第05讲 平方根与算术平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第05讲 平方根与算术平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的平方根 典型例题二 求一个数的算术平方根 典型例题三 求代数式的平方根 典型例题四 利用平方根解方程 典型例题五 利用算术平方根的非负性解题 典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数 典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题 典型例题八 算术平方根的实际应用 典型例题九 平方根的新定义运算 典型例题十 平方根的实际综合应用 知识点01 平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）猜谜语： （1）对症下药（打一数学名词） ； （2）0  1  2  5  6  7  8  9 （打一成语） ； （3）你等着我，我等着你（打一数学名词） ． 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【即时训练】 1．（新疆乌鲁木齐市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）下列关于的叙述错误的是（   ） A．它可以是面积为5的正方形的边长 B．它可以在数轴上找到与之对应的点 C．它可以是5的算术平方根 D．它的整数部分是3 【即时训练】 2．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 ；一个数的立方根等于它本身，这个数是 ． 知识点03平方根的性质 【即时训练】 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【即时训练】 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）（1） ；    （2） ； （3） ；    （4） ． 知识点04 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … 250 2500 … 25 250 根据以上规律，若则 【典型例题一 求一个数的平方根】 【例1】（24-25七年级下·青海海东·期中）16的平方根是（　　） A．2 B． C．4 D． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： ， ， ． 【例3】（24-25七年级下·天津·期中）的负的平方根是 ． 1．（24-25七年级下·吉林白城·期中）已知、都是实数，且满足，求的平方根． 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）已知的算术平方根是5，是27的立方根，的平方根是0． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）新修订的教科书对于数与式的运算过程和格式进行了很好的示范，例如求64的平方根 解：， 的平方根是． 请你按照上述格式求出下列各数的平方根 (1)100； (2)； (3)． 4．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【典型例题二 求一个数的算术平方根】 【例1】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）的算术平方根是（  ） A．2 B． C．4 D．8 【例2】（河南省洛阳市2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试卷）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（   ）米． A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）的算术平方根是 ． 【例4】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）化简 ． 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）计算： (1)求的平方根； (2)求169的算术平方根； (3)求的立方根． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 3．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 【典型例题三 求代数式的平方根】 【例1】（24-25七年级·全国·假期作业）若 ,则 （   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·四川自贡·期中）若，则= ． 【例4】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）若x，y都是实数，且，则xy的平方根是 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）已知的平方根为，的立方根为3， (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 3．（23-24七年级下·吉林延边·期中）下面是小强同学的例题及自主练习笔记，请认真阅读并补充完整． 例题：已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：，是有理数，是无理数，，，解得，． 【练习】 (1)已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：根据题意，得． ，是有理数，，也是有理数． 是无理数， __________，__________． 解得__________，__________． (2)已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． (3)已知，是有理数，且，满足等式时，直接写出的平方根． 【典型例题四 利用平方根解方程】 【例1】（23-24七年级下·云南文山·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．4 B．9 C．2 D． 【例2】（23-24七年级下·河北保定·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·四川广元·期中）若，则 ． 【例4】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为 ． 1．（24-25七年级下·山东济宁·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·广西河池·期中）理解与应用 【阅读材料】设a，b是有理数，且满足，求a，b的值． 解：由得． 因为a，b都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，解得：，， 【方法应用】设x，y是有理数，满足，求的值． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 【典型例题五 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【例2】（24-25七年级下·贵州·阶段练习）已知，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知为实数，且，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级下·福建福州·期中）如果，那么的值是 ． 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知，求的平方根． 2．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）已知实数，满足，求的值． 3．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（    ） A．64 B．49 C．14 D．7 【例3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如果一个正数两个不同的平方根是与，那么这个正数是 ． 【例4】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知正数x的两个不同的平方根分别是和，则 ． 1．（24-25七年级下·山西大同·期中）若一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 2．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）一个正数的平方根为与，2为的立方根，的整数部分为． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）若．则（   ） A．0.0101 B．0.101 C．1.01 D．10.1 【例2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数…按以下方式进行排列： 第一行             第二行         2           第三行              …                …… 则第八行左起第1个数是（    ）． A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，，则 ． 【例4】（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：，，，根据此规律 ． 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）观察下列等式： ①；②；③；④；… (1)写出第个等式：________；猜想：________； (2)写出第个等式，并说明它正确的理由． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 3．（24-25八年级上·河北承德·期末）观察下列各式： ；；，… 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 (1)猜想______=______； (2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________________； (3)应用：计算． 【典型例题八 算术平方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）已知自由下落物体的高度h （单位：m） 与下落时间t（单位： s） 的关系是， 有 一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形前拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）面积为的空地被400块相同的正方形地砖刚好铺满，每块地砖的边长是 m． 【例4】 （24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ． 1．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）在综合实践活动中，小军同学想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为294的长方形纸片，使它的长宽之比为．他是否能实现这一想法？若能，请求出裁出的长方形的长和宽；若不能，也请说明理由． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）希望工程活动开展以来，爱心人士张叔叔一直在资助家庭困难的小明同学．为了表达感谢，小明同学亲手绘制了一幅面积为的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给张叔叔．已知快递站的一种长方形包装袋的长、宽之比为，面积为． (1)求这种长方形包装袋的长和宽； (2)请通过计算判断小明同学能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【典型例题九 平方根的新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·期中）定义一种新运算“◎”：，则等式中x的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·云南昭通·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则的平方根为（    ） A．4 B．2 C． D． 【例3】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）对于任意的两个实数a，b，定义运算※如下：，若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）对于、、、四个实数定义新运算：，若，，，，，则 ． 1．（24-25七年级下·云南昭通·期中）在实数范围内定义运算：“※”：，例如：． (1)若，，计算的平方根； (2)若，求的值． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值．                  3．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根 (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则a的取值范围是______； (3)求x的值：． 【典型例题十 平方根的实际综合应用】 【例1】（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 1．（24-25七年级下·广东阳江·期中）解方程： (1)； (2) 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 2．（安徽省合肥市2024--2025学年七年级下学期期末测评数学试卷）下列实数中，是无理数的是（） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，[4]＝4，则的值为（　　） A．1011 B．2021 C．2022 D．1012 4．（2025·广东肇庆·模拟预测）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 5．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）的平方根是 ． 7．（24-25七年级下·四川自贡·期中）若，则 ． 8．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）已知与均为正数的平方根，则的值为______． 9．（23-24七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 10．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 11．（24-25七年级下·河南开封·期末）若的算术平方根是3，求的平方根． 12．（24-25七年级下·山东济宁·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·云南昆明·期末）【观察发现】 ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 14．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 15．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平方根与算术平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的平方根 典型例题二 求一个数的算术平方根 典型例题三 求代数式的平方根 典型例题四 利用平方根解方程 典型例题五 利用算术平方根的非负性解题 典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数 典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题 典型例题八 算术平方根的实际应用 典型例题九 平方根的新定义运算 典型例题十 平方根的实际综合应用 知识点01 平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需判断各选项是否为负数即可． 【详解】解；A、，结果为正数，存在平方根，不符合题意． B、，绝对值非负，存在平方根，不符合题意． C、为负数，在实数范围内没有平方根，符合题意． D、的平方根为本身，存在平方根，不符合题意． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）猜谜语： （1）对症下药（打一数学名词） ； （2）0  1  2  5  6  7  8  9 （打一成语） ； （3）你等着我，我等着你（打一数学名词） ． 【答案】 （1）开方； （2）丢三落四； （3）相等 【分析】（1）根据对症下药需要开药方，显然是数学中的名词开方； （2）观察数字，少了3和4，显然是丢三落四； （3）显然是互相等待，即相等． 【详解】（1）∵对症下药需要开药方， ∴是数学中的名词开方， 故答案为：开方 （2）∵数字少了3和4， ∴成语为丢三落四， 故答案为：丢三落四 （3）∵是互相等待， ∴是数学中的名词相等， 故答案为：相等 【点睛】本题考查生活常识与数学中的概念，正确理解题意是解题关键． 