精品解析：重庆市长寿区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

长寿区2025年春期初中期末质量监测 七年级数学 试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分150分，试题卷总页数6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写． 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解一批圆珠笔的使用寿命 B. 了解全国九年级学生身高的现状 C. 考察人们保护海洋的意识 D. 了解全班同学的视力状况 2. 在四个实数中，是无理数的是（ ） A B. 0 C. D. 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 4. 在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列现象中属于平移的是（ ） A. 火箭从点火开始垂直上升 B. 小朋友荡秋千 C. 看到平面镜中自己像 D. 汽车刮雨器的运动 6. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 小鸡孵化场孵化出1000只小鸡，在60只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出150只，其中做有记号的大约是（ ） A. 9只 B. 25只 C. 35只 D. 45只 8. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 10. 对于以下整式：，，，下列说法正确的有 ①当时，若，则的值为或； ②如果为第项，为第项，为第项，第项与第项的和减去第项的结果为第项，第项与第项的和减去第项的结果为第项，，依此类推，则第项为； ③记②中的前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，，则前项的和为，若有，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 某中学要了解七年级学生的视力情况，在全校七年级学生中抽取了50名学生进行检测，在这个问题中，“50名学生的视力情况”是_________________．（填“总体”或“样本”） 12. 如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当_____________时，木条与平行． 13. 若与是同一个正数的两个不同的平方根，则______． 14. 点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3．则点P的坐标是______． 15. 解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为______． 16. 如果一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为3，那么称为“三九数”，则最大的“三九数”是_______．“三九数”的千位数字与个位数字交换后的数字记为，百位数字与十位数字交换后的数字记为,，当为整数时，则满足条件的的最小值与最大值的和为______． 三、解答题（本大题9个小题，17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，，与，交于点，，平分，，求的度数．请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点， （ 　 ① 　 ）， 　 ② 　（已知）， （ 　 ③ 　 ）． （已知）， （ 　 ④ 　 ）， 　 ⑤ 　 ． 平分（已知）， 　 ⑥ 　 ⑦ （ 　 ⑧ ）． 19. 解方程组(或不等式）： （1）； （2）． 20. 解不等式组：，并在数轴上找出它的解集． 21. 某中学现有学生人，学校为了进一步丰富学生课余生活，拟调整兴趣活动小组，为此进行一次抽样调查，根据采集到的数据绘制的统计图(不完整)如下： 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）图1中“电脑”部分所对应的圆心角为 度； （2）在图2中，将“体育”部分的图形补充完整； （3）爱好“书画”的人数占被调查人数的百分数是 ； （4）估计该中学现有的学生中，有 人爱好“书画”． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为． （1）点A的坐标是______，点B的坐标是______； （2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出，并写出三个顶点坐标； （3）求的面积． 23. 第三届“一带一路”田径邀请赛暨2025全国田径大奖赛在长寿举办，大量游客来长观赛，除了精彩赛事，长寿的特产也吸引着游客们，游客李阿姨就购买了5袋长寿湖鱼面和6袋血豆腐，共支付245元，每袋长寿湖鱼面比每袋血豆腐的价格多5元． （1）求长寿湖鱼面和血豆腐的单价分别是多少？ （2）李阿姨的朋友托她帮忙购买长寿湖鱼面和血豆腐共20袋，长寿湖鱼面至少9袋且总费用不超过455元，请问李阿姨有哪些购买方案？ 24. 当m，n都是实数，且满足时，我们称为巧妙点． （1） 巧妙点（填“是”或“不是”）； （2）若是巧妙点，请求出m的值和A点坐标； （3）已知关于x，y的方程组，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？ 25. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． （1）填空：与的数量关系：_____；理由是_____； （2）直接写出与的数量关系：_____； （3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿区2025年春期初中期末质量监测 七年级数学 试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分150分，试题卷总页数6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写． 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解一批圆珠笔的使用寿命 B. 了解全国九年级学生身高的现状 C. 考察人们保护海洋的意识 D. 了解全班同学的视力状况 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A．了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查，故此选项不符合题意； B．了解全国九年级学生身高的现状，适合抽样调查，故此选项不符合题意； C．考查人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故此选项不符合题意； D．了解全班同学的视力状况，适合全面调查，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义．逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：是分数，不属于无理数； B：是整数，不属于无理数； C：是开方不尽的数，其小数部分无限不循环，属于无理数； D：是有限小数，不属于无理数； 故选：C． 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，即可求出的度数． 详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了第四象限的点的坐标特征．熟练掌握第四象限的点坐标为是解题的关键．根据第四象限的点坐标为，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，手在第四象限， ∴是可能的点坐标， 故选：D． 5. 下列现象中属于平移的是（ ） A. 火箭从点火开始垂直上升 B. 小朋友荡秋千 C. 看到平面镜中自己的像 D. 汽车刮雨器的运动 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移是指物体在平面内沿某一方向移动相同的距离，不改变物体的形状、大小和方向，根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】A. 火箭垂直上升时，沿直线方向移动，形状和大小不变，符合平移的定义，故符合题意； B. 荡秋千是绕固定点做圆弧运动，属于旋转而非平移，故不符合题意； C. 平面镜成像属于镜面对称（反射），像与物体关于镜面对称，并非平移，故不符合题意； D. 刮雨器绕固定轴摆动，属于旋转运动，故不符合题意； 故选：A． 6. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入关于，的二元一次方程，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入关于，二元一次方程， 可得，解得． 故选：B． 7. 小鸡孵化场孵化出1000只小鸡，在60只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出150只，其中做有记号的大约是（ ） A. 9只 B. 25只 C. 35只 D. 45只 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用总体估计样本，根据将总体中被标记的小鸡所占比看成样本中被标记的小鸡所占比计算，也就是用样本数量乘以总体中被标记的小鸡所占比计算即可．理解“将总体中被标记的小鸡所占比看成样本中被标记的小鸡所占比”是解题的关键． 【详解】解：总共有1000只小鸡，其中60只做了记号，标记比例为 ． 任意抓取150只小鸡，其中做记号的数目约为总抓取数乘以标记比例，即 （只）． 故选A． 8. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质． 运用不等式的基本性质“不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”，由此判定即可． 【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意； B、若，则，故该选项符合题意； C、若，则，故该选项不符合题意； D、若，则，故该选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的坐标特征，算术平方根的应用．根据算术平方根的性质可得，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， 由作图可得，， ∵点A表示的数为1， ∴点E所表示的数为， 故选：C． 10. 对于以下整式：，，，下列说法正确的有 ①当时，若，则的值为或； ②如果为第项，为第项，为第项，第项与第项的和减去第项的结果为第项，第项与第项的和减去第项的结果为第项，，依此类推，则第项为； ③记②中的前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，，则前项的和为，若有，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、绝对值方程及数列规律问题；①由题意得，化简绝对值求解即可；②根据定义列出这列数，即可知从第三项开始两个为一组，每组中的系数都为1，的系数互为相反数，且绝对值一次增加6，则第25项为；③结合已知定义列出前几项，总结出，，结合多项式的定义可得即可． 【详解】①当时，．由得，解得或，故①正确． ②根据规则生成数列： 第1项：，第2项：，第3项：， 第4项：， 第5项：， 第6项：， 观察规律，从第3项开始，每两项为一组，的系数绝对值依次增加6． 第25项为第12组的第1项，其系数为，故第25项为，故②错误． ③， ， ， ， ， ⋯⋯ 则，， ∵， ∴， ∴， 则，故③正确． 综上，①③正确，故选C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 某中学要了解七年级学生的视力情况，在全校七年级学生中抽取了50名学生进行检测，在这个问题中，“50名学生的视力情况”是_________________．（填“总体”或“样本”） 【答案】样本 【解析】 【分析】根据：总体是指考查的对象的全体，样本是总体中所抽取的一部分个体，进行判断即可．掌握总体和样本得概念，是解题的关键． 【详解】解：由题意，“50名学生的视力情况”是样本； 故答案为：样本． 12. 如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当_____________时，木条与平行． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 故答案为：70． 13. 若与是同一个正数的两个不同的平方根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数的平方根的性质是解题的关键．一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：1． 14. 点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3．则点P的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据点P在第四象限，得出横坐标，纵坐标，再根据到x轴、y轴的距离分别为4、3，得出点P的坐标即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴，， ∵点P到x轴、y轴的距离分别为4、3， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 15. 解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到，则，；再把代入方程得到，联立，求出、，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：是方程组的解， ， 解得：，， 小刚只看错了，解得， 是方程的解， ， 联立， 解得：， ， 故答案为：． 16. 如果一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为3，那么称为“三九数”，则最大的“三九数”是_______．“三九数”的千位数字与个位数字交换后的数字记为，百位数字与十位数字交换后的数字记为,，当为整数时，则满足条件的的最小值与最大值的和为______． 【答案】 ①. 8916 ②. 10700 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，数字规律探索，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据“三九数”的定义进行求解即可；根据题意得出，根据题意得出，根据，，且为正整数，求出或或或或，最后求出结果即可． 【详解】解：由题意知，“三九数”千位数字最大为8，百位数字最大为9，则十位数字为1，个位数字为， ∴最大的“三九数”为8916； 由题意可得，， ∴， ∴“三九数”， 则 ， ， ， 当为整数时，则为整数， 的各个数位上的数字均不为， ，，且为正整数， ，且为正整数， 为整数， 或33， 或或或或， ，即满足条件的的最小值与最大值的和为10700． 故答案为：8916；10700． 三、解答题（本大题9个小题，17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先乘方，化简绝对值，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 如图，，与，交于点，，平分，，求的度数．请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点， （ 　 ① 　 ）， 　 ② 　（已知）， （ 　 ③ 　 ）． （已知）， （ 　 ④ 　 ）， 　 ⑤ 　 ． 平分（已知）， 　 ⑥ 　 ⑦ （ 　 ⑧ ）． 【答案】对顶角相等；；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．利用对顶角相等和等量代换得到，由得到，则，由平分即可得到． 【详解】解：与交于点， （对顶角相等）． （已知）， （等量代换）． （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 平分（已知）， （角平分线的定义）． 故答案为：对顶角相等；；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 19. 解方程组(或不等式）： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，不等式的解法． （1）根据去括号，移项合并，再化系数为1求解即可； （2）根据解二元一次方程组的方法步骤，采取加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； 【小问2详解】 解：， 由得，解得， 将代入①得，解得， 方程组的解为． 20. 解不等式组：，并在数轴上找出它的解集． 【答案】，在数轴上表示见解析． 【解析】 【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：． 将其表示在数轴上，如图所示： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键． 21. 某中学现有学生人，学校为了进一步丰富学生课余生活，拟调整兴趣活动小组，为此进行一次抽样调查，根据采集到的数据绘制的统计图(不完整)如下： 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）图1中“电脑”部分所对应的圆心角为 度； （2）在图2中，将“体育”部分的图形补充完整； （3）爱好“书画”的人数占被调查人数的百分数是 ； （4）估计该中学现有的学生中，有 人爱好“书画”． 【答案】（1）126；（2）见解析；（3）；（4）287 【解析】 【分析】（1）根据观察扇形统计图，可知“电脑”部分所对应的圆心角为360度的，即可求解；（2）根据爱好“电脑”的人数和对应的百分比，可求出兴趣活动小组的总人数，再用总人数减去爱好“电脑”、“音乐”、“书画”的人数即可求解； （3）用爱好“书画”的认识除以总人数，即可求解； （4）根据爱好“书画”的占样本的百分比，乘全校的总人数，即可求解． 【详解】解：（1）(度)， 故答案为：126； （2）兴趣活动小组的总人数：(人)， 爱好“体育”的人数：(人)， 补充图形如图： （3）爱好“书画”的人数占的百分率：， 故答案为：； （4）全校爱好“书画”的人数：(人)， 故答案为：287． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，观察统计图，获取信息是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为． （1）点A的坐标是______，点B的坐标是______； （2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出，并写出的三个顶点坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）作图见解析；，， （3）5 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移，解题的关键是熟练作出对应点的位置． （1）根据点所在的位置，直接写出相应的坐标即可； （2）根据平移的性质，画出，进而写出的三个顶点坐标即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由图可知：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即所求，由图可知：，，； 【小问3详解】 解：． 23. 第三届“一带一路”田径邀请赛暨2025全国田径大奖赛在长寿举办，大量游客来长观赛，除了精彩的赛事，长寿的特产也吸引着游客们，游客李阿姨就购买了5袋长寿湖鱼面和6袋血豆腐，共支付245元，每袋长寿湖鱼面比每袋血豆腐的价格多5元． （1）求长寿湖鱼面和血豆腐的单价分别是多少？ （2）李阿姨的朋友托她帮忙购买长寿湖鱼面和血豆腐共20袋，长寿湖鱼面至少9袋且总费用不超过455元，请问李阿姨有哪些购买方案？ 【答案】（1）长寿湖鱼面的单价是25元，血豆腐的单价是20元 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程． （1）设长寿湖鱼面的单价是x元，血豆腐的单价是y元，根据购买了5袋长寿湖鱼面和6袋血豆腐，共支付245元，每袋长寿湖鱼面比每袋血豆腐的价格多5元，列出方程组，解方程组即可； （2）设李阿姨购买长寿湖鱼面a袋，则购买血豆腐袋，根据总费用不超过455元列出不等式，求出，根据长寿湖鱼面至少9袋，得出，从而得出a可以为9，10，11，最后写出购买方案即可． 【小问1详解】 解：设长寿湖鱼面单价是x元，血豆腐的单价是y元，根据题意得： ， 解得： ， 答：长寿湖鱼面的单价是25元，血豆腐的单价是20元； 【小问2详解】 解：设李阿姨购买长寿湖鱼面a袋，则购买血豆腐袋， 根据题意得：， 解得：， 又∵，且a为正整数 ∴a可以为9，10，11， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买9袋长寿湖鱼面，11袋血豆腐； 方案2：购买10袋长寿湖鱼面，10袋血豆腐； 方案3：购买11袋长寿湖鱼面，9袋血豆腐． 24. 当m，n都是实数，且满足时，我们称为巧妙点． （1） 巧妙点（填“是”或“不是”）； （2）若是巧妙点，请求出m的值和A点坐标； （3）已知关于x，y的方程组，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？ 【答案】（1）不是 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据巧妙点的定义求解判断即可； （2）根据题意可得，再由巧妙点的定义可得，据此可得答案； （3）先根据加减消元法解二元一次方程组，得出，根据巧妙点的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴不是巧妙点； 【小问2详解】 解：∵是巧妙点， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：解：， 解得：， ∵点是巧妙点， ∴， 即， 解得：． 25. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． （1）填空：与的数量关系：_____；理由是_____； （2）直接写出与的数量关系：_____； （3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 【答案】（1），同角的余角相等 （2） （3）①图见解析，；②存在，或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，作，利用平行线的性质进行解答即可； ②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）， 故答案为：，同角的余角相等； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①如图3，当时，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②存在， 如图4，当时，， ∴； 如图5，当时，； 如图6，当时，， ∴； 如图7，当时，， ∴． 综上，当时，；当时，；当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $