专题09：函数的基本性质（单调性、奇偶性、最值）（4大考点+17大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题09 函数的基本性质 知识点一、函数的单调性 1、单调函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上；②任意两个自变量，且；③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 2、单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 3、复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 知识点二、函数的奇偶性 1、函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 2、判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 3、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 4、常见奇偶性函数模型 常见奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 常见偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 知识点三、函数的最值 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 ①，都有；，使得，则M是函数的最大值； ②，都有；，使得，则M是函数的最小值. 考点一 确定函数的单调性 题型01：函数的单调性的定义及判断 【名师点拨】 1.函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 2.复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 【例1】（2024·上海杨浦·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析式直接判断单调性的方法，逐项分析得解. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上为严格增函数，D是. 故选：D 【例2】（2024复兴高级中学高三阶段练习）已知函数. (1)求的解析式; (2)判断并证明函数在上的单调性. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据代入，即可求得的解析式； （2）先判断的单调性，再利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意得, 解得, . （2）在上单调递增,证明如下: 设任意, 则 由,得, ,即, 故在上单调递增. 【跟踪训练】 1．（2024普陀区二模）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误. 【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度， 所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意. 故选. 2.（2024·黄浦区建平中学模拟）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增，且， 由增函数的定义可知，当时，有， 充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾， 若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立. 即对实数，“”是“”的充要条件. 故选：C 3.（2025大同中学开学考试）判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 【解析】解法一：设－1＜x1＜x2＜1， ＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 解法二：f′(x)＝＝， 所以当a>0时，f′(x)<0，当a<0时，f′(x)>0， 即当a>0时，f(x)在(－1，1)上为单调递减函数， 当a<0时，f(x)在(－1，1)上为单调递增函数． 题型02：求函数的单调区间 【例3】（2024七宝中学高三阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 【例4】（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， ，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数， 由复合函数单调性可得的单调递减区间为. 故选：C. 【跟踪训练】 1.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 2.（2022·广东高考）函数的单调递增区间是（       ） A． B． 和 C．和 D． 和 【答案】B 【解析】 如图所示： 函数的单调递增区间是和．故选：B. 题型03：分段函数的单调性 【名师点拨】函数，在上为增函数，则： ①在上单调递增；②在上单调递增；③． 函数，在上为减函数，则： ①在上单调递减；②在上单调递减；③． 【例5】（2024闵行区一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 【跟踪训练】 1.（2024金山中学高三阶段练习）已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，对于任意的都有成立 则函数在上是增函数 ∴，解得， 故选：B． 考点二 函数单调性的应用 题型04：利用单调性比较大小 【名师点拨】比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 【例6】（2024松江二中高三期中）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，所以函数为偶函数， 当时，设，则，故在上单调递增且恒为正数， 则函数在上单调递减，又函数为偶函数，故在上单调递增， 又，即，于是，即. 故选:C. 【跟踪训练】 1．（2023·重庆·统考模拟预测）设函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断出函数的单调性，再判断出，，的大小关系，进而求得结论． 【详解】解函数， 当时，由和在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 当时，单调递减， 又因为， 函数在上单调递减， ，，， . 故选：D． 2．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数得出其在，上单调递减性，从而可得，由此得出答案. 【详解】； 设，； 时，；则在，上单调递减； ；即； ． 故选：D 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，若a＝f(－1)，b＝，c＝f(20.3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【答案】　B 【解析】　∵函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，∴c＝f(20.3)＝f(－20.3)．∵1＜20.3＜2，∴－1＞－20.3＞－2，即－1＞－20.3＞log2.∵函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(－1)＜f(－20.3)＜f，即a＜c＜b. 题型05：利用函数的单调性解抽象不等式 【名师点拨】在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 【例7】（2024徐汇中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　 B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1，2) D．(－2，1) 【答案】　D 【解析】　因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f(x)的图象是一条连续的曲线． 因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数， 当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数， 所以函数f(x)是定义在R上的增函数． 因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x， 即x2＋x－2<0，解得－2<x<1. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在R上单调递增可求解. 【详解】易得函数在R上单调递增， 则由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：A． 2．（2024模范中学高三阶段练习）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域和单调性得到，解得答案. 【详解】函数是定义域为的减函数，因， 故，解得， 故选：C 3．（2025奉贤中学高三阶段练习）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合得到，且，求出x的取值范围. 【详解】画出的图象，如下： 显然要满足，则要，且， 解得：. 故选：C 题型06：利用函数的单调性求参数的取值范围 【名师点拨】 1、若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 常见、（1）分式函数、2）二次函数、（3）三次函数、（4）对数函数、（5）分段函数、（6）与绝对值有关的单调性问题 【例8】（2024宜山中学高三月考）若函数在区间上单调递增，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】由以及复合函数的单调性可得，再根据可求出结果. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以，即， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 【例9】（2025闵行中学高三阶段练习）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向及对称轴，可确定函数单调性，从而可得 【详解】解：函数为二次函数，对称轴为直线，且二次函数开口向下， 则的增区间为，减区间为； 故若函数在上是减函数 则. 故选：A. 【例10】（2023春·徐汇中学校考期中）已知函数，则“”是“f（x）在R上单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若f（x）在R上单调递减，则恒成立，则，a的取值范围包含，可判断“”是“”的充分不必要条件 【详解】， 若a<0，则恒成立，所以f（x）在R上单调递减， 若f（x）在R上单调递减，则恒成立，则， 所以“”是“f（x）在R上单调递减”的充分不必要条件， 故选：A 【例11】（2025奉贤中学高三阶段练习）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数及二次函数的单调性可得，进而即得. 【详解】因为函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以， 解得. 故选：B. 【例12】（2025位育中学高三阶段练习）已知f（x）=是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___. 【答案】 【分析】根据分段函数每段递减以及左边一段的最低点不低于右边一段的最高点，列不等式组求解即可. 【详解】解：由f（x）=是定义在R上的减函数可得 ， 解得，即a的取值范围是 故答案为： 【例13】（2023·全国·高三专题练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出函数在区间上为增函数的的取值范围，结合与的关系求出答案 【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件. 故选：A 考点三 函数的奇偶性及其应用 题型07：函数奇偶性的判断 【名师点拨】1．判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 【例14】（2025·上海虹口·二模）下列函数中为奇函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【例15】（2025奉贤中学高三阶段练习）已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【解析】因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝x是定义在R上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函数． 【例16】（2025复旦附中高三阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 【跟踪训练】 1.（2022·广西高考）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 函数为偶函数，A错， ∵ ，∴   函数为偶函数，C错， ∵ ，∴ 函数为奇函数， ∵   当时，，时，， ∴ 函数在定义域上不是单调递增函数，B错， ∵ ，又函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减， ∴   函数既是奇函数，又在定义域上单调递增，D对， 故选：D. 2．（2023•上海高考）下列函数是偶函数的是（　　） A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x 【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可． 【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sinx为奇函数； 对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cosx为偶函数； 对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数； 对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数． 故选：B． 【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题． 3.（2025控江中学月考）已知函数的图象经过点，则函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解析】，整理得，即， 则，． 当时，；当时，， 即对一切实数都成立，即函数的定义域为． ， 即函数为奇函数． 故选：A． 题型08：已知函数的奇偶性求函数值与解析式 【例17】（2024进才开学考试）函数是偶函数，当时，，则________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解. 【详解】因为当时，， 所以当时，， 所以， 函数是偶函数， 所以， 所以， 故答案为：. 【例18】（2025上海市控江中学三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集. 【解析】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，，此时，. 又， 综上所述，. ①当时，由，得，解得，此时，； ②当时，即当时， 由得，整理得，解得，此时； ③当由得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为 . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集. 【跟踪训练】 1.（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知是奇函数，当时，，则的值是 . 【答案】/ 【分析】根据函数为奇函数求解即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 则. 故答案为：. 2．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】/ 【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值. 【详解】令，则由题意为奇函数， 所以当时，， 此时， 故，所以. 故答案为：. 3．（2021·上海虹口·一模）已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______. 【答案】 【分析】由条件可得，然后可算出答案. 【解析】因为，是定义域为的奇函数， 所以 因为当时，有，所以 所以 故答案为： 4．（2024上海徐汇·一模）定义在上的偶函数，当时，，则在上的零点个数为___________个. 【答案】 【分析】因为函数是定义在上的偶函数,求出时,在的零点个数,根据偶函数关于轴对称,即可求得在上的零点个数. 【解析】当时,, 函数的零点由:, 即, 解得或. 函数是定义在上的偶函数, 根据偶函数关于轴对称, 函数的零点个数为:4个. 故答案为:4. 【点睛】本题考查了求偶函数的零点个数问题,解题关键是掌握偶函数图像关于轴对称,属于基础题. 题型09：已知函数的奇偶性求参数的值 【名师点拨】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 【例19】（2024·上海杨浦·一模）已知函数是偶函数，则实数的值为 . 【答案】0 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知， 由于为偶函数，故，即，即， 故， 故答案为：0 【例20】（2024·上海徐汇·一模）设.若函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】1 【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，且满足，即可求出结果. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可知， 再由， 所以， 故答案为：1. 【跟踪训练】 1．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求. 【详解】因为函数是偶函数， 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称， 所以，且， 所以. 故答案为：. 2．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝　　． 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得a•3（﹣x）+＝a•3x+，变形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数y＝a•3x+为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）， 即a•3（﹣x）+＝a•3x+， 变形可得：a（3x﹣3﹣x）＝（3x﹣3﹣x）， 必有a＝1； 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题． 3．（2024·上海长宁·二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】由已知结合奇函数的定义可求出及时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 若， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 当时，可得，显然不成立， 故的取值范围为或. 故答案为：或. 4．（2024·上海金山·二模）设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由奇函数定义求出，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. 【详解】函数是奇函数，则恒成立， 而不恒为0，因此，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为： 题型10：应用奇偶性判断函数图象 【例21】（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象和的奇偶性判断. 【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 题型11：局部奇偶函数 【名师点拨】已知奇函数，，则 （1） （2） 【例22】（2025上师闵行开学考试）已知，若，则______. 【答案】4042 【分析】由得. 【详解】由题意，， 故，. 故答案为：4042. 【例23】（2025行知中学高三阶段练习）已知函数，若，则（    ） A． B．2022 C．2023 D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性可得函数函数是奇函数，进而，结合题意即可求解. 【详解】设， 则， 即函数是奇函数，， 则， 而，所以. 故选：C. 【跟踪训练】 1.（2025上海实验中学高三阶段练习）设函数的最大值为5，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据题意，设，利用定义法判断函数的奇偶性，得出是奇函数，结合条件得出的最大值和最小值，从而得出的最小值.由题可知，， 设，其定义域为， 又， 即， 由于 ， 即，所以是奇函数， 而， 由题可知，函数的最大值为5， 则函数的最大值为：5-3=2， 由于是奇函数，得的最小值为-2， 所以的最小值为：-2+3=1. 故选：B. 2.（2025南洋模范中学高三阶段练习）已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 3.（2025延安中学高三阶段练习）设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 【答案】 【解析】的定义域为且为奇函数， 所以， ， 所以，， 设， 则，所以是奇函数， 依题意可知，在的最大值为， 所以在的最小值为， 所以在的最小值为. 故答案为： 4．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 【答案】 【分析】由偶函数的性质可得出，令，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值. 【详解】因为二次函数为偶函数， 则该函数的对称轴为直线，可得， 令，， 则， 因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为. 故答案为：. 题型12：函数的单调性与奇偶性结合 【例24】（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义及基本函数的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为R，且，所以为奇函数， 又是严格增函数，正确； 对于B，的定义域为R，且，所以不为奇函数，错误； 对于C，的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，是严格增函数，错误； 对于D，的定义域为R，且，所以为奇函数， 但为周期函数，不是定义域R上的严格增函数，错误. 故选：A 【例25】（2023·上海奉贤·统考一模）函数在定义域上是（     ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 【答案】A 【分析】根据题意，分别判断函数奇偶性以及单调性，即可得到结果. 【详解】令，任取， 则， 因为是上的严格增函数，所以， 则，所以， 则函数是上的严格增函数； 又，即函数为奇函数， 所以函数在定义域上是严格增的奇函数. 故选：A 【跟踪训练】 1．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项验证. 【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误； 对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数， 同时在上是严格增函数，故D正确. 故选：D. 2．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　） A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断． 【解答】解：y＝﹣3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意； 因为y＝x3在R上是增函数，B不符合题意； y＝log3x，y＝3x为非奇非偶函数，C不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题． 3．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【详解】对于命题，令函数， 则，此时，当函数不是奇函数， 所以命题为假命题， 对于命题，当时，都有，即，不可能， 即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题. 故选：C. 考点四 函数的最值问题 题型13：利用函数单调性求最值 【例26】（2023上海实验期末）已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的最大值及单调区间，依题意可得在区间上单调递增，即可得到，从而得到、为方程的两根，再利用韦达定理计算可得. 【详解】解：因为，对称轴为，开口向下， 函数在上单调递增，在上单调递减， 依题意，所以，所以在区间上单调递增， 所以，即，所以、为方程的两根， 所以. 故选：A 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______． 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性可得结果. 【详解】解：时，单调递增，； 时，单调递减，. 所以的最大值为． 故答案为：． 2．已知函数是上的偶函数 (1)求实数的值，判断函数在,上的单调性； (2)求函数在,上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增 (2)最小值，最大值 【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得，再根据函数单调性的定义可判断函数在,上的单调性. （2）根据函数的奇偶性和单调性，判断在,上的单调性，利用单调性可求得函数最值. 【详解】（1）若函数是上的偶函数，则， 即，解得， 所以， 函数在上单调递减． （2）由（1）知函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以函数在,上为增函数， 所以函数在,上为增函数，在,上为减函数． 又 所以 题型14：根据函数最值求参数 【例27】若函数在区间上的最大值为，则实数_______. 【答案】3 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】∵函数， 由复合函数的单调性知， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为， 即，显然不合题意， 故实数. 故答案为：3 【跟踪训练】 1．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围. 【详解】①当时，在上单调递增， 所以，因此满足题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减 （i）当时，在上单调递增， 所以，则， ， 所以，，， ，， ， 或或 ； （ii）当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，即， ； 综上，的取值范围为. 故答案为： 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数最小值为，则____________． 【答案】 【分析】本题首先可通过函数有最小值得出，然后通过基本不等式得出，最后通过函数最小值为求出，通过检验即可得出结果. 【详解】因为函数有最小值，所以， 因为， 所以， 因为函数最小值为， 所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意， 故答案为：. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． 4．（2024·上海徐汇·二模）在下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断，利用对数函数性质和基本不等式确定偶函数的值域． 【详解】ACD三个选项中函数定义域是， 函数的定义域是，，为偶函数，由对数函数性质知其值域为，B符合； ，因此是奇函数，A不符； ，因此是偶函数，但，当且仅当时取等号，因此函数值域不是，C不符； ，是奇函数，D不符. 故选：B ． 题型15：函数不等式恒成立与有解问题 【例28】（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理. 【详解】，令，由于，根据指数函数性质，， 于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值. 根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远， 故，于是. 故答案为： 【例29】（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，都存在，使得成立， 因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， 而当时，，，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故. 【跟踪训练】 1．对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可. 【详解】因为对任意的，都有恒成立， ∴对任意的恒成立． 设， ，， 当，即时，， ∴实数a的取值范围是. 故选：D. 2．（2025七宝中学高三三模）若，，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】若，，即，转化为求，求解即可. 【详解】若，， 则，令，， 令，，则， 所以， 由双勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故，所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 考点四 抽象函数 题型18：抽象函数的单调性 【名师点拨】给变量赋值要根据条件与结论的关系，记住以下两种常见情况 ①若为“和型”抽象函数，结合定义要变形为 ②若为“积型”抽象函数，结合定义要变形为 【例30】（2025复兴高级中学高三阶段练习）函数对任意的，都有，并且当时，． (1)求证：是上的增函数． (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，且，则，∴． 因此 ． ∴．故是上的增函数． （2）∵对任意的，都有， ∴，∴．∵是上的增函数， ∴．∴，解得， 所以不等式的解集为. 【例31】（2025复兴高级中学高三阶段练习）定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)在上单调递增 (3) 【详解】（1）取得，； ；； （2）令，可得， 设，则，所以，即， 在上单调递增； （3）根据满足的条件②及，由得，； 根据为增函数得：； 再由的定义域，便得到不等式组； 解得，的取值范围为． 【跟踪训练】 1．（2024市西中学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有.试说明：函数是上的单调递减函数； 【答案】答案见解析 【详解】 设是上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以是上的单调递减函数. 2．（2024市西中学高三阶段练习）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）在等式中， 令，可得，解得； （2）因为，则， 任取，则， 由时，，可得， 则，即， 因此，函数在上是增函数． 3．（2023·广西玉林·统考三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【答案】C 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【详解】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 题型17：抽象函数的奇偶性 【名师点拨】令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性 【例32】定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【例33】定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 【跟踪训练】 1．（1）已知函数，，若，，都有，求证：为奇函数； （2）已知函数，，若，，都有，求证：为偶函数； （3）设函数的定义域为，证明：是偶函数，是奇函数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【详解】（1）令，则，． 令，，则，． 又的定义域为，是奇函数． （2）令，，得①， 令，，得②， 由①②得，即， 又的定义域为，是偶函数． （3），，则的定义域也是． 设，， 则与的定义域都是，关于原点对称， ， ， 为偶函数，为奇函数， 即是偶函数，是奇函数. 2．已知定义在上的函数，对于，恒有. (1)求证：是奇函数； (2)若是增函数，解关于x的不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）取，则，解得， 取，则， 所以， 故为奇函数； （2）不等式，即， 又为上的单调递增函数， 则，即， 当时，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为． 当时，解得，不等式的解集为． 考点五 综合解答题 【例34】（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 【例35】（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 【例36】（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 【例37】（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 1. （2025上海秋季高考）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 2．（2024年上海市高考数学第16题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 3．（2024年上海市高考数学第4题）已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 4．（2023•上海）已知，，函数． （1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由； （2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围． 【解析】（1）若，则， 要使函数有意义，则，即的定义域为， 是奇函数，是偶函数， 函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数． （2）若函数过点，则（1），得，得， 此时，若数与轴负半轴有两个不同交点， 即，得，当时，有两个不同的交点， 设， 则，得，得，即， 若即是方程的根， 则，即，得或， 则实数的取值范围是且且， 即，，． 5．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上， 是的增函数， 要使在区间单调递减， 则在区间单调递减， 即，即， 故实数的取值范围是，． 故选：． 6．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则　　 A． B．0 C． D．1 【解析】由，得或， 由是偶函数， ， 得， 即， ，得， 得． 故选：． 7．【2022年上海市高考数学第8题】若函数f（x），为奇函数，求参数a的值为　　　　． 【答案】1． 【解答】解：∵函数f（x），为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）， ∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a2﹣1＝﹣（a+1），即 a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝1． 当a＝0时，f（x），不是奇函数，故a≠0； 当a＝1时，f（x），是奇函数，故满足条件， 综上，a＝1， 故答案为：1． 8．【2022年上海市高考数学第12题】设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为 　　　　．． 【答案】[，+∞）． 【解答】解：法一：令，解得（负值舍去）， 当时，， 当时，， 且当时，总存在，使得f（x1）＝f（x2）， 故， 若，易得， 所以， 即实数a的取值范围为； 法二：原命题等价于任意， 所以恒成立， 即恒成立，又a＞0， 所以， 即实数a的取值范围为． 故答案为：． 9．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数　　 A． B． C． D． 【解析】在上单调递减且为奇函数，符合题意； 因为在上是增函数，不符合题意； ，为非奇非偶函数，不符合题意； 故选：． 10．（2021•上海）已知函数． （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围． 【分析】（1）把代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案； （2），设，得，，求得等式右边关于的函数的值域可得的取值范围； （3）分与两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的范围． 【解答】解：（1）当时，， 由，得，解得或． 函数的定义域为，，； （2）， ， 设，有两个不同实数根，整理得，， ，，当且仅当时，方程有2个不同实数根， 又，的取值范围是； （3）当时，，在，上单调递减， 此时需要满足，即，函数在，上递减； 当时，，在，上递减， ，，即当时，函数在上递减． 综上，当，时，函数在定义域上连续，且单调递减． 【点评】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题． 11．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　 　． ①；②当时，；③是奇函数． 【解析】时，；当时，；是奇函数． 故答案为：． 另解：幂函数即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③， 综上所述，取即可． 15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则　　． 【解析】函数是偶函数， 为上的奇函数， 故也为上的奇函数， 所以， 所以． 法二：因为函数是偶函数， 所以， 即， 即， 即， 所以． 故答案为：1． 12．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则　　 A． B． C．（2） D．（4） 【解析】函数为偶函数， ， 为奇函数， ， 用替换上式中，得， ，，即， 故函数是以4为周期的周期函数， 为奇函数， ，即， 用替换上式中，可得，， 关于对称， 又（1）， （1）． 故选：． 13．（2020•上海）若函数为偶函数，则　　． 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数为偶函数，则， 即， 变形可得：， 必有； 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题． 14．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【解析】由，得或． 令， 外层函数是其定义域内的增函数， 要使函数在上单调递增， 则需内层函数在上单调递增且恒大于0， 则，，，即． 的取值范围是，． 故选：． 15．（2019•上海）已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为　　 A． B． C． D． 【解析】由于函数，存在常数， 为偶函数， 则：， 由于函数为偶函数， 故：， 所以：， 当时． 故选：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题09 函数的基本性质 知识点一、函数的单调性 1、单调函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的_________的值，当时，都有__________，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的__________的值，，当时，都有__________，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上；②任意两个自变量，且；③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 2、单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 3、复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从________”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 知识点二、函数的奇偶性 1、函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于________对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于________对称 2、判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 3、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是___________. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有_________； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 4、常见奇偶性函数模型 常见奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 常见偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 知识点三、函数的最值 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 ①，都有；，使得，则M是函数的最大值； ②，都有；，使得，则M是函数的最小值. 考点一 确定函数的单调性 题型01：函数的单调性的定义及判断 【名师点拨】 1.函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 2.复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 【例1】（2024·上海杨浦·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024复兴高级中学高三阶段练习）已知函数. (1)求的解析式; (2)判断并证明函数在上的单调性. 【跟踪训练】 1．（2024普陀区二模）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·黄浦区建平中学模拟）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2025大同中学开学考试）判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 题型02：求函数的单调区间 【例3】（2024七宝中学高三阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【例4】（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2.（2022·广东高考）函数的单调递增区间是（       ） A． B． 和 C．和 D． 和 题型03：分段函数的单调性 【名师点拨】函数，在上为增函数，则： ①在上单调递增；②在上单调递增；③． 函数，在上为减函数，则： ①在上单调递减；②在上单调递减；③． 【例5】（2024闵行区一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2024金山中学高三阶段练习）已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二 函数单调性的应用 题型04：利用单调性比较大小 【名师点拨】比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 【例6】（2024松江二中高三期中）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·重庆·统考模拟预测）设函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，若a＝f(－1)，b＝，c＝f(20.3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c 题型05：利用函数的单调性解抽象不等式 【名师点拨】在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 【例7】（2024徐汇中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　 B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1，2) D．(－2，1) 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024模范中学高三阶段练习）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025奉贤中学高三阶段练习）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06：利用函数的单调性求参数的取值范围 【名师点拨】 1、若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 常见、（1）分式函数、2）二次函数、（3）三次函数、（4）对数函数、（5）分段函数、（6）与绝对值有关的单调性问题 【例8】（2024宜山中学高三月考）若函数在区间上单调递增，则的最小值为____________． 【例9】（2025闵行中学高三阶段练习）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】（2023春·徐汇中学校考期中）已知函数，则“”是“f（x）在R上单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例11】（2025奉贤中学高三阶段练习）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例12】（2025位育中学高三阶段练习）已知f（x）=是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___. 【例13】（2023·全国·高三专题练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三 函数的奇偶性及其应用 题型07：函数奇偶性的判断 【名师点拨】1．判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 【例14】（2025·上海虹口·二模）下列函数中为奇函数的是　　 A． B． C． D． 【例15】（2025奉贤中学高三阶段练习）已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【例16】（2025复旦附中高三阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【跟踪训练】 1.（2022·广西高考）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 2．（2023•上海高考）下列函数是偶函数的是（　　） A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x 3.（2025控江中学月考）已知函数的图象经过点，则函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 题型08：已知函数的奇偶性求函数值与解析式 【例17】（2024进才开学考试）函数是偶函数，当时，，则________. 【例18】（2025上海市控江中学三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________. 【跟踪训练】 1.（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知是奇函数，当时，，则的值是 . 2．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ． 3．（2021·上海虹口·一模）已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______. 4．（2024上海徐汇·一模）定义在上的偶函数，当时，，则在上的零点个数为___________个. 题型09：已知函数的奇偶性求参数的值 【名师点拨】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 【例19】（2024·上海杨浦·一模）已知函数是偶函数，则实数的值为 . 【例20】（2024·上海徐汇·一模）设.若函数是定义在上的奇函数，则 . 【跟踪训练】 1．