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【即时训练】 1．（新疆乌鲁木齐市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）下列关于的叙述错误的是（   ） A．它可以是面积为5的正方形的边长 B．它可以在数轴上找到与之对应的点 C．它可以是5的算术平方根 D．它的整数部分是3 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平方根的性质、数轴的特点、有理数的大小判断等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据正方形面积计算方法对A进行判断；根据数轴上的点与实数一一对应即可判断B；根据平方根的性质对C进行判断；根据，可得出可判断出D是否正确． 【详解】解：A．面积为5的正方形的边长是，说法正确，故A不符合题意； B．在数轴上可以找到表示的点，数轴上的点与实数一一对应，故B正确，不符合题意； C．是5的平方根，说法正确，不符合题意； D．∵，∴，整数部分是2，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 ；一个数的立方根等于它本身，这个数是 ． 【答案】 0 0，1 0，1，-1 【分析】利用平方根，算术平方根，以及立方根定义判断即可． 【详解】解：一个数的平方根等于它本身，这个数是0； 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0，1； 一个数的立方根等于它本身，这个数是0，1，−1； 故答案为：0；0，1；0，1，-1． 【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 知识点03平方根的性质 【即时训练】 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得，再求4的平方根即可，注意（易错点）． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 【即时训练】 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）（1） ；    （2） ； （3） ；    （4） ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根； （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据实数的性质，绝对值的意义，即可求解； （3）根据平方根的定义即可求解； （4）根据立方根的定义，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：．     （2）； 故答案为：． （3）；     故答案为：． （4）． 故答案为：． 知识点04 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系． 根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【即时训练】 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … 250 2500 … 25 250 根据以上规律，若则 【答案】41.4 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意．理解图表是解题的关键． 根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ． 故答案为：． 【典型例题一 求一个数的平方根】 【例1】（24-25七年级下·青海海东·期中）16的平方根是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的定义，掌握一个正数的平方根有2个，它们互为相反数是解题关键． 根据平方根的定义即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴16的平方根是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： ， ， ． 【答案】 【分析】分别根据立方根、绝对值、平方根的定义来计算这三个式子．本题主要考查了立方根、绝对值、平方根的定义，熟练掌握各定义的含义是解题的关键． 【详解】解： ，即 故答案为：，， ． 【例3】（24-25七年级下·天津·期中）的负的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，可得，求出的负的平方根即可． 【详解】解：， ， 的负的平方根是， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·吉林白城·期中）已知、都是实数，且满足，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负性的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出的值，再由平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴ ，， ，， ， 的平方根是． 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）已知的算术平方根是5，是27的立方根，的平方根是0． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）算术平方根、立方根、平方根的定义求出a、b、c的值即可； （2）将a，b，c的值代入，求出代数式的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是5， ∴ 解得：； ∵是27的立方根， ∴ 解得：； ∵的平方根是0 ∴ 解得：． （2）解：∵，，， ∴ ∴的平方根为． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）新修订的教科书对于数与式的运算过程和格式进行了很好的示范，例如求64的平方根 解：， 的平方根是． 请你按照上述格式求出下列各数的平方根 (1)100； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根． （1）根据计算即可； （2）根据计算即可； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴100的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是． 4．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【答案】(1)①两；②9；③3； (2)的平方根是，的立方根是 【分析】本题考查了立方根和平方根的知识，熟练掌握以上知识是解题关键； （1）根据题干中的思考过程，即可求解； （2）根据立方根和平方根的性质，并按照（1）中的思考过程进行作答，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵由，，而， ∴是一个两位数， ∵由个位上的数是9， ∴的个位数是9， ∵，， ∴的十位数字是3， ∴， 故答案为：两；9；3；； （2）解：①选择确定的平方根， ∵，， 又， ∴的平方根是两位数， ∵，， ∴的平方根的个位数是3或7， ∵，， 又， ∴的平方根的十位数是8， ∵，， ∴的平方根是； ②选择确定的立方根， ∵，， 又， ∴的立方根是两位数， ∵， ∴的立方根的个位数是5， ∵，， 又， ∴的立方根的十位数是4， ∴的立方根是． 【典型例题二 求一个数的算术平方根】 【例1】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）的算术平方根是（  ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根即可． 【详解】解：∵，4的算术平方根是2； ∴的算术平方根是2； 故选：A． 【例2】（河南省洛阳市2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试卷）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，通过比较表格中不同边长对应的面积与1亩的面积（平方米），确定边长的范围即可． 【详解】解：由表可知，当时，， 当时，， 因， 故边长应在至之间， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）化简 ． 【答案】4 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）计算： (1)求的平方根； (2)求169的算术平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1) (2)13 (3) 【分析】此题分别考查了算术平方根、平方根及立方根的定义，熟练的利用定义求解平方根，算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解； （2）根据算术平方根的定义求解； （3）根据立方根的定义求解． 【详解】（1）解：由平方根的定义可得的平方根为； （2）解：由算术平方根的定义可得169的算术平方根为； （3）解：由立方根的定义可得的立方根为． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 【答案】(1)，，2，7 (2) (3)， 【分析】本题考查了与算术平方根有关的知识点，熟练掌握算术平方根的定义以及求法是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义直接求解； （2）根据算术平方根的定义比较； （2）根据算术平方根的定义比较． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：，，2，7； （2）解：∵被开方数， ∴， 而 ∴， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， 即； 当时，， ∴， 即， 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5和25（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答； （3）根据25的算术平方根是5，5的算术平方根是即可得到答案. 【详解】（1）解：当输入的x值为16时，取算术平方根，即，4是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，2是有理数， 第三次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值； 故答案为：0和1； （3）解：25的算术平方根是5，5的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是5和25； 故答案为：5和25（答案不唯一）. 【典型例题三 求代数式的平方根】 【例1】（24-25七年级·全国·假期作业）若 ,则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用的值，求出，再利用负整数指数幂的运算法则，得到的值． 【详解】解：， 或（舍去）， ， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了开二次根式以及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握负整数指数幂的运算法则：，是解决本题的关键． 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式先计算出，再求平方根即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查完全平方公式、求平方根，利用完全平方公式计算出是解题的关键，注意平方根与算术平方根的区别，避免漏解． 【例3】（24-25八年级上·四川自贡·期中）若，则= ． 【答案】 【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， ∴，或， ∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键． 【例4】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）若x，y都是实数，且，则xy的平方根是 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出x的值，然后代入求出y的值，最后计算xy的平方根即可. 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得： 解得： ∴ 将代入中得： 解得： ∴的平方根为： 故答案为：. 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件和求式子的平方根，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和平方根的定义是解决此题的关键. 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）已知的平方根为，的立方根为3， (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根，求算术平方根的整数的大小，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据平方根与立方根的定义可求出a、b的值，代入计算的值，再求其算术平方根即可； （2）估算7的算术平方根的整数的大小，确定c的值，进而求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴ 解得：， ∵的立方根为3 ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴的算术平方根 ∴的算术平方根为． （2）解：∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∵，， ∴， ∴的平方根， ∴的平方根是． 3．（23-24七年级下·吉林延边·期中）下面是小强同学的例题及自主练习笔记，请认真阅读并补充完整． 例题：已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：，是有理数，是无理数，，，解得，． 【练习】 (1)已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：根据题意，得． ，是有理数，，也是有理数． 是无理数， __________，__________． 解得__________，__________． (2)已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． (3)已知，是有理数，且，满足等式时，直接写出的平方根． 【答案】(1)0，0，， (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，平方根等知识．熟练掌握实数的运算，解二元一次方程组，平方根是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）由，可得，则，，计算求解即可； （3）由，可得，则，，可求，，根据的平方根为，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． ，是有理数， ，也是有理数． 是无理数， ，． 解得，， 故答案为：0，0，，； （2）解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，， 解得，，， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 【典型例题四 利用平方根解方程】 【例1】（23-24七年级下·云南文山·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．4 B．9 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的含义，先两边同除以一个数，然后求平方根即可，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵， 两边同时除以3得：， 解得：， 故选：D． 【例2】（23-24七年级下·河北保定·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 即， ∴； 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·四川广元·期中）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据平方根的性质解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【例4】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查开平方，实数与数轴，正方形的面积，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键．根据正方形的面积公式求得边的长，即为的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， ∴（负值舍）， 由作图可知， ∵顶点在数轴上，且表示的数为1， ∴点到原点的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山东济宁·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·广西河池·期中）理解与应用 【阅读材料】设a，b是有理数，且满足，求a，b的值． 