专题08：函数的概念及其表示（5大考点+19大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题08 函数的概念及其表示 知识点一、函数的概念 1、函数的概念及三要素 概念 一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的______x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_______确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域________；②对应关系________. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 知识点二、函数的表示法 表示函数的常用方法有________________、__________和___________. 知识点三、分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的___________. 【重要结论】教材中的几个重要函数 定义 图象 绝对值函数 y＝|x|＝ “双勾”函数 y＝ax＋ (ab＞0) 取整函数 y＝[x]， 其中[x]表示不超 过x的最大整数 符号函数 y＝sgnx＝ 考点一 函数的概念 题型01：函数概念的辨析 【名师点拨】1、判断所给的对应关系是否为函数的方法 (1)先观察两个数集A，B是否非空； (2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性． 注：①函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． ②构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同 2、根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　 【例1】（2023复兴高级中学高三阶段练习）下列选项中，可表示为的函数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025七宝中学高三阶段练习）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（　　　　） A． B． C． D．0 【跟踪训练】 1．（2024上海高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝. 2.（2025松江二中高三阶段练习）以下图形中,不是函数图象的是(　　) 3.（2025延安中学高三阶段练习）存在函数，对于任意都成立的下列等式的序号是________． ①；②；③；④． 4.（2022青浦二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为___________． 题型02：同一函数的判断 【名师点拨】判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 【例3】（2025上海高三阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（       ） ①与．②与．③与．④与． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）给出下列四组函数： （1），； （2），； （3），； （4），． 其中相同的函数有________（请在横线内填序号）． 2.（2025大同中学高三阶段练习）下列选项中,表示的是同一个函数的是(　　) A.y＝与y＝ B.y＝x2与y＝(x－1)2 C.y＝与y＝x D.y＝1与y＝x0 题型03：求函数值 【例4】（2025上海高三阶段练习）已知函数，则____________． 【例5】（2025徐汇中学开学考试）已知，则______． 【跟踪训练】 1.（2025徐汇中学开学考试）已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝　　　　　　.  2．（2025上海市宜川中学三模）已知函数，且，则等于（  　　） A． B． C． D． 3．（2025上海高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 4．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为定义在上的增函数，且任意，均有，则_____. 考点二 求函数的定义域 题型04：求具体函数的定义域 【名师点拨】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集. 【例5】（2023•虹口区二模）函数y＝lg（x﹣1）+的定义域为 　　． 【跟踪训练】 1．（2023•普陀区二模）函数的定义域为 　　． 2．（2023•浦东新区模拟）函数的定义域为 　　． 题型05：求抽象函数的定义域 【例6】（2025上海高三专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025上海高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（2025上海高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 题型06：逆用函数的定义域 【例7】（24-25延安中学开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【例8】（2025格致中学高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为________ 2．（2025上海高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 考点三 求函数的解析式 题型07：待定系数法、配凑法、换元法 【例9】（2025上海高三专题练习）已知一次函数满足，则解折式为（    ） A． B． 【例10】（2025上海高三专题练习）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【例11】（2025上海高三专题练习）已知求的解析式 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）一次函数满足，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025上海高三专题练习）已知，则__________. 3．（2025上海高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______ 题型08：构造方程组法、赋值法 【例12】（2025上海高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例13】（2025上海高三专题练习）已知满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________. 2．（2022·全国·高三专题练习）对任意实数，，都有，求函数的解析式． 3．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________． 题型09：利用函数的奇偶性求解析式 【例14】（2021·上海市控江中学三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型10：利用函数的周期性求解析式 【例15】（2025上海高三专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值． (1)证明：； (2)求的解析式； (3)求在[4，9]上的解析式． 考点四 求函数的值域 题型11：求函数的值域 【名师点拨】(1)观察法、(2)配方法(3)图象法(4)分离常数法(5)反解法(6)换元法(7)判别式法 (8)单调性法(9)基本不等式法(10)导数法 【例16】（2025建平中学开学考试）若集合，，则______． 【例17】（2025上海高三专题练习）函数的值域为__________ 【例18】（2025上海高三专题练习）函数的值域为_____ 【例19】（2025上海高三专题练习）函数的值域为__________ 【例20】（2025上海高三专题练习）函数的值域为______． 【例21】（2025上海高三专题练习）的值域为__________ 【例22】（2025控江中学开学考试）求函数y＝的值域． 【例23】（2025大同中学月考）若函数的定义域为，则该函数的值域是____________. 【例24】（2023•虹口区二模）对于定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，，则该函数的值域为 　　． 【例25】（2025延安中学月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型12：已知函数值域求参数 【例26】（2025复旦附中开学考试）已知函数的值域是，则_________． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 2．（2025上海高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____． 题型13：定义域和值域的综合 【例27】（2025上海高三专题练习）已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 【跟踪训练】 1．（2025华师大二附中月考）下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025上海高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________. 题型14：函数值域新定义问题 【例28】（2024•浦东新区校级模拟）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，，使在，上的值域为，，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围为　 　． 【跟踪训练】 1．若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式： _________. 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点五 分段函数及其应用 题型15：求分段函数的函数值 【名师点拨】分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 【例29】已知函数，则______. 【例30】已知函数且，则（    ） A．-16 B．16 C．26 D．27 【跟踪训练】 1.已知函数f(x)＝则f＝　　　　；若f(a)>a,则a的取值范围是　　　　.  2.已知函数f(x)＝则“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的(　　) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3．（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型16：分段函数与不等式 【例31】（2025上海高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______． 【跟踪训练】 1．已知函数，则的解集为________． 2．已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 3．已知函数，若，则的取值范围是 . 题型17：分段函数的单调性问题 【例33】已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例34】已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则的范围是_______ 2．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型18：分段函数图像的应用 【例35】函数的图象如图所示，则______ . 【例36】已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______． 【例37】已知函数 ①函数的零点个数为__________． ②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________． 题型19：求分段函数的值域或最值 【名师点拨】已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法. 【例38】若函数,则函数的值域为______． 【例39】已知函数，则的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【跟踪训练】 1.（2023春·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________． 2.（2025上海高三专题练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 4.定义max{a,b}＝设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],则n－m的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 5．（24-25高一上·北京·期中）已知函数.若，则 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 1. （2025上海秋季高考）函数在上的值域为_________． 2．【2024年上海市高考数学第2题】已知则 ． 3．（2024上海春考）log2x的定义域 　　． 4．【2023年上海市高考数学第5题】已知函数f（x），则函数f（x）的值域为 　　　　． 5．（2023上海春考 ）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且 g（x）＝，则方程 g（x）=2 的解为_____ . 6．【2022年上海市高考数学第12题】设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为 　　　　．． 7．【2020年上海市高考数学第11题】设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02； （2）关于x的方程f（x）＝a无实数解， 则a的取值范围是　　　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题08 函数的概念及其表示 知识点一、函数的概念 1、函数的概念及三要素 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 知识点二、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 知识点三、分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 【重要结论】教材中的几个重要函数 定义 图象 绝对值函数 y＝|x|＝ “双勾”函数 y＝ax＋ (ab＞0) 取整函数 y＝[x]， 其中[x]表示不超 过x的最大整数 符号函数 y＝sgnx＝ 考点一 函数的概念 题型01：函数概念的辨析 【名师点拨】1、判断所给的对应关系是否为函数的方法 (1)先观察两个数集A，B是否非空； (2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性． 注：①函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． ②构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同 2、根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　 【例1】（2023复兴高级中学高三阶段练习）下列选项中，可表示为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【解析】选项A，当时，，故不正确； 选项B，当时，，故不正确； 选项C，当时，等等，故不正确； 选项D，由，可得，为指数型函数，所以正确. 故选：D. 【例2】（2025七宝中学高三阶段练习）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（　　　　） A． B． C． D．0 【答案】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合． 我们可以通过代入和赋值的方法当f（1），，0时， 此时得到的圆心角为，，0， 然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应， 而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y， 因此只有当x，此时旋转， 此时满足一个x只会对应一个y， 因此答案就选：B． 故选：B． 【跟踪训练】 1．（2024上海高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝. 【答案】③ 【分析】根据函数的定义，即可判断. 【详解】①②④满足函数的定义，所以是函数， 对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数． 故答案为：③ 2.（2025松江二中高三阶段练习）以下图形中,不是函数图象的是(　　) 【答案】A 【解析】根据函数的定义,对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象. 3.（2025延安中学高三阶段练习）存在函数，对于任意都成立的下列等式的序号是________． ①；②；③；④． 【答案】④ 【解析】 【分析】 根据函数定义逐项判断①②③，采用换元的方法求解④中的解析式并进行判断. 【详解】 ①当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合； ②当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合； ③当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合； ④令，所以，令，所以， 所以，所以，符合， 故答案为：④. 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键在于对于函数定义的理解以及换元法求解函数解析式的运用，通过说明一个自变量的值对应两个不同的的值，判断出不符合函数定义；同时在使用换元法求解函数解析式时，新元取值范围的分析不能遗漏. 4.（2022青浦二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为___________． 答案： 题型02：同一函数的判断 【名师点拨】判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 【例3】（2025上海高三阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（       ） ①与．②与．③与．④与． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的概念可知同一函数需满足定义域和对应关系均相同，因此结合题目逐个分析即可得到结果. 【详解】 对于①，的定义域为，的定义域为，所以，则与的定义域相同，但对应关系不同，则不是同一函数； 对于②，所以与的对应关系不同，则不是同一函数； 对于③的定义域为，的定义域为，且，，因此函数与的定义域和对应关系均相同，则是同一函数； 对于④的定义域为，的定义域为，因此函数与的定义域和对应关系均相同，则是同一函数； 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）给出下列四组函数： （1），； （2），； （3），； （4），． 其中相同的函数有________（请在横线内填序号）． 【答案】（3）（4） 【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）. 【详解】（1）中，的定义域为，的定义域为， 两个函数定义域不同，所以不是同一函数； （2）中，，， 两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数； （3）中，，，易知两函数是相同函数； （4）中，， 易知两函数是相同函数. 故答案为：（3）（4） 2.（2025大同中学高三阶段练习）下列选项中,表示的是同一个函数的是(　　) A.y＝与y＝ B.y＝x2与y＝(x－1)2 C.y＝与y＝x D.y＝1与y＝x0 【答案】A 【解析】对于A选项,y＝的定义域是[－3,3),y＝的定义域是[－3,3),并且所以两个函数的定义域相同,对应关系相同,所以是同一个函数； 对于B选项,两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数； 对于C选项,y＝＝|x|,所以两函数的对应关系不同,所以不是同一个函数； 对于D选项,y＝1的定义域是R,y＝x0的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数. 题型03：求函数值 【例4】（2025上海高三阶段练习）已知函数，则____________． 【答案】－2 【分析】通过计算的值可得答案. 【详解】， ． 故答案为：－2. 【例5】（2025徐汇中学开学考试）已知，则______． 【答案】/2.5 【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 令，由，得， ∴． 故答案为：. 【跟踪训练】 1.（2025徐汇中学开学考试）已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝　　　　　　.  【答案】1 【解析】因为f(－2)＝(－2)2＝4,所以f(f(－2))＝f(4)＝log44＝1. 2．（2025上海市宜川中学三模）已知函数，且，则等于（  　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用求得的值，由此求得的值. 【解析】由于，所以，解得.所以. 故选：D 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题. 3．（2025上海高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 【答案】B 【分析】令，配凑可得，再根据求解即可 【详解】令（或），，，，. 故选；B 4．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为定义在上的增函数，且任意，均有，则_____. 【答案】 【分析】设，令、求得，结合单调性求出a值，代入验证即可得结果. 【解析】设， 令得：； 令得：， 因为为定义在上的增函数， 所以， 当时，由矛盾. 故. 故答案为： 考点二 求函数的定义域 题型04：求具体函数的定义域 【名师点拨】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集. 【例5】（2023•虹口区二模）函数y＝lg（x﹣1）+的定义域为 　　． 【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解． 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x＞2． ∴函数y＝lg（x﹣1）+的定义域为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 【跟踪训练】 1．（2023•普陀区二模）函数的定义域为 　　． 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解分式不等式得答案． 【解答】解：要使原函数有意义，则3﹣≥0，即， 解得x＜0或x． ∴函数的定义域为（﹣∞，0）∪[，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0）∪[，+∞）． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是基础题． 2．（2023•浦东新区模拟）函数的定义域为 　　． 【分析】由题意，利用对数、偶次根式的性质，求得x的范围． 【解答】解：对于函数，可得，求得x＜﹣1， 可得函数的定义域为（﹣∞，﹣1）， 故答案为：（﹣∞，﹣1）． 【点评】本题主要考查对数、偶次根式的性质，属于基础题． 题型05：求抽象函数的定义域 【例6】（2025上海高三专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______. 【答案】 【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答. 【详解】因的定义域为，则当时，， 即的定义域为，于是中有，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，然后将看作一个整体代入计算即可. 【详解】由题可知：且 所以函数定义域为且 令且，所以且 所以，所以的定义域为 故选：C 2．（2025上海高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的定义域为得，进而，求得即可. 【详解】∵的定义域为，∴，∴， 在中，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B 3．（2025上海高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，故， 所以的定义域为， 故函数中的需满足：， 故，故函数的定义域为. 故选：C 题型06：逆用函数的定义域 【例7】（24-25延安中学开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】要使函数解析式有意义，则，分类讨论即可得出结论. 【详解】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【例8】（2025格致中学高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______． 【答案】 【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案. 【详解】的定义域满足：，解集为， 故且，解得. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为________ 【答案】3 【解析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案. 【详解】由题意，函数有意义， 满足，即， 又由函数的定义域为，， 解得． 故答案为：3. 【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题. 2．（2025上海高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】根据函数的定义域以及二次函数的性质列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为的定义域为， 所以不等式恒成立， 所以由二次函数性质可知， 解得，即. 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解. 【详解】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 考点三 求函数的解析式 题型07：待定系数法、配凑法、换元法 【例9】（2025上海高三专题练习）已知一次函数满足，则解折式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可. 【详解】设一次函数， 则， 即，所以解得， 所以， 故选:C. 【例10】（2025上海高三专题练习）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式. 【详解】因为， 所以． 故选：A 【例11】（2025上海高三专题练习）已知求的解析式 【答案】 【分析】令，运用换元法进行求解即可. 【详解】令，则，代入， 得， 即 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）一次函数满足，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设.根据，且，利用待定系数法求解即可． 【详解】由题意，设. ∵， 即， 可得：. 又∵ 即 ∴， ∴的解析式为． 故选：A． 2．（2025上海高三专题练习）已知，则__________. 【答案】， 【分析】由配方法可得，利用换元法可求出答案. 【详解】 又当且仅当，即时等号成立. 设，则，所以 所以 故答案为：， 3．（2025上海高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______ 【答案】 【分析】令，则，且，将已知条件转化为关于的表达式，再将换成即可求解. 【详解】令，则，且， 所以， 所以， 故答案为：. 题型08：构造方程组法、赋值法 【例12】（2025上海高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，解方程组求即可. 【详解】由可得， 所以由解得， 故选：A 【例13】（2025上海高三专题练习）已知满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将换成，建立方程组，即可得出的解析式. 【详解】把①中的换成，得② 由①②得. 故选：D 【点睛】本题主要考查求函数的解析式，属于中档题. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________. 【答案】 【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足， 将换成可得：，将其代入上式可得： ， 所以， 故答案为：. 2．（2022·全国·高三专题练习）对任意实数，，都有，求函数的解析式． 【答案】 【分析】方法一：赋值,得到,再赋值,得到解析式； 方法二：赋值,得到的解析式,再令,即可得到解析式 【详解】方法一：对任意实数,都成立, 令,得, 再令, 得, 方法二：在已知式子中,令, 得, , , 令,得 【点睛】本题考查赋值法求函数解析式,如何赋值要根据题目特征来确定,由赋值法求出解析式后,应注意函数的定义域 3．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________． 【答案】 【分析】由题意，把等式中的替换成即可求出． 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ， 即， ， ． 故答案为 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，属于基础题，准确理解恒等式的含义是 题型09：利用函数的奇偶性求解析式 【例14】（2021·上海市控江中学三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集. 【解析】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，，此时，. 又， 综上所述，. ①当时，由，得，解得，此时，； ②当时，即当时， 由得，整理得，解得，此时； ③当由得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为 . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 题型10：利用函数的周期性求解析式 【例15】（2025上海高三专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式． 【答案】，. 【分析】首先由奇偶性求出函数在上的解析式，再根据周期性可得当时，即可得解. 【详解】当，即，所以， 又为偶函数，所以，所以， 又是以为周期的周期函数， 于是当，即时，有， 所以，， ，. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值． (1)证明：； (2)求的解析式； (3)求在[4，9]上的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果； （2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解； （3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果. 【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴， 又∵是奇函数，∴，∴ （2）当时，由题意可设， 由，得，∴， ∴. （3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故， 故当时，设，则，解得. 故当时，. 又在上是奇函数，故当时，. 综上，则时，. 因为时，. 所以当时，，所以； 当时，，所以， 综上所述，. 考点四 求函数的值域 题型11：求函数的值域 【名师点拨】(1)观察法、(2)配方法(3)图象法(4)分离常数法(5)反解法(6)换元法(7)判别式法 (8)单调性法(9)基本不等式法(10)导数法 【例16】（2025建平中学开学考试）若集合，，则______． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、值域、并集等知识确定正确答案. 【详解】， ， 所以 故答案为： 【例17】（2025上海高三专题练习）函数的值域为__________ 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可. 【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为. 故答案为：. 【例18】（2025上海高三专题练习）函数的值域为_____ 【答案】 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，利用直线与圆的位置关系可求得过的圆的切线的斜率，结合图象可确定结果. 【详解】表示点与点连线的斜率， 的轨迹为圆， 表示圆上的点与点连线的斜率， 由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在， 则设过的圆的切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为， 即的值域为. 故答案为：. 【例19】（2025上海高三专题练习）函数的值域为__________ 【答案】 【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果. 【详解】， ，，， 即的值域为. 故答案为：. 【例20】（2025上海高三专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】用含的式子表达出，得到，求出值域. 【详解】， 故，即，解得：或， 故值域为 故答案为： 【例21】（2025上海高三专题练习）的值域为__________ 【答案】 【分析】通过换元法，求换元后的值域即可. 【详解】设 则， ， 故函数的值域为. 故答案为： 【例22】（2025控江中学开学考试）求函数y＝的值域． 【答案】 【分析】将函数化为二次函数的形式，根据判别式求出函数的值域． 【详解】(判别式法) 由， 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0． 因为当y＝1时，以上方程不成立， 所以y≠1． 又x∈R， 所以Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0， 解得． 故函数的值域为． 【例23】（2025大同中学月考）若函数的定义域为，则该函数的值域是____________. 【答案】 【分析】把二次函数看作整体求出范围,再由指数函数的单调性求函数值域即可 【详解】因为函数,设,则 因为定义域为, 当时, .当时, 所以,又因为单调递增, 即得,函数的值域为 故答案为: 【例24】（2023•虹口区二模）对于定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，，则该函数的值域为 　　． 【分析】根据奇函数的性质求得f（0）＝0，再结合基本不等式求x＞0时y＝f（x）的取值范围，再结合奇函数的性质求x＜0时函数值的范围，由此可得函数值域． 【解答】解：因为y＝f（x）为R上的奇函数 所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（0）＝0， 又当x＞0时，2x+1＞2， 所以＝2x+1+﹣1≥2﹣1＝5， 当且仅当x＝1时等号成立， 即当x＞0时，f（x）≥5， 因为y＝f（x）为R上的奇函数， 所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以x＜0时，f（x）≤﹣5， 所以函数y＝f（x）的值域为（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）． 【点评】本题考查函数的值域和奇偶性，属于基础题． 【例25】（2025延安中学月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分与，利用换元法，导函数，求出的值域，从而得到答案. 【详解】当时，；当时，设，则， 从而． 令，，则， 令得：或，令得：， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为， 所以的值域为． 综上，的值域为． 故选：C 题型12：已知函数值域求参数 【例26】（2025复旦附中开学考试）已知函数的值域是，则_________． 【答案】 【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案. 【详解】， 故，解得． 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围. 【详解】令， 函数的值域为， ，要取遍所有正数. 当时，，符合题意，故可取； 当时，解得， 综上所述的取值范围是. 故答案为：． 2．（2025上海高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____． 【答案】（﹣∞，﹣2] 【分析】根据函数的值域为，，等价于，是值域的子集，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可． 【详解】设， 若函数的值域为，， 则等价于，是值域的子集， ， 设，则， 则， ， 当对称轴，即时，不满足条件． 当，即时，则判别式△， 即，则， 即实数的取值范围是，. 故答案为：， 【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合指数函数的性质利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键． 题型13：定义域和值域的综合 【例27】（2025上海高三专题练习）已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可； （2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可. (1) 函数定义域为， 对任意都成立， 当时，显然不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为 (2) 函数值域为， 能取遍所有正数， 1：，解得， 2：， 符合题意 实数的取值范围为 【跟踪训练】 1．（2025华师大二附中月考）下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意； 对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意； 对于C：的定义域和值域都为，不符合题意； 对于D：的定义域为； 当时，；当时，； 所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意； 故选：D． 2．（2025上海高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________. 【答案】 【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于成轴对称，即可得到，从而得到方程组，解得即可. 【详解】解：因为，对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递增， 又因为定义域和值域均为， 所以，即，解得（舍去）或， 所以. 故答案为： 题型14：函数值域新定义问题 【例28】（2024•浦东新区校级模拟）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，，使在，上的值域为，，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围为　 　． 【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出的取值范围． 【解答】解：函数为“倍缩函数”， 且满足存在，，使在，上的值域是，， 在，上是增函数； ， 即， 方程有两个不等的实根，且两根都大于0； ， 解得：， 满足条件的范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题． 【跟踪训练】 1．若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式： _________. 【答案】，（或或等，答案不唯一） 【分析】构造出，分别计算与的定义域和值域，使得其满足定义即可. 【详解】的定义域为R，因为，所以，所以的值域为， ，则的定义域为，因为，所以，所以的值域为， 所以与的值域相同，定义域不同，所以与是“同象函数”. 故答案为：（答案不唯一）. 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解. 【详解】， 所以， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以==, 又,, 所以的值域为. 故选：B. 考点五 分段函数及其应用 题型15：求分段函数的函数值 【名师点拨】分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 【例29】已知函数，则______. 【答案】/. 【分析】根据分段函数，和，利用 转化为求解. 【详解】 ， 故答案为：. 【例30】已知函数且，则（    ） A．-16 B．16 C．26 D．27 【答案】C 【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 故选：C 【跟踪训练】 1.已知函数f(x)＝则f＝　　　　；若f(a)>a,则a的取值范围是　　　　.  【答案】4　(－1,1)∪(1,＋∞) 【解析】因为f＝2×＋1＝2, 所以f＝f(2)＝22＝4. 当a≥1时,f(a)>a⇔a2>a,解得a>1； 当a<1时,f(a)>a⇔2a＋1>a,解得－1<a<1, 所以不等式的解集为(－1,1)∪(1,＋∞). 2.已知函数f(x)＝ 则“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的(　　) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当f(x)＝2时,若x≤0,则有2－x＝2,解得x＝－1；若x>0,则有ln x＝2,解得x＝e2. 即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2,不一定能推出x＝－1,故“f(x)＝2”不是“x＝－1”成立的充分条件； 反之,当x＝－1时,代入解析式可得f(－1)＝2,即“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要条件, 综上,“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要不充分条件. 3．（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求分段函数值、指数幂的运算、对数的运算 【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，将代入即可求解. 【详解】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故选：B. 题型16：分段函数与不等式 【例31】（2025上海高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______． 【答案】 【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可. 【详解】函数的图象如图所示， 满足可得或. 解得. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．已知函数，则的解集为________． 【答案】 【分析】判断分段函数每段上的函数值范围，进而求解不等式，即得答案. 【详解】因为当时，，当时，， 所以等价于，此时，即，解得， 所以的解集为, 故答案为： 2．已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【详解】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数奇偶性的应用及分段函数不等式，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，结合奇偶性利用单调性求解. 3．已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解分段函数不等式 【分析】设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而再分类讨论求出的范围即可. 【详解】令，则，原不等式化为， 当时，，解得，即； 当时，，解得，即， ①， 当时，，解得；当时，，无解， 因此， ②， 当时，，解得；当时，，解得， 因此或， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，分类讨论求出t的范围是求解的关键. 题型17：分段函数的单调性问题 【例33】已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案. 【详解】因为函数满足对上的任意实数，（）， 恒有成立，所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【例34】已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】先化简不等式，得到函数单调性，再根据分段函数单调性性质求结果. 【详解】不妨设，则由得， 令，则在上单调递增， 因为 所以， 故选：A 【跟踪训练】 1．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则的范围是_______ 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题目条件得到函数在上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减， 则要满足，解得，故． 2．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据给定条件，将函数化成分段函数并分类讨论单调性，再结合在时单调性及分段函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数， 由函数是上的单调函数，得函数在上单调， 当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此； 当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数在上不单调，因此不成立； 当时，，函数在上递增，在上递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得， 此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增， 则，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 题型18：分段函数图像的应用 【例35】函数的图象如图所示，则______ . 【答案】1 【解析】因为函数过点，分别求出直线方程与对数函数方程，从而求得，相乘即可. 【详解】因为函数过点，则直线方程为即， 所以， 因为函数过点，所以，解得，所以. 故答案为：1 【点睛】本题考查分段函数图像与解析式的求法，属于基础题. 【例36】已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______． 【答案】6 【分析】利用函数的周期性和函数图像，结合函数的零点定义，根据数形结合即可求解. 【详解】，的周期， 如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6. 故答案为：6. 【例37】已知函数 ①函数的零点个数为__________． ②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 1 【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点； 第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围. 【详解】第一空：当时，可知有一个零点； 当时，有一个零点； 当时，可知有一个零点； 综上函数的零点个数为1个. 第二空： 如图所示，当时，若要满足题意需，得； 当时，不符题意； 如图所示，当时，若要满足题意需，得； 综上m的取值范围是： 故答案为：1； 题型19：求分段函数的值域或最值 【名师点拨】已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法. 【例38】若函数,则函数的值域为______． 【答案】 【分析】分别求出分段函数时和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】当时， ， 当时，， 故函数的值域为， 故答案为： 【例39】已知函数，则的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】求时函数的最小值及时函数的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数的最小值. 【详解】当时，函数在上单调递减， 所以当时，函数有最小值为， 当时，函数在上单调递增， 所以， 综上，当时，函数有最小值为1. 故选：C 【跟踪训练】 1.（2023春·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可. 【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为； 当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴. i.若，则二次函数的最小值为. 要使的值域为R，只需：，解得：. 所以； ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为. 要使的值域为R，只需：，解得：. 所以； 综上所述：实数t的取值范围是. 故答案为： 2.（2025上海高三专题练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围. 【详解】时，， 又的值域为，则时，的值域包含， ，解得：. 故选：B 3．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 0 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的解析式可直接计算得到空①答案；利用分段函数单调性的条件可以得到不等式求解，得到②的答案. 【详解】时,; 由于当时是单调递增函数； 当时是单调递增函数， 所以为了使得在上单调递增， 必须且只需,即, 故答案为：；. 4.定义max{a,b}＝设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],则n－m的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 【答案】D 【解析】令f(x)≥g(x),即x＋1≥(x＋1)2,解得－1≤x≤0； 令f(x)<g(x),即x＋1<(x＋1)2,解得x<－1或x>0, 所以F(x)＝max{f(x),g(x)}＝ F(x)的图象如图所示, 又F(0)＝F(－2)＝1,F(－1)＝0, 要使函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1], 当n＝0时,－2≤m≤－1； 当m＝－2时,－1≤n≤0, 则当n＝0,m＝－2时,n－m取得最大值2. 5．（24-25高一上·北京·期中）已知函数.若，则 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 1 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的值域（最值）求参数、根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】把代入，判断并求出函数值；根据给定的值域，分段讨论求出实数的取值范围. 【详解】当时，，所以； 函数的定义域为，值域为， 显然，且，否则在上的值域包含，矛盾，因此， 函数在上单调递减，在上的值域为，于是， 则，从而，当时，，当且仅当时取等号， 又，因此，解得，于是， 所以实数的取值范围是. 故答案为：1； 【点睛】思路点睛：已知分段函数值域，求解参数的取值范围问题，要充分考虑分段函数的特征，结合每段函数的定义域，单调性和最值，数形结合对参数的取值范围一步步进行 1. （2025上海秋季高考）函数在上的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 2．【2024年上海市高考数学第2题】已知则 ． 【答案】 【详解】因为故， 故答案为：. 3．（2024上海春考）log2x的定义域 　　． 【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解． 【解答】解：log2x的定义域为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）． 【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题． 4．【2023年上海市高考数学第5题】已知函数f（x），则函数f（x）的值域为 　　　　． 【答案】[1，+∞）． 【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1， 当x＞0时，f（x）＝2x＞1， 所以函数f（x）的值域为[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）． 5．（2023上海春考 ）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且 g（x）＝，则方程 g（x）=2 的解为_____ . 6．【2022年上海市高考数学第12题】设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为 　　　　．． 【答案】[，+∞）． 【解答】解：法一：令，解得（负值舍去）， 当时，， 当时，， 且当时，总存在，使得f（x1）＝f（x2）， 故， 若，易得， 所以， 即实数a的取值范围为； 法二：原命题等价于任意， 所以恒成立， 即恒成立，又a＞0， 所以， 即实数a的取值范围为． 故答案为：． 7．【2020年上海市高考数学第11题】设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02； （2）关于x的方程f（x）＝a无实数解， 则a的取值范围是　　　　． 【答案】（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞） 【解答】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1， 又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1， 故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）， 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$