第06讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第06讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 立方根的概念理解 典型例题二 求一个数的立方根 典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数 典型例题四 与立方根有关的规律探索 典型例题五 立方根新定义运算 典型例题六 立方根的实际应用 典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根的运用，熟练掌握一些特殊的数字的特殊性质，如：，0．牢记这些数的特性可以快捷的解决这类问题． 利用立方根的特殊性质即可求解． 【详解】解：立方根都等于它本身的数是0，1，． 故选：D． 【即时训练】 2．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，立方根扩大倍，被开方数扩大倍．根据被开方数的小数点向右移动6位则立方根的小数点向右移动2位，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【即时训练】 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出：39． 你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？ (1)以下步骤是华罗庚迅速准确地计算出结果的过程，请补充完整： 第一步：，可以确定是___________位数； 第二步：由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是___________； 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由于，可以确定的十位上的数是___________； 第四步：由此求得___________． (2)已知287496也是一个整数的立方，请利用上面的方法求出它的立方根． 答：它的立方根是___________位数；它的立方根的个位数是___________；它的立方根的十位上的数是___________；故287496的立方根是___________． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)两；6；6；66 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根， 对于（1），根据可知其立方根是两位数，再根据确定立方根的个位数字，然后根据夹逼思想确定个数数字即可得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：第一步：，, ∴， ∴可以确定是两位数； 第二步：由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由于，可以确定十位上的数是3； 第四步：由此求得． 故答案为：两；9；3；39； （2）解：第一步：，同理可以确定是两位数； 第二步：由287496的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是6； 第三步：如果划去287496后面的三位496得到数287，而，由于，可以确定十位上的数是6； 第四步：由此求得． 所以它的立方根是两位数；它的立方根的个位数是6；它的立方根的十位上的数是6；故287496的立方根是66． 故答案为：两；6；6；66． 【典型例题一 立方根的概念理解】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【例2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）在实数，，，，，，，（两个1之间依次增加1个2）中，无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的某项数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：∵， 在，，，，，，，（每两个1之间2的个数依次增加1个）中， ，，，，是有理数，，，，（每两个1之间2的个数依次增加1个）是无理数，共4个， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·辽宁丹东·阶段练习）立方根等于它本身的数是 【答案】0，1， 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的意义是解题关键．根据立方根的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，1，， 故答案为：0，1，． 【例4】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）根据如图中呈现的运算关系，可知的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，由图可知，左右数字变化为开立方运算，通过开立方为，而与为相反数且一个数的立方根只有一个进行分析判断，正确理解题意是解题的关键． 【详解】∵开立方为，与为相反数且一个数的立方根只有一个， ∴的立方根为， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算、立方根的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算乘方、绝对值，再计算加减即可得解； （2）利用立方根解方程即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小颖和小聪对话如下： 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，先根据一个正数的平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据立方根的定义列出关于n的方程，解方程求出n，然后求出，进而求出它的算术平方根即可． 【详解】解：∵这个正数的两个平方根是和， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴ ， ∴的算术平方根是12． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数； （2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果． 此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 【典型例题二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25七年级下·广东江门·期中）在下列实数中，无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为无理数． 【详解】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意； B：是分数，可表示为整数之比，属于有理数，不符合题意； C：是开方不尽的数，其小数部分无限不循环，属于无理数，不符合题意； D：，结果为整数，属于有理数，符合题意， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·广东阳江·期中）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义，熟知一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根是解答此题的关键．据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选D． 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的性质．先将方程变形为，再利用立方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的立方根与的算术平方根之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根，先求出，再根据立方根和算术平方根的定义列式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的立方根与的算术平方根之和是， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2) ． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程，熟知求立方根的方法和求平方根的方法是解题的关键． （1）把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以64后开立方，并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【答案】(1)①两；②9；③3； (2)的平方根是，的立方根是 【分析】本题考查了立方根和平方根的知识，熟练掌握以上知识是解题关键； （1）根据题干中的思考过程，即可求解； （2）根据立方根和平方根的性质，并按照（1）中的思考过程进行作答，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵由，，而， ∴是一个两位数， ∵由个位上的数是9， ∴的个位数是9， ∵，， ∴的十位数字是3， ∴， 故答案为：两；9；3；； （2）解：①选择确定的平方根， ∵，， 又， ∴的平方根是两位数， ∵，， ∴的平方根的个位数是3或7， ∵，， 又， ∴的平方根的十位数是8， ∵，， ∴的平方根是； ②选择确定的立方根， ∵，， 又， ∴的立方根是两位数， ∵， ∴的立方根的个位数是5， ∵，， 又， ∴的立方根的十位数是4， ∴的立方根是． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据一个数的立方根是2，先求出这个数，然后再求出这个数的平方根即可． 【详解】解：∵这个数的立方根是2， ∴这个数为， ∴这个数的平方根是，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，求出这个数为8． 【例2】（24-25七年级下·河南三门峡·阶段练习）如图是乐乐同学做的练习题，他最后的得分是（    ） 姓名：乐乐    得分：______ 填空题（评分标准：每道题5分） （1）1的平方根是； （2）若，则0； （3）的相反数是－2； （4）8是一个数的立方根，则这个数是2． A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【答案】B 【分析】根据平方根和立方根的意义逐项求解判断即可． 【详解】（1）1的平方根是，原说法正确； （2）若 ∴，则，原说法错误； （3）的相反数是，原说法正确； （4）8是一个数的立方根，则这个数是512，原说法错误． ∴一共对了2道题，每道题5分， ∴他最后的得分是分． 故选：B． 【点睛】本题考查平方根，立方根，关键是根据平方根，立方根，相反数的定义进行解答，掌握相关概念是解题的关键． 【例3】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】直接根据立方根的概念即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，熟练掌握立方根的概念：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根，是解题的关键． 【例4】（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动3位，立方根的小数点向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 1．（24-25七年级下·天津·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根求未知数的值，熟练掌握求解一个数的平方根及立方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）利用立方根的定义求解即可； （4）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ， 或 解得：或； （3）解： ， 解得：； （4）解： ， ， 解得：． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的算术平方根是3，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）运用算术平方根和立方根知识求得a，b的值； （2）将a，b的值代入，再运用平方根知识进行求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， （2）解：当时，， ∴16的平方根为． 3．（24-25七年级下·山东德州·期中）综合与实践． (1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________； (2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长； (3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，求一个数的平方根，根据立方根和平方根求原数，实数的运算，无理数的估算等等， 熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求解即可； （2）大正方形面积等于四个小长方形面积加上中间的小正方形面积，则，解方程即可得到答案； （3）根据平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据（2）所求求出c的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线的长为； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴小长方形的对角线长为； （3）解：∵3是的一个平方根，的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为图2中小正方形边长的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【典型例题四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 【例2】（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是 ；这组数的前1000个数中，无理数有 个． 【答案】 994 【分析】本题考查了立方根，数字规律的探索，找到规律是解题的关键；由再结合其它数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，可确定前1000项中的有理数，从而可确定无理数的个数，完成第二空． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵， 即前1000个数中是有理数的有2，4，6，8，10，12共6个，其余的数都是无理数， 而，即无理数有994个； 故答案为：． 1．（重庆市渝北区2024—2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 3．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 【答案】195112的立方根是58 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定195112的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：①，，又， 能确定195112的立方根是个两位数．              ②195112的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8．             ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5，              因此195112的立方根是58． 4．（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 5．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 【典型例题五 立方根新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）定义一种新运算：则的值是（    ） A．27 B．8 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的实数运算，立方根的定义，利用题中的新定义计算即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根，立方根和新定义实数运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·北京·期中）现规定一种新运算：a*b＝，如：16*2＝＝4，则25*2﹣125*3＝ ． 【答案】0 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】25*2﹣125*3 ＝﹣ ＝5﹣5 ＝0． 故答案为：0． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键． 【例4】（24-25七年级下·河南商丘·期末）对于任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝并且定义运算仍然是先进行括号内的．例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于 ． 【答案】 【分析】首先根据a⊕b＝，可得：(⊕2) =；然后根据a⊗b＝，求出⊗的值是多少即可． 【详解】解：∵a⊕b＝，a⊗b＝， ∴（⊕2）⊗ ⊗ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了定义新运算，以及实数的运算，解决本题的关键是进行实数的大小比较． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是________，的“青一区间”是________； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 【分析】本题主要考查无理数的估算，立方根的计算，理解新定义，掌握无理数估算的方法，立方根的计算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示方法得到，根据为正整数，得到或，再根据立方根的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∴, ∴的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数（为正整数）的“青一区间”为， ∴无理数（为正整数）的“青一区间”为， ∴，则， 同理，的“青一区间”为， ∴，则， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为或． 2．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用． （1）运用运算公式，计算即可； （2）利用公式，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ； （2）根据题意得：，即， 整理得：， ， ， ． 3．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 【类比探索】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 【拓展应用】（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 【拓展应用】（1）； 故答案为： （2）∵，∴． 故答案为： 【典型例题六 立方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·贵州遵义·期中）一个正方体的体积为7，则它的一条棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根的相关知识，解题的关键是熟练的掌握正方体的体积公式，再根据公式变换表示出棱长即可． 由正方体的体积棱长的立方，根据立方根的定义即可得到答案． 【详解】解：一个正方体的体积为7，则它的一条棱长为， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长，读懂题意，掌握正方体体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成，且该几何体的体积约为， 每一个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了正方体，立方根的应用．根据正方体的体积是，立方根的定义，得到正方体的棱长为，根据正方体表面积等于它6个面的面积和，计算即可得解． 【详解】解：∵正方体的体积是， ∴正方体的棱长为， ∴它的表面积为． 故答案为：150． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解． 【详解】解：由题图可知，小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， 所以小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为． 故答案为：7． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程、计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了方程的解法，实数运算，关键是掌握平方根和立方根的性质． （1）利用开立方法解方程即可； （2）首先把方程化为，然后再开平方解方程即可； （3）利用乘方、算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的性质进行计算，然后再计算加减即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ，， 解得，或； （3）解： ． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根解方程， 熟练掌握求立方根和平方根的方法是解题的关键． （1）根据平方根解方程即可求解； （2）根据立方根解方程即可求解． 【详解】（1）解： 或 或； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10 (2) (3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对算式进行变形分析即可； ②设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；； 故答案为：0.1；10； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①； ； 故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列说法不正确的是（    ） A．0的平方根是0 B．一个负数的立方根是一个负数 C．﹣8的立方根是﹣2 D．8的算术平方根是2 【答案】D 【分析】直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案． 【详解】解：A、0的平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意； B、一个负数的立方根是一个负数，原说法正确，故此选项不符合题意； C、﹣8的立方根是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意； D、8的算术平方根是2，原说法不正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】A 【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵﹣＝0， ∴． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【例3】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若，则x的立方根是 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的定义可求出x的值，再求它的立方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x的立方根是3． 故答案为：3． 【例4】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知：，则 ． 【答案】 【分析】先根据已知等式得出2a−3＋7−3a＝0，解之求出a的值，代入计算可得． 【详解】解：∵， ∴2a−3＋7−3a＝0， 解得a＝4， 则=3． 【点睛】本题主要考查立方根和算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2； (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为， 则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， 正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， , 点A与重合， 点D在数轴上表示的数为, 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：2的立方根是， 故选：A 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，解答即可． 【详解】解：根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根， 故选：C． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则x为（    ）． A．214 B． C．2140 D． 【答案】A 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解． 4．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 5．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 6．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如果  ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根有关计算，根据题意得出，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴， 故答案为：1． 9．（24-25八年级上·四川达州·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ． 【答案】8 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再计算算术平方根和立方根即可得． 【详解】由数轴的定义得：， 则， 所以， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． （1）先将的系数化为，再用平方根的定义解方程即可； （2）先移项，然后根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或； （2）解： ∴ ∴ 解得：． 12．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习） 计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了运用立方根、平方根进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把常数项移到等号右边，再乘，得，结合立方根进行解方程，即可作答． （2）先把常数项移到等号右边，再除以，得，结合立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 13．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 14．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 15．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 立方根的概念理解 典型例题二 求一个数的立方根 典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数 典型例题四 与立方根有关的规律探索 典型例题五 立方根新定义运算 典型例题六 立方根的实际应用 典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 【即时训练】 2．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则 ． 【即时训练】 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出：39． 你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？ (1)以下步骤是华罗庚迅速准确地计算出结果的过程，请补充完整： 第一步：，可以确定是___________位数； 第二步：由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是___________； 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由于，可以确定的十位上的数是___________； 第四步：由此求得___________． (2)已知287496也是一个整数的立方，请利用上面的方法求出它的立方根． 答：它的立方根是___________位数；它的立方根的个位数是___________；它的立方根的十位上的数是___________；故287496的立方根是___________． 【典型例题一 立方根的概念理解】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【例2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）在实数，，，，，，，（两个1之间依次增加1个2）中，无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（24-25八年级上·辽宁丹东·阶段练习）立方根等于它本身的数是 【例4】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）根据如图中呈现的运算关系，可知的值为 ．    1．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）（1）计算： （2）解方程：． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小颖和小聪对话如下： 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【典型例题二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25七年级下·广东江门·期中）在下列实数中，无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东阳江·期中）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）方程的解是 ． 【例4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的立方根与的算术平方根之和是 ． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2) ． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【例2】（24-25七年级下·河南三门峡·阶段练习）如图是乐乐同学做的练习题，他最后的得分是（    ） 姓名：乐乐    得分：______ 填空题（评分标准：每道题5分） （1）1的平方根是； （2）若，则0； （3）的相反数是－2； （4）8是一个数的立方根，则这个数是2． A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【例3】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）若，则 ． 【例4】（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 1．（24-25七年级下·天津·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的算术平方根是3，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 3．（24-25七年级下·山东德州·期中）综合与实践． (1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________； (2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长； (3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 【典型例题四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【例2】（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是 ；这组数的前1000个数中，无理数有 个． 1．（重庆市渝北区2024—2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 3．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 4．（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 5．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【典型例题五 立方根新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）定义一种新运算：则的值是（    ） A．27 B．8 C．6 D． 【例2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．5 【例3】（24-25八年级上·北京·期中）现规定一种新运算：a*b＝，如：16*2＝＝4，则25*2﹣125*3＝ ． 【例4】（24-25七年级下·河南商丘·期末）对于任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝并且定义运算仍然是先进行括号内的．例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于 ． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是________，的“青一区间”是________； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 2．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 3．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【典型例题六 立方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·贵州遵义·期中）一个正方体的体积为7，则它的一条棱长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 ． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程、计算： (1) (2) (3) 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 3．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列说法不正确的是（    ） A．0的平方根是0 B．一个负数的立方根是一个负数 C．﹣8的立方根是﹣2 D．8的算术平方根是2 【例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【例3】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若，则x的立方根是 【例4】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知：，则 ． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 3．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则x为（    ）． A．214 B． C．2140 D． 4．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如果  ，那么 ． 7．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是： ． 8．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·四川达州·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）解下列方程． (1) (2) 12．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习） 计算 (1) (2) 13．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 14．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 15．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$