专题01：集合及其运算（5大考点+13大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题01 集合及其运算 知识点01.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_______一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但______元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且_________，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何_______集合的真子集. 知识点3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 ____________________ _____________________ _______________ 知识点4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 【重要结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有_____个，真子集有_________个，非空子集有______个，非空真子集有__________个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 考点一 集合的含义与表示 题型01：元素与集合的关系判断 【名师点拨】判断元素与集合关系 直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可． 推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【例1】（2024上海高三阶段练习）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024上海交大附中模拟）已知集合A={a，|a|，a-2}，若，则实数a的值为_____. 【跟踪训练】 1.（2024•杨浦区三模）已知集合，，，，或，则　　 A． B． C． D．，2， 2．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 3．（2025上海高三模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中不正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型02：根据集合中元素的性质求元素个数或参数 【名师点拨】研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 【例3】（2025大同中学高三开学考试）设集合，，，则中的元素个数为______． 【例4】（2024格致中学高三阶段练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．7 2．（2022•上海自主招生）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　） A．4 B．5 C．8 D．9 3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ） A． B． C． D． 题型03：集合的表示法 【名师点拨】1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 【例6】（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，不正确的为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（24-25上海高三阶段练习）下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二 集合间的基本关系 题型04：集合与集合关系的判定 【名师点拨】判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断（2）数形结合法进行判断 【例7】（2025·上海市行知中学高三月考）下列各式中，正确的个数（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1.（2023·全国·高三专题练习）集合，,则（    ） A．； B．； C．； D．． 题型05：集合相等关系 【例8】（2023秋•普陀区期末）下列表示同一集合的是　　 A．，，， B．， C．， D．，， 【例9】（2025松江二中高三开学考）已知m∈R，n∈R，若集合={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【跟踪训练】 1.（2024延安中学高三月考）已知集合，，且，则集合 . 2．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____． 题型06：子集或真子集的个数 【名师点拨】求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【例10】（2024奉贤高级中学模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【跟踪训练】 1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值为_________ 2．（2022•闵行区校级二模）设ai（i＝1，2，3）均为实数，若集合{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和为12，则a1+a2+a3＝　　． 3．（2024·上海·模拟预测）考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件. 则这样的子集共有 个. 题型07：根据集合的包含关系求参数 【名师点拨】利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 【例11】（2020·上海市崇明中学高三期中）已知集合，集合，若，则实数_____________. 【例12】(2024复旦附中高三阶段练习）集合或，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2020·上海高三专题练习）设集合A=若AB,则实数a,b必满足 A． B． C． D． 考点三 集合的基本运算 题型08：集合的并集、交集运算 【名师点拨】集合基本运算的求解规律 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解． (2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况． 【例13】（嘉定2023二模）已知,，则 . 【例14】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【例15】（2024华师大二附中高三模拟）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2022·上海·高三阶段练习）已知集合，，则(  ) A． B． C． D． 2．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知集合，，则________ 3.（2025华师大二附中高三模拟）已知集合，则集合的元素个数为 . 4.（2024上师大附中高三模拟）已知集合，，则（       ） A． B． C．M D．N 题型09：补集的运算 【例16】（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 【跟踪训练】 1．（2024·上海奉贤·一模）设全集，集合，则 ． 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知全集，集合，则 ． 题型10：交、并、补的综合运算 【名师点拨】对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 【例17】（2022七宝二模）已知集合A＝{y|y＝2x，x>0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．[0,1) B．(1,2) C．(1,2] D．[2，＋∞) 【例18】（2024·河南新乡·二模）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是_________ A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2021·天津·高考真题）设集合，则（       ） A． B． C． D． 2．（2025华师大二附中高三练习）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 3．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市）设集合，则（       ） A． B． C． D． 4．（2023•黄浦区校级三模）若全集为，集合，，则　　． 题型11：根据集合的运算结果求参数 【名师点拨】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【提醒】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　 【例19】（2025金山中学高三练习）设集合，且，则（    ） A． B． C．8 D．6 【例20】（2020·上海松江·模拟预测）已知，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例21】已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·上海崇明·统考二模）已知集合，，若，则实数的值为____. 3．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 2．（2023·高三课时练习）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围. 3．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合，若，则实数的取值范围为___________. 4．（2023·高三课时练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是______． 5．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 考点四 韦恩图及其应用 题型12：韦恩图的运算 【例22】（2022秋•杨浦区校级期中）已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 　　．（用含A，B或∁UA，∁UB的集合语言表示）． 【跟踪训练】 1.（2023秋•青浦区模拟）如图，表示全集，，是的子集，则阴影部分所表示的集合是　　 A． B． C． D． 2.（2023秋•宝山区模拟）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是　　 A． B． C． D． 3.设全集，若，则 . 4．（2023秋•闵行区模拟）对班级40名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成，另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人，问对、都赞成的学生有 　　人． 考点五 集合的新定义问题 题型17：集合的新定义问题 【名师点拨】集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 【例23】（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【例24】（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【跟踪训练】 1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（2020·上海青浦·一模）设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法： （1）一定有； （2）若，则； （3）一定有； （4）若，则. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022秋•宝山区校级期中）用C（A）表非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．9 4．（2022秋•宝山区校级月考）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中： ①； ②{x|x∈R，x≠0}；③； ④整数集Z 以0为聚点的集合有（　　） A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 一、填空题 1.【2025上海秋季高考】已知集合U={2≤x≤5,xR)，集合4={2≤x<4,xR)，则= 2．（2025上海春季高考）已知集合A={x|x>0}，B={-1,0,1,2}，则A∩B=____________ 3.【2024上海秋季高考】 设全集，集合，则 ． 4．（2023上海春考）已知集合 A ＝{1 ， 2} ，B ＝{1 ， a}，且 A＝B，则 a =________ . 5．（2022·上海春考）已知 ， ，则 　 　 6．（2021年上海卷02）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝　 　． 7．（2020年上海卷01）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝　　． 8．（2020上海春考1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则　　． 二、选择题 9. 【2024上海秋季高考】定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 10 【2024上海秋季高考】已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在是严格增函数 D. 存在在处取到极小值 11．（2023·上海秋季高考）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 12．（2022年上海秋季高考）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1} 13.（2022•上海秋季高考）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1} 14．（2021•上海春季高考）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　） A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 15. （2025全国高考数学1卷）设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 16. （2024•北京数学卷）已知集合，，则（ ） A. B. C D. 17. （2024新高考数学I卷）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 18．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 19．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 20．（2023•新高考Ⅰ）已知集合，，0，1，，，则　　 A．，，0， B．，1， C． D． 21．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 22．（2022•新高考Ⅰ）若集合，，则　　 A． B． C． D． 23．（2022•新高考Ⅱ）已知集合，1，2，，，则　　 A．， B．， C．， D．， 24.（2020•全国3卷）已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 25.（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题01 集合及其运算 知识点01.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 知识点4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 【重要结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 考点一 集合的含义与表示 题型01：元素与集合的关系判断 【名师点拨】判断元素与集合关系 直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可． 