第一章 三角形 专题1.2 三角形中线、角平分线、高 讲义 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

专题1.2 2024-2025学年苏科版八年级上册数学三角形中线、角平分线、高 知识点01 三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形的三条中线相交于一点.交点在三角形内部. 知识点2 三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 知识点3 三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 题型01 三角形中线求面积 1.如图，延长的边到点，使，连接，则和的数量关系为_________. 2．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 3.如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积． 4.如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 题型02 中线、角平分线、高概念辨析 5.如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 6.下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 7.图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 题型03 画三角形的中线、角平分线、高 8．按要求画图，并描述所作线段． (1)过点A画三角形的高线； (2)过点B画三角形的中线． 9．如图，△ABC，按要求完成下列各题： ①画△ABC的中线CD； ②画△ABC的角平分线AE； ③画△ABC的高BF； ④画出把△ABC沿射线BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1 ． 题型4 依据高的位置分类讨论求角度 10.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 11.在中，，是边上的高且，则的度数是 题型04 角平分线与高的夹角问题 12．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 13.如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 14.如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 2024-2025学年苏科版八年级上册数学三角形中线、角平分线、高 知识点01 三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形的三条中线相交于一点.交点在三角形内部. 知识点2 三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 知识点3 三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 题型01 三角形中线求面积 1.如图，延长的边到点，使，连接，则和的数量关系为_________. 【答案】是的边BD上的中线 故答案为：； 2．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键． 本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中线， ． 3.如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积． 【答案】 【分析】根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，然后结合图形来求四边形的面积． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点O，已知的面积为14， ∴． 又∵的面积为3， ∴． 4.如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，和三角形中线的性质，作出正确的辅助线是解此题的关键．连接，由与等高，，可得到．又因为与等底等高，故可得，从而，又与等底等高，即可得出阴影部分的面积． 【详解】连接， ，的面积为3 ， ，的面积为， ， ， 与等底等高， ， 图中阴影部分的面积为9， 故选：C． 题型02 中线、角平分线、高概念辨析 5.如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 6.下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 7.图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案． 【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B． 故选：B． 题型03 画三角形的中线、角平分线、高 8．按要求画图，并描述所作线段． (1)过点A画三角形的高线； (2)过点B画三角形的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作三角形的高线和中线，正确掌握钝角三角形高线作法是解题关键． （1）延长，过点A作即可； （2）找到中点E，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求． 9．如图，△ABC，按要求完成下列各题： ①画△ABC的中线CD； ②画△ABC的角平分线AE； ③画△ABC的高BF； ④画出把△ABC沿射线BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1 ． 【答案】见解析. 【详解】分析：（1）首先确定AB中点，再连接CD即可； （2）利用量角器∠A的度数，在算出平分时的角度，以A为端点画射线，与BC的交点记作E； （3）延长CA，利用直角三角板，一条直角边与AC重合，沿AC平移，是另一直角边过B，再以B为端点沿直角边画射线交CA得延长线于F； （4）在BF上截取BB1=3cm，再过A、C画BF的平行线，使AA1=CC1=BB1=3cm，然后再连接A1、B1、C1即可． 详解：如图所示： ． 点睛：此题主要考查了平移作图和复杂作图，关键是掌握三角形的高、角平分线、中线定义，正确确定A、B、C三点平移后对应点位置． 题型4 依据高的位置分类讨论求角度 10.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 【答案】90°或50° 【分析】分高AD在△ABC的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】当高AD在△ABC的内部时，如图1， ∵∠BAD＝70°，∠CAD＝20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°； 当高AD在△ABC的外部时，如图2， ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°﹣20°=50°， 综上，∠BAC的度数为90°或50°． 11.在中，，是边上的高且，则的度数是 【答案】或 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可． 【详解】解：如图所示，当高在内部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． 如图所示，当高在外部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 综上所述，或． 故答案为：或． 题型04 角平分线与高的夹角问题 12．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意平分，平分，推出，，设，设，，用含和的代数式表示和即可解决问题． 【详解】解：如图： 平分，平分， ，， 设，，， 由外角的性质得： ， ， ，解得， ， ．     故选：C． 13.如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4.8 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算. （1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14.如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案； （2）设，则，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， ； （2）证明：设，则， ， 是角平分线， ， 又， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$