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 . 2．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝　　． 3．（2024·上海长宁·二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ． 4．（2024·上海金山·二模）设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 题型10：应用奇偶性判断函数图象 【例21】（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 题型11：局部奇偶函数 【名师点拨】已知奇函数，，则 （1） （2） 【例22】（2025上师闵行开学考试）已知，若，则______. 【例23】（2025行知中学高三阶段练习）已知函数，若，则（    ） A． B．2022 C．2023 D． 【跟踪训练】 1.（2025上海实验中学高三阶段练习）设函数的最大值为5，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2.（2025南洋模范中学高三阶段练习）已知函数，且，则 ． 3.（2025延安中学高三阶段练习）设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 . 4．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 题型12：函数的单调性与奇偶性结合 【例24】（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【例25】（2023·上海奉贤·统考一模）函数在定义域上是（     ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 【跟踪训练】 1．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　） A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 3．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 考点四 函数的最值问题 题型13：利用函数单调性求最值 【例26】（2023上海实验期末）已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______． 2．已知函数是上的偶函数 (1)求实数的值，判断函数在,上的单调性； (2)求函数在,上的最大值和最小值． 题型14：根据函数最值求参数 【例27】若函数在区间上的最大值为，则实数_______. 【跟踪训练】 1．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数最小值为，则____________． 3．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 4．（2024·上海徐汇·二模）在下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 题型15：函数不等式恒成立与有解问题 【例28】（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______． 【例29】（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____________． 【跟踪训练】 1．对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七宝中学高三三模）若，，则实数m的取值范围是______. 考点四 抽象函数 题型18：抽象函数的单调性 【名师点拨】给变量赋值要根据条件与结论的关系，记住以下两种常见情况 ①若为“和型”抽象函数，结合定义要变形为 ②若为“积型”抽象函数，结合定义要变形为 【例30】（2025复兴高级中学高三阶段练习）函数对任意的，都有，并且当时，． (1)求证：是上的增函数． (2)若，解不等式． 【例31】（2025复兴高级中学高三阶段练习）定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 【跟踪训练】 1．（2024市西中学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有.试说明：函数是上的单调递减函数； 2．（2024市西中学高三阶段练习）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 3．（2023·广西玉林·统考三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 题型17：抽象函数的奇偶性 【名师点拨】令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性 【例32】定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【例33】定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【跟踪训练】 1．（1）已知函数，，若，，都有，求证：为奇函数； （2）已知函数，，若，，都有，求证：为偶函数； （3）设函数的定义域为，证明：是偶函数，是奇函数． 2．已知定义在上的函数，对于，恒有. (1)求证：是奇函数； (2)若是增函数，解关于x的不等式. 考点五 综合解答题 【例34】（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【例35】（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【例36】（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【例37】（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 1. （2025上海秋季高考）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 2．（2024年上海市高考数学第16题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 3．（2024年上海市高考数学第4题）已知，，且是奇函数，则 ． 4．（2023•上海）已知，，函数． （1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由； （2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围． 5．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 6．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则　　 A． B．0 C． D．1 7．【2022年上海市高考数学第8题】若函数f（x），为奇函数，求参数a的值为　　　　． 8．【2022年上海市高考数学第12题】设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为 　　　　．． 9．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数　　 A． B． C． D． 10．（2021•上海）已知函数． （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围． 11．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　 　． ①；②当时，；③是奇函数． 12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则　　． 13．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则　　 A． B． C．（2） D．（4） 14．（2020•上海）若函数为偶函数，则　　． 15．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 15．（2019•上海）已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为　　 A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$