2.3用公式法求解一元二次方程同步作业 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

用公式法求解一元二次方程第二课时 同步作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 2．方程的两根是（   ） A． B． C． D． 3．解方程最适当的方法是（    ） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 4．若正数满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 6．已知为实数，关于的两个方程，公共的实数根的个数为（　　） A． B． C． D． 7．对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 8．已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．若代数式与代数式的值互为相反数，则 ． 10．从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为 ． 11．定义表示不超过实数x的最大整数，如：，，．则方程的解为 ． 三、解答题 12．关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 13．综合与实践：某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，甲，乙两个小组分别设计了以下测量方案： 课题 测量教学楼的高度 测量小组 甲组 乙组 测量示意图       测量说明 于点，，图中所有的点都在同一平面内 于点，点、、在一条水平直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 ，， ，， 请你选择其中的一种测量方案，求教学楼的高度（结果保留根号）． 14．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的途度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离．，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．    (1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ (3)假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？ 15．已知关于的方程． (1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； (2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《用公式法求解一元二次方程第二课时 同步作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C C C C D D 1．D 【详解】一元二次方程化简，得． ，， ， 即． ， 该方程有两个正根，且有一根大于3． 2．D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据解方程的过程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了代数式的变形求值，解一元二次方程，分式的运算等知识，根据公式法求出，再将变形为，最后将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， ∵是正数， ∴， ∵正数满足， ∴，即， ∴， 把代入，得：， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求根公式法解一元二次方程等知识点，设两个方程的公共根为，可得：，当时，两个方程均为，此时方程有两个不相等的实数根，当时，两个方程有公共根，所以两个方程有个公共根． 【详解】解：设两个方程的公共根为， 则， 得：， 分解因式得：， 即或． 当时，两个方程均为， ， 解方程得：，， 方程有两个不相等的实数根， 当时，两个方程有公共根， 综上，两个方程有个公共根． 故选：C ． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 8．D 【分析】本题考查数式的操作，涉及一元二次方程，算术平方根，整式，熟练理解题意，并根据题意列式操作是解题的关键．当时，，，可得，，即可判断①；分别判断当时，当时，当时，整式的所有情况，即可判断②；若时，（舍）、、、、、、、、，当整式的值为时，分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程，即可判断③． 【详解】解：①当时， ，， ∵为整数， ∴，， 故满足条件的有个， 所以①正确； ②由①得当时，，； 当时， ，， ∴， ∵，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 当时， ，， ∴， ∵，，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 个 个 综上，为单项式的有：，，，，，，共个， 所以②正确； ③若时，（舍）、、、、、、、、， 当整式的值为时， 分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程， 即、、、（无解）、、、（无解）、（无解）， 解得：、、， 则满足条件的实数的值有个， 所以③正确， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：D． 9． 【分析】此题考查了解一元二次方程和相反数的定义，根据互为相反数的两数之和为0列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得， 整理得 ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查解一元二次方程，概率公式，熟练掌握解一元二次方程的步骤和概率公式是解题的关键．先解一元二次方程，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：， 解得：，， 即和是方程的解， ∴从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为， 故答案为：． 11．或或 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意，分6种情况讨论：①时；②时；③；④；⑤；⑥，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为，解得全舍； ③时，， 则化为，解得全舍； ④时，， 则化为，解得或舍； ⑤时，， 则化为，解得或舍； ⑥时，均不成立， 综上，方程的解为或或 故答案为：或或． 12．(1)方程有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到即可得解； （2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 13．选甲组或乙组，教学楼的高度为 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质及一元二次方程的应用，掌握相关方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的判定与性质勾股定理，分别选择甲组、乙组的测量方案进行计算即可求解． 【详解】解：甲组：， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即教学楼的高度为 ； 选择乙组：于点，， 是等腰直角三角形， ． ， ， 在中， ， ， ， ， （舍负）， 即教学楼的高度为． 14．(1)会进入台风影响区 (2)8.3小时 (3)轮船受到台风影响一共经历了11小时 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识；根据题意得出关于的方程是解决问题的关键． （1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区； （2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可； （3）根据（2）中的值即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵， ∴ 当台风到A点时，时间为 则船行驶的路程为 ∵ ∴轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区；    （2）解：如图所示： 设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： 千米，千米， ，， ， ，， ， 即， 解得：，， 轮船经8.3小时就进入台风影响区； （3）解：由（2）知，从8.3小时到19.3小时轮船受到台风影响， 轮船受台风影响的时间（小时）， 答：轮船受到台风影响一共经历了11小时．    15．(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况、三角形的三边关系： （1）直接利用即可求证； （2）先求得该方程的两根，然后利用三角形的三边关系即可求解. 【详解】（1）解： ∵ ∴对于任何实数，该方程总有两个实数根. （2）解： ， ∴. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 用公式法求解一元二次方程第一课时 同步作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一元二次方程 1﹣x2+x＝0 的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．只有一个实数根 2．关于的一元二次方程方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．没有实数 D．无法判定 3．若关于的一元二次方程有实数根，则（ ） A． B． C．≥ D．≤ 4．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图像经过第（    ） A．二、三、四象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．一、二、三象限 5．对于实数a，b定义运算“”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．如果关于x的方程x2+k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根,那么k的值是(   ) A．-7 B．-7或4 C．-4 D．4 7．已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（    ） A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根 D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是 8．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是（  ） A．1一定不是方程的根 B．0一定不是方程的根 C．可能是方程的根 D．1和都是方程 的根 9．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是(  ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 12．关于 x 的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 13．方程中，的值为 ，根是 ． 14．在实数范围内因式分解：2x2-x-2= . 三、解答题 15．解方程： （1），             （2）x2﹣2x﹣＝0 16．不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）． 17．解方程：（x＋1）（x－1）＝2x． 18．用公式法解下列方程． （1）（x+1）（x+3）＝6x+4． （2）． 《用公式法求解一元二次方程第一课时 同步作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A A B D C A A 1．B 【分析】确定a、b、c计算根的判别式，利用根的判别式直接得结论． 【详解】解： ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，△=b2-4ac． 2．A 【分析】根据一元二次方程根的判别式的符号，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程方程的根有两个不相等的实数根，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 3．D 【详解】把原方程移项，得．由于实数的平方均为非负数，故， 则． 故选：D 4．A 【分析】先根据一元二次方程无实数根，利用判别式求出m的取值范围，然后判断一次函数经过的象限即可． 【详解】解：由已知得：， 解得， ∵一次函数中，， ∴该一次函数图像在第二、三、四象限， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据函数解析式判断函数经过的象限，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． 5．A 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根 6．B 【分析】根据同解方程的意义，解关于k的方程．一元二次方程有实数根，即△≥0，对k的值检验，得到符合题意的k值． 【详解】因为关于x的方程x2+k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根即为同解方程，所以x2+k2-16=x2-3k+12，可得k2+3k-28=0，解之得k=4或-7．分别把4和-7代入原方程或根的判别式检验可知，当k=-7或4时，方程有解．故选B． 【点睛】此题考查根的判别式和同解方程的意义，解题的关键是要注意两个解题步骤，一是利用同解方程列等式解出k的值，二是要把解出的k值代入原方程或根的判别式检验，符合题意的k值才是方程中的k值． 7．D 【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D． 【详解】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意； B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0，<0，所以a与c符号相反，<0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意； C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意； D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键． 8．C 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出n=m+1或n=-(m+1)，当n=m+1时，-1是方程的根，当n=-(m+1)时，1是方程的根，再结合m+1≠-(m+1)，即可得出1和-1都不是关于x的方程的根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴n=m+1或n=-(m+1)， 当n=m+1时，有m-n+1=0，此时-1是方程的根； 当n=-(m+1)时，有m+n+1=0，此时1是方程的根； ∵m+1≠0， ∴1和-1都不是关于x的方程的根． 故选：C 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，掌握根的判别式是解题的关键． 9．A 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0， ∴m＜， 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 10．A 【分析】利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断． 【详解】解：①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确； ②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确； ③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确； ④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 11． 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 12．且 【分析】根据二次项系数非零以及，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查根的判别式．解题的关键是掌握，一元二次方程有两个实数根．注意二次项系数非零． 13． 12 【分析】确定a、b、c的值后，直接计算△的值即可． 【详解】解：变形为： ， ∵a=2，b=2，c=-1， ∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0， ∴x==， ∴ 故答案为：12，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式的公式△=b2-4ac是解题的关键． 14． 【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x2-x-2不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式． 【详解】2x2-x-2=0的解是x1=，x2=﹣，所以2x2-x-2=． 【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根． 15．（1），；（2）． 【分析】（1）先判断，然后利用公式法解一元二次方程，即可得到答案； （2）先整理方程，判断，然后利用公式法解一元二次方程，即可得到答案； 【详解】解：（1）， ， ∴， ∴，； （2）， 则 ， 则， 解得：． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解方程． 16．（1）原方程无实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）有两个相等的实数根. 【分析】根据根的判别式即可依次判断根的情况. 【详解】解：（1）原方程可化为， ∵， ∴原方程无实数根． （2）∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． （3）∵， ∴原方程有两个相等的实数根． 【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知根判别式的运用. 17．x1＝＋，x2＝－ 【分析】根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可． 【详解】解：（x＋1）（x－1）＝2x x2-2x-1=0 ∵a=1，b=-，c=-1 ∴=b2-4ac=8+4=12＞0 ∴x==± ∴x1＝＋，x2＝－． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握会用公式法求解一元二次方程是解题的关键． 18．（1），（2） （3），. 【分析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2-2x-1=0，然后把 代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）把a=1，b=-（2m+1），c=m代入求根公式计算即可． 【详解】(1)去括号,移项方程化为一般式为： ∵ ∴ ∴ ∴ (2)∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】考查公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$