1.2 提公因式法教学设计2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“提公因式法”这一因式分解起始内容，通过计算简便方法和多项式变形问题导入，关联整式乘法中乘法分配律的逆向运用，搭建从“运算”到“恒等变形”的学习支架。 此资料以“情境引入—概念建构—辨析深化—应用巩固—拓展反思”为逻辑主线，通过单项式实例抽象公因式概念，对比学生分解结果培养批判性思维，师生互动引导自主归纳步骤。核心素养方面，强化抽象能力（识别系数最大公因数与字母最低次幂）、运算能力（符号变形与分数系数处理）、推理意识（纠错深化分解彻底性），助力学生发展代数变形能力，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

1.2 提公因式法 一、教材分析 本节课学习提公因式法，是因式分解的起始内容，以具体代数式为载体，通过“说一说”“议一议”“做一做”等环节引导学生理解公因式的概念、识别方法及提取原则，并强调符号变换与彻底分解。教学过程遵循“情境引入—概念建构—辨析深化—应用巩固—拓展反思”的逻辑展开。本节与前面整式乘法（特别是乘法分配律）紧密联系，是其逆向运用；后续将为公式法分解、分式约分、解方程等奠定基础。它有助于学生发展代数推理能力、符号意识和运算能力，提升观察、归纳与转化的数学思维水平，是初中代数由“运算”走向“恒等变形”的关键一环。 二、学情分析 八年级学生已掌握整式的乘法、乘法分配律及因式分解的概念，具备识别单项式与多项式结构的能力，为学习提公因式法奠定了基础；此阶段学生抽象思维逐步发展，能理解“公因式”“提取”等代数操作，但对含负号变形（如 ）、分数系数公因式的确定及分解结果的彻底性仍易出现认知偏差；本节课要求学生能准确识别多项式各项的公因式（包括数字、字母及其最低次幂），熟练运用分配律逆运算进行提公因式，并注意符号处理与分解的完整性，从而提升代数恒等变形能力，为后续学习公式法、分式运算及方程求解提供关键支撑。 三、教学目标 1.理解公因式的概念及提公因式法的原理，能准确识别多项式各项的公因式，提升数学抽象与符号意识，发展数学运算能力。 2.掌握提公因式法的基本步骤，包括变形（如 ）、提取公因式、括号内化简，培养逻辑推理与转化能力，增强代数运算的规范性与灵活性。 3.能正确判断因式分解结果的彻底性（如 为最简形式），体会因式分解与整式乘法的互逆关系，发展模型观念与运算求简意识。 四、教学重难点 重点： 掌握提公因式法分解因式的步骤，能熟练运用提公因式法分解因式。 难点： 准确确定多项式各项的公因式，处理符号变形类的提公因式问题。 五、教学过程 1.课堂导入 同学们，我们先来看两个小问题： 1. 计算 ，除了先算乘法再算加法，有没有更简便的方法？ 2. 反过来，如果把 展开，得到的就是 ，这是乘法分配律的正向应用。那如果给你多项式 ，你能不能把它写成两个整式乘积的形式呢？ 其实这就是我们今天要学习的因式分解中的提公因式法。它是乘法分配律的逆向运用，能帮我们把复杂的多项式转化为更简洁的整式乘积形式，接下来我们就一起探究这种方法的具体规则和应用。 2.探究新知 （一）知识精讲 首先，我们来看单项式 和 。同学们，请观察这些式子，找出它们中次数大于0的因式。我们知道， 中次数大于0的因式有 和 ； 中次数大于0的因式有 和 。大家发现了吗？它们有一个相同的因式 。像这样，几个多项式中各项都含有的相同因式，就叫做它们的公因式。 由于 ，反过来，我们可以将多项式 写成 的形式。这就是对多项式 进行因式分解。像这样，如果一个多项式的各项有公因式，我们就可以从右到左运用乘法对加法的分配律，把这个公因式提到括号外面。这种因式分解的方法叫做提公因式法。 接下来，我们通过一个例子来深入了解。请同学们看多项式 ，三名同学分别给出了不同的因式分解结果： (1) ； (2) ； (3) 。 大家想一想，这些结果正确吗？用提公因式法分解因式时，我们应注意什么呢？实际上，(1)和(2)的结果虽然形式上是因式分解，但括号内的式子仍有公因式未提尽，所以没有分解彻底。只有(3)的结果是正确的，因为公因式 已经全部提出，括号内不再有公因式。所以，用提公因式法分解因式时，一定要将公因式提尽，即提出各项系数的最大公因数与各项相同字母的最低次幂的乘积。 再看下面的例子： （1） ； （2） 。 对于(1)，可以直接看出公因式是 ，所以： 对于(2)，注意 与 互为相反数，我们可以将 变形为 ，从而提取公因式： 最后，我们来看一个含有分数的例子：将多项式 因式分解。首先找出公因式：系数的最大公因数是 （因为 和 的最大公因数是 ），相同字母 的最低次幂是 ， 的最低次幂是 ，所以公因式是 。提取公因式后，括号内为 ，即： （二）师生互动 教师提问：同学们，我们在提取公因式时，如果多项式的首项系数是负数，我们是否可以先处理符号？比如多项式 ，你们觉得应该怎么提公因式？ 学生回答：可以先提取负号，使括号内首项为正，再提取公因式。比如 ，这样比较规范。 教师追问：非常好！那如果我们在提取公因式时，公因式中的字母次数怎么确定？比如在多项式 中，公因式的字母指数是多少？ 学生回答：取相同字母的最低次幂，所以 取 次， 取 次，公因式为 。 教师继续追问：那系数呢？如果是 ，公因式的系数应该是多少？ 学生思考后回答：系数的最大公因数， 和 的最大公因数是 ，所以公因式是 。 教师总结：同学们总结得很到位。提公因式时，系数要取各项系数的最大公因数（包括分数），字母取各项相同字母的最低次幂。这样就能确保公因式提尽，且分解结果唯一。 （三）设计意图 通过观察单项式的相同因式引入公因式概念，再通过提公因式法的逆向运用，帮助学生理解因式分解与整式乘法的互逆关系。借助三个同学不同结果的对比分析，培养学生的批判性思维和纠错能力，强调提因式要“彻底”这一关键点。在符号变形和分数系数的处理中，锻炼学生代数变形的灵活性和规范意识。师生互动环节通过有针对性的追问，引导学生自主归纳提公因式的步骤和注意事项，深化对本节核心知识的理解，同时培养分类讨论和数学表达的能力。整个探究过程注重从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，使学生在主动思考中掌握提公因式法。 3.新知应用 例1.把多项式 因式分解 解答： 我们来一步一步分析这个多项式： · 多项式有两项： 和 。 · 第一步：找系数的最大公因数 系数分别是 和 ，不考虑符号，它们的正整数部分是 和 。 ， ，所以最大公因数是 。 · 第二步：找字母部分的公因式 两项都含有字母 ： · 中 的次数是 ， · 中 的次数是 。 公因式中字母的次数应取最低次，即 。 · 第三步：确定公因式 系数取 ，字母部分取 ，所以公因式是 。 · 第四步：用分配律提取公因式 把每一项都写成 乘以某个因式： 所以： · 第五步：检查结果是否正确（可选验证） 展开右边： ，与原式一致，正确！ 例2.把多项式 因式分解。 解答： 我们按步骤分析： · 两项： 和 。 · 第一步：系数部分 和 的最大公因数是 （因为 ， ，公共质因数为 ）。 · 第二步：字母部分 观察每个字母是否在两项中都出现： · ：两项都有，次数分别为 和 → 取最低次 ； · ：两项都有，次数分别为 和 → 取最低次 ； · ：只在第二项出现 → 不能作为公因式的一部分。 所以字母公因式是 。 · 第三步：确定完整公因式 系数 × 字母 = 。 · 第四步：分别除以公因式，写出括号内部分 所以： · 第五步：验证（展开检验） ， ， 合起来正好是原式，正确！ 4.新知巩固 第1题：将 因式分解，应提取的公因式是（ A ） A． B． C． D． 第2题：若 三边 ， ， 满足 ，则 一定是（ B） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5. 课堂小结 同学们，这节课你们学到了什么？ 六、板书设计 提公因式法 ├─ 公因式定义：几个多项式的相同因式 │ ├─ 示例： 与 的公因式为 ├─ 方法原理：逆用乘法分配律 │ └─ 形式： ├─ 因式分解注意要点 │ ├─ 提尽公因式：如 （而非 或 ） ├─ 典型题型 │ ├─ 直接提公因式： │ ├─ 变形后提公因式： │ │ └─ 关键： │ └─ 含分数系数： 七、教学反思 本节课围绕提公因式法展开，通过“说一说”“议一议”“做一做”等环节，引导学生理解公因式概念、掌握提取公因式的步骤与变形技巧，强调符号处理（如 ）和系数最大公约数、字母最低次幂的确定。教学基本达成课标“能用提公因式法进行因式分解”的目标，学生在辨析 三种分解结果中深化了对“彻底性”和“最简公因式”的认识。成功之处在于问题链设计层层递进，注重代数推理与符号意识培养；不足在于对分数系数多项式（如 ）的公因式提取指导略显仓促，部分学生未能自主提炼 这一最简公因式，反映出对有理数运算与因式分解融合的学情预估不足。 学科网（北京）股份有限公司 $