精品解析：吉林省长春市第一零八中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

数学学科 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. ±1 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料被广泛应用于手机芯片、汽车电池等领域，其理论厚度约．数据0.000000000335用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若将直线向上平移2个单位长度得到直线，则直线对应的函数关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 有一个角为直角的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的菱形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组邻边相等的平行四边形是正方形 6. 如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形边长为4，则k值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是_____． 10. 如图，▱ABCD的周长是，对角线相交于点O，且，则的周长为__________． 11. 如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为_________． 12. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为__________． 13. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为______． 14. 如图，在中，，的平分线交于D．过点A作于E，交于G，过点D作于F，过点G作，交于点H，则下列结论： ①；②；③四边形是菱形；④． 其中正确的结论是________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： 16. 先化简，再求值： ，其中x=+1． 17. 2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求乙种机器人每小时运送多少物品？ 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中作一个面积为6的轴对称四边形； （2）在图②中作一个面积为6的中心对称四边形； （3）在图③中，作一个面积为7且有一组邻边相等的四边形． 19. 如图，在中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，四边形面积为20，，求的长度． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点的坐标； 21. 甲车从A地匀速驶向相距360的地，乙车比甲车晚出发20从地驶往A地，途中在地休息了20，然后比之前提高了45的速度行驶，在甲车到达地后，又过了40乙才到达A地．甲，乙两车距地的路程（）与甲车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）直接写出甲车的速度和的值； （2）求乙车从地到A地的路程（）与甲车行驶时间（）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）直接写出乙车出发多长时间，两车相距55 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为. （1）点的坐标是___________，点的坐标是___________（用表示）； （2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式； （3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围. 23. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线经过点，动点的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）当直线经过点时，求的值； （3）过点作轴的垂线交直线于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值； （4）由（3）得到的直线交轴于点，以为底边向下作面积为的等腰三角形记作，当与有两个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. ±1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意，−1＝0，x−1≠0， ∴x＝−1， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料被广泛应用于手机芯片、汽车电池等领域，其理论厚度约．数据0.000000000335用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，若将直线向上平移2个单位长度得到直线，则直线对应的函数关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减”的法则解答即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度得到直线，则直线对应的函数关系为， 即． 故选：B． 4. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解：根据题意可得，一次函数表达式为， A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意； B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故B不符合题意； C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 有一个角为直角的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的菱形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】有一个角为直角的平行四边形是矩形，故A错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故B错误，不符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确，符合题意； 一组邻边相等的平行四边形是菱形，故D错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查特殊平行四边形的判定．掌握特殊平行四边形的判定定理是解题关键． 6. 如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长． 【详解】解：根据作图的方法得：平分， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； 故选B 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键． 7. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形边长为4，则k值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、菱形的性质、勾股定理、二次根式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作于点，则，结合菱形边长为4，利用勾股定理求出的长，利用反比例函数的性质表示出点A，B的坐标，列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ∵A，B两点纵坐标分别为4，2，与x轴平行， ∴， ∵菱形边长为4， ∴， ∴， 代入到得，， 代入到得，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且， 故答案为：且． 10. 如图，▱ABCD的周长是，对角线相交于点O，且，则的周长为__________． 【答案】##12厘米 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质即可得，进而可得的周长． 【详解】解：在中， ，相交于点， 为的中点， ， 是的垂直平分线， ， ∵的周长是， ∴， 的周长， 故答案为：． 11. 如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴时，， 又y随x的增大而减小， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相平分的性质，求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．根据菱形的对角线互相平分可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【详解】解：、是菱形的对角线， ， ， ， 在和中， ， ， 的面积的面积， 阴影部分的面积菱形的面积， 对角线、的长度分别为和， 菱形的面积， 阴影部分面积的和． 故答案为：12． 13. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴.， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，的平分线交于D．过点A作于E，交于G，过点D作于F，过点G作，交于点H，则下列结论： ①；②；③四边形是菱形；④． 其中正确的结论是________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①根据余角的性质可判断即可；②根据角平分线的性质判断即可；③根据菱形的判定方法判断即可；④证明，得出，证出，再证出四边形是平行四边形，得出，因此，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：①∵ ∴ ∵ ∴ ∴，①正确； ②作交于M，如图所示： ∵平分，， ∴， ∴；②正确； ④∵，，，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形；③正确； ④∵四边形是菱形； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 三、解答题（共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方，立方根，绝对值，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上知识点．首先计算有理数的乘方，立方根，绝对值，负整数指数幂，然后计算加减即可． 【详解】 ． 16. 先化简，再求值： ，其中x=+1． 【答案】， 【解析】 【详解】试题分析：根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可． 试题解析：原式===， 当x=+1时，原式=． 17. 2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求乙种机器人每小时运送多少物品？ 【答案】甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，根据每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中作一个面积为6的轴对称四边形； （2）在图②中作一个面积为6的中心对称四边形； （3）在图③中，作一个面积为7且有一组邻边相等的四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查图形设计，解题的关键是熟知网格的特点及相关知识的灵活运用． （1）图1中取格点C、D，根据网格的特点及等腰梯形的特点，结合勾股定理即可作图； （2）图2中取格点C、D，根据网格的特点和平行四边形的判定与性质即可作图； （3）根据网格的特点和割补法求面积即可作图； 【小问1详解】 解：如图①，，， ， 四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图②，∵，， ∴四边形是平行四边形，则四边形是中心对称图形， ， 四边形即为所求作； 【小问3详解】 解：如图③，， 四边形的面积为， 故四边形即为所求． 19. 如图，在中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，四边形面积为20，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据含一个角为直角是平行四边形证明四边形是矩形． （2）根据矩形面积为20求出，证明，求出，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ∴，． 又， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ． 平分，， ，， ， ， 又， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练矩形的判定方法． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点的坐标； 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解． 【小问1详解】 解：依题意把代入，得出， 解得， 反比例函数的解析式为：； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，记直线与直线的交点为， 当时，则 ， 是直线上的一个动点， 设点， 的面积为21， ， 即， ， 解得或， 点坐标为或． 21. 甲车从A地匀速驶向相距360的地，乙车比甲车晚出发20从地驶往A地，途中在地休息了20，然后比之前提高了45的速度行驶，在甲车到达地后，又过了40乙才到达A地．甲，乙两车距地的路程（）与甲车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）直接写出甲车的速度和的值； （2）求乙车从地到A地的路程（）与甲车行驶时间（）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）直接写出乙车出发多长时间，两车相距55 ． 【答案】（1）90km/h，； （2）； （3）乙车出发或小时两车相距55km． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数关系式，一元一次方程与一次函数， 对于（1），根据图像可得答案； 对于（2），先求出乙车从B地到C的速度，可得乙车从C地到A的速度，再将点B的坐标代入直线的关系式可得答案； 对于（3），根据题意可知甲车行驶的函数关系式，乙车在段的函数关系式，再分两种情况：当相遇前两车相距55时，当相遇后两车相距55时，两种情况列出方程，求出解，然后判断是否符合题意，可得答案. 【小问1详解】 解：根据图象可知甲车从A地用了4小时行驶到了B地，所以甲车的速度是（），； 【小问2详解】 解：由，可知点， ∴乙车从B地到C的速度为， ∴乙车从C地到A的速度为（），点B的坐标为，即， 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 所以函数关系式为； 【小问3详解】 解：乙车出发或小时两车相距55. 根据题意可知甲车行驶的函数关系式为； 乙车在段过点，其函数关系式为； 分两种情况：当相遇前两车相距55时，， 解得； 当相遇后两车相距55时，， 解得. 设点D的横坐标为t，则点E的横坐标为，根据题意，得 ， 解得， 由，符合题意. 则. 所以乙车出发或小时两车相距55. 22. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为. （1）点的坐标是___________，点的坐标是___________（用表示）； （2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式； （3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）；（3）的取值范围 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可； （2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式； （3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围． 【详解】（1），； （2）∵双曲线过点和点， ∴，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 把 点的坐标代入，解得， ∴双曲线表达式为； （3）∵平行四边形与双曲线总有公共点， ∴当点在双曲线，得到， 当点在双曲线，得到， ∴的取值范围. 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式，平行四边形的性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形 （2）2或8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，截图的关键是∶ （1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解∶如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形EGFH为矩形时，或； 【小问3详解】 解∶如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线经过点，动点的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）当直线经过点时，求的值； （3）过点作轴的垂线交直线于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值； （4）由（3）得到的直线交轴于点，以为底边向下作面积为的等腰三角形记作，当与有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，函数图象上的点与函数解析式的关系，一次函数与几何综合等知识点，正确作出相应图形和运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． （1）将点代入直线中可求出k，从而得解； （2）将点P的坐标代入直线的解析式中可求出m，从而得解； （3）先根据题意得到，，再根据平行四边形的性质求解即可； （4）由题意，可求得，点N的坐标为，结合图形，要使与l有两个交点，则在直线上方，点在直线下方，分类讨论：点在轴的右侧，点在轴的左侧，从而列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入中，得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：将点的坐标代入得：， 解得：， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：∵， ∴点在直线上运动， ∵过点作轴的垂线交直线于点， ∴点与点的纵坐标相等，即， 令，解得：， ∴， 涉及的四点坐标分别为：，，，， 当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，则， ∴， 解得或； 即满足条件的的值为或； 【小问4详解】 解：由（3）可知：点P在直线上运动， 由题意，，则， ∵等腰三角形的面积为，设的高为 ∴， 解得：， 由图知，要使与有两个交点，则在直线上方，点在直线下方即可，此时点在轴的右侧， ∴点的纵坐标为：， ∴点的坐标为， ∵当时，， ∴点B坐标为， ∴， 解得； 要使与有两个交点，则在直线上方，点在直线下方即可，此时点在轴的左侧，即， ∴点的纵坐标为：， ∴点的坐标为， ∵当时，， ∴， 解得：． 综上所述：当与有两个交点时，的取值范围解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $