ≠０)的图象关于直线x＝１对称,且函 数y＝f(x)＋２x 为偶函数,函数g(x) ＝１－２x􀆰 (１)求函数f(x)的表达式; (２)求证:方程f(x)＋g(x)＝０在区间 [０,１]上有唯一实数根; (３)若存在实数m,使得f(m)＝g(n), 求实数n的取值范围􀆰 １９．(１７分)某同学对航天知识有着浓厚的 兴趣,通过查阅资料,他发现在不考虑 气动阻力和地球引力等造成的影响时, 火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速 度,克服或摆脱地球引力,进入宇宙空 间的运载工具．早在１９０３年齐奥尔科 夫斯基就推导出火箭的最大理想速度 公式:v＝ωln m０ mk ,被称为齐奥尔科夫斯 基公式,其中ω 为喷流相对火箭的速 度,m０ 和mk 分别是火箭的初始质量和 发动机熄火(推进剂用完)时的质量,m０ mk 被称为火箭的质量比． (１)某火箭的初始质量为１６０吨,喷流 相对火箭的速度为２千米/秒,发动机 熄火时的火箭质量为４０吨,求该火箭 的最大理想速度(保留２位有效数字); (２)根据现在的科学水平,通常火箭的质量 比不超过１０．如果喷流相对火箭的速度为 ２千米/秒,请判断该火箭的最大理想速 度能否超过第一宇宙速度 ７􀆰９ 千米/ 秒,并说明理由． (参考数据:ln２≈０．６９) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　章五第　题试学数