专题03：等式与不等式（4大考点+9大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题03 等式与不等式 知识点1、等式与不等式的性质 1.等式的性质 对称性、传递性、_________、_________ 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，__________⇒ac＞bc；a＞b，__________⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：______________________； (6)可开方：_________________ 3.两个实数比较大小的方法 (1_________________ (2)____________________ （3）________ 知识点2、一元二次不等式的解法 1.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 知识点3、一元二次不等式的恒成立问题 1.一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足__________________； (2)已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足___________________； 2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 知识点四、分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 知识点五、绝对值不等式 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3) (4)； ； (5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 知识点六、指对数不等式 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当时, ;　 ②当时, ;　 (2)对指互化法： 如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法. 对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解. 考点一 等式与不等式的性质 题型01：等式的性质 【例1】（2025·高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 . 【跟踪训练】 1.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）若等式恒成立，则的值为 ． 2.（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= . 题型02：不等关系的辨析 【名师点拨】判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项. (3)作差法. (4)构造函数，利用函数的单调性. 【例2】（2023·上海闵行·统考一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·上海青浦·一模）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2025·上海崇明·二模）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·上海松江·高三统考期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024上海高三专题练习）设，则使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·上海崇明·统考一模）若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 题型03：不等式比较大小与证明 【名师点拨】比较两数(式)大小的方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 【例4】（2024松江二中高三期中）已知，则（    ） A． B． C． D．与的大小无法判断 【例5】（2025大同中学高三阶段练习）已知实数，，满足． (1)若，求证：； (2)若，，求的最小值． 【跟踪训练】 1．（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 2. 设x，，比较与的大小. 考点二 一元二次不等式的解法 题型04：一元二次不等式的解法 【名师点拨】谨防三个易误点 (1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏. (2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论. (3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅. 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 【例6】（2024·上海徐汇·一模）不等式的解集为 . 【例7】（2024上海高三专题练习）解下列关于的不等式． 【例8】（2024上海高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2024·上海奉贤·一模）已知，则不等式的解集为 ． 2．（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 3．（2024·上海嘉定·一模）函数的定义域为 . 4.若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，则不等式cx2－2x＋a≤0的解集是(　　) A. B. C.[－2，3] D.[－3，2] 5．（2024上海高三专题练习）解下列关于的不等式． 题型05：一元二次不等式恒成立问题 【名师点拨】恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 【例9】已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围. 【例10】（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【跟踪训练】 1．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2.已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在(－1，2)上恒成立，求实数a的取值范围. 3．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 . 4．（2024上海高三专题练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（      ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三 其他不等式的解法 题型06：分式不等式的解法 【名师点拨】求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解. 【例11】（2024·上海杨浦·一模）不等式的解集为 . 【例12】设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【跟踪训练】 1．（2024·上海崇明·一模）不等式的解为 ． 2．（2023•嘉定区模拟）不等式的解集为 　　． 3.不等式的解集为 ． 4．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 题型07：绝对值不等式的解法 【名师点拨】 一般的，与或同解；与同解． 一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论． 【例13】（2024·上海静安·一模）不等式的解集为 . 【例14】（2023·上海浦东新·统考二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 【跟踪训练】 1.（24-25高三上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 2.不等式的解集是 ． 3.已知存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 4.（2025·上海杨浦·二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 题型08：指、对数不等式的解法 【名师点拨】根据对数函数和指数函数的单调性求解 【例15】（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例16】（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式3x+lgx≤3的解集是 　　． 【跟踪训练】 1．（2024上海高三专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合 ，集合 ，则（   ） A． B． C． D． 考点四 不等式性质的综合应用 题型09：不等式性质求取值范围 【名师点拨】求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 【例17】（2024上海高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________． 【例18】（2024上海高三专题练习）已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2024上海高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________． 2.（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 . 1．（2025·上海·秋季高考真题）不等式的解集为 ． 2．（2025·上海·春季高考真题）不等式的解集为 ． 3．（2025·上海·春季高考真题）关于x的方程的解集为 ． 4. （2025•天津数学卷）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 5.（2024•上海·秋季高考真题）已知，则不等式的解集为 　 　． 6．（2024•上海·春季高考），，，，下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 7．（2023•上海·秋季高考真题）不等式的解集为 ． 8．（2023·上海·春季高考真题）若不等式，则实数x的取值范围为 ． 9．（2022·上海数学春考））不等式 的解集为　 　 10．【2022年上海市高考数学第14题】若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　　　） A．a+b＞2 B．a+b＜2 C．2b＞2 D．2b＜2 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题03 等式与不等式 知识点1、等式与不等式的性质 1.等式的性质 对称性、传递性、可加性、可乘性 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 （3）单调性法 知识点2、一元二次不等式的解法 1.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 知识点3、一元二次不等式的恒成立问题 1.一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 知识点四、分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 知识点五、绝对值不等式 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3) (4)； ； (5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 知识点六、指对数不等式 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当时, ;　 ②当时, ;　 (2)对指互化法： 如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法. 对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解. 考点一 等式与不等式的性质 题型01：等式的性质 【例1】（2025·高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设，即实数的取值范围是. 故答案为： 【跟踪训练】 1.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）若等式恒成立，则的值为 ． 【答案】 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】令即可得. 【详解】,当， 则 故答案为： 2.（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= . 【答案】3 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 题型02：不等关系的辨析 【名师点拨】判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项. (3)作差法. (4)构造函数，利用函数的单调性. 【例2】（2023·上海闵行·统考一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D. 【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立； 对于C，取，满足，则， 当时，，故C中不等式不一定成立； 对于D，由，由于在R上单调递增，则成立， 故选：C 【例3】（2024·上海青浦·一模）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、幂函数的性质、正弦函数的图象性质求解. 【详解】对A，取，则，A错误； 对B，取，则，即，B错误； 对C，取，满足，但，C错误； 对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确； 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2025·上海崇明·二模）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 2．（2023上·上海松江·高三统考期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】借助不等式的性质判断即可. 【详解】对A：因为，可能，故错误； 对B：当时，若，则，故错误； 对C：当，时，则，故错误； 对D：若，，则，故正确. 故选：D. 3．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 4．（2024上海高三专题练习）设，则使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充分不必要条件的定义，对A，；对B，；对C，；对D，，需要讨论a、b的符号 ，即可进一步判断 【详解】对A，，故A不成立； 对B，，故B成立； 对C，，不一定推出，故C不成立； 对D，，若，故D不成立. 故选：B 5．（2023·上海崇明·统考一模）若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD举反例即可判断，C结合反比例函数即可判断. 【详解】对A，若，则，但，A错误； 对B，若，则，但，B错误 对D，若，则，，D错误； 对C，结合反比例函数知其在单调递减，则，有，C正确. 故选：C 6．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质举反例可得ABD错误；作差由完全平方可得C正确； 【详解】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，因为实数、满足，所以，故C正确； 对于D，令，满足，但，故D错误； 故选：C. 题型03：不等式比较大小与证明 【名师点拨】比较两数(式)大小的方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 【例4】（2024松江二中高三期中）已知，则（    ） A． B． C． D．与的大小无法判断 【答案】A 【分析】根据作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以，故. 故选：A. 【例5】（2025大同中学高三阶段练习）已知实数，，满足． (1)若，求证：； (2)若，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式； （2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解. (1) 证明：由，且，得，， 故，所以， 所以，即； (2) 解：由且，得，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 【跟踪训练】 1．（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得，而、都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小即可. 【详解】由题意，所以， 由基本不等式可得，同时注意到，所以， ， 而、都是正数，所以. 故选：D. 2. 设x，，比较与的大小. 【分析】要比较与的大小，将两式做差展开化简，得到即可判断正负并比较出结果. 【详解】，当且仅当x＝y时等号成立， 所以当x＝y时，； 当时，. 考点二 一元二次不等式的解法 题型04：一元二次不等式的解法 【名师点拨】谨防三个易误点 (1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏. (2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论. (3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅. 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 【例6】（2024·上海徐汇·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过因式分解利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式化为，解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 【例7】（2024上海高三专题练习）解下列关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】讨论参数a，结合一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】当时，原不等式为，解集为； 当时，原不等式为，解集为； 当时，原不等式为， 若，即时，解集为或； 若，即时，解集为； 若，即时，解集为或； 综上，解集为； 解集为； 解集为或； 解集为； 解集为或. 【例8】（2024上海高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系，得到的关系，代入不等式化简求解. 【详解】的解集是，，得， 则不等式， 即，解得：， 所以不等式的解集是. 故选：D 【跟踪训练】 1．（2024·上海奉贤·一模）已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的判别式的符号，判断不等式恒成立. 【详解】因为，所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 【答案】 【分析】先解一元二次不等式再根据补集定义计算即可. 【详解】由， 则． 故答案为：. 3．（2024·上海嘉定·一模）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 4.若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，则不等式cx2－2x＋a≤0的解集是(　　) A. B. C.[－2，3] D.[－3，2] 【答案】C 【解析】因为不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪， 所以－和是方程ax2＋2x＋c＝0的两个实数根， 由解得 故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0， 解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 所求不等式的解集是[－2，3]. 5．（2024上海高三专题练习）解下列关于的不等式． 【答案】见解析 【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可. 【详解】方程： 且 解得方程两根：； 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为： 综上所述, 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为： 题型05：一元二次不等式恒成立问题 【名师点拨】恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 【例9】已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围. 解析　(1)不等式f(x)<1， 即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时，有 解得m<， 综上所述，m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈， 得≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立， 所以＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞). (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0，2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞). 【例10】（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、一元二次不等式在某区间上有解问题、利用导数研究能成立问题 【分析】分离参数可得在区间上有解，转化为求函数的最小值即可求. 【详解】, 不等式，即在区间上有解. 设，， 则， 令， 设，, ，则在区间上单调递增， 故，即. 故要使在区间上有解，则. 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，解一元二次不等式可得答案. 【详解】由题意关于x的不等式的解集为， 则 ，解得， 即实数a的取值范围是， 故选：A 2.已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在(－1，2)上恒成立，求实数a的取值范围. 解　(1)f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－， 则f(x)min＝f＝a－， f(x)>0在R上恒成立， 即f(x)min＝a－>0，故a>. 故实数a的取值范围是. (2)f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－， f(x)在[－1，2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝＋a－＝4＋a， 故f(x)在(－1，2)上满足f(x)<4＋a， 故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]. 3．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】分离参数得，再设新函数，求出其最小值即可. 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令，因为在区间上单调递减， 则在区间上也单调递减， 所以， 所以，则实数m的最小值是. 故答案为：. 4．（2024上海高三专题练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为开口向上的二次函数，要使任意，都有恒成立,只需.即可求出答案. 【详解】由题可得对于恒成立，即 解得:. 故选：B. 5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围． 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 设，，其中在区间上单调递减， 所以有最小值为， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 考点三 其他不等式的解法 题型06：分式不等式的解法 【名师点拨】求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解. 【例11】（2024·上海杨浦·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先将分式不等式转化为二次不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集即可. 【详解】分式不等式可以转化为，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 【例12】设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】根据得到或，然后计算即可. 【详解】由题意得或， 等价于，解得， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2024·上海崇明·一模）不等式的解为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求原不等式的解. 【详解】不等式的解即为， 故原不等式的解为， 故答案为： 2．（2023•嘉定区模拟）不等式的解集为 　　． 【分析】利用分式不等式的解法，化简解出不等式． 【解答】解：＜1等价于﹣1＜0， 化简得：＜0， 即x﹣1＜0， 解得x＜1， 故答案为：（﹣∞，1） 【点评】本题考查不等式的解法，属于基础题． 3.不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法求解即可． 【详解】， 故答案为：． 4．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)严格单调增区间为 和 ,严格单调减区间为 和 . (2) 【分析】（1）直接求导，令导函数大于0和小于0即可； （2）转化为，解出即可. 