推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【例1】（2024上海高三阶段练习）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【详解】因为， 所以A、C错误， 因为，所以，所以B错误， 又，所以，所以D正确， 故选:D． 【例2】（2024上海交大附中模拟）已知集合A={a，|a|，a-2}，若，则实数a的值为_____. 【答案】 【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定参数值． 【详解】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以； 若，则或（舍去），此时，符合题意；若，则，而， 不满足集合元素的互异性，所以，综上所述，的值为． 故答案为： 【跟踪训练】 1.（2024•杨浦区三模）已知集合，，，，或，则　　 A． B． C． D．，2， 【分析】结合元素与集合的关系，即可求解． 【解答】解：、，、， 或，故正确； 故选：． 【点评】本题以定义理解为载体，主要考查了集合的运算，属于基础题． 2．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 3．（2025上海高三模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题意，且， 解得， 故选：B 4．（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中不正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确； （2）由（1）可知，故B错误； （3）由①知，，，，， 即，故C正确； （4），则，由③可得，，， 即，，即，； 由（3）可知当，，， 当，可得，， 故D正确． 故答案为：B 题型02：根据集合中元素的性质求元素个数或参数 【名师点拨】研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 【例3】（2025大同中学高三开学考试）设集合，，，则中的元素个数为______． 【答案】4 【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数. 【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8． 根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素． 故答案为：4． 【例4】（2024格致中学高三阶段练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由椭圆的性质得， 又, 所以集合 共有11个元素. 故选：C 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或 【分析】（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解； 【详解】（1）由于中有两个元素， ∴关于的方程有两个不等的实数根， ∴，且，即，且. 故实数的取值范围是且 （2）当时，方程为，，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，. 综上可知，实数的取值范围是或 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】C 【解析】根据题意，因为，， 所以. 故选：C. 2．（2022•上海自主招生）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　） A．4 B．5 C．8 D．9 【分析】集合A的元素代表圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即可得到结论 【解答】解：根据题意：A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x，y∈Z}＝{（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}共9个元素，是平面直角坐标系中9个点． 故选：D． 【点评】本题考查集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合A的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围 【详解】解：因为集合中至少有2个元素， 所以，解得， 故选：D 题型03：集合的表示法 【名师点拨】1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 【例6】（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断 【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确； 表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误； 集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确； 由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确． 故选：B． 【跟踪训练】 1.（24-25上海高三阶段练习）下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，，，故，A错； 对于B选项，，， 故，B对； 对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错； 对于D选项，， 故，D错. 故选：B. 考点二 集合间的基本关系 题型04：集合与集合关系的判定 【名师点拨】判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断（2）数形结合法进行判断 【例7】（2025·上海市行知中学高三月考）下列各式中，正确的个数（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】不含任何元素，判断①错误；是任何集合的子集，判断②正确；集合与集合之间不能用属于符号，判断③⑥错误；数与集合之间不能使用等于符号，判断④错误；由，判断⑤正确；中的元素都在，判断⑦正确；两个集合中的元素完全相同，判断⑧正确 【详解】解：①不含任何元素，是以0为元素的集合，故①错误； ②是任何集合的子集，故②正确； ③是一个集合，集合与集合之间不能用属于符号，故③错误； ④是一个数，不是集合，它与集合之间不能使用等于符号，故④错误； ⑤是以0为元素的集合，则正确，故⑤正确； ⑥和都是集合，集合与集合之间不能用属于符号，故⑥错误； ⑦和都是集合，中的元素都在，故，故⑦正确； ⑧和都是集合，两个集合中的元素完全相同，故，故⑧正确 故选：D. 【点睛】本题考查元素与集合的属于关系、集合与集合的基本关系、是基础题. 【跟踪训练】 1.（2023·全国·高三专题练习）集合，,则（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系. 【详解】,, 表示奇数，表示整数，所以. 故选：B 题型05：集合相等关系 【例8】（2023秋•普陀区期末）下列表示同一集合的是　　 A．，，， B．， C．， D．，， 【分析】直接根据集合相等的概念进行判断即可． 【解答】解：对于选项，由集合元素具有无序性可得：，，，故正确； 对于选项，集合表示直线上所有的点构成的集合，而集合表示直线上所有的点的纵坐标的取值集合，两者不相同，故不正确； 对于选项，点与点是不同的点，故不正确； 对于选项，集合中有两个元素2和4，而集合中仅有1个元素，故不正确． 故选：． 【点评】本题考查集合的相等的概念，考查学生的逻辑思维能力，属中档题． 【例9】（2025松江二中高三开学考）已知m∈R，n∈R，若集合={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】B 【解析】因为={m2，m+n，0}，m≠0， 所以 解得或 当m=1时，不满足集合元素的互异性， 故m=-1，n=0，m2 025+n2 025=(-1)2 025+02 025=-1. 【跟踪训练】 1.（2024延安中学高三月考）已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 2．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____． 【答案】1 【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为， 显然，故，则； 此时两集合分别是， 则，解得或. 