专题02：常用逻辑用语（4大考点+7大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题2 常用逻辑用语 知识点01：命题 1.定义与组成：能___________的陈述句，叫做命题. 命题必定由______与____两部分组成。 2.命题的分类：判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 假命题的确定：__________（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. 真命题的确定：________ 3. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识02：充分条件、必要条件与充要条件 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的________________； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的__________________； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的____________________； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的_____________________． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点03： 从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则________________； （2）若p是q的充分不必要条件，则__________________； （3）若p是q的必要不充分条件，则___________________； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 知识点04：反证法 反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法。 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； 考点一 命题的概念与分类 题型01：命题真假的判断 【名师点拨】假命题举反例，真命题要推理证明. 【例1】（2024上海高三阶段练习）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【例2】（2024·上海松江·二模）设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是.那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，①是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 2．（2022•闵行区二模）已知、、是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在．则说法正确的一项是　　 A．命题（1）和（2）均为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）和（2）均为假命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 3．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 4．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 题型02：已知命题的真假求参数 【名师点拨】由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围 【例3】（2024上海高三阶段练习）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【例4】（2023·重庆酉阳·一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1．（2020·上海市七宝中学模拟预测）已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________ 2．（2022·上海青浦·二模）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________． 3．（2016·上海师大附中模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是________________． 考点二 充分必要条件 题型03：充分、必要条件的判定 【名师点拨】充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 【例5】（2024·上海闵行·二模）设，则“”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例6】（2024上海高三阶段练习）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例7】（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8】（23-24高三下·上海浦东新·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例9】（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【跟踪训练】 1．（2024·上海嘉定·一模）已知为正数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（2024·上海静安·一模）设，则“”是“且”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2024上海高三阶段练习）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024上海高三阶段练习）设，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型04：充分、必要条件的选择 【名师点拨】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． 【例10】（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例11】（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 . 【跟踪训练】 1.（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 2，（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型05：根据充分必要条件关系求参数 【名师点拨】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. (3)数学定义都是充要条件. 【例12】（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【例13】（2023·全国·高三对口高考）已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“不等式成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点三 反证法 题型06：反证法的运用 【名师点拨】应用反证法证明命题第一步是假设的命题不成立，即否定命题的结论. 这一步是十分关键的. 只有这步表述得对了，接下去的逻辑推理才有意义. 【例14】用反证法证明命题：“已知a、，若ab可被5整除，则a、b中至少有一个能被5整除”时，第一步应假设________成立． 【例15】记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. (1)求证：； (2)若，，求证：： (3)若u是非零有理数，且，求证：. 题型07：充要条件的证明 【名师点拨】证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【例16】（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为. (1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件； (2)若，且，求实数的取值范围. 【例17】（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【跟踪训练】 1.（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 2．设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 一、填空题 1．（2020上海春季高考）已知角是的内角，则“”是“”的__________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）． 二、选择题 2. （2025上海秋季高考）设．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C ，且 D. ，且 3．（2019•上海）已知、，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．【2022年上海市高考数学第16题】设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z} ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　　　） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 5．（2020•上海）命题：存在且，对于任意的，使得（a）； 命题单调递减且恒成立； 命题单调递增，存在使得， 则下列说法正确的是　　 A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．，都是的充分条件 D．，都不是的充分条件 6．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线，，．则“，，共面”是“，，两两相交”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. （2024•北京数学卷）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. （2025•天津数学卷）设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题2 常用逻辑用语 知识点01：命题 1.定义与组成：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题. 命题必定由条件与结论两部分组成。 2.命题的分类：判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. 真命题的确定：直接法和反证法. 3. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识02：充分条件、必要条件与充要条件 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点03： 从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 知识点04：反证法 反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法。 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 考点一 命题的概念与分类 题型01：命题真假的判断 【名师点拨】假命题举反例，真命题要推理证明. 【例1】（2024上海高三阶段练习）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、并集的概念及运算、交集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B 【例2】（2024·上海松江·二模）设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是.那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，①是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】C 【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前项和性质分析②的真假，综合可得答案. 【详解】根据题意，对于命题①，是公差不为零的等差数列， 若，则在中，至少有一项为， 假设，则， 必有， 反之，在等差数列中，若， 则，有，则成立， 但不成立， 故是的必要非充分条件，故①正确； 对于命题②，若是等比数列，设其公比为，若，时， 有，则中，至少有一项为，则， 假设则有必有， 又由，必有为偶数且，故， 反之，若，则，必有，则有，， 则， 若是等比数列且，，则的充要条件是， 故②正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解. 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【知识点】判断命题的真假 【分析】对于命题，令，根据函数的性质判断其真假； 对于命题，当时，，通过分析函数关系判断其真假. 【详解】令，其定义域为R， 对任意的实数，满足， 则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是真命题； 假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 当时，， 由，则，则，出现矛盾， 所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是假命题. 故选：C. 2．（2022•闵行区二模）已知、、是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在．则说法正确的一项是　　 A．命题（1）和（2）均为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）和（2）均为假命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 【分析】直接利用向量的线性运算和共线向量的基本定理的应用判断（1）和（2）命题的真假． 【解答】解：对于（1）：当时，由，整理得：； 整理得：， 由于和不共线， 由向量基本定理得：满足条件的点存在且是唯一的，故（1）为真命题； 对于（2）：当时，整理得， 所以，所以和共线； 所以、、三点共线；与、、是平面内不共线的三点出现矛盾，故满足条件的点不存在，故（2）为真命题； 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的共线的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 3．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【详解】对于命题，令函数， 则，此时，当函数不是奇函数， 所以命题为假命题， 对于命题，当时，都有，即，不可能， 即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题. 故选：C. 4．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 满足和是有限集， 从而和是-互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 题型02：已知命题的真假求参数 【名师点拨】由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围 【例3】（2024上海高三阶段练习）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解. 【详解】若命题任意“，”为假命题， 则命题存在，为真命题， 因为时，， 令，则， 则在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 【例4】（2023·重庆酉阳·一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件； （2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得. 【详解】（1）由q真：，得或， 所以q假：； （2）p真：推出， 由和有且只有一个为真命题， 真假，或假真， 或， 或或. 【跟踪训练】 1．（2020·上海市七宝中学模拟预测）已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解 【解析】根据题意，要说明其为假命题，可以令，，，此时满足，但不成立，故原命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题. 2．（2022·上海青浦·二模）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________． 【答案】； 【分析】依题意，不存在整数使不等式成立，设不等式的解集为，分情况讨论大于0且不等于1，等于1，小于0和等于0四种情况讨论，可得答案． 【解析】“存在整数使不等式成立”是假命题，即不存在整数使不等式成立． 设不等式的解集为， 当时，得，不合题意； 当且时，原不等式化为， ，，要使不存在整数使不等式成立， 须，解得：且； 当时，，合题意， 当时，原不等式化为，，不合题意， 综上所述，． 故答案为： 3．（2016·上海师大附中模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【分析】命题“”是假命题,等价于“”是真命题， 利用绝对值三角不等式求得的最小值，进而可得结果. 【解析】命题“”是假命题, 等价于“”是真命题， 因为， 所以，或， 则实数的取值范围是， 故答案为. 【点睛】本题主要考查特称命题与全称命题的判断，考查的绝对值三角不等式的应用，属于中档题. 考点二 充分必要条件 题型03：充分、必要条件的判定 【名师点拨】充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 【例5】（2024·上海闵行·二模）设，则“”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，或，不能推出有成立； 当时，则，必有成立， 故“”是“”的必要非充分条件， 故选：B 【例6】（2024上海高三阶段练习）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论. 【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. 【例7】（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【详解】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例8】（23-24高三下·上海浦东新·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的充要条件求值即可得. 【详解】设，， 直线方程可化为，且直线的斜率为， 若，则直线斜率存在，， 故直线方程可化为， 由，解得，故， 当时，直线的方程为，直线的方程为， 此时，即. 因此，是的充要条件. 故选：C. 【例9】（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可. 【详解】在中，令内角所对的边分别为， 由正弦定理得， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 【跟踪训练】 1．（2024·上海嘉定·一模）已知为正数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】当时，所以为增函数，所以， 当时，当时，则，当时，则，此时； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 2．（2024·上海静安·一模）设，则“”是“且”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】正向取反例即可，反向根据不等式性质即可，最后根据必要不充分条件判定即可. 【详解】正向来看，取，则，满足，但不满足且，故充分性不成立， 反向来看，，则，故必要性成立， 所以前者是后者的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2024上海高三阶段练习）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】，即 解得， ， 所以推不出，推不出， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（2024上海高三阶段练习）设，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】若为奇函数， 则， ， 解得，经检验，符合题意， “”是“为奇函数”的充分不必要条件. 故选：A． 题型04：充分、必要条件的选择 【名师点拨】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． 【例10】（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 【例11】（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 . 【答案】（或,答案不唯一） 【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解． 【详解】，，成等差数列， 则，即，解得或， 故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或． 故答案为：（或,答案不唯一） 【跟踪训练】 1.（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 2，（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数的定义域为. 由在上单调递增，得在上恒成立. 则，解得. A是充分不必要条件，B是充分必要条件，C是不充分不必要条件，D是必要不充分条件， 故选：D. 3.（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误； 对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，，即，故是的充要条件，故C错误； 对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确. 故选：D 题型05：根据充分条件与必要条件关系求参数 【名师点拨】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. (3)数学定义都是充要条件. 【例12】（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 【例13】（2023·全国·高三对口高考）已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据不等式的解法求集合，根据题意可得A是B的真子集，结合真子集关系分析求解. 【详解】由题意可得：，或， 若“”是“”的充分非必要条件，则A是B的真子集， 所以. 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“不等式成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】解：由得， 是不等式成立的充分不必要条件， 满足，且等号不能同时取得， 即， 解得， 故选：C． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集, 可得，等号不同时成立，结合，解得，所以的取值范围为，故选：B 考点三 反证法 题型06：反证法的运用 【名师点拨】应用反证法证明命题第一步是假设的命题不成立，即否定命题的结论. 这一步是十分关键的. 只有这步表述得对了，接下去的逻辑推理才有意义. 【例14】用反证法证明命题：“已知a、，若ab可被5整除，则a、b中至少有一个能被5整除”时，第一步应假设________成立． 【答案】、都不能被5整除 【分析】根据给定条件判断命题的题设与结论，再写出结论的否定即可作答. 【解析】命题：“已知a、，若ab可被5整除，则a、b中至少有一个能被5整除”的结论是“a、b中至少有一个能被5整除” 于是得“a、b中至少有一个能被5整除”的否定是：、都不能被5整除， 所以第一步应假设、都不能被5整除成立. 故答案为：、都不能被5整除 【例15】记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. (1)求证：； (2)若，，求证：： (3)若u是非零有理数，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】反证法证明、集合新定义 【分析】（1）根据定义令即可证明； （2）先令，，可得，再令，，即可证明； （3）由题意可得于是，利用反证法，假设，即可证明. 【详解】（1）证明：令，则. （2）证明：由（1）知， 若，令，，则， 若，令，，则. （3）证明：由，则存在且，使得，其中， 于是， 假设，可设，，则，矛盾， 所以， 由，，可得. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 题型07：充要条件的证明 【名师点拨】证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【例16】（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为. (1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得. （2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0， 函数为偶函数 ， 所以“”是“函数为偶函数”的充要条件. （2）当时，，求导得，函数在R上单调递增， 当时，，即函数在单调递增，又是偶函数， 因此， 即，解得或， 所以实数的取值范围是或. 【例17】（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数新定义、充要条件的证明、等差中项的应用 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 【跟踪训练】 1.（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 【答案】(1)是周期为的周期数列，理由见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设定义，利用的周期，即可得出结果； （2）分与两种情况讨论，当，易得到是周期为1的周期数列，当时，构造，则，利用导数与函数单调性间的关系，可得出是严格增（或减）数列，从而可得出结果； （3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果. 【详解】（1）因为， 所以是周期为的周期数列． （2）①当时，，， 所以当时，是周期为1的周期数列， ②当时，记，则， ，当且仅当时等号成立， 即，所以在上严格增， 若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列； 同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列． 综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列． （3）必要性： 若存在，使得是周期数列，设的周期为， 则，所以是周期为的周期数列， 充分性： 若是周期数列，设它的周期为，记，则 ，是关于x的连续函数； ，是关于x的连续函数； … ，是关于x的连续函数； ， 令，则是连续函数， 且，， 所以存在零点，于是， 取，则， 从而， ， …… 一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列． （说明：关于函数连续性的说明不作要求） 【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件. 2．设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 【答案】(1)是函数,不是函数，理由见解析. (2)； (3)证明见解析. 【知识点】必要条件的判定及性质、函数奇偶性的定义与判断、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据“函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可. （2）令，利用导数分类讨论其单调性即可求解. （3）令函数结合必要条件的定义，推理判断即得. 【详解】（1）函数的定义域为，， 则函数和均为定义在上的奇函数， 当时，函数严格减，因此函数是函数； 当和时，，即函数在上不单调，因此函数不是函数. （2）函数的定义域为， ， 则函数是定义在上的奇函数， 当时，不是函数，则且， 当时，令， 求导得， 令函数， 求导得. 令，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立， 则当时，， 若，则，，函数在上单调递增，， ，则函数在上严格单调递增，不是D函数； 若，则，函数在上单调递减，， ，则函数在上严格单调递减，是D函数， 所以正数的取值范围是. （3）令函数，其是定义域为，，上的奇函数， 函数在上严格单调递减，因此函数为函数， ，而，则函数在上不单调， 所以“在上严格减”不是“为函数”的必要条件. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于证明的导函数恒成立. 一、填空题 1．（2020上海春季高考）已知角是的内角，则“”是“”的__________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）． 【答案】充分不必要 【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可． 【解析】解：因为为的内角，则， 若命题成立，则，即； 若命题成立，又由，则或；则或， 因此由可以推得成立，由推不出， 即是的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基础题． 二、选择题 2. （2025上海秋季高考）设．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 3．（2019•上海）已知、，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【解析】等价，，得“”， “”是“”的充要条件， 故选：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4．【2022年上海市高考数学第16题】设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z} ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　　　） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 【答案】B 【解答】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}， 当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}， 表示圆心为（k，k2），半径为r＝2的圆， 圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2单调递增， 相邻两个圆的圆心距d，相邻两个圆的半径之和为l＝22， 因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离， 当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确， 若直线l斜率不存在，显然不成立， 设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数， d，r， 给定m，n，当k足够大时，均有d＞r， 故直线l只与有限个圆相交，②错误． 故选：B． 5．（2020•上海）命题：存在且，对于任意的，使得（a）； 命题单调递减且恒成立； 命题单调递增，存在使得， 则下列说法正确的是　　 A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．，都是的充分条件 D．，都不是的充分条件 【解析】对于命题：当单调递减且恒成立时， 当时，此时， 又因为单调递减， 所以 又因为恒成立时， 所以（a）， 所以（a）， 所以命题命题， 对于命题：当单调递增，存在使得， 当时，此时，（a）， 又因为单调递增， 所以， 所以（a）， 所以命题命题， 所以，都是的充分条件， 故选：． 6．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线，，．则“，，共面”是“，，两两相交”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行． 而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立． 故，，在同一平面”是“，，两两相交”的必要不充分条件， 故选：． 7. （2024•北京数学卷）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 8. （2025•天津数学卷）设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$