【详解】（1）， 令，解得或者， 令，解得或， 所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. （2），即， ，即，利用穿根法解得. 所以解集为. 题型07：绝对值不等式的解法 【名师点拨】 一般的，与或同解；与同解． 一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论． 【例13】（2024·上海静安·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可. 【详解】由不等式，得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【例14】（2023·上海浦东新·统考二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 【答案】B 【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】解，当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 故“”成立时，等价于； 当“”成立时，等价于， 故成立时，不一定推出成立，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【跟踪训练】 1.（24-25高三上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】去绝对值直接求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以原不等式的解集为：， 故答案为： 2.不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】当时，； 时，； 时，； 当时，，无解； 时，，解为； 时，，解为. 取并集，所以最终解集为. 故答案为：. 3.已知存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】分析可知，结合绝对值的性质分析求解即可. 【详解】若存在使不等式成立，可知， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4.（2025·上海杨浦·二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 题型08：指、对数不等式的解法 【名师点拨】根据对数函数和指数函数的单调性求解 【例15】（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解绝对值不等式求出集合、再解指数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由可得，解得，所以， 由，可得，所以，即， 所以. 故选：B 【例16】（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式3x+lgx≤3的解集是 　　． 【分析】不等式化为3x≤3﹣lgx，在同一坐标系内画出y＝3x和y＝3﹣lgx的图象，利用函数的图象求出不等式的解集． 【解答】解：不等式3x+lgx≤3可化为3x≤3﹣lgx， 在同一坐标系内画出y＝3x和y＝3﹣lgx的图象，如图所示： 由3x＝3﹣lgx，得x＝1， 所以由函数的观点知，不等式3x+lgx≤3的解集是（0，1]． 故答案为：（0，1]． 【点评】本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题． 【跟踪训练】 1．（2024上海高三专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和指数不等式解法可得集合，，再根据交集、补集运算即可得出结果. 【详解】由可得集合， 根据指数函数单调性可得，即，所以； 因此； 根据交集运算可得 故选：C 2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合 ，集合 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式求出集合，根据集合的交集运算可得答案. 【详解】由题可得，故， 解可得，则, 故， 故选：C 考点四 不等式性质的综合应用 题型09：不等式性质求取值范围 【名师点拨】求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 【例17】（2024上海高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求得的取值范围. 【详解】由于，且， 所以，， ， 所以. 故答案为： 【例18】（2024上海高三专题练习）已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决 【详解】由，可得，则，则，令，则，又在单调递增，在单调递减 ，， 则，即故选：C 【跟踪训练】 1.（2024上海高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值. 【详解】当时满足：且， ，即，进而，解得． 所以或， ， 令， ， 由于 所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 所以 故答案为：． 2.（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，，得到，利用得到的取值范围，将表示成关于的三次函数，利用导数求最值即可求得取值范围. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以，整理得， 因为， 解得， ， 设，则， 令得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，， ，， 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 1．（2025·上海·秋季高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 2．（2025·上海·春季高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 3．（2025·上海·春季高考真题）关于x的方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可. 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 4. （2025•天津数学卷）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 5.（2024•上海·秋季高考真题）已知，则不等式的解集为 　 　． 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可． 【解答】解：可化为， 解得， 故不等式的解集为：． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题． 6．（2024•上海·春季高考），，，，下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于，若，则，选项不成立，故错误； 对于，，， 由不等式的可加性可知，，故正确． 对于、，若，则选项不成立，故、错误． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 7．（2023•上海·秋季高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】利用绝对值不等式的解法求解. 【详解】由得，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 8．（2023·上海·春季高考真题）若不等式，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】解绝对值不等式求得正确答案. 【详解】由，得， 所以实数的取值范围是. 故选： 9．（2022·上海数学春考））不等式 的解集为　 　 【答案】 【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法 【解析】【解答】解：由题意得 等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为 . 故答案为： . 【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可. 10．【2022年上海市高考数学第14题】若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　　　） A．a+b＞2 B．a+b＜2 C．2b＞2 D．2b＜2 【答案】A 【解答】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号， 又a＞b＞0，所以a+b，故A正确，B错误， 2，当且仅当，即a＝4b时取等号，故CD错误， 故选：A． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$