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意. 所以 故答案为：. 题型06：子集或真子集的个数 【名师点拨】求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【例10】（2024奉贤高级中学模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答. 【详解】解不等式，得，因此， 所以集合的子集个数为. 故选：C 【跟踪训练】 1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值为_________ 【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值. 【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求， 2．（2022•闵行区校级二模）设ai（i＝1，2，3）均为实数，若集合{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和为12，则a1+a2+a3＝　　． 【分析】列举出集合{a1，a2，a3}的所有非空真子集，根据题意列方程，可求得a1+a2+a3的值． 【解答】解：集合{a1，a2，a3}的所有非空真子集为：{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}， 由题意，可得3（a1+a2+a3）＝12，解得a1+a2+a3＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查子集与真子集的定义，属于基础题． 3．（2024·上海·模拟预测）考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件. 则这样的子集共有 个. 【答案】 【知识点】集合新定义、组合数的计算 【分析】由题意，，且集合中的最小元素不能大于，再根据集合中的最小元素进行讨论，即可得解. 【详解】由题意，，且集合中的最小元素不能大于， 当集合中的最小元素时，这个的集合只有这个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 当集合中的最小元素时，这个的集合有个， 所以满足题意的子集共有个. 故答案为：. 题型07：根据集合的包含关系求参数 【名师点拨】利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 【例11】（2020·上海市崇明中学高三期中）已知集合，集合，若，则实数_____________. 【答案】 【分析】根据题意，若，必有，解之可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证． 【详解】解：由，， ∴．解得， 验证可得符合集合元素的互异性， 故答案为：． 【点睛】本题考查元素的互异性以及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题． 【例12】(2024复旦附中高三阶段练习）集合或，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围． 【详解】解：， ①当时，即无解，此时，满足题意． ②当时，即有解，当时，可得， 要使，则需要，解得． 当时，可得， 要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为. 【跟踪训练】 1．（2020·上海高三专题练习）设集合A=若AB,则实数a,b必满足 A． B． C． D． 【答案】D 试题分析：， ，若AB，则有或 题型：1．绝对值不等式解法；2．集合的子集关系 2.已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________. 【答案】 (－∞，4] 【解析】A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}， 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2。 当B≠∅时，若B⊆A，如图所示 则 解得2<m≤4， 综上，m的取值范围为(－∞，4]。 考点三 集合的基本运算 题型08：集合的并集、交集运算 【名师点拨】集合基本运算的求解规律 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解． (2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况． 【例13】（嘉定2023二模）已知,，则 . 答案： 答案：； 【例14】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， 得，，所以． 故选：C． 【例15】（2024华师大二附中高三模拟）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的定义域求得B，再根据并集的定义求得结果. 【详解】由题意可得： 故选：D 【跟踪训练】 1.（2022·上海·高三阶段练习）已知集合，，则(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，∴{(－2，1)}.故选：D. 2．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知集合，，则________ 【答案】 【分析】利用集合的交运算即可求解. 【详解】由集合，， 则. 故答案为： 【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题. 3.（2025华师大二附中高三模拟）已知集合，则集合的元素个数为 . 【答案】1 【解析】集合， 把代入，得，， 集合中元素的个数为1.故答案为：1 4.（2024上师大附中高三模拟）已知集合，，则（       ） A． B． C．M D．N 【答案】D 【解析】， 因为当时，，所以函数过点，所以，所以. 故选：D. 题型09：补集的运算 【例16】（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 【答案】 【分析】先解一元二次不等式再根据补集定义计算即可. 【详解】由， 则． 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2024·上海奉贤·一模）设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】利用补集的定义可得出结合. 【详解】因为全集，集合，则. 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】列举法改写集合A，再应用补运算求集合. 【详解】由题设，又，故. 故答案为： 题型10：交、并、补的综合运算 【名师点拨】对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 【例17】（2022七宝二模）已知集合A＝{y|y＝2x，x>0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．[0,1) B．(1,2) C．(1,2] D．[2，＋∞) 【答案】　C 【解析】　由题意易得，A＝(1，＋∞)，B＝(2，＋∞)，∴∁RB＝(－∞，2]，∴A∩(∁RB)＝(1,2]．故选C. 【例18】（2024·河南新乡·二模）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是_________ A． B． C． D． 【解析】表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合， 表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合， 表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合， 表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合， 对于A，集合中的直线平行，故，故A正确， 对于B，由于，故在圆内， 故经过点的直线与圆相交，，故B正确， 对于C，由于，故在圆外， 故当经过点的直线与圆相离时，此时，故C错误， 对于D，由于，故两圆相交，，D错误， 【跟踪训练】 1.（2021·天津·高考真题）设集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，.故选：C. 2．（2025华师大二附中高三练习）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵集合，， ∴.故选：B. 3．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市）设集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，由，解得：，所以，所以，故选：D. 4．（2023•黄浦区校级三模）若全集为，集合，，则　　． 【分析】先求出集合，，再求出，再利用集合的运算即可得出结果． 【解答】解：因为，由，得到，即， 又，易知，所以， 所以， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题． 题型11：根据集合的运算结果求参数 【名师点拨】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【提醒】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　 【例19】（2025金山中学高三练习）设集合，且，则（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】C 【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可. 【详解】由，可得或， 即或，而， ∵， ∴，可得. 故选：C 【例20】（2020·上海松江·模拟预测）已知，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据并集的结果，可得集合B，进而得到参数的取值范围； 【解析】解：∵，， ∴ ∴． 故选：D． 【例21】已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意化简集合，根据中有且仅有三个整数列不等式求解，可得答案. 【详解】由题意可得，， 若中有且仅有三个整数，则只能是， 故，解得， 故选：B． 【跟踪训练】 1．（2023·上海崇明·统考二模）已知集合，，若，则实数的值为____. 【答案】 【分析】由可得出或，并验证是否成立，由此可求得实数的值. 【详解】集合，，，则或，解得或. 当时，，则，合乎题意； 当时，，则，不合乎题意. 综上所述，. 3．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 【答案】2 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论或4即可求解． 【详解】集合,,，集合,，，则是的子集， 当时，等式不成立，舍去， 当时，解得，此时，,，满足题意， 故． 故答案为：2． 2．（2023·高三课时练习）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】. 【分析】由可得，由此列出不等式求出的取值范围． 【详解】若，则， ∵，， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 3．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合，若，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围. 【详解】由解得，所以， 由于，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．（2023·高三课时练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则. 当时，即当时，，满足题意； 当时，即当时，， 由可得，解得，此时. 综上所述，. 故答案为：. 5．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据集合并集运算，结合数轴即可得到结果. 【详解】由题意知，可得. 故答案为： 考点四 韦恩图及其应用 题型12：韦恩图的运算 【例22】（2022秋•杨浦区校级期中）已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 　　．（用含A，B或∁UA，∁UB的集合语言表示）． 【分析】根据Venn图可知阴影部分表示的元素在集合B中不在集合A中，再利用集合的运算表示即可． 【解答】解：由Venn图可知，阴影部分表示的元素在集合B中不在集合A中， ∴图中阴影部分表示的集合是（∁UA）∩B． 故答案为：（∁UA）∩B． 【点评】本题考查集合的Venn图示法，集合的基本运算，属基础题． 【跟踪训练】 1.（2023秋•青浦区模拟）如图，表示全集，，是的子集，则阴影部分所表示的集合是　　 A． B． C． D． 【分析】根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可． 【解答】解：由韦恩图知：阴影部分为． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图确定集合的关系是解决本题的关键． 2.（2023秋•宝山区模拟）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是　　 A． B． C． D． 【分析】由图可得，集合表示，的交集与的补集的交集，从而得到答案． 【解答】解：由图可得， 集合表示，的交集与的补集的交集，即． 故选：． 【点评】本题考查交集、补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.设全集，若，则 . 【答案】 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据图，即可求解. 【详解】如图，根据条件画出图，可知， 故答案为： 4．（2023秋•闵行区模拟）对班级40名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成，另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人，问对、都赞成的学生有 　　人． 【分析】赞成的人数是24人，赞成的人数为27人，设对、都赞成的学生数为，则对、都不赞成的学生数为，设40名学生组成的集合为，赞成的学生全体为集合，赞成集合的学生全体为集合，作出韦恩图，能求出结果． 【解答】解：赞成的人数是人，赞成的人数为人， 设对、都赞成的学生数为，则对、都不赞成的学生数为， 设40名学生组成的集合为，赞成的学生全体为集合，赞成集合的学生全体为集合， 作出韦恩图得： 由韦恩图得：，解得． 故答案为：18． 【点评】本题考查集合的运算、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 考点五 集合的新定义问题 题型17：集合的新定义问题 【名师点拨】集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 【例23】（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的性质可得P，由一元二次不等式可得Q，根据题意可得出结果. 【详解】∵，， ∴. 故选：B. 【例24】（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【答案】B 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论. 【跟踪训练】 1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案. 【详解】因为，， 所以， 故中元素的个数为. 故选：B. 2．（2020·上海青浦·一模）设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法： （1）一定有； （2）若，则； （3）一定有； （4）若，则. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可. 【解析】函数是分段函数，故一定成立，因此说法（3）正确； 对于（1）：当时，根据已知的规定，有， 显然，因此说法（1）不正确； 对于（4）：当时，显然满足成立， 根据已知的规定，有， 显然，因此说法（4）不正确； 对于（2）来说，当时，不一定成立，故当 时，显然一定成立，因此说法（2）正确， 所以只有（2）（3）说法正确. 故选：B 3．（2022秋•宝山区校级期中）用C（A）表非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．9 【分析】根据新定义可确定几何B中元素个数，从而解得a的取值即可． 【解答】解：由于，A＝{1}，且A*B＝1，则C（B）＝0或2， 显然0∈B，则B≠∅，故C（B）＝2， 由于0不是x2+ax+2＝0的根，则x2+ax+2＝0有两个相等的实数根， 故Δ＝a2﹣8＝0，从而，故C（S）＝2． 故选：C． 【点评】本题考查集合中元素个数，属于基础题． 4．（2022秋•宝山区校级月考）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中： ①； ②{x|x∈R，x≠0}；③； ④整数集Z 以0为聚点的集合有（　　） A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 【分析】由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案． 【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大， ∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x， ∴0不是集合的聚点 ②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x＝（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|＝＜a ∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点 ③集合中的元素是极限为0的数列， 对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|＝＜a ∴0是集合的聚点 ④对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|＝0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键． 一、填空题 1.【2025上海秋季高考】已知集合U={2≤x≤5,xR)，集合4={2≤x<4,xR)，则= 【知识点】补集运算 【答案】{4≤x≤5,xR}/[4,5] 【解析】画数轴解决即可 2．（2025上海春季高考）已知集合A={x|x>0}，B={-1,0,1,2}，则A∩B=____________ 【知识点】 交集运算 【答案】{1,2} 3.【2024上海秋季高考】 设全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 4．（2023上海春考）已知集合 A ＝{1 ， 2} ，B ＝{1 ， a}，且 A＝B，则 a =________ . 1 ．（解答）解：集合 A ＝{1 ，2} ，B ＝{1 ， a}，且 A ＝B， 则a ＝2. 故答案为： 2 . 5．（2022·上海春考）已知 ， ，则 　 　 （答案） （知识点）交集及其运算 （解析）（解答）解：∵ ， ∴(1，2) 故答案为：(1，2) （分析）根据交集的定义求解即可. 6．（2021年上海卷02）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝　 　． （答案）{﹣1，0} （解答）解：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x}，B＝{﹣1，0，1}， 所以A∩B＝{﹣1，0}． 故答案为：{﹣1，0}． 7．（2020年上海卷01）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝　　． （答案）解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}， 则A∩B＝{2，4}． 故答案为：{2，4}． 8．（2020上海春考1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则　　． （分析）利用交集定义直接求解． （解答）解：集合，2，3，4，， ，5，， ，． 故答案为：，． （点评）本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、选择题 9. 【2024上海秋季高考】定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 10 【2024上海秋季高考】已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在是严格增函数 D. 存在在处取到极小值 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断. 【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 11．（2023·上海秋季高考）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 12．（2022年上海秋季高考）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1} （答案）B （解答）解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z， ∴A∩B＝{﹣1，0，1}， 故选：B． 13.（2022•上海秋季高考）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1} 【分析】根据集合的运算性质计算即可． 【解答】解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z， ∴A∩B＝{﹣1，0，1}， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题． 14．（2021•上海春季高考）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（　　） A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可． 【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}， 解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}， ∁RA＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁RB＝{x|﹣1＜x＜2}； 则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 15. （2025全国高考数学1卷）设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 16. （2024•北京数学卷）已知集合，，则（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 17. （2024新高考数学I卷）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 18．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 19．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 【解析】依题意，或， 当时，解得， 此时，，，0，，不符合题意； 当时，解得， 此时，，，，，符合题意． 故选：． 20．（2023•新高考Ⅰ）已知集合，，0，1，，，则　　 A．，，0， B．，1， C． D． 【解析】，，或， ，，，则． 故选：． 21．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 【解析】依题意，或， 当时，解得， 此时，，，0，，不符合题意； 当时，解得， 此时，，，，，符合题意． 故选：． 22．（2022•新高考Ⅰ）若集合，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由，得，， 由，得，， ． 故选：． 23．（2022•新高考Ⅱ）已知集合，1，2，，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】，解得：， 集合 ，． 故选：． 24.（2020•全国3卷）已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，中的元素满足，且， 由，得，所以满足的有， 故中元素的个数为4.故选：C. 25.（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【答案】A 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素. 故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 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