第10讲 平面直角坐标系（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第10讲 平面直角坐标系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用有序数对表示位置/路线 题型2 判断点所在的象限 题型3 求点到坐标轴的距离 题型4 已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标 题型5 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标 题型6 坐标与图形 题型7 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标 题型8 与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平面直角坐标系、坐标、横轴、纵轴、象限、一一对应、数形结合。 1. 理解平面直角坐标系的概念，掌握横轴（x轴）、纵轴（y轴）、原点等构成要素。 2. 能在给定的坐标系中，根据点的位置写出坐标，由坐标描出点的位置。 3. 知道四个象限的划分及坐标轴上点的坐标特征，理解平面上的点与有序实数对的一一对应关系。 4. 经历坐标系建立过程，体会数形结合思想，感受代数与几何的联系。 学习重点：平面直角坐标系的概念；能由坐标描点，由点的位置写出坐标。 学习难点：理解平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 确定位置 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 【易错提醒】 确定位置易错警示：用有序数对（如行列、经纬度）或方向与距离表示。注意“列”与“行”的顺序不可颠倒；方向描述需明确参照点（如“北偏东30°”），距离单位统一。地图上注意比例尺换算。 即时即练1．根据下列表述，能确定具体位置的是（   ） A．八年级教室 B．北京东路 C．东偏北方向 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查位置的确定，根据确定具体位置需要两个独立的参数，如经纬度、方向与距离等，进行判断即可． 【详解】A、无法确定具体位置，不符合题意； B、无法确定具体位置，不符合题意； C、无法确定具体位置，不符合题意； D、能确定具体位置，符合题意； 故选：D． 2．在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度，顺时针方向旋转为负角度如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似地，点可以记为．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解“角度+距离”的方法是解题的关键．根据题干中的例子，分别判断每个选项即可． 【详解】解：由题意可得： A、点D中数对位置颠倒，故不符合题意； B、点E表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意； C、点F表示从开始顺时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意； D、点G表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置相符，故符合题意； 故选：D． 知识点02 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点． 注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同． 2.点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标． 3.象限和坐标轴： （1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，； （3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，. （5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 4.坐标系中的特殊直线： （1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为； （2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为． （3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为； （4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为． 5.点到特殊直线的距离： （1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为； （2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为． 【易错提醒】 平面直角坐标系易错警示：由互相垂直、有公共原点的两条数轴组成。注意：象限按逆时针顺序（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）。坐标轴上的点不属于任何象限。点P(a,b)中a为横坐标（x轴），b为纵坐标（y轴），顺序不可互换。 即时即练1．下列说法不正确的是（    ） A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上 B．点到轴的距离是2 C．若中，则点在轴上 D．点可能在第二象限 【答案】C 【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 本题考查点坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义和所在象限的判断方法． 【详解】解：A、若，则x、y互为相反数，点一定在第二、四象限的角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意； B、点到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意； C、若点中，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意； D、因为，，所以点可能在x轴上，可能在y轴上，可能在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．已知平面直角坐标系内的不同点．则下列说法中正确的是（    ） A．若点 A 在第一、三象限的角平分线上，则 B．若点 B 在第二、四象限的角平分线上，则 C．若直线 平行于 x 轴，则且 D．若直线平行于 y 轴，且，则 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标平面内点的坐标特征，根据各选项的条件，逐一应用坐标系中的相关性质进行判断即可． 【详解】解：A、点A在第一、三象限角平分线上，则其横纵坐标相等，即，解得，故选项A错误； B、点B在第二、四象限角平分线上，则其横纵坐标互为相反数，即，解得，故选项B错误； C、直线平行于x轴，则两点的纵坐标相等且横坐标不等，由得；由得，条件完全满足，故选项C正确； D、直线平行于y轴，则横坐标相等，即，解得，此时的长度为，令其等于3，解得或，选项D仅给出，未包含，故选项D错误； 故选：C． 3．已知点， (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点，且轴，求a的值； (3)若点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为8，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐标特点． （1）在y轴上的点横坐标为0，据此列出方程求解即可； （2）平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，据此求出a的值即可； （3）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此求出点P到两坐标轴的距离，再根据点P到两坐标轴的距离之和为8建立方程求出a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在y轴上，横坐标为0， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴点P与点Q的纵坐标相同， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵是第二象限的点， ∴，， ∴点P到x轴的距离为：，点P到y轴的距离为：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 题型1 用有序数对表示位置/路线 【例1】根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城3号厅2排 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、航海东路，不能确定具体位置，故该选项不符合题意； B、大卫城负二层停车场，不能确定具体位置，故该选项不符合题意； C、奥斯卡影城3号厅2排，不能确定具体位置，故该选项不符合题意； D、东经，北纬，能确定具体位置，故该选项符合题意； 故选：D． 