1.1三角形中的线段和角（第2课时 三角形的中线、角平分线、高）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

1.1 三角形中的线段和角 第2课时 三角形的中线、角平分线、高 第一章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握三角形的高、中线和角平分线的定义. 会识别和绘制三角形的高、中线和角平分线. 理解三角形的高、中线和角平分线的基本特征. 情境引入 小熊和小猫想均分一块蛋糕，如何切呢？ 操作观察 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？ A B C 操作观察 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？ D 当D为BC的中点时，位置特殊. B C A 操作观察 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？ 当AD平分∠BAC时，位置特殊. D B C A 操作观察 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？ 当AD垂直BC时，位置特殊. D B C A 概念引入 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线. B A C D 如图，点D在BC上，BD＝CD，线段AD是△ABC的中线. 概念引入 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. B A C E 如图，点E在BC上，∠BAE＝∠CAE，线段AE是△ABC的角平分线. 概念引入 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为H，线段AH是△ABC的边BC上的高. B A C H 新知巩固 B C A D E F 1. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE，AD相交于点F. 指出图中三角形的角平分线和中线. 解：AD是△ABC的角平分线， AF是△ABE的角平分线， BE是△ABC的中线， DE是△ADC的中线. 新知巩固 B C A D E 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E.指出图中DE，AC分别是哪些三角形的高. 解：∵∠C＝90°， ∴ AC是△ABC，△ACD，△ABD的高， ∵ DE⊥AB， ∴ DE是△ABD，△ADE，△BDE的高. 3. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高. 填空： (1) BD＝_______＝ _______； (2) ∠BAE＝________＝ ________； (3) ∠AFB＝________＝_____°. 新知巩固 B C A D E F CD BC ∠CAE ∠BAC ∠AFC 90 尝试交流 如图，过点A分别画出△ABC的中线、角平分线、高. F E D 解：如图， AD是△ABC的中线， AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的高. 三角形的中线、角平分线、高各有几条？ B A C 新知探究 取一张长方形透明纸，在透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现？ B A C B A C B A C 新知探究 中线也交于一点吗？请你试一试. A B C A B C A B C 新知探究 高也交于一点吗？请你试一试. B A C A B C A B C 新知归纳 符号语言 基本特征 图示 角平分线 中线 高 ∵ AD是△ABC 的角平分线， ∴ ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC. ∵ AE是△ABC中BC边上的中线， ∴ BE＝EC＝BC. ∵AF是△ABC中BC边上的高， ∴ AF ⊥BC. 在三角形内部且相交于一点. 在三角形内部且相交于一点. 所在的直线相交于一点，高及高的交点不一定在三角形的内部. 典例分析 例1 如图，AD是△ABC的中线. 求证：△ABD和△ADC的面积相等. B A C D 证明：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H. AH是△ADC的高，也是△ABD的高. ∵ AD是△ABC的中线， ∴ BD＝DC. 又∵S△ABD＝BD·AH，S△ADC＝DC·AH， ∴S△ABD＝S△ADC． H 你会均分小熊的蛋糕了吗？ 典例分析 例2 如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，∠EAC＝∠B. 求证：∠ADE＝∠DAE. B A E D C 证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠ADE＝∠B＋∠BAD， ∠DAE＝∠EAC＋∠CAD， ∠EAC＝∠B， ∴∠ADE＝∠DAE. 新知巩固 1. 如图，BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，∠2＝50°. 求证：ED∥BC. B C A D E 2 1 证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠1， ∵∠1＝25°， ∴∠ABC＝2×25°＝50°. ∵∠2＝50°， ∴∠ABC＝∠2. ∴ED∥BC. 新知巩固 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm. (1) △ABC中AC边上的高是_____，BC边上的高是_____； (2) 在图中画出AB边上的高CD，并求CD的长； A C B 4cm 3cm D 解：(2) 因为∠ACB＝90°，CD⊥AB， 所以△ABC的面积＝×AB×CD＝ ×AC×BC， 因为AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm， 所以CD＝＝＝cm。 新知巩固 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm. A C B D (3) 能否在BC边上取一点E，使△ACE与△ABE的面积相等？ E 解：(3) 取BC的中点E，则CE＝BE＝ BC。 因为△ACE的面积＝×CE×AC， △ABE的面积＝ ×BE×AC， 所以△ACE与△ABE的面积相等。 课堂小结 三角形中的三条重要线段 中线 角平分线 等分三角形的面积 高 有多条高时，考虑等面积法求线段. 感谢聆听！ $$