第四章 对数运算与对数函数 B卷·素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

　　　　第四章　对数运算与对数函数 　　　　　　　B卷􀅰素养提升卷 (时间:１２０分钟,满分:１５０分) 第Ⅰ卷(选择题　共５８分) 一、单项选择题(本题共８小题,每小题５ 分,共４０分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) １．若logx ７ y＝z,则x,y,z之间满足 (　　) A．y７＝xz　　　　　　B．y＝x７z C．y＝７xz D．y＝z７x ２．设函数f(x)＝log２x,若f(a＋１)＜２,则 实数a的取值范围为 (　　) A．(－１,３) B．(－∞,３) C．(－∞,１) D．(－１,１) ３．图中的曲线 C１,C２, C３,C４ 都是对数函数 y＝logax 的图象􀆰 已 知a 取３,２,１３ ,１ ５ 四 个值,则相应于C１,C２,C３,C４ 的a的值 依次是 (　　) A．３,２,１３ ,１ ５ B．３ ,２,１５ ,１ ３ C．２,３,１３ ,１ ５ D．２ ,３,１５ ,１ ３ ４．已知a＝３log２３．２,b＝３log４２,c＝５log５ ２,则 (　　) A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b ５．已知f(x)＝ax,g(x)＝logax(a＞０,且a ≠１),若f(３)􀅰g(３)＜０,则f(x)与g(x) 在同一坐标系内的图象可能是 (　　) ６．已知函数f(x)＝x２＋e|x|,若a＝f(２０), b＝flog１２ １ ４ æ è ç ö ø ÷,c＝flog２ ２ ２ æ è ç ö ø ÷,则a,b,c 的大小关系为 (　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b ７．若a＞１,且log１ax１＝logax２＝log(a＋１)x３ ＜０,则x１,x２,x３ 的大小关系是 (　　) A．x１＜x２＜x３ B．x２＜x３＜x１ C．x３＜x２＜x１ D．x３＜x１＜x２ ８．已知x１ 是方程x＋lgx＝３的一个根,x２ 是方程x＋１０x＝３的一个根,那么x１＋x２ 的值是 (　　) A．６ B．３ C．２ D．１ 二、多项选择题(本题共３小题,每小题５ 分,共１５分．在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得６分, 选对但不全的得部分分,有选错的得０分) ９．给出下列结论,其中正确的结论是 (　　) A．函数y＝lg|x|在区间(０,＋∞)上单调 递增 B．若函数y＝loga(２－ax)(a＞０且a≠１)在 (０,１)上是减函数,则实数a的取值范围 是(１,２) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　章四第　题试学数 C．在同一平面直角坐标系中,函数y＝２x 与y＝log２x的 图 象 关 于 直 线y＝x 对称 D．函数f(x)＝log１２ (x ２－４x)的增区间 为(－∞,２) １０．下列叙述正确的是 (　　) A．函数f(x)＝ １ log２x－１ 的定义域为 (２,＋∞) B．函数f(x)＝log２(３x＋１)的值域为 (０,＋∞) C．已知对数函数f(x)的图象过点(８,３), 则f(x)的解析式为f(x)＝log２x D．若a＞０,且a≠１ 则函数 f(x)＝ ２loga (５x－１０)＋２的图象恒过定 点P 的坐标是 １１５ ,３ æ è ç ö ø ÷ １１．定义“正对数”:ln＋x＝ ０,０＜x＜１, lnx,x≥１􀆰{ 则 下列结论中正确的是 (　　) A．ln＋(ab)＝bln＋a B．ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b C．ln＋(a＋b)≥ln＋a＋ln＋b D．ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln２ 第Ⅱ卷(非选择题　共９２分) 三、填空题(本题共３小题,每小题５分,共１５ 分,其中１３题第一空２分,第二空３分) １２．已知函数f(x)＝loga(－x＋１)(a＞０且 a≠１)在[－２,０]上的值域是[－１,０]􀆰 若函数g(x)＝ax＋m－３的图象不经过第一 象限,则m的取值范围为　　　　． １３．已 知 f(x)＝log１３ １３ ２－mx－x ２æ è ç ö ø ÷,若 f(x)在(－１,２)上单调递减,则实数m 的取值范围是　　　;当m＝　　　　 时,f(x)的单调减区间的长度最小􀆰 １４．已知函数f(x)＝|log２x|,正实数m,n 满足m＜n,且f(m)＝f(n),若f(x)在 区间[m２,n]上的最大值为２,则n＋m＝ 　　　　． 四、解答题(本题共５小题,共７７分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(１３ 分)设全集U＝R,函数 f(x)＝ x－a＋lg(a＋３－x)的定义域为集合 A,集合B＝ x|１４≤２ x≤３２{ };命题p:若 　　　时,则A∩B≠⌀,从①a＝－５, ②a＝－３,③a＝２这三个条件中选择一 个条件补充到上面命题p 中,使命题p 为真命题,说明理由;并求A∩(∁UB)􀆰 (只需选一个a值作答即可) １６．(１５分)已知函数f(x)＝loga(x＋２)＋ loga(２－x)(０＜a＜１)􀆰 (１)判断函数f(x)的奇偶性; (２)若函数f(x)的最小值为－２,求实数a 的值􀆰 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　章四第　题试学数 １７．(１５分)如图,过函数f(x)＝logcx(c＞１) 的图象上的两点A,B 分别作x 轴的垂 线,垂足分别为 M(a,０),N(b,０)(b＞ a＞１),线段BN 与函数g(x)＝logmx (m＞c＞１)的图象交于点C,且AC垂直 于y 轴􀆰 (１)当a＝２,b＝４,c＝３时,求实数 m 的值; (２)当b＝a２ 时,求２ca－ m b 的最大值􀆰 １８．(１７分)已知函数f(x)＝logax(a＞０,且 a≠１),若f(x)在 １４ ,３é ë êê ù û úú上的最大值为１􀆰 (１)求a的值; (２)当函数f(x)在定义域内是增函数 时,求 函 数 g (x)＝ f x＋１３ æ è ç ö ø ÷ ＋ f －x＋１３ æ è ç ö ø ÷的值域􀆰 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　章四第　题试学数 １９．(１７分)已知函数f(x)＝log２(x＋a)􀆰 (１)若当a＝１时,f(x)＋f(x－１)＞０ 成立,求x的取值范围; (２)若定义在 R上的奇函数g(x)满足 g(x＋２)＝－g(x),且当０≤x≤１时, g(x)＝f(x),求g(x)在区间[－３,－１] 上的 解 析 式,并 写 出 g(x)在 区 间 [－３,３]上的单调性(不必证明); (３)对于(２)中的g(x),若关于x的不等 式g t－２x ８＋２x＋３ æ è ç ö ø ÷ ≥g －１２ æ è ç ö ø ÷ 在 R 上 恒 成 立,求实数t的取值范围􀆰 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　章四第　题试学数 不妨设a＜b＜c,∵f(a)＝f(b)＝f(c), ∴－log２a＝log２b,∴log２(ab)＝０, 解得ab＝１,由图可知２＜c＜３,∴２＜abc＜３．] １１．AC　[因为函数f(x)＝ln(ax＋b)(a＞０,且a≠１)是 定义在R上的奇函数,所以f(０)＝ln(１＋b)＝０．故b ＝０,则f(x)＝lnax＝xlna,当a＞１时,函数f(x) 单调递增,由f(x)＞alna＝f(a),得x＞a;当０＜a ＜１时,函数f(x)单调递减,由f(x)＞alna＝f(a), 得x＜a．] １２．解析:因为f(x)为奇函数,所以f(－ln２)＝－f(ln２) ＝－(eln２＋１)＝－(２＋１)＝－３． 答案:－３ １３．解析:f(x)的定义域为(０,＋∞),log２x∈R, f(x)＝(log２x)２＋log４x＋２＝(log２x)２＋ １ ２log２x＋２ ＝ log２x＋ １ ４( ) ２ ＋３１１６≥ ３１ １６ ,∴f(x)的最小值为３１１６． 答案:３１ １６ １４．解析:由 x＋１＞０, １－２x＋１＞０,{ 得－１＜x＜１, ０＜f(１－２x)－f(x)＜１⇔０＜lg(２－２x)－lg(x＋１) ＜１,∴lg１＜lg２ (１－x) x＋１ ＜lg１０ , ∴１＜２ (１－x) x＋１ ＜１０ ,解得－２３＜x＜ １ ３． 答案: －２３ ,１ ３( ) １５．解:(１)f(x)的值域为R,故x２－２mx＋５能取到一切 正数, 由Δ＝(－２m)２－４×５≥０, 即m２≥５,得m≤－ ５或m≥ ５． 故实数m 的取值范围为(－∞,－ ５]∪[５,＋∞)． (２)由题意知t(x)＝x２－２mx＋５在(－∞,２]上单调 递减,且t(２)＞０, ∴ m≥２, ２２－４m＋５＞０,{ ∴２≤m＜ ９ ４． 故实数m 的取值范围为 ２,９４[ )． １６．解:(１)当a＝１时,f(x)＝lg(４x－３􀅰２２＋２), 令４x－３􀅰２x＋２＞０,解得２x＜１或２x＞２, 所以x＜０,或x＞１． 所以f(x)的定义域为{x|x＜０或x＞１}． (２)当x∈(－∞,１]时,令t＝２x,则t∈(０,２], y＝lg(at２－３t＋２)有意义, 即at２－３t＋２＞０在(０,２]上恒成立, 即a＞－２􀅰１ t２ ＋３􀅰１t 在(０,２]上恒成立, 因为－２􀅰１ t２ ＋３􀅰１t＝－２ １ t－ ３ ４( ) ２ ＋９８ , 当t∈(０,２]时,１t∈ １ ２ ,＋∞[ ), 所以－２ １t－ ３ ４( ) ２ ＋９８≤ ９ ８ , 所以a＞９８． 故实数a的取值范围是 ９８ ,＋∞( ) １７．解:(１)由换底公式, 得logax＋ ３ logax － logay logax ＝３(a＞１)． 所以logay＝(logax)２－３logax＋３． 当x＝at 时,logax＝loga t＝t, 所以logay＝t２－３t＋３． 所以y＝at ２ －３t－３(t≠０)． (２)y＝a(t－ ３ ２) ２ ＋３４ ,因为０＜t≤２,a＞１, 所以当t＝３２ 时,ymin＝a ３ ４ ＝８． 所以a＝１６,此时x＝a ３ ２ ＝６４． １８．解:(１)因为１０－７≤I≤１０－５,所以１０lg １０－７ １０－１２( ) ≤L ≤１０lg １０－５ １０－１２( ),解得５０≤L≤７０, 所以听力损失为中度耳聋． (２)L＝１０lg II０( )≤４０⇒lg I I０( ) ≤４⇒ I I０ ≤１０４,解得 I≤１０－８,所以育婴室的环境声音应不超过 １０－８瓦/平米． １９．解:(１)当a＝１时,f(x)＝(lgx)２－２lg(１０x)＋３ ＝(lgx)２－２(lg１０＋lgx)＋３＝(lgx)２－２lgx＋１ ＝(lgx－１)２, 由x∈ １１００ ,１０[ ],得－２≤lgx≤１． 因此,当lgx＝１时,f(x)min＝０; 当lgx＝－２时,f(x)max＝９． 