专题07：对数运算与对数函数（5大考点+14大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题07 对数运算与对数函数 知识点一、对数的性质和运算法则 (1)；；其中且； (2)(其中且，)； (3)对数换底公式：___________； (4)； (5)； (6)，； (7)和； (8)； 知识点二、对数函数 (1)对数函数的定义：函数 _________叫做对数函数． (2)对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：__________ 值域：____________ 过定点_____________ 在上_______函数 在上是________函数 当时，，当时， 当时，，当时， 注：对数函数常用技巧 (1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (2)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝logax＋b恒过定点_________，仍以y轴为渐近线. (3)作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点_________. (4)在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)（对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ） 考点一 对数的运算 题型01：对数的运算 【名师点拨】对数运算的一般思路 (1)转化：①利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化． ②利用换底公式化为同底数的对数运算． (2)恒等式：关注loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用． (3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．. (4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 【例1】（2025上海高三阶段练习）计算： (1) (2)． 【例2】（2025闵行区校级考试）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）计算的值为______. 2．（2025上海高三阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海宝山·一模）若，且，则 . 考点二 对数函数的定义 题型02：对数函数的概念、定义域和值域 【名师点拨】求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【例3】（2024徐汇中学开学考试）函数是对数函数，则___________. 【例4】（2024·上海虹口·一模）函数的定义域是 ． 【例5】（2025上海高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【跟踪训练】 1．（2023春·上海虹口·高三统考期中）函数的定义域为________. 2．（24-25高三上·上海松江·期末）函数的定义域是 ． 3．（2024松江二中高三专题练习）函数的值域为________． 4.（2025延安中学高三阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点三 对数函数的图象 题型03：判断对数函数图象的形状 【名师点拨】对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 【例6】（2023·高三课时练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【例7】（2024上交大附中练习）已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　) 【跟踪训练】 1.函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．  B．  C．  D．   2．（2025高三·全国·专题练习）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型04：根据对数型函数图象判断参数的范围 【例8】（2023·高三课时练习）已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 【跟踪训练】 1．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025上海高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ） A． B． C． D． 题型05：对数型函数恒过定点问题 【例9】（2023秋•普陀区期末模拟）已知f（x）＝2loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1），函数y＝f（x）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 　　． 【跟踪训练】 1．（2024·上海虹口·一模）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ． 2．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 3．已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 题型06：对数函数图象应用 【例10】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 对数函数的性质 题型07：判断函数的单调性 【例11】（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（24-25 安徽 ）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 2．（2025上海高三专题练习）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________． 题型08：比较大小或解不等式 【名师点拨】比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 【例12】（2024•宝山区二模）已知a＞b＞0，则（　　） A．a2＞b2 B．2a＜2b C． D． 【例13】（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______. 【跟踪训练】 1.（2021·上海市七宝中学高三期中）若正实数，，满足，则（       ） A． B． C． D． 2．（2023秋•杨浦区模拟期末）若m＞n＞1，而0＜x＜1，则下列不等式正确的是（　　） A．mx＜nx B．xm＜xn C．logxm＞logxn D．logmx＜lognx 3.（24-25 江苏苏州 ）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型09：由函数的单调性求参数 【例14】（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______. 【跟踪训练】 1．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A．（－2，4] B．[－2，4） C． D． 2．（24-25安徽）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 题型10：已知函数奇偶性求值或求解析式 【例15】（2024·上海徐汇·二模）在下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【例16】（2025上海高三专题练习）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________． 【跟踪训练】 1．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________． 2．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________. 题型11：已知函数的奇偶性求参数 【例17】（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）若函数是R上的奇函数，则a的值为_____． 【跟踪训练】 1．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______. 2．（2025上海高三专题练习）已知函数(其中是自然数，)是奇函数，则实数的值为___________. 题型12：对数函数的最值 【例18】（2025上海高三专题练习）若函数有最小值，则的取值范围是______． 【跟踪训练】 1．（2023·广西·统考模拟预测）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在R上存在最小值，则实数m的范围为______ 题型13：函数的奇偶性与单调性的综合 【例19】（2023普陀区校级模拟）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例20】（2023·高三课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围为______． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）若函数为奇函数，则不等式的解集为___________. 2．（2025上海高三专题练习）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________. 考点五 对数函数的综合问题 题型14：对数函数的综合题 【例21】（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【例22】（2023·高三课时练习）已知函数（）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是严格增函数； (3)如果当时，函数的值域是，求与的值. 【跟踪训练】 1．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 3.（2023秋•普陀区模拟期中）已知函数f（x）＝log2（x+a）． （1）当a＝2时，解不等式：f（x）＜2log2x； （2）若函数y＝|f（x）|在x∈[﹣1，2]上的最大值为log23，求a的值； （3）当a＞0时，记，若对任意的x∈（0，2），函数y＝f（x）的图像总在函数y＝g（x）的图像的下方，求正数a的取值范围． 1. （2025上海秋季高考）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 2．（2025上海春考21）已知函数=(x)的定义域是D．对于t∈D，定义集合={x|f(x)≥f (t}. （1）若函数f(x)=lox，求); 3．（2024上海春考01）的定义域 　　． ． 4．【2024年上海市高考数学第18题】若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 5．【2022年上海市高考数学第18题】f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）． （1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值． （2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）． 6．（2022·上海数学春考））已知 为奇函数，当 时， ，且 关于直线 对称，设 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，则 　 　 7．【2021年上海市高考数学第13题】以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　　　） A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 8．【2019年上海市高考数学第6题】已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝　　　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题07 对数运算与对数函数 知识点一、对数的性质和运算法则 (1)；；其中且； (2)(其中且，)； (3)对数换底公式：； (4)； (5)； (6)，； (7)和； (8)； 知识点二、对数函数 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． (2)对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 注：对数函数常用技巧 (1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (2)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝logax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线. (3)作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1). (4)在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)（对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ） 考点一 对数的运算 题型01：对数的运算 【名师点拨】对数运算的一般思路 (1)转化：①利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化． ②利用换底公式化为同底数的对数运算． (2)恒等式：关注loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用． (3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．. (4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 【例1】（2025上海高三阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1)5 (2)8 【解析】（1） . （2）因为，， 所以原式 【例2】（2025闵行区校级考试）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由，得，又， 所以. 故选：C. 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）计算的值为______. 【答案】8 【解析】原式 . 故答案为：8. 2．（2025上海高三阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， 即.故选：C. 3．（2024·上海宝山·一模）若，且，则 . 【答案】 【分析】利用换底公式可得，根据题目条件结合对数的运算性质可得结果. 【详解】∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴. 故答案为：6. 考点二 对数函数的定义 题型02：对数函数的概念、定义域和值域 【名师点拨】求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【例3】（2024徐汇中学开学考试）函数是对数函数，则___________. 【答案】3 【解析】由对数函数的概念可知，解得，所以， 则.故答案为:3. 【例4】（2024·上海虹口·一模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域是， 所以，解得：或. 所以函数的定义域为：. 故答案为：. 【例5】（2025上海高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围. 【详解】令， 函数的值域为， ，要取遍所有正数. 当时，，符合题意，故可取； 当时，解得， 综上所述的取值范围是. 故答案为：． 【跟踪训练】 1．（2023春·上海虹口·高三统考期中）函数的定义域为________. 【答案】 【分析】函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得，即 故答案为： 2．（24-25高三上·上海松江·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：． 3．（2024松江二中高三专题练习）函数的值域为________． 【答案】 【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可. 【详解】因为当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 4.（2025延安中学高三阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 考点三 对数函数的图象 题型03：判断对数函数图象的形状 【名师点拨】对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 【例6】（2023·高三课时练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小． 【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b. 故选：D． 【例7】（2024上交大附中练习）已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　) 【答案】B 【解析】因为lg a＋lg b＝0，所以lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知，B正确． 【跟踪训练】 1.函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【解析】函数（且）中由得， 则函数过定点， 设，代入可得，解得， 故幂函数，则B选项图象符合. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数为减函数，且其图象必过点，∴排除A、D． ∵的图象是由的图象上移1个单位得到的， 因此为增函数，且图象必过点，∴可排除C． 故选：B． 题型04：根据对数型函数图象判断参数的范围 【例8】（2023·高三课时练习）已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 【答案】D 【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得． 【详解】的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此． 故选：D． 【跟踪训练】 1．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 2．（2025上海高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小． 由图易得，；取特殊点， ，．选A． 题型05：对数型函数恒过定点问题 【例9】（2023秋•普陀区期末模拟）已知f（x）＝2loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1），函数y＝f（x）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 　　． 【分析】在函数f（x）的解析式中，令x﹣1＝1，即x＝2时，不论a取a＞0且a≠1的任意值，都可得f（2）＝1，即求出函数恒过的点的坐标． 【解答】解：f（x）＝2loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1），令x﹣1＝1，即x＝2时，不论a取a＞0且a≠1的任意值，f（2）＝1恒成立， 即函数f（x）恒过定点（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点评】本题考查对数型函数恒过定点的求法，属于基础题． 【跟踪训练】 1．（2024·上海虹口·一模）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案. 【详解】令，可得恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 2．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 3．（24-25山东德州）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【解析】由，得，则， 所以函数（且）恒过定点， 设过点的幂函数为，则，得，所以过点的幂函数为， 此幂函数的图象只经过第一、二象限，故选：A 题型06：对数函数图象应用 【例10】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集． 【详解】由题意，不等式，即， 等价于在上的解， 令，，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 可得不等式的解集为， 故选：B 【跟踪训练】 1.（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴， ，∵，∴ ∴，即，∴∴的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键. 2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围. 【详解】由得．根据函数的图象及， 得，，所以． 令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增， 所以．故， 故选：C. 考点四 对数函数的性质 题型07：判断函数的单调性 【例11】（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案. 【详解】由且，故为偶函数，在上递减，A符合； 由的定义域为，故为非奇非偶函数，B不符合； 由定义域为，又，故为偶函数，在上递增，C不符合； 由的定义域为，，故为偶函数，在上递增，D不符合. 故选：A 【跟踪训练】 1．（24-25 安徽 ）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为： 2．（2025上海高三专题练习）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________． 【答案】 【分析】先由对数函数的性质求得其定义域，再由推得，从而利用复合函数的单调性与二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意，令，解得或，故函数的定义域为， ，得， 令，则， 根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间， 由二次函数的性质，的增区间为， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 题型08：比较大小或解不等式 【名师点拨】比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 【例12】（2024•宝山区二模）已知a＞b＞0，则（　　） A．a2＞b2 B．2a＜2b C． D． 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及函数单调性，即可求解． 【解答】解：a＞b＞0， 则a2＞b2，故A正确； 2a＞2b，故B错误； ，故C错误； ，故D错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查不等式的性质，以及函数单调性，属于基础题． 【例13】（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.（2021·上海市七宝中学高三期中）若正实数，，满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数与指数函数的性质先得出的大小与范围，再确定各选项的对错． 【详解】因为，即， 则，， 则，，则，所以，，，A，B，C项错误；，，，D项正确. 故选：D． 2．（2023秋•杨浦区模拟期末）若m＞n＞1，而0＜x＜1，则下列不等式正确的是（　　） A．mx＜nx B．xm＜xn C．logxm＞logxn D．logmx＜lognx 【分析】直接取特值m＝4，n＝2，x，分别代入四个答案即可判断每个答案对错． 【解答】解：由题，取m＝4，n＝2，x，则： 对于A，，故A错； 对于B，∵指数函数y＝（）x在R上单调递减，m＞n，∴（）mn，即xm＜xn，故B对； 对于C，，故C错； 对于D，，故D错． 故选：B． 【点评】本题考查特值法在解决选择题中灵活应用，属于基础题． 3.（24-25 江苏苏州 ）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且，所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数，所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数，函数中，， 由得，解得或.故选：D. 题型09：由函数的单调性求参数 【例14】（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的取值范围. 【详解】已知在上是严格减函数， 由，函数在上是严格减函数，所以函数在定义域内是严格增函数，则有， 又函数在上最小值，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A．（－2，4] B．[－2，4） C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】函数在区间上单调递减，要使得函数在区间上单调递 减，则在区间上单调递增，对称轴为，则 . 故选：A 2．（24-25安徽）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 题型10：已知函数奇偶性求值或求解析式 【例15】（2024·上海徐汇·二模）在下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断，利用对数函数性质和基本不等式确定偶函数的值域． 【详解】ACD三个选项中函数定义域是， 函数的定义域是，，为偶函数，由对数函数性质知其值域为，B符合； ，因此是奇函数，A不符； ，因此是偶函数，但，当且仅当时取等号，因此函数值域不是，C不符； ，是奇函数，D不符. 故选：B ． 【例16】（2025上海高三专题练习）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________． 【答案】1 【分析】利用奇函数的性质求出在的解析式，通过求导求出的单调性即可求出答案. 【详解】，，所以， 又因为是奇函数，所以， 所以当，，， 令，所以， 则在上单调递减，在上单调递增，所以. 所以当时，的最小值为1. 故答案为：1. 【跟踪训练】 1．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而， 于是，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 2．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】16 【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】由函数， 设，则的定义域为， ， 则，所以是奇函数， 则， 又因为正实数满足， 所以， ， 当且仅当时取到等号. 故答案为：16. 题型11：已知函数的奇偶性求参数 【例17】（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）若函数是R上的奇函数，则a的值为_____． 【答案】． 【解析】由奇函数的定义求解． 【详解】∵是奇函数，∴， 恒成立，∴， 时，的定义域均为，满足题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键． 【跟踪训练】 1．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______. 【答案】 【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值. 【详解】对于函数，，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，即， 即，解得. 故答案为：. 2．（2025上海高三专题练习）已知函数(其中是自然数，)是奇函数，则实数的值为___________. 【答案】 【分析】根据对数运算法则化简解析式，确定函数定义域，求解，根据奇函数得，即可求得的值. 【详解】解：函数的定义域满足，解得或，即定义域为， 所以， 因为是奇函数，所以，则， 则； 故答案为：. 题型12：对数函数的最值 【例18】（2025上海高三专题练习）若函数有最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围. 【详解】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立， 由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值； 当时，外层函数为增函数，对于内层函数， 函数有最小值，若使得函数有最小值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 【跟踪训练】 1．（2023·广西·统考模拟预测）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，再根据函数的最小值为m，即可得解. 【详解】若，则， 因为， 所以， 因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明. 2．已知函数在R上存在最小值，则实数m的范围为______ 【分析】探讨分段函数的单调性，再根据给定条件求出m的取值范围即可判断作答. 【详解】当时，函数是单调递减的，，， 当时，是单调递增的，，， 因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得， 题型13：函数的奇偶性与单调性的综合 【例19】（2023普陀区校级模拟）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，即可转化为自变量的大小关系进行求解. 【详解】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称， 由得，故 为偶函数， 当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得, 故选：C 【例20】（2023·高三课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，利用偶函数的性质以及可得出，利用对数函数的单调性可求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，对任意的，， 所以，函数为偶函数， 当时，，故函数在上为增函数， 由可得， 所以，，则，所以，，解得. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）若函数为奇函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】由题意，求出的值，根据函数单调性的性质判断的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，检验可得此时，函数为R上的奇函数， 所以，易知为R上的增函数， 所以不等式等价于， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 2．（2025上海高三专题练习）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于， 等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围. 【详解】因为是奇函数，故 图像关于 对称， 由题设，因为在上单调递减， 所以等价于， 因此不等式等价于， 即 ，即 且 ， 解得取值范围为. 故答案为： 考点五 对数函数的综合问题 题型14：对数函数的综合题 【例21】（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 【例22】（2023·高三课时练习）已知函数（）. (1)求函数的定义域，并判断的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是严格增函数； (3)如果当时，函数的值域是，求与的值. 【答案】(1) ，是奇函数 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可； （2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案. 【详解】（1）解：令，解得，所以. 对任意，， 所以函数是奇函数. （2）解：设，且，则. 因为，，， 所以，得. 又，于是，即， 所以函数在上是严格增函数. （3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数. 因为时，的值域是， 所以且在上的值域是， 因为在上单调递减， 所以，且， 所以，由，得，解得或（舍去）， 所以，. 【跟踪训练】 1．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数解析式，利用单调性解不等式即可； （2）利用等差中项的性质可得，根据对数运算化简可得，所以，即，由判别式可知方程有解，即可得证. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 3.（2023秋•普陀区模拟期中）已知函数f（x）＝log2（x+a）． （1）当a＝2时，解不等式：f（x）＜2log2x； （2）若函数y＝|f（x）|在x∈[﹣1，2]上的最大值为log23，求a的值； （3）当a＞0时，记，若对任意的x∈（0，2），函数y＝f（x）的图像总在函数y＝g（x）的图像的下方，求正数a的取值范围． 【分析】（1）直接根据对数函数单调性解不等式即可，注意首先要使得对数有意义． （2）直接对|log2（﹣1+a）|，|log2（2+a）|比较大小分类讨论即可． （3）将原题等价转换为x2+2（a﹣2）x+a2﹣a＜0在（0，2）上恒成立，从而列出不等式即可求解． 【解答】解：（1）由f（x）＜2log2x，a＝2，得log2（x+2）＜2log2x， 则x+2＞0，x＞0，且x+2＜x2⇒x＜﹣1或x＞2，即不等式的解集为（2，+∞）． （2）由复合函数单调性可知f（x）＝log2（x+a）在x∈[﹣1，2]上单调递增， 故函数y＝|f（x）|在x∈[﹣1，2]上的最大值为max{|log2（﹣1+a）|，|log2（2+a）|} 若|log2（﹣1+a）|＜|log2（2+a）|，则|log2（2+a）|＝log23⇒a＝1或， ﹣1+a＞0⇒a＞1，矛盾，故舍去 若|log2（﹣1+a）|≥|log2（2+a）|，则|log2（﹣1+a）|＝log23，log2（﹣1+a）＜0≤log2（2+a） ，但此时，矛盾，故舍去． 所以：a的值不存在． （3）因为， 对任意的x∈（0，2），函数y＝f（x）的图像总在函数y＝g（x）图像的下方， 则f（x）＜g（x）在（0，2）上恒成立， 即在（0，2）上恒成立，2log2（x+a）＜log2（4x+a）， 即在（0，2）上恒成立， 整理得：x2+2（a﹣2）x+a2﹣a＜0在（0，2）上恒成立， 设m（x）＝x2+2（a﹣2）x+a2﹣a＜0，x∈（0，2）， 则只需要即可，可得0≤a≤1， 又因为a＞0，所以0＜a≤1，所以正数a的范围为（0，1]． 【点评】本题主要考查对数函数的图象与性质，属于难题． 1. （2025上海秋季高考）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 2．（2025上海春考21）已知函数=(x)的定义域是D．对于t∈D，定义集合={x|f(x)≥f (t}. （1）若函数f(x)=lox，求); 3．（2024上海春考01）的定义域 　　． 【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解． 【解答】解：的定义域为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题． 4．【2024年上海市高考数学第18题】若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 5．【2022年上海市高考数学第18题】f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）． （1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值． （2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）． 【答案】（1）a＝﹣2，m＝1． （2）﹣3＜a＜0时，解集是（﹣a，3]； a＞0时，解集是[3，6）． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）， 将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m的图像， 由函数图像经过点（3，0）和（5，0）， 所以， 解得a＝﹣2，m＝1． （2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x， 等价于， 解得， 当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3， 当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6； 综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]， a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）． 6．（2022·上海数学春考））已知 为奇函数，当 时， ，且 关于直线 对称，设 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，则 　 　 【答案】2 【知识点】函数的图象与图象变化；极限及其运算 【解析】【解答】解：因为 为奇函数， 所以关于原点对称， 又 关于直线 对称， 则函数的周期为T=4(1-0)=4， 又因为 当 时， ， 作出函数的图象，如图所示， 则由题意知， 的几何意义是相邻两条渐近线之间的距离2，即 . 故答案为：2 【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可. 7．【2021年上海市高考数学第13题】以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　　　） A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 【答案】A 【解答】解：y＝﹣3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意； 因为y＝x3在R上是增函数，B不符合题意； y＝log3x，y＝3x为非奇非偶函数，C不符合题意； 故选：A． 8．【2019年上海市高考数学第6题】已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝　　　　． 【答案】﹣1 【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（）， 因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1， 故答案为：﹣1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$