第10讲 轴对称与坐标变化及图形在坐标系中的平移（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第02讲 轴对称与坐标变化及图形在坐标系中的平移（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 由平移方式确定点的坐标 典型例题二 已知图形的平移，求点的坐标 典型例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 典型例题四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 典型例题五 坐标系中的对称 典型例题六 坐标与图形变化——轴对称 典型例题七 已知平移后的坐标求原坐标 典型例题八 坐标系中的平移 典型例题九 坐标系中的动点问题（不含函数） 知识点01 关于x轴、y轴对称的点的坐标 1、关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）将点向左平移4个单位长度得到点，且点在y轴上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为 ． 知识点02 坐标与图形变化-对称 1、关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． 2、关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． 3、关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）点关于轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，已知的顶点A，B的坐标分别为，且的三个顶点都在正方形网格的格点上，关于y轴对称的图形为，点A，B，C的对应点分别为，，，则点的坐标为 ． 知识点03 坐标与图形变化-平移 1、平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 2、在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（23-24八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 知识点04 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，点B的坐标为，作关于x轴对称的图形，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点与点是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴，则图形中与点成轴对称的点坐标是 【典型例题一 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（24-25八年级上·山西运城·期中）将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）如图，，若将线段平移至，使得点、点分别落在x、y坐标轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【例3】（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 【例4】（重庆市巴南区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B，点B在y轴上，则点B的坐标为 ；线段经过原点O，点D是上一动点，若点，点，且，则长度的最小值为 ． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，第一象限内有两个点，，将线段平移，使点，平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴的正半轴上，则点平移后的对应点的坐标为 ． 3．（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，的坐标分别为，，，将平移，使点B与点O重合，得到，其中点A，C的对应点分别为，． (1)画出平移后的； (2)写出点，的坐标； (3)三角形的面积________． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知线段两端点坐标，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)点D的坐标为_________，线段平移到线段扫过的面积为________． (2)若点Р是y轴上的动点，连接． ①当时，求点Р的坐标； ②当将四边形的面积分成两部分时，点P的坐标为__________ 【典型例题二 已知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，都在第一象限，将线段平移，使平移后的点、分别落在轴和轴上，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，若把线段平移，A的对应点为，坐标为，则的坐标为 ． 【例4】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标，则将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是 ．    1．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（    ）      A．4 B． C．2 D． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为 ． 3．（24-25七年级下·吉林白城·期中）如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．将平移，使点与点重合，得到，其中点，的对应点分别为，． (1)画出； (2)直接写出点，的坐标：_______，________； (3)定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出内部（不包含边界）所有的“整点”的坐标：________． 【典型例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 【例4】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 1．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图：四边形是平行四边形，点，点，如果，那么点的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的； (2)将向左平移4个单位长度，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 4．（24-25七年级下·河南安阳·期中）如图，点A的坐标为，点B在y轴上，将三角形沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点C的坐标为．    (1)点D的坐标为__________； (2)在四边形中，点P从点B出发，沿移动，若点P的速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒，回答下列问题： ①求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示，写出过程）； ②当点P运动到时，若，请直接写出的度数． 【典型例题四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·辽宁营口·期末）如四，已知点，．若将线段平移到，其中．．则的值为（      ） A． B． C．1 D．3 【例3】（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，，，，平移线段，使点，重合，此时恰好点，也重合，则的值为 ． 【例4】（23-24七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个航空母舰的简图．若将该图案各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得到的新图案是由原图案向 平移3个单位长度得到的． 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ． 3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，把三角形平移后，三角形内任意一点对应点为． (1)在图中作出平移后的三角形，直接写出 点的对应点的坐标为________________； 点的对应点的坐标为________________； 点的对应点的坐标为________________； (2)连接，用无刻度直尺在轴上画出点，使； 4．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，平行四边形的顶点的坐标分别为，，将这四个顶点的横坐标都加2，纵坐标都减去4，分别得到点． (1)请写出点的坐标，并在图中画出平行四边形． (2)请说明平行四边形是由平行四边形沿坐标轴方向如何平移得到的． 【典型例题五 坐标系中的对称】 【例1】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的对称中心为坐标原点O，其中点A的坐标为，点、、、按逆时针顺序排列，则点D的坐标为（） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，轴是正五边形的对称轴．已知，，，，这五个点中，只有一个点不是正五边形的顶点． 下列关于这个点的说法正确的是（   ） A．一定是 B．一定是 C．一定是和中的某一点 D．一定是和中的某一点 【例3】（24-25八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为 ． 1．（2024八年级上·广东佛山·专题练习）如图，正方形的边长为3，点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，点是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，已知． (1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的； (2)的面积是多少？ (3)在x轴上找一点P，使得的值最小并求出最小值． 4．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【典型例题六 坐标与图形变化——轴对称】 【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为（   ） A． B．4 C．8 D． 【例2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，的面积为15，平分，若、分别是、上的动点，点关于的对称点是点，连接、、，由角的轴对称性可得．则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为线段上一动点，当最小时，点P的坐标为 ．    3．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．请在图1、图2中各自作图，分别满足以下要求： (1)在图1中的格点上找一点D，使； (2)若点B的坐标为，点C的坐标为，画出平面直角坐标系，并画出关于y轴对称的．（在图2中） 4．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点B顺时针旋转后的； (3)求出（2）中的面积． 【典型例题七 已知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是 【例4】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）通过平移把点移到点，按同样的平移方式，点移动到点，则点的坐标是 ． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）在平面直角坐标系中，线段A'B'是由线段AB经过平移得到的，已知点A(2，1)的对应点为A'(3，1)，点B的对应点为B'(4，0)，则点B的坐标为(　　) A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(−1，2) 2．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知△ABC经过平移后得到△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，已知点A（3，3）、D（-2，1），解答下列问题： （1）请在坐标系中画出平移后的△DEF； （2）请直接写出以下点的坐标：B（___，___）、C（___，___）、E（___，___）、F（___，___）； （3）若点P（x，y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为Q（3，5），则P点坐标为（____，____）． 【典型例题八 坐标系中的平移】 【例1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为 ． 【例4】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木 受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为 ． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 4．（24-25七年级下·吉林松原·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为_______； (2)在点从点运动到点的过程中，用含的代数式表示的长度； (3)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接、、，当三角形的面积为2时，直接写出的值． 【典型例题九 坐标系中的动点问题（不含函数）】 【例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知点A的坐标，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【例2】（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数，纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为 ． 【例4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点在点的右边，点到轴的距离为，则点的坐标为 ． 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点或点处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，建立出平面直角坐标系，写出“马”所在的点的坐标为___________，点的坐标为___________．点的坐标为___________． (2)在第（）题建立的平面直角坐标系中，若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，且a和b满足． (1)请直接写出B点坐标：B______； (2)请在x轴上找点C，使得，求出点C的坐标； (3)点，，连接，交于点M，在线段上存在点P，使，求出点P的坐标． 1．（24-25七年级下·河南周口·期末）若点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川德阳·期中）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，下列说法中正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 4．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至．然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至只处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，，按此规律继续运动，则的坐标是 （    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东佛山·期中）将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是 ． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，若点、、，则点的坐标为 ． 8．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，无人机编队飞行（即平行飞行，速度相同）的两架无人机A，B在坐标系中的坐标分别为，当无人机A飞到指定位置处时，无人机B飞到位置的坐标为 ． 9．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 11．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第一象限内，且到轴、轴的距离之和为7，求点的坐标； (2)若将点向右平移2个单位长度后，恰好落在轴上，求点的坐标． 12．（23-24七年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； (3)若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 13．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在科技飞速发展的今天，智能家居已经成为现代家庭的组成部分．如图是一款正方形的擦窗机器人正在擦拭一块长方形玻璃，建立如图所示的平面直角坐标系，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．擦窗机器人的移动速度为每秒1个单位长度，它先向右平移5秒，再向上平移2秒，平移后四个顶点的对应点分别为，，，． (1)写出各点坐标：_____，_____，_____，_____； (2)画出正方形； (3)求在上述平移过程中，机器人所经过的区域的面积． 14．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，在直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如表： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：向___________平移___________个单位长度，再向____________平移_____________个单位长度可以得到； (2)在坐标系中画出及平移后的； (3)求出的面积． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动. (1)　　　，　　　，点坐标为　　　. (2)求经过几秒？ (3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 轴对称与坐标变化及图形在坐标系中的平移（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 由平移方式确定点的坐标 典型例题二 已知图形的平移，求点的坐标 典型例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 典型例题四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 典型例题五 坐标系中的对称 典型例题六 坐标与图形变化——轴对称 典型例题七 已知平移后的坐标求原坐标 典型例题八 坐标系中的平移 典型例题九 坐标系中的动点问题（不含函数） 知识点01 关于x轴、y轴对称的点的坐标 1、关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）将点向左平移4个单位长度得到点，且点在y轴上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的平移，坐标轴上的点的特征，掌握相关知识点是解题的关键．根据点向左平移4个单位长度得到点，再根据该点在y轴上横坐标为0，可得答案． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点， 即． ∵点在y轴上， ∴， 解得． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后得到点， 所以． 故答案为：7． 知识点02 坐标与图形变化-对称 1、关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． 2、关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． 3、关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）点关于轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是， 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，已知的顶点A，B的坐标分别为，且的三个顶点都在正方形网格的格点上，关于y轴对称的图形为，点A，B，C的对应点分别为，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出，结合所画图形即可解决问题． 本题主要考查了坐标与图形变化-轴对称，熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求． ∴点的坐标为， 故答案为： 知识点03 坐标与图形变化-平移 1、平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 2、在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（23-24八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了点的平移以及关于轴对称点的性质，直接利用平移的性质得出对应点位置，进而结合关于轴对称点的性质得出答案，正确掌握横坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：∵将点向下平移个单位长度得到点， ∴，即， ∴点关于轴的对称点， 故选：． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键． 利用关于y轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出的坐标，再直接利用平移的性质得出答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴点， ∵将点向上平移3个单位，得到点， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 知识点04 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，点B的坐标为，作关于x轴对称的图形，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，直接利用关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，点A的坐标为， ∴点A的对应点的坐标为． 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点与点是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴，则图形中与点成轴对称的点坐标是 【答案】 【分析】此题考查轴对称的性质和轴对称与坐标的变化，找到对称轴是关键，难度较易．因为点与点是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴，得出对称轴是，故图形中与点成轴对称的点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵点与点是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴， ∴对称轴是，即对称轴是轴， ∴点成轴对称的点坐标是， 故答案为： 【典型例题一 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（24-25八年级上·山西运城·期中）将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移．根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，向下平移时纵坐标减少．将点向右平移2个单位，横坐标变为；向下平移3个单位，纵坐标变为，得到新坐标即可． 【详解】解：将点向右平移2个单位，横坐标变为；向下平移3个单位，纵坐标变为， 即新坐标， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）如图，，若将线段平移至，使得点、点分别落在x、y坐标轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内平移后点的坐标， 将点A平移至，且在x轴上，其可得点的纵坐标为0，再根据点B平移至，且在y轴上，其可得点的横坐标为0，然后根据点B的平移特征得出答案． 【详解】解：∵将点A平移至，且在x轴上， ∴点的纵坐标为0． 将点平移至，且在y轴上， ∴点的横坐标为0， 即点B的横坐标减1， ∴点平移后的点的坐标为， 即． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据平移规则左减右加，上加下减，进行求解即可，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键． 【详解】解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点， ∴，即， 故答案为：． 【例4】（重庆市巴南区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B，点B在y轴上，则点B的坐标为 ；线段经过原点O，点D是上一动点，若点，点，且，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，根据平移方式可得，根据点B在y轴上，可得，据此可得点B坐标；可求出，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时有，据此可得答案． 【详解】解：∵点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时有， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．根据，即可求出点C的坐标． 【详解】解：将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ，， 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ， 故点C的坐标为． 故选C． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，第一象限内有两个点，，将线段平移，使点，平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴的正半轴上，则点平移后的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．熟练掌握在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据平移性质，设出平移后、对应点坐标，结合坐标变化规律列方程求解． 【详解】设平移后点的对应点为（在轴正半轴），点的对应点为（在轴正半轴）． ∵根据平移性质，横坐标变化量与纵坐标变化量分别相等， ∴横坐标变化：， 解得． 纵坐标变化：， 解得． ∴点平移后的对应点坐标为； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，的坐标分别为，，，将平移，使点B与点O重合，得到，其中点A，C的对应点分别为，． (1)画出平移后的； (2)写出点，的坐标； (3)三角形的面积________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题考查了平移作图、点的坐标、坐标与图形，熟练掌握平移作图的方法是解题关键． （1）先根据平移的性质画出点，，再顺次连接点，，即可得； （2）根据点，在平面直角坐标系中的位置即可得； （3）利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． （2）解：由图可知，． （3）解：三角形的面积为， 故答案为：4． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知线段两端点坐标，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)点D的坐标为_________，线段平移到线段扫过的面积为________． (2)若点Р是y轴上的动点，连接． ①当时，求点Р的坐标； ②当将四边形的面积分成两部分时，点P的坐标为__________ 【答案】(1)，20 (2)①或；②点坐标为或 【分析】本题主要考查了平移的坐标变换，长方形的性质，坐标与图形，三角形的面积公式，清晰的分类讨论的思想是解本题的关键． （1）先根据线段向下平移5个单位可得B的纵坐标减去5，横坐标不变，可得D的坐标，再求解的长度，乘以平移距离即可得到平移后线段扫过的面积； （2）①设，得出的高为：，结合面积解方程，即可得出结论； ②分交线段和交两种情况，利用三角形面积法讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． ∴，，， ∴线段平移到线段扫过的面积为， 故答案为：，20； （2）解：①根据题意，设， ∵，， ∴的边上的高为：， ∵， ∴， 解得：或， ∴或； ②交线段于E时，过点P作，如图所示： ∵将四边形的面积分成两部分， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， 根据题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当交线段于F时，过点P作的延长线于点H，如图所示： ∵将四边形的面积分成两部分， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴； 综上，点坐标为或． 【典型例题二 已知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，都在第一象限，将线段平移，使平移后的点、分别落在轴和轴上，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换．根据点的坐标平移规则“左减右加，上加右减”求解即可． 【详解】解：设平移向量为，则平移后点的坐标为，点的坐标为， 根据题意，平移后的点、分别在x轴与y轴上， ∴平移后的点的对应点的纵坐标为0，即，解得， 点的对应点的横坐标为0，即，解得， ∴平移后的点平移后的对应点的坐标是，即， 故选：D． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平移坐标确定这个平移变换是向左平移4个单位，再向上平移1个单位，解答即可． 本题考查了平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，，若将线段平移至，其中点， 故平移变换是向左平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，若把线段平移，A的对应点为，坐标为，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段向左平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得点的坐标． 【详解】解：平移后得到点的坐标为， 向左平移3个单位，向上平移了1个单位， 的对应点坐标为． 故答案为：． 【例4】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标，则将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减； 纵坐标上加，下减．首先根据左眼，右眼坐标，得到嘴唇C的坐标，再根据平移的性质即可解题． 【详解】解：∵左眼A的坐标是，右眼B的坐标， ∴嘴唇C的坐标是 ，即， ∴将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（    ）      A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由，，，，可得，，计算求解，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标与图形的平移，关键是根据坐标与图形的平移特点解答．根据坐标得出轴，轴，进而利用两点的距离得出方程解答． 【详解】解；正方形四个顶点的坐标分别是，，，， 轴，轴， 设， 线段平移之后得到线段，点的对应点为， ， ， ， 点到的距离等于点到的距离， ， ， 故答案为：， 3．（24-25七年级下·吉林白城·期中）如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 【答案】(1)2 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）求出三角形的面积为，则可得到三角形的面积为2．设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （3）分长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧和长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧，两种情况根据重叠部分的小长方形一边长为2，则可求出另一边长为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且，两点间的距离等于6个单位长度， ∴， ∴； （2）解：，， 三角形的面积为； 三角形的面积是三角形面积的． 三角形的面积为2． 点在轴上， 设， ， 三角形的面积为， ， 或； （3）解：设经秒后长方形与长方形的重叠面积为1，点，，，的对应点分别为，，，． 由题意可得，，，． ①当长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧时， 重叠部分的小长方形的一边长为2， 另一边长为， ， ， 点运动了． ， 点在上． ， 点， ②当长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧时， 重叠部分的小长方形的长与宽分别为2，， ， ， 点运动了， ，， 点在上， ，点， 点． 综上，点的坐标为或． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．将平移，使点与点重合，得到，其中点，的对应点分别为，． (1)画出； (2)直接写出点，的坐标：_______，________； (3)定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出内部（不包含边界）所有的“整点”的坐标：________． 【答案】(1)见解析 (2)，； (3)，， 【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用（1）中图象进而得出答案； （3）直接利用所画图形得出符合题意的点． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：根据（1）可得：，； （3）解：根据图象可得，内部所有的整点的坐标为：，，． 【典型例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点平移的特点，将点横坐标加2，纵坐标加3，即可解题． 【详解】解：由点向右平移2个单位长度再向上平移3个单位， 所以平移后的坐标是， 故选B． 【例2】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标即可． 【详解】解：以“帅”位于点为基准点，则“炮”位于点，即为． 故选A． 【例3】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解∶∵点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B． ∴点B的坐标为，即， 故答案为∶ ． 【例4】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了坐标系中点平移以及二元一次方程组的应用．由题意可得：做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了a次“正横跳马”，再连续做b次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ，得：， ∴； 故答案为：． 1．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换，坐标与图形变化对称，坐标与图形变化平移．由题目规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，得到正方形连续经过2022次变换后，横坐标是，翻折偶数次后纵坐标是2，即可得到变换后的的坐标． 【详解】解：由题意知正方形的边长是2，是正方形对角线的交点，可得的坐标是， 正方形连续经过2022次变换后，向左平移2022个单位长度， 正方形连续经过2022次变换后，横坐标是， 翻折一次后纵坐标是，翻折二次后纵坐标是2，翻折三次后纵坐标是，翻折四次后纵坐标是2， 翻折偶数次后纵坐标是2， 正方形连续经过2022次变换后，纵坐标是2， 连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图：四边形是平行四边形，点，点，如果，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】连接AC、BD，作CD⊥x轴于D，先证明平行四边形OABC是菱形，得到OC=OA=BC=5，再根据勾股定理求出b=4，根据平行四边形性质即可求解． 【详解】解：如图，连接AC、BD，作CD⊥x轴于D， ∵OB⊥CA， ∴平行四边形OABC是菱形， ∴OC=OA=BC=5， ∵点C坐标为(3,b) ， ∴在Rt△OCD中，， ∴点C坐标为（3,4）， ∵四边形是平行四边形，且BC=5， ∴点B坐标为． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，平面直角坐标系中点的平移等知识，根据题意得到平行四边形OABC是菱形，进而求出b=4是解题关键． 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的； (2)将向左平移4个单位长度，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)和关于直线对称，作图见解析 【分析】题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴． （1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，画图即可． （3）根据坐标的特点，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故关于轴对称的坐标为， 如图所示，为所求： （2）解：根据题意，得， 平移后的坐标为， 如图所示，为所求： （3）解：由（1）和（2）知，， ∴， 故和关于直线对称，画图如下： 4．（24-25七年级下·河南安阳·期中）如图，点A的坐标为，点B在y轴上，将三角形沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点C的坐标为．    (1)点D的坐标为__________； (2)在四边形中，点P从点B出发，沿移动，若点P的速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒，回答下列问题： ①求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示，写出过程）； ②当点P运动到时，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①或；②65° 【分析】（1）根据平移规则，求出点的坐标即可； （2）①分点P在线段上，和点在上两种情况进行讨论求解即可；②同角的余角相等，得到，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将三角形沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形， 点B在y轴上，点C的坐标为， ∴三角形沿x轴负方向平移个单位得到三角形， ∵点是由点平移得到的， ∴； 故答案为： （2）①由（1）可知：， ∵，， ∴， 当时，点P在线段上，， 点P的坐标为． 当时，点P在线段上，，， ∴， ∴点P的坐标为． ②如图，设交于点，    由平移可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与平移．熟练掌握平移的性质，正确的得到点的坐标，是解题的关键． 【典型例题四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移变换与坐标的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据对应点之间的变化关系得点平移到点，即横坐标加4，纵坐标加4，即可点的坐标． 【详解】解：线段是由线段经过平移得到的，点的对应点为， ， 点平移到点，即横坐标加4，纵坐标加4， ∵， ∴点的坐标为， 故选D． 【例2】（23-24七年级下·辽宁营口·期末）如四，已知点，．若将线段平移到，其中．．则的值为（      ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图象的变化，解题的关键是熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同．根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题． 【详解】解：线段平移到，且，，，， ， ， ， 故选：B． 【例3】（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，，，，平移线段，使点，重合，此时恰好点，也重合，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移的规律可知点A到点E的坐标变化情况与点B到点F的坐标变化情况相同，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵平移线段，使点，重合，此时恰好点，也重合 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个航空母舰的简图．若将该图案各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得到的新图案是由原图案向 平移3个单位长度得到的． 【答案】左 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质，确定平移方式即可求解． 【详解】解：将图案中各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得到的图案是由原图案向左平移3个单位长度得到的． 故答案为：左． 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，由点B的坐标得出平移的方式，再根据平移的方式得出A点平移后的点的坐标即可． 【详解】解：由点到可知先向下移动1个单位，再向左移动3个单位， ∵， ∴，即， 故选：B 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得平移的方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据点的坐标的平移规律计算即可得解． 【详解】解：∵将的顶点A平移至点的位置， ∴平移的方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后点C的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，把三角形平移后，三角形内任意一点对应点为． (1)在图中作出平移后的三角形，直接写出 点的对应点的坐标为________________； 点的对应点的坐标为________________； 点的对应点的坐标为________________； (2)连接，用无刻度直尺在轴上画出点，使； 【答案】(1)图见解析；，， (2)见解析 【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据点的对应点为，得到平移规则为先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，画出三角形，进而写出点的坐标即可； （2）根据平移的性质，利用平移思想，作，即可． 【详解】（1）解：如图所示：三角形为所求； 由图可知：，，； （2）如上图所示：点为所求； 4．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，平行四边形的顶点的坐标分别为，，将这四个顶点的横坐标都加2，纵坐标都减去4，分别得到点． (1)请写出点的坐标，并在图中画出平行四边形． (2)请说明平行四边形是由平行四边形沿坐标轴方向如何平移得到的． 【答案】(1)，，，，图见解析 (2)先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的（答案不唯一） 【分析】本题考查平移作图，点的坐标，根据平移前后点的坐标，判断平移方式，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据题意可得点的坐标，再描点、连线即可． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解： ，，，． 如图所示，平行四边形即为所求． （2）解：平行四边形是由平行四边形沿坐标轴方向先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的．（答案不唯一，合理即可） 【典型例题五 坐标系中的对称】 【例1】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的对称中心为坐标原点O，其中点A的坐标为，点、、、按逆时针顺序排列，则点D的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形的性质等知识点，熟练掌握正方形既是轴对称图形又是中心对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据题意，作出正方形的图形并进行判断即可． 【详解】解：依题意，正方形如下图所示： 点A与点D关于轴对称，且， 点D的坐标是， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，轴是正五边形的对称轴．已知，，，，这五个点中，只有一个点不是正五边形的顶点． 下列关于这个点的说法正确的是（   ） A．一定是 B．一定是 C．一定是和中的某一点 D．一定是和中的某一点 【答案】C 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于y轴对称的两个点的坐标特点．根据关于y轴对称的两个点纵坐标相同，横坐标互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：∵与关于y轴对称，在y轴上， 又∵轴是正五边形的对称轴， ∴点N、P、R一定是正五边形的顶点， ∵，两个点横坐标互为相反数，纵坐标， ∴这两个点不是关于y轴的对称点， 又∵只有一个点不是正五边形的顶点， ∴这个点一定是和中的某一点，故C正确． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理、坐标与图形、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．作于点D，于点G，根据折叠的性质得到，，则，则，即可得到点F的坐标． 【详解】解：如图，作于点D，于点G， 正方形的点的坐标为， ， 正方形中，，沿折叠后点落在点处， ，， ， ， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 1．（2024八年级上·广东佛山·专题练习）如图，正方形的边长为3，点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，点是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，．利用勾股定理求出，证明，可得结论． 本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是正方形， ∴，，关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，已知． (1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的； (2)的面积是多少？ (3)在x轴上找一点P，使得的值最小并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)点P的位置见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质、两点之间的距离等知识点，掌握轴对称的性质成为解题的关键． （1）先根据坐标确定，然后顺次连接即可画出，再找到关于y轴对称的点，然后顺次连接即可； （2）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解； （3）作点关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示，、即为所求的三角形． （2）解：由题意可得：． （3）解：如图，点P即为所求． 的值最小． 4．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查作图—轴对称图形， （1）根据轴对称的性质，得出的三个顶点各个对应点，再顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征求解即可； 熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作，点的坐标为； （2）点关于轴的对称点的坐标为． 【典型例题六 坐标与图形变化——轴对称】 【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键； 根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出x、y，进而可得答案. 【详解】解：∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴； 故选：C. 【例2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，的面积为15，平分，若、分别是、上的动点，点关于的对称点是点，连接、、，由角的轴对称性可得．则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 根据题意得出，，可知当三点共线，且时，的值最小，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解： ∵平分，点关于的对称点是点，， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为5， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称问题，轴对称的性质，正确理解图形轴对称的性质是解题的关键．根据图形轴对称的性质，可知，即可求得答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式．根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可． 【详解】解：根据题意得，，，， ，， 的面积为1， ， 解得或3， 故答案为：1或3． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为线段上一动点，当最小时，点P的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时值最小，如图所示．    在中，当，则，当时， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点、分别为线段、的中点， ∴，点． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为． 在中，当，则，解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．请在图1、图2中各自作图，分别满足以下要求： (1)在图1中的格点上找一点D，使； (2)若点B的坐标为，点C的坐标为，画出平面直角坐标系，并画出关于y轴对称的．（在图2中） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理可证明，则由勾股定理的逆定理可得，据此作图即可； （2）根据点B和点C的坐标可确定坐标轴和原点位置，据此画出坐标系，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，格点D即为所求； 由勾股定理可得， ∴， ∴； （2）解：如图所示，即为所求． 4．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点B顺时针旋转后的； (3)求出（2）中的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据顺时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可． （3）根据分割法计算面积解答即可． 本题考查了坐标的对称，旋转，分割法求面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，根据题意，得， 为所求，且点的坐标； （2）根据题意，得，绕原点O顺时针旋转得到，新坐标分别为．画图如下： 则即为所求． （3）解：的面积 【典型例题七 已知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，逆向思考，把点先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移4个单位得，再把向下平移2个单位后的坐标为，则A点的坐标为． 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是 【答案】 【分析】根据坐标的平移变换规律，把得到的点倒推即可求解． 【详解】解：由题意得： 点，先向由平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握坐标的平移变换的规律是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）通过平移把点移到点，按同样的平移方式，点移动到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件找到平移规律：横坐标不变,纵坐标加3，即可解题． 【详解】解：把点移到点，只需要将点A向上平移3个单位长度，即横坐标不变，纵坐标加3， ∴按同样的平移方式，点移动到点，即向下平移3个单位长度可得点， ∴点B的坐标是． 【点睛】本题考查了点的平移，属于简单题，找到平移规律是解题关键，注意平移前后坐标的变化． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）在平面直角坐标系中，线段A'B'是由线段AB经过平移得到的，已知点A(2，1)的对应点为A'(3，1)，点B的对应点为B'(4，0)，则点B的坐标为(　　) A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(−1，2) 【答案】D 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】横坐标从-2到3，说明是向右移动了3-（-2）=5，纵坐标从1到-1，说明是向下移动了1-（-1）=2， 求原来点的坐标，则为让新坐标的横坐标都减5，纵坐标都加2． 则点B的坐标为（-1，2）． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反． 2．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴平移后的如图所示： （2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知△ABC经过平移后得到△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，已知点A（3，3）、D（-2，1），解答下列问题： （1）请在坐标系中画出平移后的△DEF； （2）请直接写出以下点的坐标：B（___，___）、C（___，___）、E（___，___）、F（___，___）； （3）若点P（x，y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为Q（3，5），则P点坐标为（____，____）． 【答案】（1）如图所示，见解析；（2）B（1，2）、C（4，0）、E（-4，0）、F（-1，-2）；（3）P(8,7) 【分析】（1）由A（3，3）的对应点D（-2，1）可得：向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此画出图形； （2）由图形直接写出点的坐标； （3）由A（3，3）的对应点D（-2，1）可得：横坐标减5个单位长度，纵坐标减2个单位长度，根据平移方式可得：x-5=3,y-2=5,求得x、y的值即可. 【详解】（1）如图所示， （2）由图可得：B（1，2）、C（4，0）、E（-4，0）、F（-1，-2）； （3）∵A（3，3）的对应点D（-2，1）, ∴横坐标减5个单位长度，纵坐标减2个单位长度, ∴x-5=3,y-2=5, ∴x=8,y=7, ∴点P（8,7）. 【点睛】考查了坐标与图形变化-平移；关键是根据坐标系中点的坐标确定方法，对应点的坐标特征，通过观察发现规律，列方程求解． 【典型例题八 坐标系中的平移】 【例1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长为4，顶点D的坐标是，则将点D向下平移4个单位长度得到点，根据轴，只需将点A向右平移4个单位长度得到点即，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，图形与坐标，垂线段最短，解题关键是找出线段的长度最短的点C． 先根据垂线段最短找到线段的长度最短的点C，再求出它的坐标． 【详解】解：如图， ∵经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时， ∴当时，线段的长度最短， ∵点，， ∴此时点横坐标为，纵坐标为． ∴． 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标． 线段轴，A、B两点横坐标相等，又，B点在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两点的横坐标相同， 又， ∴B点纵坐标为：或， ∴B点的坐标为：或． 故答案为：或． 【例4】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木 受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 【答案】会 【分析】本题考查了坐标与图形. 延长龙卷风行进路径，判断即可. 【详解】延长龙卷风行进路径，可知14时点P处的树木会受到龙卷风的影响， 故答案为：会 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 利用平行四边形对边平行且相等，结合坐标平移规律求解． 【详解】解：如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴； ∵，沿轴方向， ∴点是点向左平移个单位（因为长度为3）． ∴向左平移个单位，横坐标，纵坐标不变，即， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查坐标与图形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由点的坐标可求出的长，根据菱形的性质得，，即可求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【详解】（1）已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； （2）解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； （3）由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 4．（24-25七年级下·吉林松原·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为_______； (2)在点从点运动到点的过程中，用含的代数式表示的长度； (3)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接、、，当三角形的面积为2时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或； (4)的值为或4或6． 【分析】本题考查了四边形综合题，涉及了动点问题，矩形的性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的x值，同时要数形结合进行思考． （1）根据矩形的性质和坐标特点解答即可； （2）当时，点P在上运动，即可求解； （3）分当和当两种情况，根据题意得出方程解答即可； （4）分当点P由O向A运动、当点P由A向B运动和当点P由B向A运动三种情况，利用三角形面积公式得出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵A的坐标为，C的坐标为， ∴， ∴B的坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，点P在上运动， 则， 故答案为：； （3）解：①当（或点P由A向B运动）时： 此时直线l运动的距离点运动的距离， 即：， ∴， 故点的坐标为； ②当（或点P由B向A运动）时： 此时直线l运动的距离点运动的距离， 即：， ∴， 故点P的坐标为：； 综上，点P的坐标为或； （4）解：①当点P由O向A运动时， ∵， ∴， 解得：， ②当点P由A向B运动时， ∵， ∴， 解得：， ③当点P由B向A运动时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，当x的值为 或4或6时，的面积为2． 【典型例题九 坐标系中的动点问题（不含函数）】 【例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知点A的坐标，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点A坐标为，且直线轴， 所以点B的横坐标为． 又因为， 所以， 所以点B的坐标为或． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键． 根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动100秒所走的路程为200个单位长度，,则点P相当于运动了14圈后又运动4个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动100秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动14圈后又运动4个单位长度，即第100秒点所在的位置是， 故选：A． 【例3】（2025·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．若经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数，纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】题目主要考查中垂线的性质，圆的基本性质，根据题意得出经过A，B两点圆的圆心在的中垂线上，然后作出图形求解即可． 【详解】解：经过A，B两点圆的圆心在的中垂线上，由条件“圆心O的横坐标为正整数、纵坐标为负整数”所限， 如图所示： 只有或或三点． 【例4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点在点的右边，点到轴的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，点与点在同一条平行于轴的直线上，则，根据点到轴的距离为，则，再根据点在点的右边，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上， ∴， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴， ∵点在点的右边， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点或点处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，建立出平面直角坐标系，写出“马”所在的点的坐标为___________，点的坐标为___________．点的坐标为___________． (2)在第（）题建立的平面直角坐标系中，若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【答案】(1)，，； (2)画图见解析，所走路线为． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，掌握知识点的应用是解题的关键． （）结合“帅”位于点，建立出平面直角坐标系，然后根据平面直角坐标系即可求解； （）结合平面直角坐标系，再根据题意求出“马”所走路线． 【详解】（1）解：如图，根据“帅”位于点，建立出平面直角坐标系， ∴“马”所在的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：如图，所走路线为，． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查坐标与图形，掌握数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）先得出，再根据，进行求解即可； （2）设，根据列出方程，整理得，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P为x轴上的一点， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴或． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题考查平面直角坐标系中长方形的坐标特征与点的运动，以及三角形面积计算，解题关键是利用长方形性质确定点坐标，结合路程分析点位置，进而求解． （1）利用长方形对边相等的性质，由、，直接得出点坐标；根据点移动速度和时间算出移动路程，结合长方形边长，确定时在上的位置，从而得到坐标 ． （2）根据移动时间和速度算出时移动路程，对比长方形各边长度和，确定在上，求出长度，再以为底、为高，用三角形面积公式算出面积 ． 【详解】（1）∵四边形是长方形，，，长方形对边相等， ∴点坐标为 ． ∵点速度是每秒个单位长度， ∴点P移动时，移动的路程是个单位． 长方形中，，，点从出发沿移动，长，，即点在上且距离点个单位， 所以坐标为 ． 故答案为：，； （2）解：如图 ∵点移动， ∴移动路程为个单位． 长方形周长为，，， ∴点在上， ∴， ． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，且a和b满足． (1)请直接写出B点坐标：B______； (2)请在x轴上找点C，使得，求出点C的坐标； (3)点，，连接，交于点M，在线段上存在点P，使，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系与几何综合；能熟练利用割补法求三角形的面积，同时能根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由非负数的和为零得，，即可求解； （2）过作轴交于，过作轴交于，由割补法得；设，①当时，过作轴，过作轴交于，交的延长线于，由割补法得，即可求解；②当时，由割补法得，即可求解；③当时，由割补法得，即可求解； （3）过作轴，过作轴交于，过作轴交于，由割补法得，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ； 故答案为：； （2）解：过作轴交于，过作轴交于， ； 设， ①当时， 如图，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：， ； ②当时， 如图，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：（不符合题意）， 故此种情况不存在； ③当时，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：； ； 综上所述：的坐标为或； （3）解：过作轴，过作轴交于，过作轴交于， ， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， ． 1．（24-25七年级下·河南周口·期末）若点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握在y轴上的点的横坐标为0．根据y轴上点的横坐标为0，计算出m的值，从而得出点P坐标． 【详解】解：点在y轴上， ， ， ， 点P的坐标为． 故选：A． 2．（23-24七年级下·四川德阳·期中）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答． 【详解】解：将点沿轴先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，下列说法中正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了确定点的坐标及两点关于坐标轴对称，掌握两点关于坐标轴对称是关键． 根据各个点的坐标及两点关于坐标轴对称的点的特征即可完成． 【详解】解：A，点与点关于轴对称，故说法错误； B，点与点不关于轴对称，故说法错误； C，点与点关于轴对称，故说法正确； D，点与点不关于轴对称，故说法错误； 故选：C． 4．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系，点的平移，根据题意将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或，进而确定平移方式，即可求解． 【详解】解：如图所示， 将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或， 由图可得， ∵点A的坐标是，， ∴线段先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， 由图可得， 同理得：线段先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到， 故选：B． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至．然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至只处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，，按此规律继续运动，则的坐标是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据第一象限点的特征，得出规律，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴在第一象限， 由题意可知，，，，， ∴的坐标是，即， 故选：D． 6．（24-25八年级上·广东佛山·期中）将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移．点平移的规律“左减右加，上加下减”，由此即可求解． 【详解】解：点向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，若点、、，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，关键是通过已知点的坐标变化确定平移规律，再应用规律求未知点坐标．先根据点平移到点的坐标变化，确定平移规律，再根据此规律求出点的坐标． 【详解】解：已知平移后得到， 横坐标的变化：，即向右平移了个单位， 纵坐标的变化：，即向下平移了个单位， 所以平移规律是向右平移个单位，向下平移个单位。 因为，根据上述平移规律， 横坐标：，纵坐标：， 所以点的坐标为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，无人机编队飞行（即平行飞行，速度相同）的两架无人机A，B在坐标系中的坐标分别为，当无人机A飞到指定位置处时，无人机B飞到位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据无人机编队飞行，可知点A到点的平移方式相同，据此判断出平移方式，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴人机B飞到位置的坐标为，即， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的规律探究问题．先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解． 【详解】解：由题意得，作出如下图形： N点坐标为， 点关于A点对称的点的坐标为， 点关于B点对称的点的坐标为， 点关于C点对称的点的坐标为， 点关于A点对称的点的坐标为， 点关于B点对称的点的坐标为， 点关于C点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点N处， ∴其每6个点循环一次， ∴， ∴的坐标与点的坐标相同，其坐标为． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 11．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第一象限内，且到轴、轴的距离之和为7，求点的坐标； (2)若将点向右平移2个单位长度后，恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移，正确理解平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移是解题的关键． （1）根据题意得到，然后求解即可； （2）根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：点在第一象限内，且到轴、轴的距离之和为7， ， 解得， ，， 点的坐标为． （2）解：将点向右平移2个单位长度后，恰好落在轴上， ， 解得， ， ， 点的坐标为． 12．（23-24七年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； (3)若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了点的坐标特征以及点的平移等知识． （1）根据点A在x轴上，则点A的纵坐标为0，进而可求出x的值以及点A的坐标． （2）点A在过点B且与x轴平行的直线上，则点A的纵坐标为，进而可求出x的值以及点A的坐标． （3）根据平移得特点，分两种情况当点A在x轴负半轴时以及当点A在x轴正半轴时，分别解出x即可． 【详解】（1）解：∵若点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， 故． （2）∵点A在过点B且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， 故． （3）当点A在x轴负半轴时，， 解得：． 当点A在x轴正半轴时，， 解得：． 故x的值为：或． 13．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在科技飞速发展的今天，智能家居已经成为现代家庭的组成部分．如图是一款正方形的擦窗机器人正在擦拭一块长方形玻璃，建立如图所示的平面直角坐标系，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．擦窗机器人的移动速度为每秒1个单位长度，它先向右平移5秒，再向上平移2秒，平移后四个顶点的对应点分别为，，，． (1)写出各点坐标：_____，_____，_____，_____； (2)画出正方形； (3)求在上述平移过程中，机器人所经过的区域的面积． 【答案】(1)；；；； (2)见解析 (3)18 【分析】本题主要考查了平移作图，求长方形的面积，根据平移求点的坐标，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的规律． （1）根据平移得出点，，，的坐标即可； （2）先描出点，，，，然后再顺次连接即可； （3）根据长方形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵擦窗机器人的移动速度为每秒1个单位长度，先向右平移5秒，再向上平移2秒， ∴擦窗机器人先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，平移后四个顶点的对应点分别为，，，， ∴，，，； 故答案为：；；；； （2）解：如图，正方形即为所求作的三角形； （3）解：在上述平移过程中，机器人所经过的区域的面积为： ． 14．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，在直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如表： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：向___________平移___________个单位长度，再向____________平移_____________个单位长度可以得到； (2)在坐标系中画出及平移后的； (3)求出的面积． 【答案】(1)上；2；右；4 (2)图见解析 (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和图形平移的性质，牢记图形平移的性质是解题的关键． （1）平移的方向和距离与的顶点移动的方向和距离相同，据此可求得答案； （2）根据移动规律求出的坐标，再在坐标系中描出点，依次连接点和，和即为所求； （3）根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵将平移后得到，，，，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度； （2）解：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可以得到， ， 如图所示，即为所求； （3）解：， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动. (1)　　　，　　　，点坐标为　　　. (2)求经过几秒？ (3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标. 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性求解即可； （2）设经过x秒，，列方程求出x的值即可； （3）分点P在y轴右侧时和点P在y轴左侧时两种情况，根据以A、、、为顶点的四边形的面积是列方程求出x的值，即可求出P点的坐标. 本题考查了坐标与图形性质，非负性的应用，平行线的判定与性质，梯形的面积，难度适中，运用数形结合与方程思想是解题的关键. 【详解】（1）解：∵， ，， ∴，， ∴点E 坐标为； 故答案为：4，6，. （2）解：， ， 设经过x秒，， 依题意，得， 解得 ， ∴经过2秒. （3）解：当点P在y轴右侧时， 依题意，得 , 解得, 则, 此时点P 的坐标为; 当点P在y轴左侧时， 依题意，得 , 解得 , 则, 此时点P 的坐标为 ． 综合以上可得点P的坐标为或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$