故f(x)的值域为[０,９]． (２)f(x)＝(lgx)２－２algx－２a＋３, x∈ １１００ ,１０[ ]． 令t＝lgx,t∈[－２,１], 则g(t)＝t２－２at－２a＋３． ①当a＜－２时,f(x)min＝g(－２)＝２a＋７; ②当－２≤a≤１时,f(x)min＝g(a)＝－a２－２a＋３; ③当a＞１时,f(x)min＝g(１)＝４－４a． 所以m(a)＝ ２a＋７,a＜－２, －a２－２a＋３,－２≤a≤１, ４－４a,a＞１, { 所以m(a)max＝４． 第四章　对数运算与对数函数 (B卷) １．B　[∵logx ７ y＝z,∴ ７ y＝xz,∴y＝(xz)７＝x７z．] ２．A　[∵ 函 数f(x)＝log２x 在 定 义 域 内 单 调 递 增, f(４)＝log２４＝２, ∴不等式f(a＋１)＜２等价于０＜a＋１＜４,解得－１＜ a＜３．] ３．D　[法一:当a＞１时,自左向右看,题中图象上升;当 ０＜a＜１时,自左向右看,题中图象下降,又当a＞１ 时,a越大,图象向右越靠近x轴,０＜a＜１时,a越小, 图象向右越靠近x轴,所以曲线C１,C２,C３,C４ 的a的 值依次为２,３,１５ ,１ ３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 数学􀅰必修第一册 法二:作直线y＝１,设C１,C２,C３,C４ 与直线y＝１的 交点分别为(a１,１),(a２,１),(a３,１),(a４,１),由图象知 a３＜a４＜１＜a１＜a２,所以a１,a２,a３,a４ 的值分别为２, ３,１５ ,１ ３ ] ４．C　[因为log２３．２＞１＞log４２, 所以a＝３log２３．２＞３log４２＝b． 因为c＝５log５ ２＝ ２,b＝３log４２＝３ １ ２ ＝ ３, 所以b＞c,所以a＞b＞c．] ５．C　[由指数函数和对数函数的单调性知,函数f(x) ＝ax 与g(x)＝logax(a＞０,且a≠１)在(０,＋∞)上单 调性相同,可排除B,D,再由关系式f(３)g(３)＜０可 排除 A．] ６．C　[易知x∈R,所以由f(－x)＝(－x)２＋e|－x| ＝x２＋e|x|＝f(x)知 函 数f(x)为 偶 函 数,又 易 知 f(x)在(０,＋∞)上为增函数,且a＝f(２０)＝f(１), b＝f log１２ １ ４( )＝f(２),c＝f log２ ２ ２ æ è ç ö ø ÷＝f －１２( ) ＝f １２( ),所以f(２)＞f(１)＞f １ ２( ),即b＞a＞c．] ７．C　[因为log１ax１＝logax２＝loga＋１x３＜０,所以 lgx１ lg１a ＝ lgx２ lga＝ lgx３ lg(a＋１)＜０ ,因为a＞１,则lg１a＜０ ,lg(a＋１)＞ lga＞０．所以lgx１＞０,lgx２＜０,lgx３＜０, 且lgx２＞lgx３,∴x１＞１,０＜x３＜x２＜１,所以x３＜x２ ＜x１．] ８．B　[x＋lgx＝３⇒lgx＝ ３－x,x＋１０x＝３⇒１０x＝ ３－x,可借助函数y＝lgx 与y＝１０x 的图象关于直 线y＝x对称求解． ∵lgx＝３－x．１０x＝３－x, 令y１＝lgx,y２＝３－x, y３＝１０x,在同一直 角 坐 标系中作出它们的简图, 如图所示, ∵x１ 是方程x＋lgx＝３的解,x２ 是方程x＋１０x＝３ 的解,∴x１,x２ 分别对应图中B,A 两点的横坐标． ∵函数y＝lgx 与y＝１０x 的 图 象 关 于 直 线y＝x 对称, ∴线段AB 的中点C 在直线y＝x上,由 y＝x, y＝３－x,{ 解得x＝３２ ,∴x１＋x２＝３．] ９．AC　[当x＞０时,y＝lgx,所以函数在(０,＋∞)上为 增函数,故 A正确; ∵函数y＝loga(２－ax)(a＞０且a≠１)在(０,１)上是 减函数,∴ a＞１, ２－a≥０,{ 解得１＜a≤２,故B错误; 在同一平面直角坐标系中,函数y＝２x 与y＝log２x的 图象关于直线y＝x对称,故C正确; 令x２－４x＞０,得x＜０或x＞４,即f(x)的定义域为 {x|x＜０或x＞４},故 D错误．] １０．