精品解析：吉林省长春市九台区第三十一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

八年级下学期数学大单元练习卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 要使函数有意义，则自变量的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 根据分式有意义的条件是分母不等于零可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚写的诗，苔花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解： 故选：D． 3. 在反比例函数的图象上有两点，则m、n的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选C． 4. 在中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；利用平行四边形的对角相等求得，根据邻角互补，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，对角相等，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 5. 如图，▱ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 （　　） A. 8cm B. 24cm C. 10cm D. 16cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可． 【详解】∵平行四边形ABCD， ∴AD=BC，AB=CD，OA=OC， ∵EO⊥AC， ∴AE=EC， ∵AB+BC+CD+AD=32cm， ∴AD+DC=16cm， ∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=16cm， 故选D. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，熟练掌握相关性质定理是解题的关键. 6. 若关于的方程无解，则的值是（ ） A. B. 2 C. -3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先把m当做已知数，求解该分式方程，再根据分式方程无解，则分母为0，即可解答． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵该方程无解， ∴，解得：， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程无解的条件，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的条件． 7. 如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在轴上存在一点，使得的值最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，轴对称的性质，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求，根据题意得出直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求， 设直线沿轴向下平移后的直线解析式为， 把代入可得，， 平移后的直线为， 令，则，即 ， 设直线的解析式为， 把，代入可得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 故选：C． 8. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂，零次幂，掌握负指数幂，零次幂的计算方法是关键． 先计算负指数幂，零次幂，再计算乘法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）在第___象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据点A(﹣3，4)坐标的符号为(﹣，+)，可知在第二象限． 【详解】因为点点A(﹣3，4)的横坐标是负数，纵坐标是正数，所以点A在平面直角坐标系的第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 11. 一次函数y＝bx＋2的图象经过点A（－1，1），则b＝_____． 【答案】1 【解析】 12. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为．当时，的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得B点的坐标为，再由，结合图象，即可得到的取值范围． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴B点的坐标为， ∵， ∴在第一和第三象限，正比例函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴或， 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图象的交点横坐标与不等式的解集的关系，是解题的关键． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的是____． ①每分钟的进水量为5升； ②每分钟的出水量为1.25升； ③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升； ④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，正确地从图象中获取信息．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 每分钟的进水量为（升），故①正确； 每分钟的出水量为（升），故②错误； 从计时开始8分钟时，容器内的水量为：（升），故③正确； 容器从进水开始到水全部放完的时间是：（分钟），故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（共78分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】原式： 当时， 原式． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数（都是常数，且）的图象与反比例函数（为常数）的图象分别交于、两点，他们的坐标分别为． （1）求反比例函数表达式； （2）求一次函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）先求出B点的坐标，再利用待定系数法解答即可； 本题考查了解反比例函数和一次函数，掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为． 18. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 19. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.(如图)已知该材料初始温度是32 ℃． (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】(1）锻造时的函数关系式为；煅烧时的函数关系式为；(2) 4分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解得出答案即可． 【详解】解：（1）停止加热时，设， 由题意得，解得， 当时，， 解得， 点B的坐标为（6，800）； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． 材料加热时，与的函数关系式为， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． （2）把代入中， 得 分钟． 故锻造的操作时间为4分钟． 【点睛】考点：反比例函数的应用． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． （1）点的坐标为_____． （2）求的周长． （3）若平面内有一点，求经过点且平分的面积的直线解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）由点的坐标得，由平行四边形的性质得，进而即可求解； （）利用勾股定理求出即可求解； （）求出线段的中点坐标，进而利用待定系数法解答即可求解； 本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形的平行四边形， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴， ∴的周长； 【小问3详解】 解：∵，， ∴线段的中点坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为． 21. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是_____米/秒，乙无人机的速度是_____米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）直接写出两架无人机的高度差为15米的时间． 【答案】（1）6；3 （2） （3）13或15 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）根据时间路程速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为15列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：甲无人机的速度是（米/秒）， 乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． 【小问2详解】 乙无人机飞行段用时（秒）， （秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． 【小问3详解】 当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为； 乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当时， 当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为15米时，得， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为15米时，得， 解得（不符合题意，舍去）或； 当时， 当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得， 解得． ∴当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为15米时的时间为13秒或15秒． 22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．请结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： （1）点，在函数图象上，则______；（填“>”、“=”或“<”） （2）当函数值时，自变量x的值为______； （3）当2时，求的最大值和最小值； （4）当关于x的方程有两个不同的解时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2）或2 （3）当时，；当时， （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质得到结论； （2）把代入，把y=1代入数，解方程即可得到结论； （3）根据函数的图象即可得到结论； （4）根据图象即可求出b的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点，在函数的图象上，且， ∴； 故答案为：＞； 【小问2详解】 把代入得， 把代入数得， 故答案为：或2； 【小问3详解】 由图可知，当时，； 当时，． 【小问4详解】 当过点时， 可得， 解得， ∴当方程有两个不同的解时， 则b的取值范围为． 23. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测某粽子能够畅销．根据预测，每千克该粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进这种粽子的数量是节后用相同金额购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克这种粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进这粽子400千克，且总费用不超过3800元，并按照节前每千克18元，节后每千克14元全部售出，那么该商场节前购进多少千克这种粽子获得利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）8元 （2）该商场节前购进300千克这种粽子获得利润最大，最大利润3000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设节后这种粽子进价元，则节前该粽子的进价为元，根据题意，列出方程，解方程即可； （2）设利润元，节前购进这种粽子千克，则节后购进该粽子千克，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过3800元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设节后这种粽子进价为元，则节前该粽子的进价为元， 根据题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：节后每千克这种粽子的进价为8元． 【小问2详解】 设利润元，节前购进这种粽子千克，则节后购进该粽子千克， 由（1）可知，节前该粽子的进价为（元） 根据题意得： 解得：； ∵， 随增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为元． 答：该商场节前购进300千克这种粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交A、B两点，与直线相交于点，直线与轴相交于点． （1）求和的值； （2）点的坐标为_____，点的坐标为_____； （3）若点在平面内，当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； （4）若动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒，直接写出为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1）， （2）； （3）或或 （4），12， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，分类讨论是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； （3）根据题意分三种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用平行四边形的性质求解即可； （4）分三种情况：当时，当时，当时，结合图形，利用等腰三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； 【小问2详解】 解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 【小问3详解】 根据题意得：，，， 设， ∵以四个点为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：或或 【小问4详解】 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期数学大单元练习卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 要使函数有意义，则自变量的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚写的诗，苔花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在反比例函数的图象上有两点，则m、n的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 在中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，▱ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 （　　） A. 8cm B. 24cm C. 10cm D. 16cm 6. 若关于的方程无解，则的值是（ ） A. B. 2 C. -3 D. 3 7. 如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在轴上存在一点，使得的值最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 计算：_____． 10. 在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）在第___象限． 11. 一次函数y＝bx＋2的图象经过点A（－1，1），则b＝_____． 12. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为．当时，的取值范围是__________． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 14. 一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的是____． ①每分钟的进水量为5升； ②每分钟的出水量为1.25升； ③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升； ④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟． 三、解答题（共78分） 15. 解方程：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数（都是常数，且）的图象与反比例函数（为常数）的图象分别交于、两点，他们的坐标分别为． （1）求反比例函数表达式； （2）求一次函数表达式． 18. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 19. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.(如图)已知该材料初始温度是32 ℃． (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． （1）点的坐标为_____． （2）求的周长． （3）若平面内有一点，求经过点且平分的面积的直线解析式． 21. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是_____米/秒，乙无人机的速度是_____米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）直接写出两架无人机的高度差为15米的时间． 22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．请结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： （1）点，在函数图象上，则______；（填“>”、“=”或“<”） （2）当函数值时，自变量x的值为______； （3）当2时，求的最大值和最小值； （4）当关于x的方程有两个不同的解时，直接写出b的取值范围． 23. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测某粽子能够畅销．根据预测，每千克该粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进这种粽子的数量是节后用相同金额购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克这种粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进这粽子400千克，且总费用不超过3800元，并按照节前每千克18元，节后每千克14元全部售出，那么该商场节前购进多少千克这种粽子获得利润最大?最大利润是多少? 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交A、B两点，与直线相交于点，直线与轴相交于点． （1）求和的值； （2）点的坐标为_____，点的坐标为_____； （3）若点在平面内，当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； （4）若动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒，直接写出为何值时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $