精品解析：山东省五莲县第一中学2024-2025学年高二下学期期末模拟（二）数学试题

高二数学期末模拟试题（二） 一、单选题：（40分） 1. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断. 【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增， 所以在上单调递增且连续， 又，即， 所以由零点存在定理可得的零点所在区间为. 故选：B. 2. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抽象函数定义域求法可得的定义域为，结合根式和分母要求即可求得结果. 【详解】根据题意可得函数的定义域为，可知， 即的定义域为， 所以需满足，解得， 即的定义域为. 故选：D 3. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数，如果在前2h滤去了的污染物，那么再经4h后，废气中的污染物含量为过滤前的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入给定的公式结合指数对数运算即可得，再代入求解. 【详解】由题知， 当时，解得， 当时，，解得：， 所以， 当时， 则有：， 所以废气中的污染物含量为过滤前的. 故选：B. 4. 已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ） A. b<a<c B. a<b<c C. c<b<a D. b<c<a 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 5. 在等比数列中，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由可得，又， 故，则，解得，即. 故选：D 6. 已知，在数列的每相邻两项与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（ ） A. 150 B. 151 C. 170 D. 171 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到数列前100项包含数列的项数和1的个数求解. 【详解】解：由题意知之间插入1个之间插入2个之间插入4个之间插入8个1， 之间插入16个之间插入32个之间插入64个1， 由于， 故数列的前100项含有的前7项和93个1， 故． 故选：C 7. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则可得为偶函数，且在单调递增，所以的图象关于直线对称，在单调递增，则将转化为，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】设， 因为， 所以为偶函数， 所以的图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称， 设，则， 令，则，得， 所以在上递增， 因为函数在定义域上单调递增， 所以在单调递增， 所以在单调递增， 因为， 所以， 所以，化简得，解得． 所以实数a的取值范围为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据已知条件判断出的图象关于直线对称，在单调递增，从而可求解不等式. 8. 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出过点P的切线方程，代入点P坐标，化简为，根据这个方程有三个不等根即可求解. 【详解】设切点为，过点P的切线方程为， 代入点P坐标可得， 化简为， 过点可以作三条直线与曲线相切，即这个方程有三个不等根. 令，求导得：. 令，解得：，所以在上递增； 令，解得：或， 所以在和上递减. 有极小值，有极大值 要使方程有三个不等根即可. 只需，即. 故选：D 二、多选题：（18分） 9. 设数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 数列是等差数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件求出递推关系，结合选项逐个验证即可得到结果. 【详解】对于：由，则， ，正确； 对于：①， 当时，②， ①②得：， ∴， ∴，正确； 对于：当时，； 但不满足， 所以数列不是等比数列，错误； 对于：由，即， ∴； 所以数列是等比数列，不是等差数列，错误. 故选：. 10. 已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（    ） A. 的单调递增区间为 B. a的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 函数有4个零点 【答案】ACD 【解析】 【详解】作出的图象，结合图象逐一判断即可． 【分析】作出函数的图象，如图所示：    对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A正确； 对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确； 对于C，则题意可知：，，所以， 所以，故C正确； 对于D，令，则有，令，则有或， 当时，即，即，解得； 当时，即，所以或，解得，或或， 所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确． 故选：ACD． 11. 函数定义域为，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意正实数，函数在上是单调递减函数 B. 对于任意负实数，函数存在最小值 C. 存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立 D. 存在负实数，使得函数在上有两个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】求函数的导函数，判断导函数在时的正负，确定函数的单调性，判断A；在时，确定方程的解，并判断函数零点两侧的单调性，由此确定函数的最值，判断B；结合函数的单调性及零点存在性定理判断D；在时，结合图象确定的零点，由此判断C. 【详解】对于A，函数的定义域是，且， 当时，在内恒成立， 所以函数在上单调递增，故A错误； 对于B，对于，设，， 则，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 当时，，， 所以存在，使， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以对于任意，函数存在最小值，故B正确； 对于D，因为当时，函数存在最小值，且， 所以， 当时，，此时， 所以存在，使， 当时，，当时，， 此时函数在上有两个零点，故D正确； 对于C，函数的图象在有公共点， 所以对于任意，有零点，故C错误； 故选：BD. 三、填空题：（15分） 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知，得，又，可得，则，即可求得. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，所以， 又，所以，解得， 经检验符合题意，所以，则. 故答案为：. 13. 数列的前项和记为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用得，再利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由已知得， 当时，，即， 又，得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.若为的“3重覆盖函数”，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求解的值域，根据所给定义将问题转化为对任意，有3个实根，进一步将问题转化为时，仅有1个根，分类讨论的范围，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】的定义域为， 由于为的“3重覆盖函数”，即对任意，存在3个不同的实数，使得（其中）， ∵，则，∴， 即.即对任意，有3个实根， 当时，已有两个根，故只需时，仅有1个根， 当时，，不符合题意， 当时，，则需满足，解得，此时无解， 当时，抛物线开口向下，由，可得， 所以函数在单调递减，又，所以， 所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：（77分） 15. 已知集合，其中实数是常数. （1）求集合A与集合； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合指数、对数函数单调性求集合； （2）由题意可知，结合包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 因为，且在上单调递增， 可得，解得，所以； 又因为，且在上单调递增， 可得，解得，所以. 【小问2详解】 若对任意的，都有，可知， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知正项数列的前项和为，且，（且）. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，则， 故， 因为，故，即得证 【解析】 【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案； （2）利用裂项相消法证明即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， 又， ∴， ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列， ∴，∴， 当时，， 当时，，满足上式， ∴数列的通项公式为； 【小问2详解】 略 17. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解. 【小问1详解】 因为函数为偶函数，所以， 即， 所以，整理得恒成立， 所以，解得，所以，故． 【小问2详解】 由（1）可得，关于x的不等式在上有解， 令，，取， 则． 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，因此在上单调递增． 令，， 因为函数与函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以，故实数的取值范围为． 18. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【小问1详解】 ①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. 【小问2详解】 ，，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若有两个不同的零点，求a的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，证明：. 【答案】（1） （2） （），则. 因为有两个不同的极值点，（），则，， 要证，只要证， 因为，所以只要证， 又∵，，作差得，所以， 所以原不等式等价于要证明，即. 令，，则以上不等式等价于要证，. 令，，则，， 所以在上单调递增，，即，， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论判断的单调性，进而根据零点运算求解； （2）根据极值点的概念整理原不等式可得，构建新函数，求导，利用导数证明. 【小问1详解】 的定义域为，且， 当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去. 当时，令，解得：，令，解得：， 在上单调递减，在上单调递增， 因为有两个不同的零点，则，解得， 当时，，，所以在上存在唯一的一个零点； 当时，取正整数，则，， 而， 当时，令， 令，，所以在上单调递增， ，所以， 所以在上单调递增，，故 又，所以，于是，要使， 只需，即， 这样，当时，只需取正整数，则，又， 所以在上存在唯一的一个零点； 综上，. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出，，常用作差建立关系，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末模拟试题（二） 一、单选题：（40分） 1. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数，如果在前2h滤去了的污染物，那么再经4h后，废气中的污染物含量为过滤前的（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ） A. b<a<c B. a<b<c C. c<b<a D. b<c<a 5. 在等比数列中，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 64 6. 已知，在数列的每相邻两项与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（ ） A. 150 B. 151 C. 170 D. 171 7. 已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（18分） 9. 设数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 数列是等差数列 10. 已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（    ） A. 的单调递增区间为 B. a的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 函数有4个零点 11. 函数定义域为，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意正实数，函数在上是单调递减函数 B. 对于任意负实数，函数存在最小值 C. 存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立 D. 存在负实数，使得函数在上有两个零点 三、填空题：（15分） 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，则______． 13. 数列的前项和记为，若，则______． 14. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.若为的“3重覆盖函数”，则实数的取值范围是________. 四、解答题：（77分） 15. 已知集合，其中实数是常数. （1）求集合A与集合； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 16. 已知正项数列的前项和为，且，（且）. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：. 17. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 18. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 19. 已知函数. （1）若有两个不同的零点，求a的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $