精品解析：山东省东营市河口区实验中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

东营市河口区实验中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列命题是假命题的是（　　　） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 三角形的一个外角等于它的两个内角之和 D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 2. 若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法：（1）确定事件就是必然事件；（2）不确定事件就是随机事件；（3）打开电视，正在播放纪录片《为时代而歌：袁隆平》是必然事件：（4）冬季河口下雪是随机事件．其中正确个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，直线，等腰直角的两个顶点A、B分别落在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一把直尺和一块三角板（含、角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、A，且，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 10. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正确的结论有（ ）个 A 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 若关于的方程是二元一次方程，则m的值为______． 12. 事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是_____ 13. 若等腰三角形的两边长分别为3和5，则等腰三角形的周长为______． 14. 如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定的条件有______（填写所有正确的序号）． 15. 如图，在中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为_________． 16. 如图，有一块直角三角形纸片，，，现将沿直线折叠，使落在斜边上，且C与点E重合，则的长为______． 17. 如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为_______． 18. 如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；…按此规律，所得线段的长等于________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19 解方程组 （1） （2） （3）； 20. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得100元、50元，20元的购物券，（转盘被等分成20个扇形），已知甲顾客购物220元． （1）他获得购物券概率是多少？ （2）他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ （3）若要让获得20元购物券的概率变为，则转盘的颜色部分怎样修改？（直接写出修改方案即可）． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽气车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案 23. 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 24. 如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）求C点的坐标； （3）求△AOD的面积． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，在中，，，直线经过点A，作直线，直线，垂足分别为点D，E．请说明． （2）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么（1）中的结论是否会成立呢?如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题．如图3，D，E是直线上的两动点（D，A，E三点均在直线上且互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接BD，CE．若，请说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东营市河口区实验中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列命题是假命题的是（　　　） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 直角三角形两个锐角互余 C. 三角形的一个外角等于它的两个内角之和 D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，直角三角形互余性质，三角形的外角性质，等边三角形的判定去分别判断即可. 【详解】解：∵同旁内角互补，两直线平行， ∴选项A选项为真命题，不符合题意； 根据三角形内角和定理，得 直角三角形的两个锐角互余， ∴选项B选项为真命题，不符合题意； ∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和， ∴选项C选项为假命题，符合题意； 根据等角对等边，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴选项D选项为真命题，不符合题意； 故选C. 【点睛】本题考查了对数学基础知识的掌握，全面规范掌握数学基础知识是解题的关键. 2. 若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件根据方程的解的定义可将代入方程，得到含、的式子，再将其代入整理之后的所求代数式即可得解． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程的一组解 ∴ ∴ ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了方程的解的定义、整体代入求值法，能将所求代数式通过因式分解整理化简是解决问题的关键． 3. 下列说法：（1）确定事件就是必然事件；（2）不确定事件就是随机事件；（3）打开电视，正在播放纪录片《为时代而歌：袁隆平》是必然事件：（4）冬季河口下雪是随机事件．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：（1）错误，确定事件包含必然事件（一定发生）和不可能事件（一定不发生），故确定事件不单指必然事件； （2）正确，不确定事件即结果无法预先确定的事件，与随机事件定义一致； （3）错误，打开电视播放该纪录片的结果不确定，属于随机事件，而非必然事件； （4）正确，冬季某地是否下雪受多种因素影响，可能发生也可能不发生，属于随机事件； 综上，正确的说法为（2）和（4），共2个， 故选：B． 4. 如图，直线，等腰直角的两个顶点A、B分别落在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，平行线的性质．由平行线的性质可求解的度数，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：直线， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故选：D． 5. 一把直尺和一块三角板（含、角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、A，且，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据直尺的对边平行求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； 故选D． 6. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线y=x+1经过点P（1，b）， ∴b=1+1， 解得b=2， ∴P（1，2）， ∴关于x的方程组的解为， 故选D． 【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 7. 如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何概率，涉及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各三角形面积之间的关系是解答的关键．由题意易得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得，进而得到，进而得到，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 故选：A． 8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为： ． 故选：B． 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 10. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正确的结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，又由BD＝CE，即可证得△ACE≌△CBD；（2）由△ACE≌△CBD，可得∠CAE＝∠BCD，然后由三角形外角的性质，求得∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；（3）由∠AFG＝60°，AG⊥CD，可得∠FAG＝30°，即可证得AF＝2FG；（4）由AC＝BC，且BC不一定等于2CE，可得AC不一定等于2CE． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°， 在△ACE和△CBD中， ∵， ∴△ACE≌△CBD（SAS），故正确； （2）∵△ACE≌△CBD， ∴∠CAE＝∠BCD， ∴∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；故正确； （3）∵∠AFG＝60°，AG⊥CD， ∴∠FAG＝30°， ∴AF＝2FG；故正确； （4）∵AC＝BC，且BC不一定等于2CE， ∴AC不一定等于2CE；故错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 若关于的方程是二元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是_____ 【答案】5. 【解析】 【分析】根据题意可以求得事件A平均每100次发生的次数，本题得以解决. 【详解】∵事件A发生的概率为0.05， ∴事件A平均每100次发生的次数是：100×0.5=5. 故答案为5. 13. 若等腰三角形的两边长分别为3和5，则等腰三角形的周长为______． 【答案】11或13 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为3时，当腰长为5时，两种情况利用构成三角形的条件进行判断求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则此时该等腰三角形的三边长为3，3，5， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时三角形的周长为； 当腰长为5时，则此时该等腰三角形的三边长为3，5，5， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为11或13， 故答案为：11或13． 14. 如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定条件有______（填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．根据平行线的判定方法逐个判断即可解答． 【详解】解：①，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得，故①正确； ②，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，故②错误； ③，根据“内错角相等，两直线平行”可得，故③正确； ④，根据“同位角相等，两直线平行”可得，故④正确； ⑤，不能判定，故⑤错误． 故答案为：①③④． 15. 如图，在中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为_________． 【答案】##5度 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，理解三角形内角和定理、三角形高和角平分线的定义，准确推理计算是解题的关键． 根据三角形高和角平分线的定义、三角形内角和定理，先求出、的度数，再计算即可． 【详解】解：∵在中，是高，是角平分线，，， ∴，， ∴． 故答案为： 16. 如图，有一块直角三角形纸片，，，现将沿直线折叠，使落在斜边上，且C与点E重合，则的长为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，则可得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为_______． 【答案】m+n. 【解析】 【详解】试题分析：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，∴AD=BD，∠A=∠ABD=40°. ∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°﹣40°﹣40°﹣30°=70°. ∴∠ABC=∠C. ∴AC=AB=m. ∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n. 考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定；3.三角形内角和定理． 18. 如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；…按此规律，所得线段的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形计算、等腰三角形性质、图形规律等知识点，发现线段之间的规律是解题关键． 根据已知条件先求出的长，再根据外角、直角可推出是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，然后归纳规律并运用规律即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：，……，． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程组 （1） （2） （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； 【小问3详解】 解： 整理得， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为 20. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，涉及到平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平分，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再由平分，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， 【小问2详解】 解：中，， ∵平分， 21. 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得100元、50元，20元的购物券，（转盘被等分成20个扇形），已知甲顾客购物220元． （1）他获得购物券的概率是多少？ （2）他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ （3）若要让获得20元购物券的概率变为，则转盘的颜色部分怎样修改？（直接写出修改方案即可）． 【答案】（1）；见详解；（3），，；见详解；（3）直接将3个无色扇形涂为黄色． 【解析】 【分析】（1）根据题意易得红、黄、绿色区域之和，然后可直接求出概率； （2）根据题意分别算出红色区域的个数、黄色区域的个数、绿色区域的个数，然后直接求解即可； （3）根据（2）可直接进行修改． 【详解】解：（1）∵共有20种等可能事件，其中满足条件的有11种， ∴（中奖）， （2）由题意得：共有20种等可能结果，其中获100元购物券的有2种，获得50元购物券的有4种，获得20元购物券的有5种， ∴（获得100元）； （获得50元）； （获得20元）； （3）因为要让获得20元购物券的概率变为，所以直接将3个无色扇形涂为黄色． 【点睛】本题主要考查概率的应用，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽气车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案 【答案】（1）A种型号的汽车每辆25万元，B种型号的汽车每辆10万元；（2）有三种购买方案：第一种方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车15辆；第二种方案：购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车10辆；第三种方案：购买A型号的汽车6辆，B型号的汽车5辆． 【解析】 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； 【详解】解：（1）设A种型号的汽车每辆x万元，B种型号的汽车每辆y万元，由题意得： ， 解得． 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为10万元； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，由题意得： ， 解得：， ∵m，n均为正整数， ∴或或， 因此，共有三种购买方案： 第一种方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车15辆； 第二种方案：购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车10辆； 第三种方案：购买A型号的汽车6辆，B型号的汽车5辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据等量关系，正确列出二元一次方程，注意汽车的数量为正整数． 23. 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）60° 【解析】 【分析】（1）依据等边三角形的性质，由SAS即可判定△ABD≌△ACE； （2）依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出BD=CE，DE=AE，进而得到AE+CE=BE，代入数值即可得出结果； （3）依据等边三角形的性质可得∠ADE=60°，进而可得∠ADB=120°，由全等三角形的性质可得∠AEC=120°，由∠BEC=∠AEC-∠AED即可得出∠BEC的度数． 【详解】（1）证明∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE＝AE， ∵DE+BD＝BE， ∴AE+CE＝BE， ∴BE＝2+3＝5； （3）解：∵△ADE 是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠ADB＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24. 如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数解析式； （2）求C点的坐标； （3）求△AOD的面积． 【答案】（1）y=x+1；（2）C（0，1）；（3）1 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先根据正比例函数解析式求得m的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据（1）中的解析式，令x=0求得点C的坐标； （3）根据（1）中的解析式，令y=0求得点D的坐标，从而求得三角形的面积． 试题解析： （1）∵正比例函数y=2x图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2）， ∴2m=2， m=1． 把（1，2）和（-2，-1）代入y=kx+b，得 解得： 则一次函数解析式是y=x+1； （2）令x=0，则y=1，即点C（0，1）； （3）令y=0，则x=-1． 则△AOD的面积=. 【点睛】运用了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，在中，，，直线经过点A，作直线，直线，垂足分别为点D，E．请说明． （2）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么（1）中的结论是否会成立呢?如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题．如图3，D，E是直线上的两动点（D，A，E三点均在直线上且互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接BD，CE．若，请说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，，等量代换可得； （2）根据可证，再根据证明，得出，，等量代换可得； （3）同（2）可得，推出，再根据和均为等边三角形，推出，，进而可得，根据证明，即可得出． 【详解】（1）证明：， ， 直线，直线， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，理由如下： ，，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）证明：同（2）可得， ， 和均为等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，熟练运用“一线三等角”模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $