专题3.2 轴对称与坐标变换（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题3.2 轴对称与坐标变换 教学目标 1. 理解在平面直角坐标系中，关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，能准确求出已知点关于坐标轴的对称点坐标。 2. 掌握图形沿坐标轴进行轴对称变换后顶点坐标的变化规律，能根据坐标变化绘制出轴对称变换后的图形。 3. 通过观察、分析、归纳，培养观察、归纳总结和逻辑思维能力，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）理解轴对称的概念，明白图形沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合。 （2）掌握坐标变化规律，识别并应用坐标变化（如平移、旋转）对图形的影响，理解坐标变化与图形变换的关系。 2.难点 （1）识别复杂的轴对称图形，尤其是存在多个对称轴时准确判断。 （2）理解坐标变化后图形的几何性质（如面积、周长等）是否改变，以及如何通过坐标变化来计算这些性质 。 知识点01 坐标系中的对称 （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 【即学即练1-1】点关于轴的对称点的坐标是 ． 【即学即练1-2】若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 【即学即练1-3】已知：如图，三个点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形；写出各顶点坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 题型01 求点关于x轴的对称点的坐标 【典例1】点关于x轴对称的点的坐标为 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【变式3】若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 题型02 求点关于y轴的对称点的坐标 【典例2】平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为 ． 【变式1】点，，若，关于轴对称，则 ， ；若，关于轴对称，则 ， ． 【变式2】已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【变式3】若点在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是 ． 题型03 求点关于某直线的对称点的坐标 【典例3】点关于直线对称的点的坐标是 ． 【变式1】点关于直线对称的点的坐标为 ． 【变式2】已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称 ． 【变式3】点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 ． 题型04 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 【典例4】坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 题型05 坐标与图形变换--轴对称 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 【变式1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的（点的对应点分别为）． (2)连接，直接写出的面积． (3)在（1）的条件下，在线段上找出点D，使得的面积是的面积的． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 题型06 轴对称的几何变换综合题 【典例6】如图①，已知正方形的边长为6，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)如图②，当时，______________； (2)如图③，当点在边上运动时，______________； (3)当时，的值为______________； (4)当点在边上运动时，是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【变式2】如图，在中，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点重合时，连接．设． (1)的长为________； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当是轴对称图形时，求的面积； (4)如图，作点关于直线的对称点，连接，当点三点共线时，直接写出的值． 一、单选题 1．点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 3．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 4．如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．点关于轴的对称点坐标为 ，关于轴的对称点坐标为 ． 8．在平面直角坐标系中，点与点关于直线轴对称，则的值是 ． 9．如图，点的坐标是，直线经过点且平行于轴，则点关于直线对称的点的坐标是 ，它可以看作是点向上平移 个单位长度得到． 10．如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ．    11．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一直线上，当的周长最小时，点的坐标是 ．    12．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 三、解答题 13．在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 14．坐标系中，的顶点坐标是． (1)画出关于轴对称后的，并写出坐标． (2)x轴上有一动点P，点与点到P的距离之和的最小值为________； (3)求的面积． 15．如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)求； (2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想与的关系，并验证你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点P，使，请直接写出满足条件的点P的坐标． 16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出． (2)点关于轴的对称点的坐标为__________，点关于轴的对称点的坐标为__________； (3)在轴上找一点，使最大； (4)在轴上找一点，使的周长最小，并求出周长； (5)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 17．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 轴对称与坐标变换 教学目标 1. 理解在平面直角坐标系中，关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，能准确求出已知点关于坐标轴的对称点坐标。 2. 掌握图形沿坐标轴进行轴对称变换后顶点坐标的变化规律，能根据坐标变化绘制出轴对称变换后的图形。 3. 通过观察、分析、归纳，培养观察、归纳总结和逻辑思维能力，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）理解轴对称的概念，明白图形沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合。 （2）掌握坐标变化规律，识别并应用坐标变化（如平移、旋转）对图形的影响，理解坐标变化与图形变换的关系。 2.难点 （1）识别复杂的轴对称图形，尤其是存在多个对称轴时准确判断。 （2）理解坐标变化后图形的几何性质（如面积、周长等）是否改变，以及如何通过坐标变化来计算这些性质 。 知识点01 坐标系中的对称 （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 【即学即练1-1】点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点关于对称轴对称时，坐标的变化规律问题．点关于轴对称点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为，本题根据点关于轴、轴对称时，横纵坐标变化规律解答即可． 【详解】解：∵坐标系中点关于轴对称点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标变为其相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为： ． 【即学即练1-2】若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故答案为：1． 【即学即练1-3】已知：如图，三个点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形；写出各顶点坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，再根据各顶点在坐标系中的位置写出顶点坐标即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，连接， 则，此时点P到点A和点C的距离和最小，故点P即为所求作． 题型01 求点关于x轴的对称点的坐标 【典例1】点关于x轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出、，进而可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ． 故答案为：． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3】若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据轴上的点横坐标为求出的值，即得点的坐标，再根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求出点的坐标，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是， 故答案为：． 题型02 求点关于y轴的对称点的坐标 【典例2】平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的特点，根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴对称的点的坐标为，将的坐标代入从而得出答案． 【详解】解：根据关于轴、轴对称的点的坐标的特点， 点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【变式1】点，，若，关于轴对称，则 ， ；若，关于轴对称，则 ， ． 【答案】 2 5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，关于轴、轴对称的点的坐标． （1）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解． （2）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解． 【详解】解：（1）若、关于轴对称，则，； 故答案为：2；5； （2）若、关于轴对称，则，． 故答案为：，． 【变式2】已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了代数式求值，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．利用关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出，，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式3】若点在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点在x轴上求出，得，再求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得，， ∴, ∵点P与点Q关于y轴对称， ∴点Q坐标是， 故答案为：． 题型03 求点关于某直线的对称点的坐标 【典例3】点关于直线对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设点关于直线对称的点为， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式1】点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】考查了平面直角坐标系中各种点对称的基本性质，解题的关键是对这些基本性质要有清晰的认识。根据题意，设出相关点的坐标，依据相关性质入手即可 【详解】解：当所求的点与点关于对称时，其对称点的坐标为 ∵， ∴对称点的坐标为， 故答案是：． 【变式2】已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可． 【详解】解：设点B的横坐标为x， ∵点与点B关于直线对称， ∴， 解得， ∵点A、B关于直线对称， ∴点A、B的纵坐标相等， ∴点． 故答案为． 【变式3】点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系；根据题意，关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置易得答案． 【详解】解：根据关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系， 即点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为； 可得答案为． 故答案为：． 题型04 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 【典例4】坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题坐标与轴对称，勾股定理，作点过于轴的对称点，连接，则：最小值即为的长，进行求解即可． 【详解】解：如图，作点过于轴的对称点，连接，则：，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴； 故最小值为． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P作于H，交x轴于点E，连接．则的最小值为的长， 根据，，推出． 【详解】解：过点P作于H，交x轴于点E，连接， 点M，N是x轴，线段上的动点， 的最小值为的长， ，， ． 故对答案为：4． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解即可．作于D，则，，，，得出，由勾股定理求出即可；由题意得出最小，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，点C即为使最小的点，作轴于E，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：作于D， 则，，，， ∴， ∴； 要使的周长最小，一定， 则最小， 作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C， 点C即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得： ，， ∴， 由勾股定理得：＝， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，进而可得，可知当O，P，三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，， 则可知，，， ∴， 即当O，P，三点共线时，的最小值为， ∵直线l垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 题型05 坐标与图形变换--轴对称 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 【答案】(1)见解析， (2)5 (3)见解析 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求；由图知，点的坐标为； （2）解：的面积为； （3）解：如图，取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时三角形周长最小， 则点P即为所求． 【变式1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的（点的对应点分别为）． (2)连接，直接写出的面积． (3)在（1）的条件下，在线段上找出点D，使得的面积是的面积的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了轴对称的性质，网格中求三角形的面积． （1）分别作出关于轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）利用割补法求解即可； （3）根据三角形中线的意义，找出点D即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：的面积； （3）解：如图，点D即为所求作． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据根据点坐标关于轴对称的变换规律分别画出点，再顺次连接即可得； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，交轴于点即为所求． 【详解】（1）解：由图可得， 与关于轴对称， ， 如图，即为所求． （2）解：的面积； （3）解：如图，点即为所求． 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标、作图—轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图形写出坐标即可得解； （2）根据轴对称的性质作出，再写出的坐标即可得解； （3）根据轴对称的性质画出图形，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：如图：即为所作， 由图可得：； （3）解：如图，点、即为所求， 所有符合条件的点D坐标为或． 题型06 轴对称的几何变换综合题 【典例6】如图①，已知正方形的边长为6，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)如图②，当时，______________； (2)如图③，当点在边上运动时，______________； (3)当时，的值为______________； (4)当点在边上运动时，是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)18 (3)5或13 (4)存在；9 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． （1）由，可得，然后由，求得答案； （2）直接由，求得答案； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）作点A关于的对称点E，连接，交于点P，根据轴对称可知：，得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，说明最小，即的周长最小，利用三角形的面积公式求出即可得出x的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：3． （2）解：∵点P在边上运动， ∴； 故答案为：18． （3）解：由已知得只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当时，或13； （4）解：存在； 作点A关于的对称点E，连接，交于点P，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∴最小，即的周长最小， ∵， ∴， 则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 即 ∴， ∴此时． 【变式1】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：． 【变式2】如图，在中，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点重合时，连接．设． (1)的长为________； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当是轴对称图形时，求的面积； (4)如图，作点关于直线的对称点，连接，当点三点共线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)或 ； (3)或； (4)或． 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、面积问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形 【分析】（）由等腰三角形的性质求出，由勾股定理可求出答案； （）当时，点与点重合，当时，由勾股定理可求出答案； （）分三种情况，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案； （）分两种情况，当在的延长线上时，当在的延长线上时，由轴对称的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）∵，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，点与点重合，在中，， ∴， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故的值为或 ； （3）当时，点与点重合，不符合题意， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的面积为或； （4）当在的延长线上时，如图， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在 中, ， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∵， 在中，， ∴， ∴， 综上所述，或． 一、单选题 1．点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于x轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握点关于x轴对称时“横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律． 先明确点关于x轴对称的坐标变化规律；再根据该规律，结合已知点P的坐标，求出其对称点的横、纵坐标；最后对比选项确定答案． 【详解】解：根据点关于x轴对称的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．已知点P坐标为，则其关于x轴的对称点横坐标仍为，纵坐标为1的相反数，即对称点坐标为． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征．根据关于y轴对称的点的坐标特点：两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：D． 3．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，代数式求值，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，利用轴对称的性质，求出m，n的值，可得结论． 【详解】解：，关于y轴对称， ，， ， 故选：B． 4．如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，且S的坐标为， ， 故选D． 5．如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 二、填空题 7．点关于轴的对称点坐标为 ，关于轴的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点关于坐标轴对称的点的特征，关于轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于轴的对称点横坐标互为相反数，纵坐标相等．据此进行解答即可． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标为，关于轴的对称点坐标为， 故答案为：， 8．在平面直角坐标系中，点与点关于直线轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据轴对称的点横纵坐标的性质求解即可． 【详解】点与点关于直线轴对称， ， 解得， ， 故答案为：1． 9．如图，点的坐标是，直线经过点且平行于轴，则点关于直线对称的点的坐标是 ，它可以看作是点向上平移 个单位长度得到． 【答案】 6 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，已知点平移前后的坐标判断平移方式，解题关键是根据轴对称求出对称点的坐标． 先根据坐标与图形变化——轴对称确定对称点的坐标，再根据已知点平移前后的坐标判断平移方式 确定平移的距离． 【详解】解：如图， ∵点的坐标是，直线经过点且平行于轴， ∴点关于直线对称的点的坐标是， 它可以看作是点向上平移6个单位长度得到， 故答案为：，6． 10．如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是关于直线对称的两个点的坐标之间的关系，根据关于直线对称的两个点到对称轴的距离相等解题即可得到答案． 【详解】解：∵关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称， ∴C、B关于直线m对称，即关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一直线上，当的周长最小时，点的坐标是 ．    【答案】 【分析】首先求得关于轴的对称点，然后求得的解析式，然后求得直线与轴的交点即可． 【详解】解：如图所示，     关于轴的对称点， 设的解析式是， 则， 解得：， 则一次函数的解析式是， 当时，， 则的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称—最短路线问题， 坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质． 12．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 三、解答题 13．在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解， (2)见详解， (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图，即为所求， 点的坐标为； （3）的面积． 14．坐标系中，的顶点坐标是． (1)画出关于轴对称后的，并写出坐标． (2)x轴上有一动点P，点与点到P的距离之和的最小值为________； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的轴对称变换、利用轴对称求最短路径以及图形面积的计算，通过对称点的性质找到对应点坐标，利用两点间距离公式和割补法求解相应问题是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质来确定各顶点坐标并画图； （2）利用轴对称的性质，找到点A关于x轴的对称点，则的最小值为的长度，通过两点间距离公式计算； （3）使用割补法求的面积． 【详解】（1）解： 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， ， , 在坐标系中描点，然后顺次连接这三个点，得到， 点的坐标为； （2） 作点关于轴的对称点，则的坐标为，连接，当动点P为与轴的交点时， 的值最小，， 故答案为：； （3）以，构造矩形（长为5，宽为4），然后减去三个直角三角形的面积。 矩形面积，三个直角三角形面积分别为：，，， 则． 15．如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)求； (2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想与的关系，并验证你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点P，使，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)18 (2)猜想：，见解析 (3)，，， 【分析】本题考查了坐标与图形性质． （1）由图可知：，，即可求的面积； （2）猜想：，根据三角形的面积公式进行验证； （3）根据，分别在x轴，y轴上找到点P． 【详解】（1）解：由图可知，，， ； （2）解：猜想：，证明如下： ∵直线l平行于x轴，点M与点C在直线l上， ∴和的边上的高相等，都为6， 又∵和同底，为， ∴； （3）解：①当点P在x轴上时，设， 当时， ， 解得 (舍去)； 当时，， 解得或， ∴，； ②当点P在y轴上时，设， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴，． 综上所述，满足条件的点P坐标为，，，． 16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出． (2)点关于轴的对称点的坐标为__________，点关于轴的对称点的坐标为__________； (3)在轴上找一点，使最大； (4)在轴上找一点，使的周长最小，并求出周长； (5)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)当点在同一条直线上时，最大，最大值为的长度，图见详解 (4)图见详解，的周长最小为 (5)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了网格坐标系和几何图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，利用三角形的三边关系确定最值，利用轴对称解决最短路径问题，勾股定理，根据三角形的面积确定点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据点的坐标确定图形即可； （2）利用轴对称的性质即可求出点的坐标； （3）利用三角形的三边关系即可确定点的位置和最值； （4）利用轴对称的性质即可确定点的位置，并利用勾股定理求出三角形的周长； （5）设，根据三角形的面积得，求解即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：，； （3）解：如图，延长交轴于一点，点即为所求； 当点不在同一条直线上时，三点构成三角形，根据三角形的三边关系，； 所以，当点在同一条直线上时，最大，最大值为的长度； （4）解：如图，找点关于轴的对称点，连接交轴于一点，点即为所求； 此时，， 根据勾股定理得，，， 所以，的周长为； （5）解：设，根据题意得， ， 解得， 即， 解得，或， 所以，点的坐标为或． 17．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意点在轴上，解出值，利用点坐标得到平移向上平移1个单位，向右平移2个单位到线段，进而求出点的坐标； （2）连接，通过割补法计算出的面积，通过等式的性质得到，，进而求值； （3）通过平移至，将四边形面积转化为求面积，当时，可得面积面积最大，进而得到四边形面积最大值． 【详解】（1） 且点在轴上， ， ， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ， 即， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ，，，， ， ， ， ， 即， 根据题意， ， ； （3）四边形面积最大值为，理由如下： 平移至，交延长线于，过点作， 则，， ， 当四边形面积最大时，的面积也是最大， 当时，的面积最大， 最大值为， 四边形面积最大值为． 【点睛】本题考查坐标系中的平移的性质及坐标系中计算三角形、四边形面积综合，根据平移的性质准确得到坐标是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$