【例2】如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（   ） A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F 【答案】B 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对第一个数表示从里到外的圈数，第二个数表示的是度数，据此可得答案． 【详解】解：∵目标A用表示，目标E用表示， ∴表示的是目标C， 故选：B． 【技巧归纳】 有序数对(x,y)表示平面内位置，x为横坐标（水平），y为纵坐标（垂直）。路线问题：按指令移动，起点加增量。如右移→x+，上移→y+。建立坐标系后，用坐标描述路径，注意方向与符号。区分“列行”与“横纵”。 【变式1-1】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（    ） A．7 B．21 C．23 D．35 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置 【分析】本题主要考查了有序实数对确定位置，根据数列的排列规律得出第7、8行的数字，再依据题干规定的有序数对的定义得出答案，熟练掌握其变化规律是解决此题的关键． 【详解】解：由题意知，第7行的数字为1、6、15、20、15、6、1， 第8行的数字为1、7、21、35、35、21、7、1， ∴表示的正整数是35， 故选：D． 【变式1-2】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)， (2)10 (3)见解析 【知识点】用有序数对表示位置、用有序数对表示路线 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为， 故答案为：，， （2）解：，， 甲虫爬行的路程为； （3）解：点P如图所示． 题型2 判断点所在的象限 【例3】在平面直角坐标系内，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为， ∴点在第二象限． 故选：B ． 【例4】在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了判断点所在的象限，解题关键是熟记各象限内点的特征． 根据各象限内点的特征，判断四个点所在的象限，再作出选择． 【详解】解：在第二象限，故A不符合； 在第三象限，故B不符合； 在第四象限，故C符合； 在第一象限，故D不符合， 故选：C ． 【技巧归纳】 根据横纵坐标符号：第一象限(+，+)，第二(-，+)，第三(-，-)，第四(+，-)。坐标轴上的点不属于任何象限（x轴y=0，y轴x=0）。先看符号，再对应象限。如(2,-3)在第四象限。原点(0,0)在原点。 【变式2-1】某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了A，B两个关键点．若点在第四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据各象限内的点的坐标的符号特征进行判断即可．熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点在第四象限， ，， 点在第二象限． 故选：B． 【变式2-2】若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了判断坐标轴中的点所在象限，正确判断点的横、纵坐标正负号是解题关键．先根据所在象限判断出、与零的大小关系，然后再判断的横纵坐标的正负情况即可． 【详解】解：∵在第一象限， ∴， 则， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，点在第二象限， 故选：B． 题型3 求点到坐标轴的距离 【例5】点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ． 【答案】 2 3 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握点到坐标轴的距离的计算是关键． 根据点到轴的距离为，点到轴的距离为，由此即可求解． 【详解】解：点到轴的距离是，到轴的距离是， 故答案为：①；② ． 【例6】已知点，则点A到x轴的距离是 ；到y轴的距离是 ． 【答案】 4 2 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题关键．根据点的坐标即可得到点到坐标轴的距离． 【详解】解：点 到x轴的距离是4；到y轴的距离是2， 故答案为：4；2． 【技巧归纳】 点到x轴距离=纵坐标绝对值|y|；到y轴距离=横坐标绝对值|x|。如P(3,-4)到x轴距离4，到y轴距离3。注意距离非负。到原点距离用勾股√(x²+y²)。坐标系中距离常用绝对值表示。 【变式3-1】点到轴的距离是 ，到坐标原点的距离是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点到点的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值及两点间距离公式即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：到轴的距离是，到坐标原点的距离是， 故答案为：，． 【变式3-2】点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3．则点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据点P在第四象限，得出横坐标，纵坐标，再根据到x轴、y轴的距离分别为4、3，得出点P的坐标即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴，， ∵点P到x轴、y轴的距离分别为4、3， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 题型4 已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标 【例7】已知点在y轴上，则 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． 【例8】如果点在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征. 根据x轴上点的纵坐标等于零，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的 x 轴上 ∴ ∴ 所以 故答案为： 【技巧归纳】 点在x轴上则纵坐标=0；在y轴上则横坐标=0。设参数方程等于0，解参数，再代回得坐标。如P(m+1,2m-3)在x轴上，则2m-3=0得m=1.5，P(2.5,0)。注意区分坐标轴，同时满足x=0且y=0时原点。 【变式4-1】已知在第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了坐标与平面，点到坐标轴的距离，象限内点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据题意可得点的横纵坐标互为相反数，据此即可建立方程求解． 【详解】解：∵第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． （1）若，则 ； （2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ． 【答案】 10 2 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到坐标轴的距离的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，，据此代入t的值求解即可； （2）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，据此可得，，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）∵点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作， ，， ， ，， ， 故答案为：10． （2）点在第二象限， ，， ，， ， ， 解得， 故答案为：2． 题型5 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标 【例9】在平面直角坐标系中，已知点，． (1)点是否可能与原点重合，请说明理由； (2)若点在轴下方，且轴，，求和的值． 【答案】(1)点与原点可以重合，理由见解析 (2)， 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟知点的坐标特点是解题的关键． （1）只需要验证同一个a值是否能使和同时成立即可； （2）平行于y轴的直线上的点横坐标相同，据此可得，再由得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点与原点可以重合，理由如下： 当时，解得， 当时，， 点与原点可以重合； （2）解：轴，，，，且点在轴下方， ，， 解得，． 【例10】已知点，试根据以下条件分别求出点A的坐标： (1)点A的横坐标比纵坐标大2； (2)已知点，且轴． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程、坐标与图形，熟练掌握相关点的坐标特征是解题的关键， （1）根据横坐标比纵坐标大2列方程再求解即可； （3）根据点，且轴，得出，求出m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标比纵坐标大2，， ∴， 解得：， ∴，， ∴点A的坐标为：； （2）解：∵点，且轴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为：． 【技巧归纳】 平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等；平行于y轴的直线上所有点横坐标相等。利用该性质列方程求参数。如A(2,a)与B(3,4)连线平行x轴，则a=4。注意垂线情况：若垂直于轴，则与平行条件相反。 【变式5-1】已知点的坐标为． (1)若点的坐标为，且直线轴，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的特点，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴，纵坐标相等，可得，由此即可求解； （2）根据点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：直线轴， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：∵点到轴、轴的距离相等， ∴， 点在第二象限， ，， ， 解得， ，， 点的坐标为． 【变式5-2】已知点，根据下列条件求点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P的纵坐标比横坐标大5； (3)在（2）的条件下，轴，且，请直接写出点Q坐标； (4)点P到x轴的距离为1． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0，即可求解； （2）根据点P的纵坐标比横坐标大5得到一元一次方程，再解方程即可； （3）根据平行于轴的直线上的点横坐标相同，且平行于轴的直线上两点之间距离公式求解即可； （4）根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ， ， ； （2）解：∵点P的纵坐标比横坐标大5 ， 解得 ∴， ， （3）解：，直线轴， ∴或， 或； （4）解：∵点P到x轴的距离为1， ， 或 或， 或 或 题型6 坐标与图形 【例11】已知：，， (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点的坐标为或 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形 【分析】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）根据A，B，C的坐标描出各点，再连接即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，再利用割补法求解面积即可； （3）根据的面积求出，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：为所求， （2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积， 的面积，的面积 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． （3）解：∵点在轴上， ∴的面积， 即，解得：． 所以点的坐标为或． 所以点的坐标为或． 【例12】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)点落在轴正半轴，且到原点的距离为3，则_， _； (2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出，并求出的面积； 【答案】(1)0，3 (2)作图见解析，7 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形、割补法求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据点落在轴正半轴，且到原点的距离为3，即可得出答案； （2）先画出，再利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵点落在轴正半轴，且到原点的距离为3， ∴，， 故答案为：0，3； （2）解：如图，就是求作的图形， ， ． 【技巧归纳】 将几何图形放在坐标系中，利用点坐标表示长度（两点距离公式）、面积（底乘高/2或割补法）、位置关系（斜率）。平移时坐标加减；对称时坐标变号。数形结合，代数方法求几何量。常用中点坐标公式。 【变式6-1】在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：；；；；；；． (1)点到原点的距离是________． (2)将点向轴的负方向平移个单位，它与点________重合． (3)连接，则直线与坐标轴是什么关系？ (4)点分别到、轴的距离是多少？ 【答案】(1) (2) (3)直线轴或轴 (4)点到轴的距离为，到轴的距离为 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】此题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键． （1）根据点坐标可得出点在轴上，即可得出点到原点的距离； （2）根据点的平移的性质得出点平移后的坐标，即可求解； （3）利用图形性质得出直线与坐标轴的位置关系； （4）利用点的横纵坐标得出点分别到、轴的距离． 【详解】（1）解：如图，各点在坐标轴中表示为： ， 点到原点的距离是， 故答案为：； （2）， 将点向轴的负方向平移个单位，则坐标为，它与点重合， 故答案为：； （3）由图可知，直线轴或轴； （4）， 点到轴的距离为，到轴的距离为． 【变式6-2】如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)点C到y轴的距离为______； (2)求的面积； (3)若点P的坐标为， ①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示） ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①；②或 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键． （1）根据点的坐标即可求解； （2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解； （3）①根据，两点坐标即可求解； ②根据，，，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为1， 故答案为：1； （2）的面积为； （3）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴，即， ∴或， ∴点的坐标为或． 题型7 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标 【例13】如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则食堂的位置是___________，图书馆的位置是___________； (2)已知教学楼的位置是，若1个单位长度代表30m，则宿舍楼到教学楼的实际距离是___________． 【答案】(1)， (2) 【知识点】用有序数对表示位置、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、坐标与图形综合 【分析】此题主要考查了如何在直角坐标系中根据已知点确定其他点的位置，以及利用两点间的距离公式结合单位长度进行实际距离的计算，正确得出原点的位置是解题关键． （1）直接利用旗杆的位置是和实验室的位置，建立直角坐标系的位置进而得出答案； （2）利用（1）中原点位置，宿舍楼和教学楼的位置即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：食堂、图书馆的位置； 故答案为：，． （2）如图所示：宿舍楼的位置是，教学楼的位置是，1个单位长度代表． 宿舍楼与教学楼间的实际距离为， 故答案为：． 【例14】如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【答案】(1)见解析 (2)客运中心离坐标原点更远，理由见解析 【知识点】坐标与图形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的应用以及基础的计算能力，找到原点是解题的关键． （1）根据县政府和四川省武胜中学校的坐标确定出原点的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）根据各地点在坐标中的位置，判断出离原点最近的点和最远的点． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：沿口古镇的坐标为，客运中心的坐标为， ∴沿口古镇到坐标原点的距离为， 客运中心到坐标原点的距离为． ∴， ∴客运中心离坐标原点更远． 【技巧归纳】 选原点及坐标轴方向，使多数点落在整数坐标或对称轴上。如正方形以中心为原点，矩形一角为原点。根据图形尺寸和位置确定各点坐标。注意单位一致，简化计算。优先选择对称轴或特殊点作为原点。 