精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

南宁三中2024~2025学年度下学期高二期末考试 数学试题 2025.6 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 已知集合，则= A. B. C. D. 3. 若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（ ） A. 大于10克 B. 等于10克 C. 小于10克 D. 与砝码放置顺序有关 7. 已知定义在上偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数存在最小值，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 第项的系数为 B. 各项系数和为 C. 二项式系数和为 D. 展开式中有常数项 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 11. 定义在上的函数满足，，为奇函数，函数满足，若与恰有7个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的对称轴 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量满足，则__________. 13. 若，则函数的值域为______． 14. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动.组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为P，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，． （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值． 16. 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两条过坐标原点的切线，求实数的取值范围. 17. 如图，梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． （1）证明：平面； （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 某小区有2000名居民，想通过验血方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占．为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验．若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次． （1）若，，求该小区化验总次数的期望； （2）若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验平均费用最少． 注：当时，． 19. 已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点. （1）求椭圆C的离心率； （2）证明：数列是等比数列； （3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2024~2025学年度下学期高二期末考试 数学试题 2025.6 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的乘法法则计算可得答案. 【详解】因为， 所以复数的虚部为3. 故选：D. 2. 已知集合，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，，则 ．故选C． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3. 若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正太分布曲线的对称性来求解即可． 【详解】∵随机变量服从正态分布， ∴，又因为， 所以． 故选：A． 5. 双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线方程，进而求出即可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，， 所以的离心率为. 故选：B 6. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（ ） A. 大于10克 B. 等于10克 C. 小于10克 D. 与砝码放置顺序有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据杠杆原理得出两次称得黄金的质量表达式，再通过计算两次黄金质量之和与克比较大小. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为 第一次称重：左盘放砝码，右盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得：​ 第二次称重：右盘放砝码，左盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得 两次黄金总质量为： 因为，由基本不等式（当且仅当时取等号），所以： 因此，顾客得到的黄金实际克数大于克 故选：A. 7. 已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式. 【详解】是定义在上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，的定义域为. 又对有，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减. 由，不等式可化为，根据偶函数的性质，不等式可化为，由以上推出的条件可得，解得. 故选：A. 8. 已知函数存在最小值，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合分段函数解析式分和两种情况讨论，再结合指数函数，二次函数的单调性求出即可； 【详解】当时，为增函数，则有； 当时，， 若，即时，， 若，在上为增函数，此时， 若存在最小值，必有或， 解得或， 则的范围是. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 第项的系数为 B. 各项系数和为 C. 二项式系数和为 D. 展开式中有常数项 【答案】BC 【解析】 【分析】写出展开式通项，可判断AD选项；利用二项展开式各项系数和可判断B选项；利用二项式系数和可判断C选项. 【详解】的展开式通项为. 对于A选项，第项的系数为，A错； 对于B选项，各项系数和为，B对； 对于C选项，二项式系数和为，C对； 对于D选项，令可得，故展开式中没有常数项，D错. 故选：BC. 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案. 详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 11. 定义在上的函数满足，，为奇函数，函数满足，若与恰有7个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的对称轴 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可推得，关于直线对称以及关于点中心对称，进而得出函数有周期4，即可得出A项；根据的对称性推导，可判断B、C项；由已知可知与有共同的对称中心，进而即可得出得出D项. 【详解】由为奇函数，可得也为奇函数，则关于点中心对称， 则， 因，则，即， 则，则，故是的一个周期. 对于A项，由，故A选项正确； 对于B项，因，，则， 即关于点成中心对称，故B选项错误； 对于C项，因为关于对称，故，故C选项正确； 对于D项，由已知可得，关于点中心对称. 又关于点中心对称， 所以与有一个共同交点，其他交点关于中心对称. 所以，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知模长应用数量积的运算律计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以 所以. 故答案为：. 13. 若，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 14. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动.组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为P，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式计算. 【详解】设事件A为“抽奖者甲中奖”，事件B为“甲先选中的盲盒有奖”， 则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余18个盲盒中有5个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余18个盲盒中有6个奖品， 则甲更换盲盒后， ∴. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，． （1）求值； （2）若，且的面积，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及余弦定理求； （2）由正弦边角关系可得，再由三角形面积公式列方程求得，即可得. 【小问1详解】 因为，所以． 【小问2详解】 因为，由正弦定理得，所以， 因为的面积为，又， 即，所以，则. 16. 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两条过坐标原点的切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求出函数的极值； （2）设切点为，利用导数的几何意义写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，可得出关于的二次方程，根据题意得出，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，的定义域为，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 因为，则, 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为：， 因为切线过原点，则，整理得：， 因为满足条件的切线有两条，所以，解得或， 所以，的取值范围是. 17. 如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． （1）证明：平面； （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的对角线垂直，再结合平行关系和已知的面面垂直，即可证明线面垂直； （2）利用空间向量法，假设三个坐标参数，再利用三个相等关系求解参数，然后求两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 取中点为，连接交于点， 由于，，，所以四边形是菱形， 则，又因为四边形是平行四边形，则，故， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由可得：， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，再由平面，平面，故， 如图建系，可设， 由，可得①， 由，因，则②， 再由异面直线与所成角的余弦值为及， 可得：，解得， 将其代入①，②式可得：， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由图可得平面的法向量为， ， 则平面与平面所成角的余弦值是. 18. 某小区有2000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占．为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验．若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次． （1）若，，求该小区化验总次数的期望； （2）若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少． 注：当时，． 【答案】（1）次； （2） 【解析】 【分析】（1）设每位居民需化验的次数为，则可取，，分别求概率，进而可得期望，即得； （2）设每组n人总费用为Y元，结合条件计算，然后表示出，结合基本不等式即得. 【小问1详解】 设每位居民需化验的次数为X， 若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则， 所以，， 则 ， 所以2000名居民化验总次数的期望为次； 【小问2详解】 设每组n人总费用为元， 若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则， 所以，， 所以， 每位居民的化验费用的数学期望为： ， 等号成立时， 故当时，每个居民化验的平均费用最少． 19. 已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点. （1）求椭圆C的离心率； （2）证明：数列是等比数列； （3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入点坐标即可得，再利用离心率公式即可； （2）首先讨论直线斜率为0的情况，再设设方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算并化简，最后整体代入韦达定理即可； （3）根据（2）中结论得，再利用其单调性得，最后利用点到直线的距离公式即可. 【小问1详解】 由椭圆经过点得，故. 则，所以椭圆离心率为. 【小问2详解】 证明：由（1）及题意可知 设，当直线斜率为0时关于轴对称， 所以斜率与的斜率之商为.不合题意. 设方程， 因为不过顶点所以. 由得. 则 . 所以， 则 . 所以， 则直线方程为，即经过点. 因为与轴交于点，所以. 所以数列是以为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）可知，，且， 所以是递减数列，则， 顶点到直线距离为 ，当时取等号； 故. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法并联立椭圆方程得到韦达定理式，最后整体代入化简斜率比值式，从而得到，最后即可证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $