第09讲 平面直角坐标系（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第09讲 平面直角坐标系（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断点所在的象限 典型例题二 已知点所在的象限求参数 典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标 典型例题四 求点到坐标轴的距离 典型例题五 用有序数对表示位置或路线 典型例题六 实际问题在中用坐标表示 典型例题七 点坐标规律探索 典型例题八 已知两点坐标求两点距离 典型例题九 平面直角坐标系中最值问题 典型例题十 平面直角坐标系中动点问题 知识点01 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知点P（m﹣1，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标为 ． 知识点02 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）点关于轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）与坐标轴平行的直线上点的坐标：与x轴平行的直线上点的 相同；与y轴平行的直线上点的 相同． 知识点03 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若遵义位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则毕节位置的坐标是 ； 知识点04 两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）点在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是（    ） A．5 B．7 C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知点，，，则点与点之间的距离为 ． 【典型例题一 判断点所在的象限】 【例1】（重庆市荣昌区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）下列各点在第二象限内的点是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）若点在第二象限，则点在第（ ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【例3】（2025七年级下·河南·专题练习） 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则在平面直角坐标系中的第 象限． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内一点到x轴和y轴的距离相等，则 ． 3．（2024·甘肃·模拟预测）从小到大的三个整数：，2，3，从中随机抽取一个数作为点P的横坐标，在余下的两个数中随机抽取一个数作为点P的纵坐标． (1)请用画树状图或列表的方法写出点P所有可能的坐标． (2)在所有可能的点P中，求点P落在第二象限的概率． 4．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标； (3)若点的横坐标比纵坐标大，则点在第几象限? 【典型例题二 已知点所在的象限求参数】 【例1】（24-25七年级下·重庆綦江·期中）如果点在x轴上，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如果点在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为 【例3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)已知点，若直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求的值． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为8，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，第二象限的点到轴的距离与到轴的距离相等，则 ． 3．（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 4．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于，，三点给出如下定义：，记，若，则称，，三点满足“和距关系”．已知点． (1)已知，，． ① ； ②，，三点 “和距关系”；，，三点 “和距关系”（填写“满足”或“不满足”）； (2)已知，． ①点位于第三象限，证明：，，三点满足“和距关系”； ②点位于第一象限，且，，三点满足“和距关系”，直接写出，的取值范围． 【典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）方格纸上有A，B两点，若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为．若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为 ． 【例3】（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【阅读材料】平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即（其中的“”是四则运算中的加法），例如点的勾股值 【解决问题】 (1)求点的勾股值； (2)若点在轴的上方，其横、纵坐标均为整数，且，请直接写出点的坐标． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，这是某所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是（﹣2，2），实验楼位置的坐标是（2，﹣1），则图书馆位置的坐标是（　　） A．（4，1） B．（1，4） C．（3，2） D．（2，3） 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）点在平面直角坐标系中的坐标为，点的坐标为，线段的长为5，则点的坐标是 ． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知点，，点B是平面直角坐标系中一点，且． (1)若点B在轴上，求满足条件的点B的坐标； (2)若点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，求满足条件的点B的坐标． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，长方形的位置如图所示，其中点，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为_____，_____； (2)①点与点距离的最小值为_____； ②当时，_____（用含的代数式表示）； (3)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时，直线也随之停止．当点恰好落在直线上时，求点的坐标； (4)连接，，，当的面积为2时，直接写出的值． 【典型例题四 求点到坐标轴的距离】 【例1】（24-25七年级下·云南·期中）点在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·福建南平·期末）已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 【例3】（24-25七年级下·广东惠州·期中）在平面直角坐标系中，已知点. (1)若点在轴上，求的值； (2)若点到轴的距离为1，求的值； (3)若轴，点，求的值. 1．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中有四个定点，其坐标分别为：、、、．若平面内有一点，使最小，则点坐标为 ． 3．（24-25七年级下·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点A在y轴上时，求m的值； (2)当点A到x轴的距离等于5时，求点A的坐标． 4．（24-25七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，定义点和点的相关系数如下：若点在一条直线上，则；若点不在一条直线上，则．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点， 请回答下列问题： (1)______． (2)若，，求点的坐标． (3)点在第二象限，若，且点的纵坐标为2，求点的坐标． (4)当时，直接写出点的横坐标． 【典型例题五 用有序数对表示位置或路线】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二号丁运载火箭发射升空，从这天起，星空中有了一颗以“郑州航空港”来命名的星星．下列表述，能确定郑州位置的是（   ） A．河南省中北部 B．东经，北纬 C．嵩山东麓，黄河之滨 D．黄河中下游分界处 【例2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母对应，则有序数对，，，，对应的字母恰好为一个英文单词，这个单词为 ． 【例3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动． (1)通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点，请在下图中标出点；再跑到点，拍照打卡，请在下图中标出点．最后按原路返回帐篷的位置．（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线按1.4个单位长度算，代表实际距离70米．） (2)请在横线上描述出从点返回帐篷位置的路线：________． 1．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对 ． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； (2)画出关于y轴的对称图形； (3)写出点A关于x轴的对称点的坐标． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【典型例题六 实际问题在中用坐标表示】 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了一个乐亭的“乐”字，A，B，C为“乐”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点的坐标是 ． 【例3】（24-25七年级下·广东湛江·期中）小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）．已知邮局的坐标是，书店的坐标是． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)小明家的坐标是___________，学校的坐标是___________； (3)在图中标出超市，水果店的位置． 1．（24-25七年级下·北京·期中）唐代长安城呈严格的棋盘式布局，朱雀大街为南北中轴线，将城市分为对称的东西两部分．城内共有108个“坊”（居民区），每个坊近似为长方形．如图是长安城的部分坊市地图，其中第四、五列的“坊”近似为边长为500米的正方形，第三、六列的“坊”近似为宽500米，长650米的长方形，第一、二、七、八列的“坊”近似为宽500米，长950米的长方形（东、西市南北向1000米）．在图中，分别以正东、正北方向为 x轴、 y轴的正方向建立平面直角坐标系（道路宽度不计），以1米为1个单位长度，有如下三个结论： ① 若兴化坊的东南角的坐标为时，原点的位置在永达坊的东北角 ② 当朱雀大街上的某个点的坐标为，开明坊的东北角的坐标为，则西市东南角的坐标为 ③若以兰陵坊西南角的坐标为，小明从崇业坊的西北角出发，沿东西或南北方向的直线，以每分钟150米的速度慢跑到坐标为的地方需要36分钟 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．③ C．②③ D．② 2．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点A坐标为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）李明家在学校以东，再往北处；张华家在学校以西，再往南处；王芳家在学校以南处．建立适当的平面直角坐标系，画出学校和这三位同学家的位置，并用坐标表示出来． 4．（24-25七年级下·河南周口·期中）在某次演出活动中，小明在主舞台中心点以东30米，再往北30米处，小华在舞台中心点以西20米，再往南30米处，小芳在小华所在位置以东40米，以南10米处． (1)利用下面的网格，建立适当的平面直角坐标系，标出舞台中心和这三位同学的位置，并用坐标表示出来（图中每个小正方形的边长代表实际距离10米）； (2)结合（1）中图形，通过测量与估算，用表示方向的角和距离的方法表示小明相对于舞台中心的位置（长度精确到1米，角度精确到1°） 【典型例题七 点坐标规律探索】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度，则第秒时，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下两种变换：①，如；②，如；那么 ． 【例3】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标A4　 　，A8　 　，A12　 　． （2）写出点A4n的坐标（n为正整数） 　 　． （3）蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是 　 　（填“向上”、“向右”或“向下”）． 1．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【典型例题八 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点P在平面直角坐标系中的坐标为，则点P到原点的距离是（ ） A．8 B．15 C．17 D．23 【例2】（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【例3】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知：△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，0）．B（1，3），C（3，﹣2）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 1．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，，，一条圆弧经过，，三点，则下列说法中正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆外 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点C是轴上的一个动点，则AC＋BC的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长． 4．（24-25八年级上·辽宁丹东·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：    (1)已知点，试求C、D两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值是 ． 【典型例题九 平面直角坐标系中最值问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（    ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【例2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线（m为常数且）上，，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是 ． 【例3】（24-25七年级下·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)求点，，的“最佳间距”； (2)已知点，，； ①若点，，的“最佳间距”是，则的值为________； ②点，，的“最佳间距”的最大值为________； (3)当点，，的“最佳间距”取到最大值时，请直接写出点的坐标． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ） A． B． C． D．8 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为 ． 3．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点的对应点分别为、、． (1)请在网格中作出； (2)求出三角形的面积； (3)若，点是直线上的一点，求的最小值． 4．（24-25八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，定义：对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P为点Q关于图形W的“双倍对称点"．已知点，，，． (1)若． ①设点O与线段上一点的距离为d，则d的最大值是________； ②在，，这三个点中，为点O关于线段的“双倍对称点”的是________； ③若点，，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，求b的取值范围． (2)已知Q点为原点，点，．若线段上存在点P，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，则k的取值范围是________． 【典型例题十 平面直角坐标系中动点问题】 【例1】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第83次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，第1次运动向右移动1个单位，第2次运动向下移动1个单位，第3次运动向右移动1个单位，第4次运动向上移动2个单位，第5次运动向右移动1个单位，依此类推（即每次向右移动1个单位后，交替进行向上或向下移动，且上下移动的单位数逐次递增1）．经过2025次运动后，动点的坐标是 ． 【例3】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿“”运动到点D，运动时间为t秒，回答下列问题： (1)运动时间t的取值范围是_________； (2)用含t的代数式表示点P的坐标； (3)当三角形的面积为时，求此时P点的坐标． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是　　； ②点在轴上，若，则点的坐标是 ． (2)点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． ①当点的坐标为时，求的值； ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标． 2．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，且，满足，现同时将点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位．分别得到点，的对应点，，连接、． (1)请直接写出的坐标__________．的坐标__________． (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，、的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 3．（24-25七年级下·吉林白城·期中）如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 1．（福建省莆田市2024-2025学年下学期末七年级数学调研试卷）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川德阳·期末）点位于轴上方，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（    ） A． B．， C．， D． 4．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图下列用方位角和距离描述灯塔相对于游轮的位置表示正确的是（    ） A．南偏东的方向上，且相距处 B．北偏西的方向上，且相距处 C．南偏东的方向上，且相距处 D．北偏西的方向上，且相距处 4．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系内，一点第1次从原点跳动到点，第2次从点跳动到点，第3次从点跳动到点，第4次从点跳动到点，第5次从点跳动到点，第6次从点跳动到点，…，按此规律下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25七年级下·广东中山·期中）如果“2排5号”用坐标表示，那么表示 ． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期中）平面直角坐标系内某点到轴的距离为3，到轴的距离为4，且横坐标与纵坐标异号，则该点的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，则叶柄底部点C的坐标为 ． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点 P（﹣4，3），过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，∠OPA 的 平分线交x轴于点B，则点B的坐标为 ． 11．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，货船与港口相距30海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，30海里）来描述，请你用有序数对描述港口相对货船的位置． 12．（24-25七年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为，求点的坐标． 13．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，如果点的坐标分别为和，则请你在图中建立一个适当的平面直角坐标系，并写出点的坐标． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 15．（24-25八年级上·福建福州·期中）材料：如果平面直角坐标系内有两点，，那么这两点的横向（或纵向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示，即（或），那么根据勾股定理，其两点间的距离．例如：，，则． 解决问题： (1)如图，已知，，则两点的横向距离_____，纵向距离_____，根据勾股定理可得_____； (2)若点，点在轴上，，请根据上述材料，求点坐标； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 平面直角坐标系（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断点所在的象限 典型例题二 已知点所在的象限求参数 典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标 典型例题四 求点到坐标轴的距离 典型例题五 用有序数对表示位置或路线 典型例题六 实际问题在中用坐标表示 典型例题七 点坐标规律探索 典型例题八 已知两点坐标求两点距离 典型例题九 平面直角坐标系中最值问题 典型例题十 平面直角坐标系中动点问题 知识点01 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．根据图形，则目标在第四象限，其横坐标是正数，纵坐标是负数． 【详解】解：因为目标在第四象限，所以其坐标的符号是，观察各选项只有B符合题意， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知点P（m﹣1，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】（0，-2） 【分析】利用y轴上横坐标为0得到m-1=0，进而得到m的值即可． 【详解】 点P（m﹣1，2m﹣4）在y轴上， 故答案为：（0，-2） 【点睛】本题考查点的坐标，根据y轴上横坐标为0解题是关键． 知识点02 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）点关于轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此得到答案． 【详解】解：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 点关于轴对称点的坐标为 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，掌握坐标系中的轴对称的特点是解题的关键．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）与坐标轴平行的直线上点的坐标：与x轴平行的直线上点的 相同；与y轴平行的直线上点的 相同． 【答案】 纵坐标， 横坐标 【解析】略 知识点03 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系．依题意，从原点出发，向南走即沿轴负半轴平移了1500，向东走，即沿轴正方向平移了，据此可求得小敏家的位置． 【详解】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系， 根据图形得学校的位置坐标为． 故选：C． 【即时训练】 2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若遵义位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则毕节位置的坐标是 ； 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标．正确的建立平面直角坐标系是解题的关键．由题意，建立平面直角坐标系，进而可得毕节的坐标． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如图， ∴毕节位置的坐标是． 故答案为： 知识点04 两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）点在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，则，，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 则． ， ，， 在中，，，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知点，，，则点与点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：AC10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理求两点间的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【典型例题一 判断点所在的象限】 【例1】（重庆市荣昌区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）下列各点在第二象限内的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系各象限内点的坐标特征，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，根据各选项的坐标逐一验证各选项即可确定答案． 【详解】A选项：坐标为，横坐标和纵坐标均为负数，属于第三象限，故A选项不符合题意； B选项：坐标为，横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限的特征，故B选项符合题意； C选项：坐标为，横坐标和纵坐标均为正数，属于第一象限，故C选项不符合题意； D选项：坐标为，横坐标为正，纵坐标为负，属于第四象限，故D选项不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）若点在第二象限，则点在第（ ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征和不等式的性质．注意第一象限 ；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号． 【详解】解：∵点在第二象限，则（横坐标为负），（纵坐标为正）； ∴点的横坐标为，因为，所以（正数）； ∴点的纵坐标为；由于，则（仍为正数）； ∴ 因此，点的横、纵坐标均为正，位于第一象限； 故选：A . 【例3】（2025七年级下·河南·专题练习） 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则在平面直角坐标系中的第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二元一次方程的解．把二元一次方程的已知解代入二元一次方程，使原方程转化为以m为未知数的方程，然后解此方程． 【详解】解：把代入二元一次方程， 得， 解得， 则点P的坐标为，在平面直角坐标系中的第四象限． 故答案为：四． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等并列出方程是解题的关键． 根据第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求出m的值，再求出点N的坐标，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得， 所以，， ， 所以，点N的坐标为， 所以，点N在第四象限． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内一点到x轴和y轴的距离相等，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离为这点的纵坐标的绝对值、点到轴的距离为这点的横坐标的绝对值是解题关键．根据点到轴的距离为这点的纵坐标的绝对值、点到轴的距离为这点的横坐标的绝对值建立方程，解方程求出的值，再根据第一象限内的点的横、纵坐标均大于0求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，此时点的坐标为，位于第一象限内，符合题意； 当时，，此时点的坐标为，位于第四象限内，不符合题意； ∴ 故答案为：1． 3．（2024·甘肃·模拟预测）从小到大的三个整数：，2，3，从中随机抽取一个数作为点P的横坐标，在余下的两个数中随机抽取一个数作为点P的纵坐标． (1)请用画树状图或列表的方法写出点P所有可能的坐标． (2)在所有可能的点P中，求点P落在第二象限的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与直角坐标系中点的坐标特征．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意画出表格，即可得到P的所有坐标； （2）然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在第二象限的的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意知，列表如下： 纵坐标 结果横坐标 2 3 2 3 （2）解：共有6种等可能的结果数，其中点P落在第二象限的结果有，，共2个， ∴P(点P落在第二象限) 4．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标； (3)若点的横坐标比纵坐标大，则点在第几象限? 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点在第四象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需注意的相关事项是解题的关键． （1）因为点在轴上，所以纵坐标为，解得值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； （2）因为点在过点且与轴平行的直线上，所以、两点的横坐标相同，令点横坐标为，解得的值并代入纵坐标的代数式中即可； （3）根据题意列出方程，即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2） 点在过点且与轴平行的直线上， 点的横坐标为， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）由题意得， 解得， ,， 点的坐标为， 点在第四象限． 【典型例题二 已知点所在的象限求参数】 【例1】（24-25七年级下·重庆綦江·期中）如果点在x轴上，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在x轴上，得到，计算解答即可． 本题考查了坐标与位置，熟练掌握点在x轴上的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由点在x轴上，得， 解得， 故点A的坐标是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如果点在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征. 根据x轴上点的纵坐标等于零，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的 x 轴上 ∴ ∴ 所以 故答案为： 【例3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)已知点，若直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，在y轴上的点的坐标特点，平行于x轴的直线上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）在y轴上的点的横坐标为0，则，据此求出a的值即可得到答案； （2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此求解即可； （3）第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，则，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；∵点在y轴上， ∴，即， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解；∵，，且直线轴， ∴， ∴； （3）解：∵在第四象限， ∴， ∵点A到两坐标轴的距离之和为9， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为8，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离，根据题意得到，，即可解题． 【详解】解：点在第四象限， ，， 点到轴的距离为8，到轴的距离为2， ，， 点的坐标是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，第二象限的点到轴的距离与到轴的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据题意可得点的横纵坐标互为相反数，据此列出算式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限，且到轴和轴的距离相等， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据轴上的点的纵坐标为，令，即可求得，进而求得的坐标； （2）根据，则的横坐标相同，令，即可求得，进而求得的坐标． 【详解】（1）解：点P在x轴上， ， 点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴， 解得 点P的坐标． 4．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于，，三点给出如下定义：，记，若，则称，，三点满足“和距关系”．已知点． (1)已知，，． ① ； ②，，三点 “和距关系”；，，三点 “和距关系”（填写“满足”或“不满足”）； (2)已知，． ①点位于第三象限，证明：，，三点满足“和距关系”； ②点位于第一象限，且，，三点满足“和距关系”，直接写出，的取值范围． 【答案】(1)①；②满足，不满足 (2)①见解析；②且或且 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，理解“和距关系”的定义是解答本题的关键． （1）①根据题干中，计算公式计算即可，②根据“和距关系”即可； （2）①根据“和距关系”的定义证明即可；②根据取值范围分析情况，看是否满足题意，进而求得取值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，，，， ∴，，，， ∴， ，，， ∴，，三点满足“和距关系”；，，三点不满足“和距关系”； （2）①证明：∵点（）位于第三象限，，， ∴， ， ， ∴， ∴，，三点满足“和距关系”； ②∵，，， 当时， 则， ∴， ∴此时，，，三点满足“和距关系”； 当时， ， ∴， ∴此时，，，三点满足“和距关系”； 当时， ， ∴， ∴此时，，，三点不满足“和距关系”； 当时， ， ∴， ∴此时，，，三点不满足“和距关系”； 综上所述，且或且时，，，三点满足“和距关系”． 【典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1， ∴点P的横坐标是，纵坐标是2， ∴点P的坐标为． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）方格纸上有A，B两点，若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为．若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标系中原点的变化，求点的坐标变化，关键在于理解原点平移后点的坐标与原坐标的关系． 【详解】解：方格纸上有A，B两点，若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为．若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为． 故答案为： 【例3】（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【阅读材料】平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即（其中的“”是四则运算中的加法），例如点的勾股值 【解决问题】 (1)求点的勾股值； (2)若点在轴的上方，其横、纵坐标均为整数，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查新定义，求点的坐标，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据点的位置，得到，结合新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）由题意，得：，， 又∵的横、纵坐标均为整数， ∴时，，即：； 时，，即：； 时，，即：； 故： 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，这是某所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是（﹣2，2），实验楼位置的坐标是（2，﹣1），则图书馆位置的坐标是（　　） A．（4，1） B．（1，4） C．（3，2） D．（2，3） 【答案】B 【分析】根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 图书馆位置的坐标是（1，4）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）点在平面直角坐标系中的坐标为，点的坐标为，线段的长为5，则点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了平行于坐标轴的直线上两点间的距离与其坐标的关系，熟练掌握平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相等；平行于y轴的直线上的两点间的距离等于这两个点的纵坐标差的绝对值． 根据平行于坐标轴的直线上两点间的距离与其坐标的关系进行分析解答即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系中的坐标为，点的坐标为， ∴轴， ∵线段的长为5， ∴，解得：或， ∴点B的坐标为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知点，，点B是平面直角坐标系中一点，且． (1)若点B在轴上，求满足条件的点B的坐标； (2)若点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，求满足条件的点B的坐标． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题考查了点的坐标、三角形的面积表示，与坐标轴平行的直线上点的特征，利用点的坐标表示相应线段的长是解题的关键． （1）根据点B在轴上，可设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解； （2）当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上时，画出图象，设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解；当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上时，画出图象，设点B的坐标为，再利用的面积为2，列方程求解，最后综合两种情况，得出所有满足条件的点B的坐标． 【详解】（1）解：如图1，若点在轴上，可设， ， ， ，， 点的坐标或． （2）解：如图2，当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，可设， ， ， ， 或， 解得或， 点B的坐标或． 如图3，当点B在过点A且平行于坐标轴的直线上，可设， ， ， ， 或， 解得或， 点B的坐标或． 综上可得，点B的坐标或或或． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，长方形的位置如图所示，其中点，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为_____，_____； (2)①点与点距离的最小值为_____； ②当时，_____（用含的代数式表示）； (3)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时，直线也随之停止．当点恰好落在直线上时，求点的坐标； (4)连接，，，当的面积为2时，直接写出的值． 【答案】(1)；8 (2)①2；② (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据长方形的性质和坐标特点解答即可； （2）①根据长方形的性质和坐标特点解答即可；②当时，点在上运动，即可求解； （3）分当和当两种情况，根据题意得出方程解答即可； （4）分当点由向运动、当点由向运动和当点由向运动三种情况，利用三角形面积公式得出方程解答即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ， ∵，， ，， 的坐标为； 故答案为：；8； （2）解：①四边形是长方形， ∴当点P在上时，且，点P与点距离的最小，此时， ∴点与点距离的最小值为2； 故答案为：2； ②当时，点在上运动， 则； 故答案为：； （3）解：①当或点由向运动时： 此时P点运动的距离直线运动的距离， 即：， ， 则， 故点的坐标为； ②当（或点由向运动）时： 此时直线运动的距离点运动的距离， 即：， ， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （4）解：①当点由向运动时， ， ， 解得：； ②当点由向运动时， ， ， 解得：； ③当点由向运动时， ， ， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，的面积为2． 【点睛】本题考查了坐标和图形，涉及了动点问题，长方形的性质，一元一次方程的应用，解答本题关键是讨论点的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的值，同时要数形结合进行思考，难度较大． 【典型例题四 求点到坐标轴的距离】 【例1】（24-25七年级下·云南·期中）点在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点所在的象限及到坐标的距离求点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度，求出点C的横坐标与纵坐标，据此写出即可． 【详解】解：∵点C在第二象限，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴点C的横坐标为，纵坐标为2， ∴点C的坐标为． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·福建南平·期末）已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内的点的坐标特点，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【例3】（24-25七年级下·广东惠州·期中）在平面直角坐标系中，已知点. (1)若点在轴上，求的值； (2)若点到轴的距离为1，求的值； (3)若轴，点，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了坐标与平面，点的坐标、点到坐标轴的距离，熟练掌握点坐标的特征是解题关键． （1）根据轴上点的横坐标为0即可求解； （2）根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值即可建立方程求解； （3）根据平行于轴的直线，横坐标相等即可求解． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 解得：； （2）解：∵点到轴的距离为1， ∴， 解得：或； （3）解：轴，点， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中有四个定点，其坐标分别为：、、、．若平面内有一点，使最小，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． 根据两点之间线段最短，连接、，交点即为点P．设，利用面积法求解即可． 【详解】解：由题可知为、交点，设， 利用、、共线， ， ．① 利用、、共线， ， ．② 得，． 得，． 3．（24-25七年级下·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点A在y轴上时，求m的值； (2)当点A到x轴的距离等于5时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握y轴上点的横坐标为0、点到x轴距离与纵坐标绝对值的关系是解题的关键． （1）y轴上的点横坐标为0，所以令点A横坐标，求解m的值． （2）点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，所以由，分情况求解m，再代入求点A坐标． 【详解】（1）解：点在轴上，轴上点的横坐标为 （2）解：点到轴的距离等于，点到轴距离为纵坐标的绝对值 则或 当时： 此时，，点坐标为 当时： 此时，，点坐标为 综上，点坐标为或 4．（24-25七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，定义点和点的相关系数如下：若点在一条直线上，则；若点不在一条直线上，则．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点， 请回答下列问题： (1)______． (2)若，，求点的坐标． (3)点在第二象限，若，且点的纵坐标为2，求点的坐标． (4)当时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，三角形面积，新定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点的坐标为，点的坐标为，则，，然后通过即可求解； （）由，点的坐标为，所以点在一条直线上，即点在轴上，设，然后通过即可求解； （）设，由，得，然后代入求解即可； （）设点的横坐标为，由，则，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点的坐标为， ∴点在一条直线上，即点在轴上， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的纵坐标为， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：设点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标． 【典型例题五 用有序数对表示位置或路线】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二号丁运载火箭发射升空，从这天起，星空中有了一颗以“郑州航空港”来命名的星星．下列表述，能确定郑州位置的是（   ） A．河南省中北部 B．东经，北纬 C．嵩山东麓，黄河之滨 D．黄河中下游分界处 【答案】B 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据坐标确定位置需要两个数据解答． 【详解】解：东经，北纬能确定郑州位置 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母对应，则有序数对，，，，对应的字母恰好为一个英文单词，这个单词为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有序数对，根据题目所给有序数对，得出相应位置的字母，即可得出代表的英文单词能准确根据所给的坐标得出点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵有序数对对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是， ∴这个单词为， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动． (1)通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点，请在下图中标出点；再跑到点，拍照打卡，请在下图中标出点．最后按原路返回帐篷的位置．（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线按1.4个单位长度算，代表实际距离70米．） (2)请在横线上描述出从点返回帐篷位置的路线：________． 【答案】(1)见解析 (2)从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷． 【分析】本题考查了数对表示方向与位置等知识，结合题意分析解答即可． （1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以帐篷的位置为观测点，即可确大树的方向，根据帐篷与大树的距离及每条小方格的对角线所代表的距离，即可确定大树的位置．根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可确定拍照打卡的位置． （2）同理，以点的位置为观测点，即确定点的方向，根据点到点的格数及每格代表的实际距离；根方向的相对性质，以帐篷的位置为观测点看与以的位置看帐篷的位置方向完全相反，所偏的度数及距离不变，据此解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：从点返回帐篷位置的路线：从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷． 故答案为：从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷． 1．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案． 【详解】第1行的第一个数字： 第2行的第一个数字： 第3行的第一个数字： 第4行的第一个数字： 第5行的第一个数字： …..， 设第行的第一个数字为，得 设第行的第一个数字为，得 设第n行，从左到右第m个数为 当时 ∴ ∵为整数 ∴ ∴ ∴， 252表示的有序数对是 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对 ． 【答案】 【分析】本题考查用有序数对表示位置，数字类变化规律．根据题意找出数字之间的联系，得出规律是解题关键．根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解． 【详解】解：根据题意，如图： 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始， ∵，， ∴位于第9行，第7列， ∴数的位置为有序数对． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； (2)画出关于y轴的对称图形； (3)写出点A关于x轴的对称点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图−轴对称变换，对称点的坐标特征等知识点， （1）利用点B、C的坐标画出对应的直角坐标系； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点连线即可； （3）利用关于x轴对称的点的坐标特征求解； 熟练掌握轴对称变换是解决此题的关键． 【详解】（1）在B点右边两个点处确定原点，建立直角坐标系如图所示； （2）如图，根据关于y轴的对称的点“纵坐标不变，横坐变为相反数”的特征，找到相应的点，连接各点即可得到； （3）∵关于x轴的对称的点“横坐标不变，纵坐变为相反数”，， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 【典型例题六 实际问题在中用坐标表示】 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了一个乐亭的“乐”字，A，B，C为“乐”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，点的坐标．先由点，确定坐标系，再观察网格，即可得点C的坐标． 【详解】解：点，， ∴如图所示：建立平面直角坐标系： ∴点C的坐标为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据“帅”和“马”的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，根据坐标系写出“兵”位于点的坐标即可． 【详解】解：“帅”位于点，“马”位于点， “炮”的位置是坐标原点， 建立平面直角坐标系，如下图所示， “兵”位于点的坐标是． 故答案为：． 【例3】（24-25七年级下·广东湛江·期中）小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）．已知邮局的坐标是，书店的坐标是． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)小明家的坐标是___________，学校的坐标是___________； (3)在图中标出超市，水果店的位置． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 【分析】此题考查了坐标确定位置，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键． （1）根据邮局的坐标是，书店的坐标是画出坐标系即可； （2）根据象限点的坐标特征写出小明家、学校的坐标； （3）在图中标出超市，水果店的位置即可． 【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示； （2）解：小明家的坐标是，学校的坐标是； 故答案为：，； （3）解：标出超市与水果店的位置如图所示． 1．（24-25七年级下·北京·期中）唐代长安城呈严格的棋盘式布局，朱雀大街为南北中轴线，将城市分为对称的东西两部分．城内共有108个“坊”（居民区），每个坊近似为长方形．如图是长安城的部分坊市地图，其中第四、五列的“坊”近似为边长为500米的正方形，第三、六列的“坊”近似为宽500米，长650米的长方形，第一、二、七、八列的“坊”近似为宽500米，长950米的长方形（东、西市南北向1000米）．在图中，分别以正东、正北方向为 x轴、 y轴的正方向建立平面直角坐标系（道路宽度不计），以1米为1个单位长度，有如下三个结论： ① 若兴化坊的东南角的坐标为时，原点的位置在永达坊的东北角 ② 当朱雀大街上的某个点的坐标为，开明坊的东北角的坐标为，则西市东南角的坐标为 ③若以兰陵坊西南角的坐标为，小明从崇业坊的西北角出发，沿东西或南北方向的直线，以每分钟150米的速度慢跑到坐标为的地方需要36分钟 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．③ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，若兴化坊的东南角的坐标为时，原点的位置在永达坊的东南角，据此可判断①；若开明坊的东北角的坐标为，则靖善的西北角的坐标为，可得西市东南角的横纵坐标，据此可判断②；可求出崇业坊的西北角的坐标为，则可求出小明东西方向和南北方向的路程，进而可求出总路程，再求出时间即可判断③． 【详解】解：由题意得，若兴化坊的东南角的坐标为时，原点的位置在永达坊的东南角，故①说法错误； ∵开明坊的东北角的坐标为， ∴靖善的西北角的坐标为， ∴西市东南角的横坐标为，纵坐标为， ∴西市东南角的坐标为，故②正确； 若以兰陵坊西南角的坐标为，则崇业坊的西北角的坐标为， ∵小明从崇业坊的西北角出发，沿东西或南北方向的直线，以每分钟150米的速度慢跑到坐标为的地方， ∴小明南北方向的路程为米，东西方向的路程为米， ∴小明的总路程为米， ∴需要的时间为分钟，故③错误； 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点A坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标．根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点A的位置，写出点A的坐标． 【详解】解：根据点，，建立坐标系，如图所示： ∴点A坐标为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）李明家在学校以东，再往北处；张华家在学校以西，再往南处；王芳家在学校以南处．建立适当的平面直角坐标系，画出学校和这三位同学家的位置，并用坐标表示出来． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了坐标确定位置．以学校为坐标原点，正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，根据题意可知李明家的坐标为，张华家的坐标为，王芳家的位置的坐标为，在坐标系中描点即可． 【详解】解：以学校为坐标原点，正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，为1个单位长度，建立平面直角坐标系，如图， 李明家的坐标为，张华家的坐标为，王芳家的位置的坐标为． 4．（24-25七年级下·河南周口·期中）在某次演出活动中，小明在主舞台中心点以东30米，再往北30米处，小华在舞台中心点以西20米，再往南30米处，小芳在小华所在位置以东40米，以南10米处． (1)利用下面的网格，建立适当的平面直角坐标系，标出舞台中心和这三位同学的位置，并用坐标表示出来（图中每个小正方形的边长代表实际距离10米）； (2)结合（1）中图形，通过测量与估算，用表示方向的角和距离的方法表示小明相对于舞台中心的位置（长度精确到1米，角度精确到1°） 【答案】(1)见解析 (2)小明位于舞台中心北偏东，42米处 【分析】本题考查坐标确定位置； （1）建立适当的平面直角坐标系，并用点的坐标表示位置即可； （2）通过测量与估算，利用表示方向的角和距离表示小明的位置即可． 【详解】（1）解：如图，选主舞台中心点为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表实际距离10米． 依题意所给的条件，舞台中心点为，点就是小明的位置，点就是小华的位置，点就是小芳的位置． （2）解：由图可得：小明位于舞台中心北偏东，42米处． 【典型例题七 点坐标规律探索】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度，则第秒时，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型∶点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，找出坐标规律． 先求出点P每秒走的路程，由此计算P运动后的各点坐标，观察坐标得出∶点P运动n秒后的横坐标为n，纵坐标依次按照的顺序循环，按照此规律进行解答即可． 【详解】解∶半径为1个单位长度的半圆的周长为， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度， ∴点P每秒走个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为． 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为， ．．．．．． 点P运动n秒后的横坐标为n，纵坐标依次按照的顺序循环， ， 的坐标是， 故选∶B． 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下两种变换：①，如；②，如；那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变换，根据题意得出坐标变化规律是解题关键． 根据定义先求，再由计算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标A4　 　，A8　 　，A12　 　． （2）写出点A4n的坐标（n为正整数） 　 　． （3）蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是 　 　（填“向上”、“向右”或“向下”）． 【答案】（1）（2，0）；（4，0）；（6，0）；（2）（2n，0）；（3）向上 【分析】（1）观察图形可知，A4，A8，A12都在x轴上，求出OA4、OA8的长度，然后写出坐标即可； （2）根据蚂蚁“每移动四次”在x轴上的坐标加2这一规律，写出点A4n的坐标即可； （3）根据2020÷4=505，可知从点A2020到点A2021的移动方向与从点A4到A5的方向一致． 【详解】解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上， ∵蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6， ∴A4（2，0），A8（4，0）；A12（6，0）； 故答案为：（2，0）；（4，0）；（6，0）； （2）根据蚂蚁“每移动四次”在x轴上的坐标加2，这一规律写出， ∴点A4n的坐标（2n，0）； 故答案为：（2n，0）； （3）∵2020÷4=505，即：点A2020与点A4的位置保持一致， ∴从点A2020到点A2021的移动方向与从点A4到A5的方向一致，为向上， 故答案为：向上． 【点睛】此题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出A4n都在x轴上是解题的关键． 1．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是对点坐标规律的考查，读懂题目信息，理解幸运点的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据幸运点的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】∵的坐标为， ∴…… 以此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：A． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律． 根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， 余， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其横坐标即为翻转次数， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知点在轴上时纵坐标为，据此列出关于的方程，求解后，代入横坐标表达式算出横坐标，从而确定点坐标． （2）过点且与轴平行的直线上的点横坐标都相等，利用此性质列出关于的方程，求出后，代入纵坐标表达式算出纵坐标，确定点坐标． 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握轴上点的纵坐标为、与轴平行的直线上点的横坐标相等这些坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：点P在x轴上， ，解得， ， 点P的坐标为； （2）解：点P在过点且与y轴平行的直线上， 点P的横坐标为， ， 解得， ， 点P的坐标为． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 【典型例题八 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点P在平面直角坐标系中的坐标为，则点P到原点的距离是（ ） A．8 B．15 C．17 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据点P的坐标为，利用勾股定理即可求出点P到原点的距离． 【详解】解：点P的坐标为， 点P到原点的距离是． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离计算以及勾股定理的运用，直接根据两点坐标距离公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知：△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，0）．B（1，3），C（3，﹣2）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描点即可； （2）理由两点间的距离公式计算出AB、CA、CB，然后判断三角形的形状． 【详解】解：（1）如图，△ABC为所作； （2）△ABC为等腰三角形． 理由如下：∵A（﹣2，0）．B（1，3），C（3，﹣2）， ∴AB==3，CA==，CB==， ∴CA=CB≠AB， 而CA2＋CB2≠AB2， ∴△ABC为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，勾股定理和勾股定理逆定理．解题的关键是熟练掌握基本知识． 1．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，，，一条圆弧经过，，三点，则下列说法中正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆外 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，圆的基本概念等知识，设圆心坐标为，根据A、B、C在圆上，可得方程，解方程求出x、y的值，即可得出圆心坐标，半径，然后根据点与圆的位置关系判断选项C、D即可． 【详解】解：设圆心坐标为， ∵圆弧经过，，三点， ∴， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为，故选项B正确， ∴这条圆弧所在圆的半径为，故选项A错误； ∵原点到圆心的距离为， ∴原点不在这条圆弧所在圆上，故选项C错误； ∵点到圆心的距离为， ∴点在这条圆弧所在圆上，故选项D错误， 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点C是轴上的一个动点，则AC＋BC的最小值为 ． 【答案】5 【分析】作出点A关于x轴的对称点，连接，根据两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：作出点A关于x轴的对称点，连接， 由两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长， 过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，如图， ∵， ∴BD=3+1=4， 在Rt△中， 即AC＋BC的最小值为5， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握并应用两点之间，线段最短是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，位似图形的性质和画位似图形： （1）根据B、C坐标确定坐标轴的位置，画出坐标系，再求出点A坐标即可； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点的坐标，描出，再顺次连接；利用勾股定理求出对应的边长，进而求出周长，再根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）解：坐标系如图所示，则点A的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∵，，， ∴，， ， ∴的周长为， ∵与的相似比为， ∴与的周长比为， ∴的周长为． 4．（24-25八年级上·辽宁丹东·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：    (1)已知点，试求C、D两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值是 ． 【答案】(1) (2)5或 (3) 【分析】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． （1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：根据两点的距离公式得，； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴； （3）解：∵看成点到两点和的距离之和， ∴的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， ∵当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， ∴的最小值为． 【典型例题九 平面直角坐标系中最值问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（    ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出两点的距离OP=配方得，当时，OP最小即可． 【详解】， OP=， ， ， ∴，OP最小， 故选择：B． 【点睛】本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键． 【例2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线（m为常数且）上，，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是 ． 【答案】30 【分析】由直线关系式确定出直线过定点（6，8），平行四边形面积最大转化为求△ABO的最大面积． 【详解】解：∵直线AB：y＝mx﹣6m+8＝m（x﹣6）+8， ∴AB过定点M（6，8）， ∴， 作OH⊥AB于H， ∴OH≤10， ∴S△ABO＝， 即△ABO的最大面积是15， ∵以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积是△ABO面积的2倍， ∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是30． 故答案为：30． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，动点平行四边形面积最值问题，解题的关键是把求平行四边形最大面积转化为求△ABO的最大面积． 【例3】（24-25七年级下·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)求点，，的“最佳间距”； (2)已知点，，； ①若点，，的“最佳间距”是，则的值为________； ②点，，的“最佳间距”的最大值为________； (3)当点，，的“最佳间距”取到最大值时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②4． (3)或 【分析】（1）求平行于坐标轴的直线上两点的距离：的长即可求解； （2）①根据“最佳间距”的定义，列方程求解即可；②“最佳间距”为OA或AB的长度，比较OA与AB的长度即可求出点O，A，B的“最佳间距”的最大值； （3）同（2），当点，，的“最佳间距”为CD或者DE的长度，用m表示出线段CD和线段DE的长度，分两类讨论，当CD≥DE和CD＜DE时，求出各自条件下的“最佳间距”，比较m的范围，确定“最佳间距”的最大值，进一步求解出E点坐标． 【详解】（1）解：已知点，，， ∴，． ∵， ∴． ∵垂线段最短， ∴， ∴点，，的“最佳间距”是3． （2）解：①∵点，，的“最佳间距”是， ∴， ， 故答案为：． ②∵点，，； ∴△OAB是直角三角形，∠OAB=90°， 当-4≤y≤4时，点O，A，B的“最佳间距”是|y|=AB≤4， 当y＞4或＜-4时，AB＞4，点O，A，B的“最佳间距”是OA=4， ∴点O，A，B的“最佳间距”为4， 故答案为：4． （3）解：点的坐标是或． 由（2）问的第②小问可知，当时，点，，的“最佳间距”取到最大值． ∵，， ∴或． 当时，解得， ∴点的坐标是； 当时，解得， ∴点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键，（2）中OA与AB的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，设运动时间为t秒，则由已知易证明△BFQ∽△OFP，则可得PQ过定点F；再证明△OFH∽△OBC，则可求得点F的坐标，进而求得AF的长，则由垂线段最短可确定AG的最大值． 【详解】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，如图． 设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t， ∵B、C的纵坐标相同， ∴BC∥OA， ∴△BFQ∽△OFP， ∴， ∴PQ恒过定点F． ∵FH∥BC， ∴△OFH∽△OBC， ∴， 即， ∴， ∴． ∴由勾股定理得：． ∵PQ恒过定点F，且AG⊥PQ， ∴AG≤AF， ∴AG的最大值为AF，即AG的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题是动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC最大，根据中点坐标公式可得结论． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2， ∴C在⊙B上，且半径为2， ∴当C在AB的延长线上时，AC最大， 过点C作CD⊥x轴， ∵点，的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵CD⊥x轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， 解得：， ∴C点的纵坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点的纵坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时点C的位置是解题的关键． 3．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点的对应点分别为、、． (1)请在网格中作出； (2)求出三角形的面积； (3)若，点是直线上的一点，求的最小值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了平移作图及性质，求格点三角形面积，垂线段性质； （1）由点的平移得向右平移个单位，再向下平移个单位得到，以此作图，即可求解； （2）面积为直角梯形减去两个直角三角形的面积，即可求解； （3）由垂线段最短得当时，取得最小值，由三角形面积，即可求解； 掌握垂线段最短，会在平面直角坐标系中平移作图和割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：点，经平移后对应点为， 向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 作图如下： 为所求作； （2）解：三角形的面积为： ； （3）解：如图， 当时，取得最小值， 由平移得：， ， ， 解得：， 故的最小值为． 4．（24-25八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，定义：对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P为点Q关于图形W的“双倍对称点"．已知点，，，． (1)若． ①设点O与线段上一点的距离为d，则d的最大值是________； ②在，，这三个点中，为点O关于线段的“双倍对称点”的是________； ③若点，，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，求b的取值范围． (2)已知Q点为原点，点，．若线段上存在点P，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，则k的取值范围是________． 【答案】(1)①；②、；③ (2) 【分析】本题考查的是坐标与图形，矩形的性质、两点间的距离公式等知识点，理解“双倍对称点”以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）当时，，，，可作出矩形；①根据图形以及两点间的距离公式即可解答；②设线段上一点为，，然后根据“双倍对称点”的定义以及两点间的距离公式逐项判断即可；③设四边形上有一点，，，，，，由两点间距离公式可得：，，如图：连接，然后根据图形分别求得、的取值范围，再根据“双倍对称点”的定义列不等式组求解即可． （2）设四边形上有一点，，，，，，设，，如图：连接，由两点间距离公式可得：，，然后根据图形分别求得、的取值范围，再根据“双倍对称点”的定义列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当时，，，，，作图如下： ①如图：连接：， ∵点O与线段AB上一点的距离为d， ∴当该点与点A或点B重合时，距离为d最大，即； ②设线段上一点为，，， 如图：连接：，则， ∴ 对于，设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∵和有公共解， ∴为点O关于线段的“双倍对称点”时； 对于，设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∵和有公共解， ∴为点O关于线段的“双倍对称点”时； 对于，设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∵和没有公共解， ∴为点O关于线段的“双倍对称点”时． 故答案为：、． ③当时，，，，，，， 设四边形上有一点，，，，，， 由两点间距离公式可得：，， 如图：连接 ， 当时，有最小值；当时，有最大值； ∴ ∴， 设点P在y轴及其左侧，即，连接， 由图可得当和点D重合时，有最小值； 由图可得当和点B重合时，有最小值； ∴， ∵点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”， ∴，即， ∴或或， 解得：或或； 所以 同理：点P在y轴的右侧时可得：． 综上，点P的取值范围为． （2）解：设四边形上有一点，，，，，， 设，，如图：连接， 由两点间距离公式可得：，， 由图可知：当和Q重合时，有最小值；当与点B重合时，有最大值； ∴ ∴， 不防设点P在y轴及其左侧，即，连接， 当时，的最小值为，当M和点C重合、P和E重合时，有最大值， ∴，即 ∵点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”， ∴，即， ∴或， 解得：或或， ∴ 所以k的取值范围为． 【典型例题十 平面直角坐标系中动点问题】 【例1】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第83次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，观察图形可发现：前n次改变方向需要运动n个单位长度，则是第12次改变方向后再运动5次到达的点，观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同，则是第三个运动周期的终点，然后根据每个周期终点的坐标间的规律求解即可． 【详解】解：观察图形可发现：第一次改变方向需要运动1个单位长度； 第二次改变方向需要运动2个单位长度； 第三次改变方向需要运动3个单位长度； 第四次改变方向需要运动4个单位长度； 第五次改变方向需要运动5个单位长度； …… ∴第n次改变方向需要运动n个单位长度； ∴前n次改变方向需要运动n个单位长度， 当时，，当时，， ∴是第12次改变方向后再运动5次到达的点， 观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同， ∴是第三个运动周期的终点， 如图， ∵起点，第一个周期的终点，第二个周期的终点， ∴周期的终点的横坐标依次加2，纵坐标也是依次加2， ∴第三个周期的终点， ∴的坐标为，即为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，第1次运动向右移动1个单位，第2次运动向下移动1个单位，第3次运动向右移动1个单位，第4次运动向上移动2个单位，第5次运动向右移动1个单位，依此类推（即每次向右移动1个单位后，交替进行向上或向下移动，且上下移动的单位数逐次递增1）．经过2025次运动后，动点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质、规律型问题．探究规律第次的坐标为，再利用规律即可解决问题． 【详解】解：移动第次∼第次坐标为：，，，， 移动第次∼第次坐标为：，，，， 移动第次∼第次后坐标为：，，，， 四组一循环， ， ∴第次的坐标为， ∴经过2025后坐标为， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿“”运动到点D，运动时间为t秒，回答下列问题： (1)运动时间t的取值范围是_________； (2)用含t的代数式表示点P的坐标； (3)当三角形的面积为时，求此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是注意进行分类讨论. （1）先求出与， 然后求出，即可得出答案； （2）分为点在线段和点在线段两种情况得到点P的坐标即可； （3）根据题意得到点的位置，设的长为，根据面积列方程，求出值解题即可. 【详解】（1）解：∵四边形各顶点的坐标分别为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上时，点的坐标为， 当点在线段上时，点的坐标为 ； （3）解：当点在线段上时，三角形的面积最大为 ∴三角形的面积为时，点只能在线段上， 如解图，当点在线段上时，设的长为， ∴， ， 解得， 此时点的坐标是． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是　　； ②点在轴上，若，则点的坐标是 ． (2)点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． ①当点的坐标为时，求的值； ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)①5；②或 (2)①；②的最小值是3，此时点P的坐标是或 【分析】（1）①根据的含义即可求得； ②设，则可得与，由即得关于x的方程，解方程即可； （2）①由已知易得点P的坐标，设点为线段上任意一点，则，从而可得与，进而求得，由t的取值范围即可求得的最大值，最后可求得的值； ②由已知易得或，设点，则，求出及，当时，有最小值，从而可得关于t的方程，解方程即可求得t的值，从而可求得此时的最小值及点P的坐标． 【详解】（1）解：①，， ，， 则， 故答案是5． ②，点在轴上，设， ，， ， ， 或，解得，或， 的坐标是或． 故答案是或． （2）解：①点、在轴上，点在点的上方，，点的坐标为， 点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则； 点的坐标为， ，， ； 由，可得； ， 的最大值是4， ． ②，或， 设点，则， ，， 当时，有最小值， 即时，有最小值， 或，则有最小值为3， 点的坐标为或， 的最小值是3，此时点的坐标是或． 【点睛】本题是材料阅读题目，考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中及的意义． 2．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，且，满足，现同时将点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位．分别得到点，的对应点，，连接、． (1)请直接写出的坐标__________．的坐标__________． (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，、的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；点的坐标为或或或 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的判定与性质，坐标系中平移的性质，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）过点作，得出，则，证明，结合，，即可证明； （3）先求出，分点在轴上与在轴上两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：∵， ∵，， 即，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， 点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ， 而，， , ； （3）解：存在，理由如下： 由平移知，，，，， ； ①当点在轴上时， 设点坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点在轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点的坐标为或或或． 3．（24-25七年级下·吉林白城·期中）如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 【答案】(1)2 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）求出三角形的面积为，则可得到三角形的面积为2．设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （3）分长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧和长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧，两种情况根据重叠部分的小长方形一边长为2，则可求出另一边长为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且，两点间的距离等于6个单位长度， ∴， ∴； （2）解：，， 三角形的面积为； 三角形的面积是三角形面积的． 三角形的面积为2． 点在轴上， 设， ， 三角形的面积为， ， 或； （3）解：设经秒后长方形与长方形的重叠面积为1，点，，，的对应点分别为，，，． 由题意可得，，，． ①当长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧时， 重叠部分的小长方形的一边长为2， 另一边长为， ， ， 点运动了． ， 点在上． ， 点， ②当长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧时， 重叠部分的小长方形的长与宽分别为2，， ， ， 点运动了， ，， 点在上， ，点， 点． 综上，点的坐标为或． 1．（福建省莆田市2024-2025学年下学期末七年级数学调研试卷）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据坐标系中各个象限内点的坐标的符号以及坐标轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：A．在第一象限，故本选项不合题意； B．在第三象限，故本选项不合题意； C．第四象限，故本选项不合题意； D．在第二象限，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川德阳·期末）点位于轴上方，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点在各个象限的符合特征；由点到坐标轴的距离得，，即可求解；掌握象限符号特征及“到轴的距离为，到轴的距离为”是解题的关键． 【详解】解：∵点位于轴上方，故纵坐标， ∵到轴的距离为2，即，得， ∵到轴的距离为3，即，得或， ∴点的坐标是和， 故选：B． 4．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图下列用方位角和距离描述灯塔相对于游轮的位置表示正确的是（    ） A．南偏东的方向上，且相距处 B．北偏西的方向上，且相距处 C．南偏东的方向上，且相距处 D．北偏西的方向上，且相距处 【答案】A 【分析】本题考查用方位角和距离表示实际位置，根据图形结合方向角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 灯塔相对于游轮的位置为南偏东的方向上，且相距处； 故选A． 4．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系内，一点第1次从原点跳动到点，第2次从点跳动到点，第3次从点跳动到点，第4次从点跳动到点，第5次从点跳动到点，第6次从点跳动到点，…，按此规律下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意总结出点的坐标变换规律是解题的关键． 根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【详解】解：，，，，，，，，， （为正整数）， ， 的坐标是， 故选：D． 5．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移规律，坐标轴上点的特征；设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时，结合点的平移规律和坐标轴上点的特征，即可求解；②当在轴上，在轴上时，同理可求．能利用点的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”求解是解题的关键． 【详解】解：设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时， ，， 解得：， ； ②当在轴上，在轴上时， ，， ， 解得：， ； 综上所述：P平移后的对应点的坐标是或， 故选：C． 6．（24-25七年级下·广东中山·期中）如果“2排5号”用坐标表示，那么表示 ． 【答案】3排2号 【分析】本题主要考查了有序数对的相关应用，根据有序数对的两个数表示的含义解答即可． 【详解】解：如果“2排5号”用坐标表示，那么表示3排2号． 故答案为：3排2号． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期中）平面直角坐标系内某点到轴的距离为3，到轴的距离为4，且横坐标与纵坐标异号，则该点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，结合横坐标与纵坐标异号，进行求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， 由题意，得：， ∴， ∵横坐标与纵坐标异号， ∴点的坐标为或； 故答案为：或 8．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，则叶柄底部点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据点A和点B的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则叶柄底部点C的坐标为， 故答案为；． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点 P（﹣4，3），过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，∠OPA 的 平分线交x轴于点B，则点B的坐标为 ． 【答案】（5，0） 【分析】根据点P坐标可求得PO＝5，再根据平行线的性质及角平分线的定义可证得∠OBP＝∠OPB，进而可得OB＝OP＝5，由此可求得答案． 【详解】解：∵点 P（﹣4，3），过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A， ∴PA＝4，AO＝3，∠PAO＝90°， ∴在RtPAO中，PO＝， ∵∠PAO＝∠AOB＝90°， ∴PAOB， ∴∠APB＝∠OBP， 又∵PB平分∠OPA， ∴∠APB＝∠OPB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∴OB＝OP＝5， ∴点P的坐标为（5，0）， 故答案为：（5，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标与图形，勾股定理的应用以及平行线的判定及性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 11．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，货船与港口相距30海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，30海里）来描述，请你用有序数对描述港口相对货船的位置． 【答案】北偏东，30海里 【分析】本题考查坐标确定位置，以点为中心点，来描述点的方向及距离即可，掌握用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西是解题的关键，根据定义求解即可． 【详解】解：由题意知港口相对货船的位置用有序数对描述为（北偏东海里）． 12．（24-25七年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐标特点，熟练掌握是解答本题的关键． （1）在轴上的点横坐标为，据此列出方程求解即可； （2）第一象限内的点横纵坐标都为正，点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出点到两坐标轴的距离，再根据点到两坐标轴的距离之和为建立方程求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得； （2）解：点在第四象限， ， 点到轴的距离为， 点到轴的距离为， 依题意，可得， 解得， 把代入计算，得， 点的坐标为． 13．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，如果点的坐标分别为和，则请你在图中建立一个适当的平面直角坐标系，并写出点的坐标． 【答案】建立平面直角坐标系见解析，，，，，． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的画法和点坐标的求法，由为和建立平面直角坐标系，然后根据平面直角坐标系特点写出坐标即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， ∴，，，，． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 【答案】(1)，，，； (2)， (3)向下． 【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标； （2）由，，，，归纳可得：点的坐标（n为正整数）为；由，，，，归纳可得：点的坐标为 ； （3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得动点从点到点的移动方向． 【详解】（1）解：根据点的坐标变化可知： 各点的坐标为：，，，； （2）∵，，，， 归纳可得：点的坐标（n为正整数）为； ∵，，，， 归纳可得：点的坐标为 ； （3）∵每四个点一个循环， 所以． ∴动点从点到点的移动方向是向下． 【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律． 15．（24-25八年级上·福建福州·期中）材料：如果平面直角坐标系内有两点，，那么这两点的横向（或纵向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示，即（或），那么根据勾股定理，其两点间的距离．例如：，，则． 解决问题： (1)如图，已知，，则两点的横向距离_____，纵向距离_____，根据勾股定理可得_____； (2)若点，点在轴上，，请根据上述材料，求点坐标； 【答案】(1)；； (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标间的距离，利用平方根解方程，实数的混合运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据题目所给两点间的距离公式求解即可． （2）设，根据点B的位置和题目所给点的两点间距离公式列出方程，再根据开方运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴两点的横向距离，纵向距离，； （2）解：∵点在轴上， 设， ， ，即， 或， 或， ∴点坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$