精品解析：河北省省级联测考试2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

2024-2025学年下学期期末考试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数（，且）的图象恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用，令，得，将代入函数中计算即可求得函数的图象恒过点. 【详解】根据题意，函数中， 令，得， 将代入函数可得， 即函数的图象恒过点. 故选：A 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.64 D. 0.86 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的曲线的对称性及曲线表示的意义即可求解. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以正态曲线关于直线对称， 则. 又因为， 所以. 故选：D. 3. 已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，结合条件，列方程求解. 【详解】设的展开式中，通项为，， 由，所以. 由. 故选：D 4. 现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（ ） A. 504种 B. 126种 C. 84种 D. 56种 【答案】D 【解析】 【分析】根据隔板法，求出不同的分配方法. 【详解】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种. 故选：D 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，分，，三种情况去掉绝对值符号得到的解析式及值域，即可得解. 【详解】设，. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以当时，的最小值为3， 故选：C 6. 方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点存在定理，判断函数零点所在的区间即可. 【详解】方程的解，即函数的零点， 因为在定义域上单调递增，所以在单调递增， 因，因为，即，所以， 因为，因为，即，所以， 因为在单调递增，，所以在有零点， 故选：C. 7. 已知函数若关于方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【详解】∵， 当时， 在上为减函数，且， 当时，在上为增函数，且， 当时，在上为增函数，且， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为，解得， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 8. 小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用独立事件概率的乘法原理计算即可. 【详解】进行两次后，小王手中有7张牌意味着小王这两次都赢了， 第一次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第一次小王赢的概率是， 第一次赢之后小张有5张牌，第一种情况是有2张黑色牌，3张红色牌， 小王有4张黑色牌，有2张红色牌， 第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第二次小王赢的概率是： 第二种情况是有3张黑色牌，2张红色牌，小王有3张黑色牌，有3张红色牌， 第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第二次小王赢的概率是： 出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是， 出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是， 则两次均赢的概率为：. 故小王手中有7张牌的概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义逐选项判断即可. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故A正确； 对于B，，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确； 对于C，，定义域为，关于原点对称，，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，故D错误， 故选：AB. 10. 已知事件满足，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式、对立事件对选项逐一分析即可. 【详解】对于：，所以，故正确； 对于：因为，所以，故错误； 对于：， 可得，即， 所以，故正确； 对于：，故正确. 故选：. 11. 已知函数定义域为，若，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出判断AB；推理判断函数的奇偶性及周期性求解判断CD.. 【详解】令，得，令，得， 则，而，则， 对于B，令，得，B正确； 对于A，由，得或， 若，则由，得，与矛盾，因此，A正确； 对于C，令，得，函数是偶函数，C错误； 对于D，，令，得， 则，即，于是， 函数是以为周期的周期函数，， 所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数真数大于零和偶次根式被开方数非负列不等式组，解出的取值范围，即为函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为， 故答案为. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉几种常见函数求定义域的方法，具体原则如下： （1）分式中分母不为零； （2）偶次根式中被开方数大于或等于零； （3）对数真数大于零，底数大于零且不等于； （4）零次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切：，，； （6）已知函数的定义域为，求函数的定义域，只需； （7）已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即的值域. 13. 已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】分甲学校有2名师范生实习和1名师范生实习两种情况求解，结合分类加法计数原理计算即可. 【详解】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习， 所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 故答案为：. 14. 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的二项式系数之和是128，求： （1）展开式中含的项的系数； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】（1） （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出，进而求出含的项的系数. （2）由（1）的信息，结合二项式系数的性质求得答案. （3）求出展开式通项系数的绝对值，再建立不等式求解. 【小问1详解】 由的二项式系数之和是128，得，解得， 展开式的通项为， 令，得，所以展开式中含的项的系数为. 【小问2详解】 展开式中二项式系数最大的项为，. 【小问3详解】 由（1）知，的系数绝对值为， 当时，，解得， 由，得，因此， 所以展开式中系数绝对值最大的项是第3项，. 16. 已知一个袋子中装有大小、形状都相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地抽取2次，每次抽取1个小球． （1）求第2次抽到红球的概率； （2）已知第2次抽到的是红球，求第1次也抽到红球的概率； （3）设抽到红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）设第一次摸到红球，第二次摸到红球，第2次抽到红球的概率根据全概率公式计算即可； （2）第2次抽到的是红球，第1次也抽到红球的概率根据条件概率公式计算即可； （3）先列出随机变量的所有可能取值，再分别求出时的概率，再列出分布列，根据数学期望的计算公式计算即可. 【小问1详解】 设第一次摸到红球，第二次摸到红球，则，. 则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到红球的概率， 在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率=. 则 . 所以第2次抽到红球的概率为； 【小问2详解】 由（1）可知第一次，第二次抽到的都是红球的概率， 所以第2次抽到的是红球，第1次也抽到红球的概率 ； 【小问3详解】 设抽到红球的个数为，则随机变量的所有可能取值， 则两次都抽到白球的概率， 抽到一次红球一次白球的概率， 两次都抽到红球的概率， 所以随机变量的分布列： 0 1 2 所以随机变量X的期望. 17. 已知函数是上的偶函数，且． （1）求实数m，n的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性可求的值，根据可求的值. （2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （3）结合函数奇偶性和单调性，将函数不等式转化为代数不等式求解即可. 【小问1详解】 因为函数是上的偶函数， 所以恒成立. 所以对恒成立. 所以. 由. 故，. 【小问2详解】 在上单调递减.证明如下： 设， 则. 因为，所以，，. 所以，所以，即. 所以在上单调递减. 【小问3详解】 因为函数为偶函数，所以. 由函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，且图象关于轴对称. 所以或， 解得或. 所以不等式的解集为：. 18. 某农科研究所想要研究某种农产品的产量与施肥量之间的关系，通过调研得到一些数据如下表： 施肥量x 8 10 12 14 16 18 产量y 6 8 m t 11 12 已知，，x，y的样本相关系数，说明x，y满足线性回归． （1）求的值； （2）求出y关于x的经验回归方程； （3）若施肥量为12，14时的残差分别为，求的值． 参考公式：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，样本相关系数． 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据，求出；再根据平均数公式即可求解. （2）先根据表格求出，，再结合相关系数与回归系数之间的关系，根据题目条件求出，进而可求出回归系数，，得出y关于x的经验回归方程. （3）先根据回归方程计算出预测值；再根据残差的定义求出残差，进而可求解. 【小问1详解】 由表格可得：，. 因为，， 所以，即，解得：. 【小问2详解】 由表格可得：， . 因为，， 所以， 则，， 所以y关于x的经验回归方程为：. 【小问3详解】 当时，，残差为； 当时，，残差为； 所以，即. 19. 随机变量X的分布列如下： X 1 2 … n P … 已知，若某项研究需要数据正好符合关系式． （1）当时，求关于的关系式； （2）若，，求此时的； （3）若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后由题目信息可得表达式； （2）当时，易得.当，可得，据此可得，然后由错位相减法可得答案； （3）由，可得，然后由表达式可完成证明. 【小问1详解】 由题， 则 【小问2详解】 当，，则， 当，由题可得，，， ，则. 则 令， 则， 两式相减得 则，从而. 又时，，则； 【小问3详解】 由题， . 因，则， 从而，， ， ，， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期末考试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数（，且）图象恒过点（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.64 D. 0.86 3. 已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（ ） A. 504种 B. 126种 C. 84种 D. 56种 5. 已知，则最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是奇函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知事件满足，若，则下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，若，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________. 13. 已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 14. 已知，，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式系数之和是128，求： （1）展开式中含的项的系数； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）展开式中系数绝对值最大的项． 16. 已知一个袋子中装有大小、形状都相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地抽取2次，每次抽取1个小球． （1）求第2次抽到红球的概率； （2）已知第2次抽到的是红球，求第1次也抽到红球的概率； （3）设抽到红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望． 17. 已知函数是上的偶函数，且． （1）求实数m，n的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求不等式的解集． 18. 某农科研究所想要研究某种农产品的产量与施肥量之间的关系，通过调研得到一些数据如下表： 施肥量x 8 10 12 14 16 18 产量y 6 8 m t 11 12 已知，，x，y的样本相关系数，说明x，y满足线性回归． （1）求的值； （2）求出y关于x的经验回归方程； （3）若施肥量为12，14时的残差分别为，求的值． 参考公式：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，样本相关系数． 19. 随机变量X的分布列如下： X 1 2 … n P … 已知，若某项研究需要的数据正好符合关系式． （1）当时，求关于的关系式； （2）若，，求此时； （3）若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$