精品解析：重庆市长寿区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

长寿区2025年春期初中期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写． 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请在答题卡上将对应题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，判断是否为最简二次根式的依据：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐一验证选项即可． 【详解】A． 是三次根式，不属于二次根式，故A选项不符合题意； B． 被开方数3是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件，故B选项符合题意； C．，可化简为整数，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D．被开方数含分母，需化为，不符合最简条件，故D选项不符合题意． 故答案选：B． 2. 已知的两条直角边、的长分别为3、4，则它的斜边的长为（　　） A. 5 B. C. D. 5或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边，直接利用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】在中，直角边，，根据勾股定理，斜边的长度为： ． 故答案选：A． 3. 为防范新型毒品对青少年的危害，长寿某中学开展青少年禁毒知识竞赛，小王所在小组6名学生的真实成绩分别为，，，，，，由于小王不小心将其中一名成员的分错记为分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（　　） A. 平均数变小，中位数变大 B. 平均数不变，众数不变 C. 平均数变大，众数变大 D. 平均数变大，中位数变大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一组数的平均数，求一组数的中位数，求一组数的众数，解题关键是掌握平均数、中位数、众数的求法． 分别计算真实成绩和统计成绩的平均数、中位数、众数，比较变化即可作出选择． 【详解】解：小王所在小组6名学生的真实成绩分别为，，，，，， ∴真实成绩的平均数为， ∵排序后第三、四位数为和， ∴真实成绩的中位数为， ∵出现3次，出现次数最多，其余都只出现1次， ∴真实成绩的众数， ∵统计成绩（误记为）：，，，，，， ∴统计成绩的平均数为， ∵排序后第三、四位数均为， ∴统计成绩的中位数为， ∵出现4次，出现次数最多， ∴统计成绩的众数仍为， ∴平均数从到，变大， 中位数从到，变大， 众数保持不变， 故选：D． 4. 在中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线的性质，解题关键是掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ， 故选：C． 5. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题关键是掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：中被开方数不同的项不能直接合并，∴错误，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误 故选：C． 6. 关于x的一次函数的图象上有三个点，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是理解一次函数的增减性． 根据一次函数的增减性直接求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 7. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 四边相等且对角线相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，根据定理逐一分析各命题的正确性． 【详解】解：A． 一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足条件但不是平行四边形，故A为假命题； B． 菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，仅有一组邻边相等但无平行条件，不能判定为菱形，故B为假命题； C．矩形的定义是“有一个角是直角的平行四边形”，仅有一个直角的四边形可能为直角梯形，故C为假命题； D． 四边相等的四边形是菱形，若其对角线相等，则菱形四个角均为直角，符合正方形的定义，故D为真命题．   故选：D． 8. 如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理．由轴对称的性质可得：，则，；在中，由勾股定理可得，则；设，则，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：是由沿直线翻折得到， ， 则，． 四边形是矩形， ，，． 在中， ， ． 设，则，， 在中， ， ， 解得：． 则． 故选：A． 9. 如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，根据正方形的性质可证得，从而得出，，再证为等腰直角三角形，得出，． 【详解】如图，连接， 四边形正方形， ，， ， 又∵， ∴， ，， ， ， 即， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 10. 有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…以此类推，下列说法中：①；②；③，正确的有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解． 【详解】解：第一次操作后数列为．第二次操作时，对每个数取相反数得，加1后为，再取倒数得， 即，，，故①正确． 第三次操作后数列恢复为，形成周期为9项的循环． 计算余，对应第9项，即，故②正确． 每个周期9项的和为： 个周期余2项，总和为，故③正确． 综上，三个说法均正确， 故选D． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 若二次根式有意义，实数则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定理，被开方数大于等于0列出不等式即可求解． 【详解】由定理得被开方数， 故填：． 【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定理是解题的关键． 12. 王老师准备从八（1）班计算能力较好的五名同学中选一名同学参加全年级“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如表．若按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选_______同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 94 97 97 方差 2 3.5 2 3.5 【答案】丙 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差的意义，熟练掌握平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动大小（方差越小，数据越稳定 ）是解题的关键．要选出成绩优异且发挥稳定的同学，需先比较平均分判断成绩优异程度，平均分越高成绩越优异；再比较方差判断发挥稳定性，方差越小发挥越稳定，综合这两个方面确定人选． 【详解】解： 丙和丁的平均分都是分，高于甲的分和乙的分， 丙、丁成绩更优异 ． 丙的方差是，丁的方差是，，即丙的方差小于丁的方差， 丙发挥更稳定 ． 综上，丙成绩优异且发挥稳定，应选丙同学． 故答案为：丙 ． 13. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为_______米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵是直角三角形， ∴， ∴大树的高度， 故答案为：18． 14. 若关于m的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的和为_______． 【答案】21 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，根据不等式组有解且最多4个整数解确定的范围；再根据一次函数图象不经过第四象限的条件确定的另一范围，综合两个范围得到的取值，最后求满足条件的整数的和．本题主要考查了一元一次不等式组的解法、整数解的确定以及一次函数图象性质，熟练掌握不等式组的求解步骤和一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：解不等式： ， ， ． 解不等式： ， ， ． 因为不等式组有解，所以，即；又因为最多有4个整数解，大于2的连续4个整数为3、4、5、6，所以，即，故． 对于一次函数，图象不经过第四象限，则． 解，得； 解，得． 所以． 综合与，得，满足条件的整数为6、7、8． 它们的和为． 故答案为：21． 15. 如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，，则的大小为_______，四边形的面积大小为_______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键．证明是等腰直角三角形得，则，再证明和全等得；过点A作于点F，先求出，得，证明和，则可求出，进而得，由勾股定理得，则正方形的面积为10，再求出，，继而得，据此即可得出四边形的面积． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 过点A作于点F，如图所示： 在等腰中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∵，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴正方形的面积为10， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；6． 16. 对于一个四位自然数a，如果a满足各个数位上的数字互不相同，且千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，那么称这个数a为“吉利数”．对于一个“吉利数”，记．例如：a＝1573，因为1+7＝5+3＝8，所以1573是一个“吉利数”，．若m是最小的“吉利数”，则=_______；若一个四位自然数n是“吉利数”，且为整数，则满足条件的四位自然数n的最大值与最小值之差为_______． 【答案】 ①. 98 ②. 5544 【解析】 【分析】本题考查“吉利数“的应用，理解新定义并将其转化为整数的运算是解题的关键．根据“吉利数”定义，设，求出最小值，根据直接求解即可；根据“吉利数”定义，设，求出的值，根据为整数，分情况求出的最大值与最小值即可得出结果． 【详解】根据“吉利数”定义，设，其中，且都是整数，， ，是千位，欲使的值取最小，取最小值即可，，也取最小值即可， 取最小值，取最小值， 则 根据“吉利数”定义，设，其中，且都是整数，， 为整数， 是整数， 由于各个数位上的数字互不相同，代入数字验证 当取最大值时， 取最小值时， 最大值为 取最小值为 故答案为， ． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、18题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先进行开方，去绝对值，分母有理化的运算，再合并同类二次根式即可； （2）先利用乘法公式进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 18. 如图，在平行四边形中，，于点F． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交BC于点E，连接交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①________， ∵， ∴②________， ∴， ∴③________， ∵平分， ∴④________， 在△ABE和△AGE中， ， ∴（⑤________）， ∴． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤ 【解析】 【分析】（1）先利用尺规作出的平分线，再连线即可； （2）根据平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，对推理过程逐一分析，再填空． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，解题关键是准确作出图形． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 20. 2025年3月16日，2025重庆长寿湖半程马拉松比赛在长寿湖畔鸣枪起跑．某校为了解学生对长寿湖半程马拉松比赛的了解情况，举办了长寿湖半程马拉松知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）． 下面给出部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，83，84，86，88，93，94，96，97，98，100，100 八年级20名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在B组的数据是： 84，86，84，82，88，84，86，88，84 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 858 83.5 b 94 八年级 85.8 a 84 102 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有名学生，八年级有1100名学生参加了此次知识竞赛，请你结合数据，估计七、八年级学生中半程马拉松比赛竞赛成绩在90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）85，82，15 （2）七年级的学生竞赛成绩更好，理由见解析 （3）575人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、求中位数、众数； （1）根据众数的定义求得，利用八年级20名学生的竞赛成绩在B组的人数除以样本总数求得其所占的百分比，进而求得，最后根据中位数的定义求得； （2）根据平均数、方差的意义进行求解即可； （3）先分别利用七、八年级学生中半程马拉松比赛竞赛成绩在90分及以上的学生除以样本总数求得其所占的百分比，再分别利用其所占的百分比乘以其年级的总人数，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级20名学生的竞赛成绩在B组所占百分比为：， ∴， ∵把八年级20名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，处于最中间的两个数分别为84、86， ∴， 由题意得，， 故答案为：85，82，15； 【小问2详解】 解：七年级的学生竞赛成绩更好，理由：七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同均为85.8，但七年级学生竞赛成绩的方差94小于八年级学生竞赛成绩的方差102 (答案不唯一) ； 【小问3详解】 解：， 答：估计七、八年级学生中半程马拉松竞赛成绩在90分及以上的人数约为575人． 21. 如图，学校C坐落于东西方向的公路一旁，当重型运输卡车P沿道路方向行驶时，在以卡车P为圆心，长为半径的圆形区域都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校C的距离越近噪声影响越大．已知学校C与直线上两点A，B的距离分别为和，，求： （1）卡车噪声对学校C有影响吗？请说明理由． （2）若重型卡车P沿道路方向行驶的速度为，卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长． 【答案】（1）有影响，理由见解析； （2）秒． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，判定三角形的形状，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 【小问1详解】 解：卡车噪声对学校C有影响; 理由如下：如图，过点作于点， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， 根据题意，得， ∴ ∵， ∴卡车噪声对学校C有影响． 【小问2详解】 解：以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵卡车的速度为， ∴影响时长为. 答：卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长为. 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 22. 长寿柚是长寿区的特色柚类品种，原名“长寿沙田柚”，自清朝光绪十三年（1887年）从广西沙田县引种以来，已有130余年的历史．经几代人精心培育，获其“源于沙田，优于沙田”的美评．某超市为了满足人们的需求，计划购进甲、乙两种规格精品沙田柚进行销售．经了解，每个乙种柚子的进价比每个甲种柚子的进价多2元，用600元购进甲种柚子的个数与用800元购进乙种柚子的个数相同． （1）甲、乙两种柚子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种柚子共500个（两种都有），其中甲种柚子的个数不低于乙种柚子个数的3倍．若甲、乙两种柚子的售价分别为9元/个、12元/个，设购进甲种柚子m个，两种柚子全部售完时获得的利润为w元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个甲种柚子的进价为元每个乙种柚子的进价为元； （2）购进甲种柚子个、乙种柚子个才能获得最大利润，元． 【解析】 【分析】（1）根据“每个乙种柚子的进价比每个甲种柚子的进价多2元”设未知数，再依据“用600元购进甲种柚子的个数与用800元购进乙种柚子的个数相同”这一数量关系，列出分式方程求解进价． （2）先根据“甲种柚子的个数不低于乙种柚子个数的3倍”和“两种柚子共500个（两种都有）”列出不等式组，确定甲种柚子个数的取值范围；然后根据利润公式（利润 = 单个利润×数量）列出利润关于甲种柚子个数的函数关系式，再结合一次函数的性质求出最大利润及对应的进货方案． 本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握分式方程的解法、不等式组的求解和一次函数的增减性是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每个甲种柚子的进价为元则每个乙种柚子的进价为元 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 则 答：每个甲种柚子的进价为元每个乙种柚子的进价为元 【小问2详解】 解：由题意，得 解得：， 由题意得 ∵， ∴随的增大而减小， 又且为整数， ∴当时取得最大值， ， 则 答：购进甲种柚子个、乙种柚子个才能获得最大利润，为元 23. 如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点P的运动时间x秒，的面积为y． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____． （3）若直线与该函数图象恰有两个交点，则常数b的取值范围是_____． 【答案】（1） （2）见解析，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）通过平移直线， 与相交，找到有两个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ∵点P从点出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒，的面积为， ∴当点P到达点时（秒），当点到达点时（秒）， ∴当时，点在线段上， 此时； 当时，点P在线段上， 此时； ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：函数图象如图： 由函数图象可得：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小； （答案不唯一）； 【小问3详解】 解：平移直线与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得， 解得：； 把代入可得， 解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象有两个交点， 则常数的取值范围是． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 24. 如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）x轴上存在点D，使得，求点D的坐标； （3）在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）D的坐标为或 （3）存在，P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据直线求得点A，利用待定系数法即可求得直线； （2）在x轴正半轴取一点，使得，由于，则，结合，则有，根据即可求得点，同理可求得与点对称点； （3）设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，则有，得到，进一步有，设点，利用等面积法得，利用勾股定理得，解得，可求得直线解析式，由题意得点P在直线上，即可求得点；因为另一个点与点关于点N对称，利用中点坐标即可求得． 【小问1详解】 解：直线：交轴于点，当，则，则点， 设直线的解析式， ， 解得， 则直线的解析式； 【小问2详解】 解：在x轴正半轴取一点，使得，如图， ∵直线：交轴于点，当，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 同理，在x轴负半轴也存在， 故点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，如图， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 设点，则， 那么，， 即， 解得或（舍去）， 则直线解析式为， ∵第一象限内的点， ∴点P在直线上， ， 解得， 则点， ， 解得， 则点， ∵点与点关于直线对称， ∴， 解得， 则点， 故满足条件的点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数、等腰三角形的性质、三角形等面积法、勾股定理、中点公式和解一元二次方程，解题的关键是理解一次函数的性质和等面积法． 25. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为边BC上一点． （1）如图1，F为AB上一点，且BF=CE，连接CF、AE交于点P，求∠APF； （2）如图2，BE>CE，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH，连接CH交AB于点M，求证：BM=AM+CE； （3）在（2）的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH，当DH最小时，直接写出△DEH的面积． 【答案】（1）； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用菱形的性质，结合，可证明为等边三角形，再利用证明，从而可得，进而求得； （2）先利用证明，从而可得，结合，可得； （3）连结并延长到，使，过点作交直线于点，当点在直线上运动时，点在直线上运动，当时，有最小值，此时，与重合，与重合，再利用等边三角形的性质，得出，然后根据菱形的性质得出，再根据平行线的性质得出，从而可得，再利用含有角的直角三角形的性质求得，最后利用勾股定理求得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，在上截取，连接、，与相交于点P， 由（1）知，， ∴， 由旋转性质知，， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ∵ ∴（） ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 连结并延长到，使，过点作交直线于点， 当点在直线上运动时，点在直线上运动， 当时，有最小值， 此时，如图，与重合，与重合， 由（1）知为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，解题关键是准确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长寿区2025年春期初中期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写． 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请在答题卡上将对应题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知的两条直角边、的长分别为3、4，则它的斜边的长为（　　） A. 5 B. C. D. 5或 3. 为防范新型毒品对青少年的危害，长寿某中学开展青少年禁毒知识竞赛，小王所在小组6名学生的真实成绩分别为，，，，，，由于小王不小心将其中一名成员的分错记为分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（　　） A. 平均数变小，中位数变大 B. 平均数不变，众数不变 C. 平均数变大，众数变大 D. 平均数变大，中位数变大 4. 在中，，则度数是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 关于x一次函数的图象上有三个点，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 四边相等且对角线相等的四边形是正方形 8. 如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　) A. B. C. D. 10. 有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…以此类推，下列说法中：①；②；③，正确的有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 若二次根式有意义，实数则x的取值范围是___． 12. 王老师准备从八（1）班计算能力较好的五名同学中选一名同学参加全年级“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如表．若按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选_______同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 94 97 97 方差 2 3.5 2 3.5 13. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为_______米． 14. 若关于m不等式组有解且最多有4个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的和为_______． 15. 如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，，则的大小为_______，四边形的面积大小为_______． 16. 对于一个四位自然数a，如果a满足各个数位上的数字互不相同，且千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，那么称这个数a为“吉利数”．对于一个“吉利数”，记．例如：a＝1573，因为1+7＝5+3＝8，所以1573是一个“吉利数”，．若m是最小的“吉利数”，则=_______；若一个四位自然数n是“吉利数”，且为整数，则满足条件的四位自然数n的最大值与最小值之差为_______． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、18题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）计算：． 18. 如图，在平行四边形中，，于点F． （1）用尺规完成以下基本作图：作平分线交BC于点E，连接交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①________， ∵， ∴②________， ∴， ∴③________， ∵平分， ∴④________， 在△ABE和△AGE中， ， ∴（⑤________）， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 2025年3月16日，2025重庆长寿湖半程马拉松比赛在长寿湖畔鸣枪起跑．某校为了解学生对长寿湖半程马拉松比赛的了解情况，举办了长寿湖半程马拉松知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）． 下面给出部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，83，84，86，88，93，94，96，97，98，100，100 八年级20名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在B组的数据是： 84，86，84，82，88，84，86，88，84 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.8 83.5 b 94 八年级 85.8 a 84 102 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有名学生，八年级有1100名学生参加了此次知识竞赛，请你结合数据，估计七、八年级学生中半程马拉松比赛竞赛成绩在90分及以上的学生共有多少人？ 21. 如图，学校C坐落于东西方向的公路一旁，当重型运输卡车P沿道路方向行驶时，在以卡车P为圆心，长为半径的圆形区域都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校C的距离越近噪声影响越大．已知学校C与直线上两点A，B的距离分别为和，，求： （1）卡车噪声对学校C有影响吗？请说明理由． （2）若重型卡车P沿道路方向行驶的速度为，卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长． 22. 长寿柚是长寿区的特色柚类品种，原名“长寿沙田柚”，自清朝光绪十三年（1887年）从广西沙田县引种以来，已有130余年的历史．经几代人精心培育，获其“源于沙田，优于沙田”的美评．某超市为了满足人们的需求，计划购进甲、乙两种规格精品沙田柚进行销售．经了解，每个乙种柚子的进价比每个甲种柚子的进价多2元，用600元购进甲种柚子的个数与用800元购进乙种柚子的个数相同． （1）甲、乙两种柚子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种柚子共500个（两种都有），其中甲种柚子的个数不低于乙种柚子个数的3倍．若甲、乙两种柚子的售价分别为9元/个、12元/个，设购进甲种柚子m个，两种柚子全部售完时获得的利润为w元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 23. 如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点P的运动时间x秒，的面积为y． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____． （3）若直线与该函数图象恰有两个交点，则常数b的取值范围是_____． 24. 如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）x轴上存在点D，使得，求点D的坐标； （3）在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为边BC上一点． （1）如图1，FAB上一点，且BF=CE，连接CF、AE交于点P，求∠APF； （2）如图2，BE>CE，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH，连接CH交AB于点M，求证：BM=AM+CE； （3）在（2）的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH，当DH最小时，直接写出△DEH的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$