精品解析：广东省中山市华侨中学2024-2025学年高一下学期段考（一）数学试题

2025年广东省中山市华侨中学高一下学期数学一段考 一、单选题 1. 化简sin°的值是 A. B. C. D. － 2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A B. C. D. 3. 下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( ) A. B. C. D. 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象向右平移个单位后得到的图象 C. 在区间的最小值为 D. 偶函数 8. 在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各式的值正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则． B. 若，，则三角形有一解． C. 若，则一定为等腰直角三角形． D. 若面积为，，则． 11. 如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为12 B. C. 时，过山车距离地平面40m D. 一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 三、填空题 12. 已知，若，则________. 13. __________. 14. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km. 四、解答题 15. 已知，． （1）分别求，的值； （2）若角终边上一点，求的值． 16. 在中，角的对边分别为.已知，且. （1）求角和； （2）若的面积为，求. 17. 已知函数 (1)求函数最小正周期和在上的值域； (2)若，求的值 18. 已知函数的部分图象如图所示.先将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象 （1）求的解析式; （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角，且，的面积，求. 19. 已知函数，． （1）若，求的对称轴方程； （2）若在上恰取得一次最大值和一次最小值，求的取值范围； （3）若在轴右侧的第一个零点为，令，且在内恰有6个零点，求实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广东省中山市华侨中学高一下学期数学一段考 一、单选题 1. 化简sin°的值是 A. B. C. D. － 【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：由诱导公式可得：，故选择A 考点：诱导公式 2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，扇形的半径为， 因此该扇形的面积为. 故选：A. 3. 下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项． 【详解】是最小正周期为的奇函数，故A错误； 的最小正周期是π是偶函数，故B错误； 是最小正周期是π是偶函数，故C错误； 最小正周期为π的奇函数，故D正确﹒ 故选：D． 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和正切函数的单调性直接得出结果. 【详解】由题意得， 函数在上单调递增且， 在上单调递增且， 因为， 所以， 所以. 故选：A. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角恒等变换公式化简，化为正切的齐次式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 则. 故选：D 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域． 【详解】， 因，所以．即值域为， 故选：C． 7. 已知函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象向右平移个单位后得到的图象 C. 在区间的最小值为 D. 为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断 【详解】因为的图象过点， 所以， 因为，所以， 因为的图象过点， 所以由五点作图法可知，得， 所以， 对于A，因为，所以为的图象的一条对称轴，所以A错误， 对于B，图象向右平移个单位后，得，所以B错误， 对于C，当时，，所以，所以在区间的最小值为，所以C错误， 对于D，，令， 因为，所以为偶函数， 所以D正确， 故选：D 8. 在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设钟楼的高度为，根据相似得到，代入数据计算得到答案. 【详解】如下图，设钟楼的高度为， 由，可得：， 由，可得：， 故， 故， 故选：D. 二、多选题 9. 下列各式的值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B选项；利用二倍角的正切公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为， 所以，， 故 ，D对. 故选：BD. 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则． B. 若，，则三角形有一解． C. 若，则一定为等腰直角三角形． D. 若面积为，，则． 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式即可判断C，由面积公式及余弦定理判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，因为，所以，则，故A正确； 对于B，因为，，由正弦定理得， 则，因为，所以，则，所以只有一解，则三角形只有一解，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 又，所以， 所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为面积为，，又， 所以， 所以，显然，则，因，所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为12 B. C. 时，过山车距离地平面40m D. 一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD. 【详解】由题意可知，周期满足，得， 所以，得，又，解得，. 所以，又，即，得，因为，所以，所以. 对于A，，A正确；对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得，即，，，解得，， 所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式,即可求得的值. 【详解】因为 所以，， 解得， 所以， 所以， 因为， 所以 故答案为: 13. __________. 【答案】4 【解析】 【分析】通分后，分母应用诱导公式、二倍角公式，分子逆用两角差的正弦公式化简后可得． 【详解】. 故答案为：4． 14. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km. 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解. 【详解】在中，因为，，， 由余弦定理得， 整理得， 解得或（舍去）， 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得： ， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题 15. 已知，． （1）分别求，的值； （2）若角终边上一点，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）由的值以及的范围，利用同角三角函数的基本关系即可求的值，进而可得的值. （2）利用三角函数的定义可求的值，利用正切的二倍角公式可求出的值，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， （2）由三角函数的定义可得， 由正切的二倍角公式可得， . 16. 在中，角的对边分别为.已知，且. （1）求角和； （2）若的面积为，求. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边得，再根据余弦定理可求出结果，再由正弦定理求出; （2）方法一：由上问可得，结合求出，利用面积公式可求出;方法二：由上问可得，结合求出，利用正弦定理表示出，结合面积公式可求出，再利用正弦定理求出. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 整理可得，. 由余弦定理得，. 又，则. 由正弦定理得，， 即，. 【小问2详解】 方法一：由可知，. , , ,解得. 方法二：由可知，. 由得， ， ， 解得, 17. 已知函数 (1)求函数的最小正周期和在上的值域； (2)若，求的值 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式为f（x）＝，进而得到函数的周期与值域； （2）由(1)知，利用二倍角余弦公式可得所求. 【详解】(1)由已知， ， ， ∴ 又，则 所以的最小正周期为 在时的值域为． (2)由(1)知， 所以 则 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查三角函数的化简求值，考查恒等变形能力，属于中档题. 18. 已知函数的部分图象如图所示.先将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象 （1）求的解析式; （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角，且，的面积，求. 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）利用给定的函数图象求出，再利用三角函数图象变换求出的解析式. （2）由（1）的信息求出角，再利用正弦定理、面积公式及余弦定理求解即得. 【小问1详解】 观察图象，函数的周期，则，， 由，得，而，则，， 将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得的图象， 最后向下平移1个单位长度，所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，则，而， 即，于是，解得， 由正弦定理及，得，由的面积，得， 即，解得， 在中，由余弦定理得. 19. 已知函数，． （1）若，求的对称轴方程； （2）若在上恰取得一次最大值和一次最小值，求的取值范围； （3）若在轴右侧的第一个零点为，令，且在内恰有6个零点，求实数． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，再由整体代换即可求得对称轴方程； （2）由可得，根据最值个数得出不等式即可求得； （3）依题意可求得，代入可得的表达式，再利用换元法可得方程有两不等实根，结合图象以及零点个数得出对应取值即可求得实数. 【小问1详解】 易知 ； 因为，所以， 令，即可得； 所以的对称轴方程为； 【小问2详解】 因为，，所以； 又因函数在上恰有1个最大值和1个最小值； 所以有； 解得， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由题知，．所以，； 又因，所以； 所以； 又因； 即在内有6个根； 令，则有， 显然，所以有两不等实根，不妨设为，， 则有，，显然，异号， 不妨设，， ①若，易知，， 结合图象易知，在上有2个根，在上有4个根， 所以符合题目要求； ②若，结合图象易知，在上有4个根， 故需在上有2个根，易知此时； 代入方程得，； 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角恒等变换以及换元法将零点个数问题转化为方程根个数问题，再根据函数与方程的思想利用数形结合即可求得参数取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$