【变式7-1】如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 (4)240 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，写出直角坐标系中点的位置，熟练掌握实际问题中用坐标表示位置是解题的关键． （1）根据旗杆和实验室的坐标，即可建立平面直角坐标系； （2）根据用坐标表示平面直角坐标系中的点，即得答案； （3）根据办公室和教学楼的坐标，即可在图中找出它们的位置； （4）由图可知，宿舍楼到教学楼相距8个单位，即可列式计算，求得答案． 【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如图所示； （2）解：食堂的坐标为，图书馆的坐标为； 故答案为：；； （3）解：办公楼和教学楼的位置如图所示； （4）解：， 宿舍楼到教学楼的实际距离为． 故答案为：240． 【变式7-2】某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)请以广场为原点，以正东方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系； (2)在（1）的前提下， ①写出博物馆的坐标； ②若公园的坐标为，请在图中标出公园的位置． (3)若超市与图书馆所在的直线为，大剧院到直线的距离是多少个单位长度？ 【答案】(1)见解析 (2)①博物馆的坐标为，②见解析 (3)大剧院到直线的距离是4个单位长度 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、点到直线的距离、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角坐标系的各个象限内的点的坐标特征及点到直线的距离，正确理解每个知识点是解题的关键． （1）根据题目要求建立直角坐标系即可； （2）根据直角坐标系中象限内的点的坐标特征回答问题①②即可．第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； （３）根据点到直线的距离定义回答即可． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系， （2）①博物馆在第四象限， 博物馆的坐标为； ②公园的坐标为， 公园在第三象限，如图所示； （3）如图，超市与图书馆所在的直线为， 大剧院到直线的距离是4个单位长度 题型8 与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 【例15】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)5 (2)或 (3)见解析 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5． （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； （3）解：点的长距为4，且点在第二象限内， ，解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 是“完美点”． 【例16】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________． (2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查新定义、点的平移等知识，熟记点的平移，理解“阶派生点”定义是解决问题的关键． （1）由“阶派生点”的定义，代值求解即可得到答案； （2）由点的平移得到点的坐标，再由“阶派生点”定义得到的坐标为，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）， 若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点， 点的坐标为． ， 点的“阶派生点”的坐标为． 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，， 解得， 则， 点的坐标为． ②当点在轴上时，， 解得， 则， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【技巧归纳】 先理解新定义（如“雅各比坐标”），将其转化为常规坐标或距离条件。根据定义建立方程或不等式，利用象限、距离、对称性等性质求解。常与参数范围结合，注意分类讨论。可画示意图辅助理解新规则。 【变式8-1】在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标； (2)已知点的“a级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键 （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义，得到，，求出a，b的值代入计算解题； （3）根据关联点的定义得到点N，然后分为点N在x轴和y轴上计算即可． 【详解】（1）解：点的“2级关联点”是， 即点B的坐标为； （2）解：点的“a级关联点”为， 则，， 解得，， ∴； （3）解：点的“级关联点”为，即N， 当点N在x轴上时，，解得，这是点N， 当点N在y轴上时，，解得，这是点N， 综上所述，点N的坐标为或． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”，较小值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为“等距点”． (1)点的“劣距”为________，这个距离是点A到________（填x或y）轴的距离； (2)若点是“等距点”，求a的值； (3)若点的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，判断点D是否为“等距点”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)点D是“等距点”，理由见解析 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于“新定义”类型题目，解题的关键是读懂题目里的定义． （1）根据“劣距”的定义解答即可； （2）根据“等距点”的定义解答即可； （3）由“优距”的定义求出值，然后根据“等距点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的“劣距”为，这个距离是点A到轴的距离， 故答案为：，； （2）点是“等距点”， ， 或， 解得或； （3）点D是“等距点”． 理由如下： 点的“优距”为4，且点C在第二象限内， ，解得， ，， 点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是3， 点D是“等距点”． 一、单选题 1．2026年湖北省油菜花节在荆门市沙洋县曾集镇张池村开幕．八方游客踏春而至、赴约而来，共赏荆楚大地金色画卷，同享乡村振兴丰收硕果．以下能够准确表示沙洋县地理位置的是（    ） A．在湖北省 B．在荆门市南方 C．离荆门市区55千米 D．东经北纬 【答案】D 【分析】准确表示一个地点的位置需要两个确定的独立数据，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A选项仅说明在湖北省，范围过大，无法确定准确位置， B选项“荆门市南方”范围不明确，无法确定准确位置， C选项只有距离，缺少方向，无法确定准确位置， D选项给出东经和北纬两个确定的经纬度坐标，可以准确定位沙洋县的位置． 2．在平面直角坐标系中，已知点，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ． ， ∴ 点在第四象限． 3．如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“将”位于点，“象”位于点建立直角坐标系，然后写出“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据“将”位于点，“象”位于点建立直角坐标系， 则“炮”位于点． 4．下列说法不正确的是（） A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为3 C．已知点，点，则轴 D．若，则点一定在x轴上 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，包括象限点的特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线的点的坐标特征、坐标轴上点的坐标特征，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A对于点，横坐标，纵坐标， 该点在第一象限，说法正确，不符合题意； B点到轴的距离为，说法正确，不符合题意； C点和点的横坐标相同，轴，说法正确，不符合题意； D若，可得或，则点在轴上或轴上，不一定在轴上，说法错误，符合题意． 5．如图，已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若的面积为6，则下列说法一定正确的是（   ） A．，n为任意实数 B．，n为任意实数 C．m为任意实数， D．m为任意实数， 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据三角形的面积公式计算得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴m为任意实数，． 二、填空题 6．点到轴的距离是_____． 【答案】 【详解】解：已知点的坐标为，其纵坐标为， 因此点到轴的距离为， 故答案为：． 7．如果点在y轴上，那么_______；点P的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标是． 8．以水平数轴的原点为圆心过的正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转，，，⋯，得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系．若点，的坐标分别表示为，，则点的坐标表示为________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，点的坐标表示为． 9．已知第四象限的点到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是______． 【答案】 【分析】根据“点到轴的距离是到轴距离的3倍”得到，根据点在第四象限可知且，进而取绝对值求解即可． 【详解】解：点到轴的距离是到轴距离的3倍， ， 点在第四象限， 且， ， 解得． 10．平面直角坐标系中，点坐标，若线段轴，且，则点坐标为____． 【答案】或 【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，先确定点的纵坐标；再根据的长度为2，结合点的横坐标，求出点的横坐标． 【详解】解：由轴，可知点的纵坐标与点的纵坐标相同， 已知，因此点的纵坐标为， 设点的坐标为， 由，得两点间的水平距离为， 即， 也就是， 解得或， 因此，点的坐标为或． 11．如图，平面直角坐标系中，，，点C为上的一个动点（不与点A、点B重合）．将沿翻折，点A的对应点为点，当为直角三角形时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意当时，分点在点的上方或点在点的下方两种情况，然后分别画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意可分：当时，且点在点的上方，如图所示： ∵，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； 当时，且点在点的下方，如图所示： 同理可得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 三、解答题 12．已知平面直角坐标系第一象限内有一点，根据下列条件分别求出相应的点的坐标． (1)点到轴的距离为； (2)点的坐标为，且直线轴． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查坐标系中点的坐标特征，平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，一元一次方程的实际应用． （1）根据点到轴的距离为，得到关于的一元一次方程，求解即可． （2）根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，根据直线轴，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，点在第一象限内， ∴，解得， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵直线轴， ∴，解得， 当时，， ∴点的坐标为． 13．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 【答案】(1)中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； (2)见解析 【分析】（1）结合图象利用各方位角以及所标距离求出答案； （2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图形得： 中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆； 餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； （2）解：如图所示： ． 14．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，食堂的位置是． (1)根据所给条件先建立适当的平面直角坐标系，再用坐标表示宿舍楼、图书馆、实验室、大门的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置，并在所在位置旁边标注． 【答案】(1)坐标系见解析；宿舍楼的位置为、图书馆的位置为、实验室的位置为、大门的位置为 (2)见解析 【详解】（1）解：坐标系如图： 则宿舍楼的位置为、图书馆的位置为、实验室的位置为、大门的位置为； （2）解：如图即为所求： 15．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，则点的坐标为_________； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为，求的值； (3)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为，求的值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或11；点的坐标为或 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征：横坐标为0，列方程求出的值，再计算纵坐标，即可得到点A的坐标． （2）根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此列方程求出的值． （3）根据直线轴，可得、两点纵坐标相等，先求出的值，得到点的坐标；再根据线段的长度为5，结合两点间距离公式求出点的横坐标，进而求出的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得：． ， 点的坐标为． （2）解：点在第四象限， ，． 点到两坐标轴的距离之和为9， ， ， 解得：． （3）解：直线轴， 点与点的纵坐标相等， ， 解得：， 点的坐标为． 线段的长为5， ， 或， 解得：或． 当时，，点的坐标为； 当时，，点的坐标为． 16．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，，则线段的中点的坐标是_____． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． (3)已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）直接由线段中点坐标公式求解即可． （2）设点，根据中点坐标公式求解即可． （3）分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， 则线段的中点的坐标为，即． （2）解：设点， ∵点，且线段的中点坐标为， ∴，解得， ∴点． （3）解：当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 17．如图，在以点 为原点的平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，点 在 轴上，且 轴， 满足 ．点 从原点出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿着 的路线匀速运动，回到点 时停止运动． (1)求点 的坐标． (2)当点 运动 3 秒时，求出点 的坐标． (3)当点 运动 秒时，是否存在点 到 轴的距离为 个单位长度的情况？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)符合条件的点P坐标为或． 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）直接利用非负数的性质即可解答； （2）先求出运动3秒时点P的运动路程，再求出，可得此时点P在上，求出此时的长即可． （3）分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，根据点P到x轴的距离为，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵轴，且点C在y轴上， ∴； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒4个单位长度的速度沿着的路线运动， ∴当点P运动3秒时，点P的运动路程为， ∵， ∴， ∴当点P运动3秒时，点P在上，且， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①当P在上运动时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②当P在上运动时，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或． 18．如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)；0 (2)或 (3)；或． 【分析】本题考查了坐标与图形、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，求出，即可得解； （2）先求出面积，设点，根据三角形面积公式列出方程计算即可得解； （3）分类讨论：点在点下方，点在点上方，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴． （2）解：∵点B的坐标是，， ∴ ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的， ∴ 解得：． ∴点或． （3）解：点往上平移个单位得到点， ∴点， 当点在射线上（、）不重合，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点在的上方，设于交于， ∵ ∴， ∵ ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk com 第10讲平面直角坐标系 孓内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1用有序数对表示位置/路线 题型2判断点所在的象限 题型3求点到坐标轴的距离 题型4已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标 题型5已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标 题型6坐标与图形 题型7建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标 题型8与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 04过关检测→练考点· 强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 1.理解平面直角坐标系的概念，掌握横轴(x轴) 平面直角坐标系、坐标、成要素。 横轴、纵轴、象限、一2.能在给定的坐标系中，根据点的位置写出坐标 一对应、数形结合。 3.知道四个象限的划分及坐标轴上点的坐标特征， 数对的一对应关系。 4.经历坐标系建立过程，体会数形结合思想，感受 学习重点：平面直角坐标系的概念；能由坐标描点，由点的位置写出坐标。 学习难点：理解平面上的点与有序实数对之间的一对应关系。 02 教材全解 ◇ 知1识|框|架 1/15 上好每一堂课 学习目标导航 纵轴(y轴)、原点等构 由坐标描出点的位置。 理解平面上的点与有序实 代数与几何的联系。 学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 定义两条数轴互相垂直原点重合 X轴横轴 组成要素y轴纵轴 象限内符号混消 原点 对称坐标记反 高频易错点 平面直角坐标系的概念 第一象限x正y正 距离用坐标绝对值混淆 第二象限x负y正 象限划分 点坐标判新 第三象限×负y负 对称点坐标求法 高频考点 第四象限x正y负 平移后点坐标 坐标轴不属于任何象限 距离计算 表示方法 有序数对(x,y) 左减右加横坐标变 第一象限(+，+) 纵坐标不变 左右平移 点的平移 第二象限(，+) 平面直角坐标系 点的坐标 各象限点坐标特征 上加下减纵坐标变 第三象限(， 上下平移 横坐标不变 第四象限(+，） 等于纵坐标绝对值点到×轴距离 x轴上点纵坐标为0 等于横坐标绝对值 点到動y轴距离 距离与坐标 坐标轴上点坐标特征 y轴上点横坐标为0 原点坐标为(0,0) 等于(x2+y 点到原点距离 与×轴平行直线上的点 纵坐标相同 横坐标相同纵坐标互为相反数关于×轴对称 与y轴平行直线上的点 横坐标相同 横坐标互为相反数纵坐标相同 关于y轴对称 对称点的坐标 特殊位置点的坐标 一三象限角平分线横纵坐标相等 横纵坐标都互为相反数 关于原点对称 各象限角平分线上的点 二四象限角平分线横纵坐标互为相反数 知|识|精|讲 知识点01确定位置 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 【易错提醒】 确定位置易错警示：用有序数对（如行列、经纬度）或方向与距离表示。注意“列与“行的顺序不可颠倒； 方向描述需明确参照点（如“北偏东30°），距离单位统一。地图上注意比例尺换算。 即时即练1.根据下列表述，能确定具体位置的是() A.八年级教室 B.北京东路 C.东偏北24°方向 D.东经130°，北纬40° 2.在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置.如图，以0点为基准点，射 线0A方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度0°~180)，顺时针方向旋转为负角度(0°~-180)如： OB方向为OA方向绕0点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km,，因此点B可以用有序数对记为(90°，1) ,类似地，点C可以记为(-15°，4).以下点的位置标记正确的是() 距离单位：km 2/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.点D(4,150 B.点E(45°，3 C.点F(-120°，3 D.点G(60,2 知识点02平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义：两条互相垂直的共原点数轴组成.水平的数轴叫做横轴(x轴)，取向右为正方 向；竖直的数轴叫做纵轴(y轴)，取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点。 注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同 2.点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a,垂足B在y轴上的坐 标是b,则点P的坐标为(a,b),其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标 3.象限和坐标轴： (1)第一象限内的点(x,y)的坐标满足：x>0,y>0;(2)第二象限内的点(x,y)的坐标满足：x<0, y>0; (3)第三象限内的点(x,y)的坐标满足：x<0,y<0;(4)第四象限内的点(x,y)的坐标满足：x>0, y<0 (5)x轴上的点(x,y)的坐标满足：y=0;(6)y轴上的点(x,y)的坐标满足：x=0: 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限. 4.坐标系中的特殊直线： (1)与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为y=m; (2)与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为x=. (3)一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为x=y; (4)二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为x=-y· 5.点到特殊直线的距离： (1)点(a,b)到x轴的距离为b|;到直线y=m(m为常数)的距离为|b-m; (2)点(a,b)到y轴的距离为a;到直线x=n(n为常数)的距离为a-n|. 【易错提醒】 平面直角坐标系易错警示：由互相垂直、有公共原点的两条数轴组成。注意：象限按逆时针顺序（I、Ⅱ、 3/15 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Ⅲ、V)。坐标轴上的点不属于任何象限。点P(a,b)中a为横坐标(x轴)，b为纵坐标(y轴)，顺序不 可互换。 即时即练1.下列说法不正确的是() A.若x+y=0,则点P(x,y)一定在第二、四象限的角平分线上 B.点P(-2,3)到y轴的距离是2 C.若P(x,y)中y=0,则点P在x轴上 D.点A-a2,b例可能在第二象限 2.已知平面直角坐标系内的不同点A(3,a-1,B(b+1,-2).则下列说法中正确的是() A.若点A在第一、三象限的角平分线上，则a=3 B.若点B在第二、四象限的角平分线上，则b=-4 C.若直线AB平行于x轴，则a=-1且b≠2 D.若直线AB平行于y轴，且AB=3,则b=2,a=2 3.已知点P(a+1,-2a, (1)若点P在y轴上，求点P的坐标： (2)若点Q(3,5),且PQ∥x轴，求a的值； (3)若点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为8，求点P的坐标. 03 题型突破 题型1用有序数对表示位置/路线 【例1】根据下列表述，能确定位置的是() A.航海东路 B.大卫城负二层停车场 C.奥斯卡影城3号厅2排 D.东经106°，北纬32° 【例2】如图是雷达探测到的6个目标，若月标A用(40,30)表示，月标E用(30,240)表示，那么 40,120)表示的是() 4/15 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 909 120 60 150 30 180 0 2109 3309 240 270° 300 A. 目标B B.目标C C.目标D D.目标F 【技巧归纳】 有序数对c)表示平面内位置，x为横坐标（水平），y为纵坐标（垂直）。路线问题：按指令移动，起点加增 量。如右移x+,上移y+。建立坐标系后，用坐标描述路径，注意方向与符号。区分“列行”与“横纵”。 【变式1-1】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对 (m,表示第m排从左到右第n个数，如(3,2)表示正整数2，（4,3)表示正整数3，则(8,5)表示的正整数是 () 6 5 10 0 A.7 B.21 C.23 D.35 【变式1-2】如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下.规 定：向右与向上为正，向左与向下为负.从A到B的爬行路线记为：A→B(+1,+4,从B到A的爬行路线 为：B→A-1,4,其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息. B ·D A (1)图中B→D( (2)若甲虫的爬行路线为A→B→C→D,计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为+2，+3，(-2，+1，(+3，-5)，（-4，+2)，最终到达点P,请在图中 标出点P的位置. 5/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型2判断点所在的象限 【例3】在平面直角坐标系内，点A(-1,6)位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【例4】在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是() A.（-3,3 B.-3,-3 C.（3,-3 D.(3,3 【技巧归纳】 根据横纵坐标符号：第一象限(+，+)，第二(，+)，第三(，)，第四(+，)。坐标轴上的点不属于任何象限(x 轴y=0,y轴x=0)。先看符号，再对应象限。如(2，-3)在第四象限。原点(0,0)在原点。 【变式2-1】某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中 设置了A,B两个关键点.若点Aa,b)在第四象限，则点Bb,@在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2-2】若点A(-a,b)在第一象限，则点B(ab,a2+1一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型3求点到坐标轴的距离 【例5】点M(-3,2)到x轴的距离是一，到y轴的距离是 【例6】己知点A(2,4),则点A到x轴的距离是 到y轴的距离是 【技巧归纳】 点到x轴距离纵坐标绝对值；到y轴距离-横坐标绝对值x。如P(3,4)到x轴距离4，到y轴距离3。注意距 离非负。到原点距离用勾股√(x2+y)。坐标系中距离常用绝对值表示。 【变式3-1】点P(3,-4)到x轴的距离是，到坐标原点的距离是 【变式3-2】点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3.则点P的坐标是」 题型4已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标 【例7】已知点P(2a-4,a+3)在y轴上，则a= 【例8】如果点M(a+3,a+I)在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为 【技巧归纳】 点在x轴上则纵坐标=0；在y轴上则横坐标-0。设参数方程等于0，解参数，再代回得坐标。如P(m+1,2m-3)在 6/15 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x轴上，则2m-3-0得m=1.5,P(2.5,0)。注意区分坐标轴，同时满足x=0且y=0时源点。 【变式4-1】已知在第二象限内的点P的坐标为(2a-3,6+a),且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐 标是一 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为2-t,2t),将点M到x轴的距离记作d,到y轴的距 离记作d (1)若t=4,则d,+d2= (2)若点M在第二象限，且md,-4d2=8(m为常数)，则m的值为 题型5已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标 【例9】在平面直角坐标系中，已知点A(a-3,6-2a),B(b,3). (1)点A是否可能与原点重合，请说明理由； (2)若点A在x轴下方，且AB∥y轴，AB=7,求Q和b的值. 【例10】已知点A(3m+1,m-3),试根据以下条件分别求出点A的坐标： (1)点A的横坐标比纵坐标大2； (2)已知点1,2)，且AQ∥x轴. 【技巧归纳】 平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等：平行于y轴的直线上所有点横坐标相等。利用该性质列方程求参数。如 A(2,a)与B(3,4)连线平行x轴，则a=4。注意垂线情况：若垂直于轴，则与平行条件相反。 【变式5-1】已知点M的坐标为(3a-2,a+6). (1)若点N的坐标为(2,4)，且直线MN∥x轴，求点M的坐标. (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标. 【变式5-2】己知点P(2m-6,m+1),根据下列条件求点P的坐标. (1)点P在x轴上； (2)点P的纵坐标比横坐标大5； (3)在(2)的条件下，PQ∥y轴，且P)=4,请直接写出点Q坐标； (4)点P到x轴的距离为1. 题型6坐标与图形 【例11】已知：A(0,1,B(2,0),C(4,3 7/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个y 6 5432 6-5-4-3-2-1 0123456 -2 34 (1)在坐标系中描出各点，画出ABC; (2)求ABC的面积： (3)设点P在y轴上，且△ABP与ABC的面积相等，直接写出点P的坐标. 【例12】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-5,2),B(-4,5),C(m,n. 6 4 3 1 6543-2-10123456x =6 (1)点C落在y轴正半轴，且到原点的距离为3，则m=-,n=- (2)在(1)的条件下，在平面坐标系中画出ABC,并求出ABC的面积： 【技巧归纳】 将几何图形放在坐标系中，利用点坐标表示长度（两点距离公式）、面积（底乘高2或割补法）、位置关系（斜 率)。平移时坐标加减：对称时坐标变号。数形结合，代数方法求几何量。常用中点坐标公式 【变式6-1】在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A(0,3);B(山，-3)；C(3,-5);D(-3,-5); E3,5;F(5,7;G5,0. 8/15 可学科网·上好课 8叶 - 6 4--3 8-16-5-43-2191234.5678六 -3引 -4 8 (1)A点到原点的距离是 (2)将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点 重合. (3)连接CE,则直线CE与坐标轴是什么关系？ (4)点F分别到x、y轴的距离是多少？ 【变式6-2】如图，平面直角坐标系xOy中，点A(0,1),B(2,0) 个y 4 B -2-10 3 4 2 (1)点C到y轴的距离为 (2)求ABC的面积： (3)若点P的坐标为m,0), ①直接写出线段BP的长为；（用含m的式子表示） ②当Sp4B=SAc时，求点P的坐标. 题型7建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标 【例13】如图是学校的平面示意图，己知旗杆的位置是(-2,3)， 9/15 上好每一堂课 C1,3. 实验室的位置是1,4). 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 食堂 图书馆 ● 实验 旗杆 宿舍楼 -● (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则食堂的位置是 ,图书馆的位置是 (2已知教学楼的位置是(2,2)，若1个单位长度代表30m,则宿舍楼到教学楼的实际距离是 【例14】如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分 别是(0，-2)，（-1,3).解答下列问题： 西可省武胜中学校 沿口古镇 ● ● ● 县政府 客运中心 (1)请在示意图中建立平面直角坐标系： (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远， 【技巧归纳】 选原点及坐标轴方向，使多数点落在整数坐标或对称轴上。如正方形以中心为原点，矩形一角为原点。根据图形 尺寸和位置确定各点坐标。注意单位一致，简化计算。优洗选择对称轴回或特殊点作为原点。 【变式7-1】如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是(-2,3)，实验室的位置是1,4). 食堂 图书馆 --● 实验室 -● 旗杆 宿舍楼 -● 大门 (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂 图书馆 (3)已知办公楼的位置是(-2,1)，教学楼的位置是(2,2)，在图中标出办公楼和教学楼的位置： (4)如果1个单位长度表示30m,那么宿舍楼到教学楼的实际距离为 m 【变式7-2】某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度， 10/15 函学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 北 东 图书馆 超市 0场 博物馆 大剧院 ----- (1)请以广场为原点，以正东方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系： (2)在(1)的前提下， ①写出博物馆的坐标； ②若公园的坐标为(4,4)，请在图中标出公园的位置. (3)若超市与图书馆所在的直线为1，大剧院到直线1的距离是多少个单位长度？ 题型8与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 【例15】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q 到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. (1)点A-3,5)的“长距”为一 (2)若点B(4-2a,-2是"完美点”，求a的值： (3)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-2b,-5),试说明：点D是“完美点”. 【例16】在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),若点9的坐标为ax+y,x+ay),则称点9是点P的“a阶 派生点”(a为常数，且a≠0)，例如：点P(1,4的2阶派生点”为点Q2×1+4,1+2×4),即点Q(6,9). (1)若点P的坐标为(-1,5)，则它的3阶派生点”的坐标为 (2)若点P(c+1,2c-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点P,点P的“-4阶派生点”B位 于坐标轴上，求点乃的坐标. 【技巧归纳】 先理解新定义（如“雅各比坐标”），将其转化为常规坐标或距离条件。根据定义建立方程或不等式，利用象限、 距离、对称性等性质求解。常与参数范围结合，注意分类讨论。可画示意图辅助理解新规则。 【变式8-1】在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为ax+y,x+ay),其中a为常数，则称 点Q是点P的“α级关联点”，例如：点P1,4)的“3级关联点”为Q(3×1+4,1+3×4),即9(7,13)， (1)已知点A(2,6)的“2级关联点”是点B,求点B的坐标； 11/15 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知点P(2,-1)的“a级关联点”为(9，b),求a+b的值； (3)已知点M(m-1,2m的“-3级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标. 【变式8-2】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”， 较小值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为"等距点”. (1)点A-5,10)的“劣距”为，这个距离是点A到 (填x或y)轴的距离； (2)若点B(4-2a,-6是“等距点”，求a的值； (3)若点C(-2,3b-2)的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-3b,b-5),判断点D是否为"等 距点”，并说明理由. 04 过关检测 一、单选题 1.2026年湖北省油菜花节在荆门市沙洋县曾集镇张池村开幕.八方游客踏春而至、赴约而来，共赏荆楚大 地金色画卷，同享乡村振兴丰收硕果.以下能够准确表示沙洋县地理位置的是() A.在湖北省 B.在荆门市南方 C.离荆门市区55千米 D.东经11235北纬30°42 2.在平面直角坐标系中，已知点M(a2+l,-2),则点M在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图，象棋盘上，若“将”位于点(1，一1)，“象”位于点(3，-2).则炮”位于点（) 炮 将 象 A.（-1,1 B.(-1,2) C.-2,-1 D.（-2,1 4.下列说法不正确的是() A.点(1,2)在第一象限 B.点(-3,5)到y轴的距离为3 C.已知点M(5,2),点N(5,-2),则MN∥y轴D.若xy=0,则点(x,y)一定在x轴上 5.如图，己知平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为m,”.若A0B的面积为6，则 下列说法一定正确的是() 12/15 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.m=±2，n为任意实数 B.m=±4，n为任意实数 C.m为任意实数，n=±2 D.m为任意实数，n=±4 二、填空题 6.点M(4,-3)到x轴的距离是 7.如果点P(m+4,m-1)在y轴上，那么m=；点P的坐标为 8.以水平数轴的原点0为圆心过x的正半轴上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°，60°， 90°，，330°得到11条射线，构成如图所示的“圆坐标系.若点A,B的坐标分别表示为(4,0）， (5,210°)，则点C的坐标表示为 90 120° 60° 150 30 180 0 B 210° 330 2409 270°300 9.已知第四象限的点A(5+3a,a到x轴的距离是到y轴距离的3倍，则a的值是· 10.平面直角坐标系中，A点坐标(-2,1)，若线段ABx轴，且AB=2,则点B坐标为 11.如图，平面直角坐标系中，A(0,4),B(3,0),点C为AB上的一个动点（不与点A、点B重合）·将 △A0C沿0C翻折，点A的对应点为点A,当△A'OB为直角三角形时，点A的坐标为 三、解答题 12.已知平面直角坐标系第一象限内有一点M(3a+7,a+5),根据下列条件分别求出相应的点M的坐标. (1)点M到x轴的距离为3： 13/15 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)点N的坐标为4，-6)，且直线MN∥y轴 13.如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： 北 北 中国银行 →东 餐馆 /3.2km 1.8km 40° K60° 209y 图书馆 →东 2.8km 保龙仓 (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南20。方 向上，且距离图书馆2.8km”,请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆 的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东60·的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等， 请在图中画出火车站的位置。 14.如图是某学校的平面示意图，己知旗杆的位置是(0,1)，食堂的位置是(-3,3). 食堂 图书馆 +旗杆实验室 宿舍楼 大门 ()根据所给条件先建立适当的平面直角坐标系，再用坐标表示宿舍楼、图书馆、实验室、大门的位置； (②)已知办公楼的位置是(-2，-2)，教学楼的位置是(2,4)，在图中标出办公楼和教学楼的位置，并在所在位 置旁边标注 15.在平面直角坐标系中，己知点A的坐标为(2+a,2a-6)。 (I)若点A在y轴上，则点A的坐标为 (2)若点A在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求a的值； (3)点C的坐标为(b+1,4),若直线AC⊥y轴，且线段AC的长为5，求b的值及点C的坐标， 16.问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点Ax,,),B(x2,y2),点C是线段AB的中点，则点C的坐标为 +2y+y2 2 2 如：已知点4-2,2)，8-4,61，则线段AB的中点C(x,)的坐标：=2,4-3，y=2牛6=4，故点C的 2 2 坐标为-3,4).解决问题： (1)已知点A(6,-2),B(-3,-3),则线段AB的中点的坐标是· 14/15 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若已知点M(-5,9),且线段MN的中点坐标为P(-1,5),求点N的坐标. (3)已知三点D(3,-2),E(-2,-3),F(1,2),若第四个点(x,y)与D、BF中的任意一个点构成的线段的 中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点0的坐标. 17.如图，在以点0为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为a,0),(a,b),点C在y轴 上，且BC∥x轴，a,b满足a-6+Vb-8=0·点P从原点出发，以每秒4个单位长度的速度沿着 0→A→B→C→0的路线匀速运动，回到点0时停止运动， C B 0 (I)求点A,B,C的坐标 (2)当点P运动3秒时，求出点P的坐标， (3)当点p运动(t≠0)秒时，是否存在点P到x轴的距离为一t个单位长度的情况？若存在，请直 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 18.如图1，在平面直角坐标系中，己知三角形ABC,点A的坐标是(4,0)，点B的坐标是(2,3)，点C 在x轴的负半轴上，且AC=6 H H A 图1 图2 备用图 (1)写出点C的坐标(， (②点P在y轴上，且三角形P0B的面积是三角形ABC面积的子，写出点P的坐标， (3)如图2把点C往上平移3个单位得到点H,画射线CH,连接BH,点M在射线CH上运动（不与点C、H重 合)，写出点H的坐标；并探究LBMA,∠HBM,∠MAC之间的数量关系. 15/15