ABC　[对 A,由log２x－１＞０,即log２x＞１,得x＞２, A正确;对B,x∈R,３x＋１＞１,∵log２x 在(０,＋∞) 上单调递增,∴f(x)＝log２(３x＋１)＞０,B正确;对 C,设f(x)＝logax(a＞０,且a≠１),则３＝loga８,∴a３ ＝８,a＝２．∴f(x)＝log２x,C正确;对 D,令５x－１０ ＝１,解 得 x＝１１５ ,所 以 函 数 f(x)的 图 象 恒 过 点 １１ ５ ,２( ),D不正确．] １１．AD　[对于 A当０＜a＜１,b＞０时,有０＜ab＜１,从 而ln＋(ab)＝０,bln＋a＝b×０＝０, 所以ln＋(ab)＝bln＋a; 当a≥１,b＞０时,有ab≥１,从而ln＋(ab)＝lnab＝blna, bln＋a＝blna, 所以ln＋(ab)＝bln＋a． 所以当a＞０,b＞０ 时,ln＋ (ab)＝bln＋a,所 以 A 正确． 对于B当a＝１４ ,b＝２时满足a＞０,b＞０, 而ln＋(ab)＝ln＋ １２＝０ ,ln＋a＋ln＋b＝ln＋ １４＋ln ＋２ ＝ln２,所以ln＋(ab)≠ln＋a＋ln＋b,所以B错误． 对于C,令a＝２,b＝４,则ln＋(２＋４)＝ln６,ln＋２＋ln＋４ ＝ln２＋ln４＝ln８,显然ln６≠ln８,所以C错误; 对于 D,由“正对数”的定义知, 当０＜x１≤x２ 时,有ln＋x１≤ln＋x２． 当０＜a＜１,０＜b＜１时,有０＜a＋b＜２, 从而ln＋(a＋b)＜ln＋２＝ln２,ln＋a＋ln＋b＋ln２ ＝０＋０＋ln２＝ln２, 所以ln＋(a＋b)＜ln＋a＋ln＋b＋ln２; 当a≥１,０＜b＜１时,有a＋b＞１, 从而ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)＜ln(a＋a)＝ln(２a), ln＋a＋ln＋b＋ln２＝lna＋０＋ln２＝ln(２a), 所以ln＋(a＋b)＜ln＋a＋ln＋b＋ln２; 当０＜a＜１,b≥１时,有a＋b＞１, 从而ln＋ (a＋b)＝ln(a＋b)＜ln＋ (b＋b)＝ln(２b), ln＋a＋ln＋b＋ln２＝０＋lnb＋ln２＝ln(２b), 所以ln＋(a＋b)＜ln＋a＋ln＋b＋ln２; 当a≥１,b≥１时,ln＋(a＋b)＝ln(a＋b), ln＋a＋ln＋b＋ln２＝lna＋lnb＋ln２＝ln２(ab), 因为２ab－(a＋b)＝ab－a＋ab－b ＝a(b－１)＋b(a－１)≥０,所以２ab≥a＋b, 所以ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln２． 综上所述,当a＞０,b＞０时,ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ ln２,所以D正确．] １２．解析:由题意得,当a＞１时, f(x)＝loga(－x＋１)在[－２,０]上单调递减, ∴ f (－２)＝loga３＝０, f(０)＝loga１＝－１,{ 无解 ∴当０＜a＜１时,f(x)＝loga(－x＋１)在[－２,０]上 单调递增, ∴ f (－２)＝loga３＝－１, f(０)＝loga１＝０,{ 解得a＝ １ ３． ∴g(x)＝ １３( ) x＋m －３, 又∵g(x)的图象不经过第一象限, ∴g(０)＝ １３( ) m －３≤０,解得m≥－１,即m 的取值 范围是[－１,＋∞)． 答案:[－１,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 参考答案 １３．解析:若函数f(x)＝log１３ １３ ２－mx－x ２( ) 在(－１,２) 上单调递减,则令t＝１３２－mx－x ２,知其在(－１,２) 上单调递增,且恒为正．由t＝１３２－mx－x ２ 的图象开 口 向 下,且 以 直 线 x ＝ － m２ 为 对 称 轴,得 －m２≥２ , １３ ２＋m－１≥０ , ì î í ïï ï 解得－１１２≤m≤－４． 对于t＝１３２－ mx－x２,由Δ＞０,即(－m)２＋４×１３２＞０ 知m∈R,单 调减区间的长度 Δ ２ ＝ １ ２ m ２＋２６,∴当m＝０时,单 调减区间的长度最小,为 ２６ ２ ． 答案: －１１２ ,－４[ ]　０ １４．解析:根据题意并结合函数f(x)＝|log２x|的图象可 知,０＜m＜１＜n,所以０＜m２＜m＜１．根据函数图象 易知,当x＝m２ 时,函 数f(x)取 得 最 大 值,所 以 f(m２)＝|log２m２|＝２．又０＜m＜１,所以m＝ １ ２． 再 结合f(m)＝f(n),求得n＝２,所以n＋m＝５２． 答案:５ ２ １５．解:选②a＝－３,补充到命题p中,使p为真命题． 当a＝－３时,f(x)＝ x＋３＋lg(－x)的定义域 A＝[－３,０),B＝[－２,５],A∩B＝[－２,０)≠⌀,命 题p为真命题; ∁UB＝∁RB＝(－∞,－２)∪(５,＋∞), ∴A∩(∁UB)＝[－３,－２)． １６．解:(１)要使函数f(x)有意义,则有 x＋２＞０, ２－x＞０,{ 解得－２＜x＜２． 因为f(－x)＝loga(－x＋２)＋loga(２＋x)＝f(x), 所以f(x)是偶函数． (２)由已知得f(x)＝loga(４－x２)(０＜a＜１), 因为x∈(－２,２),所以０＜４－x２≤４． 令μ＝４－x２,又因为０＜a＜１, 所以y＝logaμ 在(０,４]上为减函数, 所以ymin＝loga４＝－２, 所以a－２＝４,所以a＝１２ a＝－ １ ２ 舍去( )． 故实数a的值为１２． １７．解:(１)由题意,得A(２,log３２),B(４,log３４), C(４,logm４)． 因为AC垂直于y 轴,所以AC与x 轴平行, 所以logm４＝log３２,所以m＝９． (２)由题意,得A(a,logca),B(b,logcb),C(b,logmb)． 因为AC与x 轴平行,所以logmb＝logca, 因为b＝a２,所以m＝c２, 所以２c a － m b ＝ ２c a － c２ a２ ＝－ ca －１( ) ２ ＋１, 所以当c a ＝１ 时,２c a － m b 取得最大值１． １８．解:(１)当a＞１时,f(x)＝logax 在 １ ４ ,３[ ] 上单调递 增,∴f(３)＝１,loga３＝１,a＝３; 当０＜a＜１时,f(x)＝logax 在 １ ４ ,３[ ] 上单调递减, ∴f １４( )＝１,loga １ ４＝１ ,a＝１４． 综上a＝１４ 或a＝３． (２)结 合 (１)知 a＝３,f(x)＝log３x,g(x)＝ f x＋１３( ) ＋ f －x＋ １ ３( ) ＝ log３ x＋ １ ３( ) ＋ log３ －x＋ １ ３( )＝log３ x＋ １ ３( ) －x＋ １ ３( )[ ] ＝log３ １ ９－x ２( ),－１３＜x＜ １ ３ , 令u(x)＝１９－x ２,x∈ －１３ ,１ ３( ), 则u(x)∈ ０,１９( ],∴g(x)∈(－∞,－２]． １９．解:(１)当a＝１时,f(x)＝log２(x＋１), ∴f(x－１)＝log２x, ∴f(x)＋f(x－１)＝log２(x＋１)＋log２x ＝log２[x(x＋１)], 若f(x)＋f(x－１)＞０,则 x＞０, x＋１＞０, x(x＋１)＞１,{ 解得x＞ ５－１２ , 即x的取值范围为 ５－１ ２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷． (２)∵函数g(x)是定义在R上的奇函数, ∴g(０)＝０, 又∵当０≤x≤１时,g(x)＝f(x)＝log２(x＋a), ∴a＝１, 当x∈[－２,－１]时,x＋２∈[０,１], ∴g(x)＝－g(x＋２)＝－log２(x＋３)． 当x∈[－３,－２)时,x＋２∈[－１,０), 即－(x＋２)∈(０,１] ∴g(x)＝－g(x＋２)＝g[－(x＋２)]＝log２[－(x＋ ２)＋１]＝log２(－x－１)． 故g(x)＝ log２(－x－１),x∈[－３,－２), －log２(x＋３),x∈[－２,－１]．{ g(x)在[－３,－１]和[１,３]上单调递减,在[－１,１]上 单调递增． (３)g －１２( )＝－g １ ２( )＝－f １ ２( )＝－log２ ３ ２ , 由(２)知,若g(x)＝log２ ３ ２ ,则x＝－１２ 或x＝－３２ 或x＝５２． 记u＝ t－２ x ８＋２x＋３ ＝－１８＋ t＋１ ８＋２x＋３ , 当t＋１＝０时,u＝－１８ 符合题意; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 数学􀅰必修第一册 当t＋１＞０时, u∈ －１８ ,－１８＋ t＋１ ８( )＝ － １ ８ ,t ８( ), 由 g t－２x ８＋２x＋３( ) ≥g － １ ２( ) 在 R 上 恒 成 立 可 得 －１８ ,t ８( )⊆ － １ ２ ,５ ２[ ], 解得t∈(－１,２０]． 当t＋１＜０时, u∈ －１８＋ t＋１ ８ ,－１８( )＝ t ８ ,－１８( ), 由 g t－２x ８＋２x＋３( ) ≥g － １ ２( ) 在 R 上 恒 成 立 可 得 t ８ ,－１８( )⊆ － １ ２ ,５ ２[ ], 解得t∈[－４,－１)． 综上,实数t的取值范围为[－４,２０]． 第五章　函数应用 (A卷) １．A　[当x＞０ 时,令f(x)＝０,则 １x ＋１＝０ ,解 得 x＝－１,不满足x＞０,舍去;当x≤０时,令f(x)＝０, 则x＋１＝０,解得x＝－１,满足x≤０．所以函数f(x) 的零点是－１．] ２．A　[函数y＝f(x)－g(x)的 零点个数即f(x),g(x)图象的 交点个数．在同一平面直角坐 标系中分别画出函数f(x) ＝ ２－|x|,x≤２, (x－２)２,x＞２{ 和函数g(x) ＝３－f(２－x)的大致图象,如图所示,其中函数g(x) 的图象可由f(x)→f(－x)→f(２－x)→－f(２－x) →３－f(２－x)的图象变化得到．由图可知,函数f(x), g(x)的图象有２个交点,所以函数y＝f(x)－g(x)的 零点个数为２．] ３．D　[∵f(６)＝lg６－９６＝lg６－ ３ ２＜０ ,f(７)＝lg７－ ９ ７＜０ ,f(８)＝lg８－９８＜０ ,f(９)＝lg９－１＜０,f(１０) ＝lg１０－ ９１０＞０ ,∴f(９)􀅰f(１０)＜０．∴函数f(x) ＝lgx－９x 的零点所在的大致区间为(９,１０)．] ４．B　[依题设有 h(１０)＝ma１０＝０．１, h(２０)＝ma２０＝０．２,{ 解得a＝２ １ １０, m＝０．０５,故h(t)＝０．０５×(２ １ １０)t． 令h(t)＝０．０５×(２ １ １０)t＝１,得(２ １ １０)t＝２０, 故t＝lg２０ lg２ １ １０ ＝１＋lg２１ １０lg２ ≈１０× (１＋０．３) ０．３ ≈４３ (分钟)．] ５．A　[对于 A,函数y＝log２x是对数函数,增长速度缓 慢,且当x＝２时,y＝１,当x＝４时,y＝２,基本符合要 求;对于B,函数y＝２x 是指数函数,增长速度较快,且 当x＝２时,y＝４,当x＝４时,y＝１６,与表中值偏差较 大,不符合要求;对于C,函数y＝１２ (x２－１)是二次函 数,且当x＝２时,y＝１．５,当x＝４时,y＝７．５,与表中 偏差较大,不符合要求;对于 D,当x＝２时,y＝８,与 表中值偏差大,不符合要求．] ６．D　[零点存在定理的逆命题不一定成立,故f(x１)􀅰 f(x２)的值不确定．] ７．A　[设顾客在此商场购物总金额为x元,可以获得的 折扣金额为y元, 由题设可知y＝ ０,０＜x≤８００, ０．０５(x－８００),８００＜x≤１３００, ０．１(x－１３００)＋２５,x＞１３００,{ 因为y＝５０＞２５,所以x＞１３００,所以０．１(x－１３００) ＋２５＝５０,解得x＝１５５０,故该顾客购物实际所付金 额为１５５０－５０＝１５００(元)．] ８．B　[当x≤０时,令x２－２＝０, 解得x＝－ ２(正根舍)． 所以在(－∞,０]上有一个零点, 当x＞０时,显然f(x)在(０,＋∞)上是增函数． 又因为f(２)＝－２＋ln２＜０,f(３)＝ln３＞０,所以 f(x)在(０,＋∞)上有一个零点,综上,函数f(x)的零 点个数为２．] ９．BC　[易知函数f(x)在(１,２)内单调递增,因为f(x) 的一个零点在区间(１,２)内,所以 f(１)＜０, f(２)＞０,{ 即 ２－２－a＜０, ４－１－a＞０,{ 解得０＜a＜３．] １０．BCD　[在同一平面直角 坐标系中 分 别 画 出 函 数 y＝|x２－３|和y＝a的图 象,如图所示． 易知 方 程 解 的 个 数 为 ０ 或２或３或４．] １１．ABC　[由 题 意 知,Δ＝ (－２)２－４a＞０,∴a＜１,A 正确;由 x１＋x２＝２, x１x２＝a x１x１≠０, { 得 １ x１ ＋１x２ ＝２a ,B正确;由f(x)的对称轴为 x＝１知 f(－１)＝f(３),C正确;令a＝０,则f(x)＝x２－２x 有两个零点为０,２,y＝f(|x|)有三个零点－２,０．２． D不正确．] １２．解析:设最佳售价为(５０＋x)元,最大利润为y元,则 y＝(５０＋x)(５０－x)－(５０－x)×４０＝－x２＋４０x＋ ５００,当x＝２０时,y取得最大值,所以最佳售价应为 ７０元． 答案:７０元 １３．解析:f(x＋１)＝１＋[x＋１] －(x＋１),而[x＋１]＝[x] ＋１,故f(x＋１)＝１＋[x] ＋１－x－１＝１＋[x]－x＝ f(x)．当x∈(０,１)时,f(x) ＝１－x,故f(x)在[０,＋∞) 上的图象如图所示,因为y＝ logax(a＞０,且a≠１)的图象与f(x)的图象恰有３个交 点,故 a＞１ loga３≤１,故３≤a＜４, loga４＞１． { 答案:[３,４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 参考答案 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 第四章　对数运算与对数函数　B卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共３小题,每小题５分,共１５分,其中１３题第一空２分,第二空３分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题:本题共５小题,共７７分． １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　卷 　章四第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　卷 　章四第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　卷 　章四第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　卷 　章四第　卡题答学数