解：由得． 因为a，b都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，解得：，， 【方法应用】设x，y是有理数，满足，求的值． 【答案】的值为64或 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，无理数的应用，由，可得：，再进一步求解即可. 【详解】解：由， 得：． 因为x，y都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数，所以，， 解得，， 当，时， 当，时， 综上所述，的值为64或． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）①利用完全平方公式把式子变形即可；②利用完全平方公式把式子变形即可； （2）利用完全平方公式把式子变形，再根据平方根的定义解方程即可； （3）利用完全平方公式把式子变形，再根据非负数的性质求出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【典型例题五 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得到，求解即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·贵州·阶段练习）已知，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握两个非负性的式子和为，则这两个式子都为．由算术平方根和绝对值的非负性，得，，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简，求得的值是解题的关键．根据算术平方根的非负性，求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·福建福州·期中）如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质．先根据非负数的性质求出，的值，进而可得出结论． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】利用非负数的性质（算术平方根和平方数都是非负数，两个非负数的和为，则这两个非负数分别为 ），先求出、的值，再代入计算，最后求其平方根． 本题主要考查了非负数的性质（算术平方根的非负性、平方数的非负性 ）以及平方根的概念，熟练掌握非负数的性质，通过其和为求出字母的值是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 2．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是先因式分解，再利用非负数的性质求出字母的值，再代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 3．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3)的立方根为2 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知、，再利用绝对值性质和二次根式的混合运算，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，实数m的值是：． 故答案为：． （2）解：由数轴可知：，． ∴ ． （3）解：∵与互为相反数， ， ， ∴，， ∴，， ∴， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为0，由此建立方程求解m的值，再代入任一平方根表达式并平方得到原正数． 【详解】解： 由题意，正数的两个平方根为和，它们互为相反数， 故有： 解得： ∴， ∴原正数为， 因此，这个正数为4， 故选：D． 【例2】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（    ） A．64 B．49 C．14 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键． 根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则这个正数是， 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如果一个正数两个不同的平方根是与，那么这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用；解题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．根据一个正数的平方根互为相反数可得出a的值，代入后即可得出这个正数． 【详解】由题意得， 解得：， 则这个正数为：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知正数x的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【答案】400 【分析】本题主要考查了正数的平方根．熟练掌握正数的平方根的特征是解决此类问题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程，求出m，即可求出x值 ． 【详解】解：∵正数x的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为400． 1．（24-25七年级下·山西大同·期中）若一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”以及立方根的定义是解题的关键． 根据“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”可求出a，根据立方根的定义即可求出b，将a和b的值代入即可求解． 【详解】解：根据题意，得． 解得． ∵的立方根是， ∴． ∴． ∴． 2．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）一个正数的平方根为与，2为的立方根，的整数部分为． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数估算等知识，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据平方根、立方根的定义可得，，求解即可确定a，b的值，估算的大小，即可确定c的值； （2）结合（1）确定的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，一个正数的平方根为与， ∴，解得， ∵2为的立方根， ∴，即，解得， ∵的整数部分为，且，即， ∴； （2）由（1）可知，， ∴， ∴的平方根为． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）0；（2）12 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值： （1）先根据已知条件判断出与y的数量关系，进而求出的平方根； （2）先根据平方根、立方根的定义得出，解方程组求出x，y的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 或． 且， ， ， ， 的平方根是0． （2）由题意可知，， 解得， ． ， 的算术平方根是12． 【典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）若．则（   ） A．0.0101 B．0.101 C．1.01 D．10.1 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．观察题干可知是将的小数点向左平移2个单位，再利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数…按以下方式进行排列： 第一行             第二行         2           第三行              …                …… 则第八行左起第1个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 【例4】（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：，，，根据此规律 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的化简，根据已知的式子得到规律是解题的关键．根据前边的三个式子可以得到，所得结果的整数部分是1，后边的部分的分子为1，分母是两个相邻的整数的乘积，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得． 故答案为：． 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）观察下列等式： ①；②；③；④；… (1)写出第个等式：________；猜想：________； (2)写出第个等式，并说明它正确的理由． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律，求一个数的算术平方根； （1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）观察所给的等式，找到规律后直接写出即可． 【详解】（1）解：写出第个等式； ， 故答案为：，． （2），证明如下， 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3) 【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是： （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知， 从1开始连续个奇数的和等于的平方， 又， 所以． 故答案为：． （3）原式 ． 3．（24-25八年级上·河北承德·期末）观察下列各式： ；；，… 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 (1)猜想______=______； (2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________________； (3)应用：计算． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等式的规律填空即可求解； （2）根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解． （3）根据（2）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解： 【点睛】本题考查了二次根式的化简，找到规律是解题的关键． 【典型例题八 算术平方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）已知自由下落物体的高度h （单位：m） 与下落时间t（单位： s） 的关系是， 有 一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求代数式的值及算术平方根，将代入求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得或， ∵， ∴，即到达地面需要， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形前拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积和，进而可得到大正方形的面积，边长，即可解题． 【详解】解：∵“T”字型图形由五个面积均为2的小正方形组成， ∴“T”字型图形面积为10， ∴大正方形的面积是10， ∴大正方形的边长是， 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）面积为的空地被400块相同的正方形地砖刚好铺满，每块地砖的边长是 m． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出一块地砖的面积，再根据算术平方根的定义求出边长即可． 【详解】解：由题意，得：每块地砖的边长是； 故答案为：． 【例4】 （24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据正方形的面积求出边长，即可得到边的长． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 边的长为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）在综合实践活动中，小军同学想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为294的长方形纸片，使它的长宽之比为．他是否能实现这一想法？若能，请求出裁出的长方形的长和宽；若不能，也请说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】设原正方形纸片的边长为，则，设长方形的长为，宽为，根据题意，得，求得长方形的长，比较大小后解答即可． 本题考查了平方根的应用，熟练掌握正方形的面积，长方形的面积，平方根的计算是解题的关键． 【详解】解：设原正方形纸片的边长为，则， 解得，（舍去）， 设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 故长方形的长为，大于正方形的边长， 故不能实现这一愿望． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）希望工程活动开展以来，爱心人士张叔叔一直在资助家庭困难的小明同学．为了表达感谢，小明同学亲手绘制了一幅面积为的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给张叔叔．已知快递站的一种长方形包装袋的长、宽之比为，面积为． (1)求这种长方形包装袋的长和宽； (2)请通过计算判断小明同学能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄． 【答案】(1)长方形包装袋的长为，宽为 (2)能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设长方形包装袋的长为，宽为，由题意得，求解即可； （2）面积为的正方形书画作品的边长是，再进行比较即可． 【详解】（1）解：包装袋的长、宽之比为， 设长方形包装袋的长为，宽为， 由题意得， （负值舍去）， ，， 长方形包装袋的长为，宽为； （2）解：面积为的正方形书画作品的边长是． ， 包装袋的宽大于正方形书画作品的边长， 小明能将这幅书画作品不折叠就放入此包装袋进行邮寄． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2；；（2）1；；（3）不可行，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为长为，宽为，，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：，则正方形的边长为； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∵， ∴， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能用面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【典型例题九 平方根的新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·期中）定义一种新运算“◎”：，则等式中x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，求一个数的平方根，先理解定义得，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 【例2】（23-24七年级下·云南昭通·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则的平方根为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算及求一个数的平方根，根据新定义列出算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根为． 故选C． 【例3】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）对于任意的两个实数a，b，定义运算※如下：，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可知，当时，则，当时，则，两种情况分别解方程即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 解得或； 当时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【例4】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）对于、、、四个实数定义新运算：，若，，，，，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用平方根解方程，理解新定义运算法则是解题关键．根据新定义运算列方程，整理后利用平方根求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：或， 故答案为：3或． 1．（24-25七年级下·云南昭通·期中）在实数范围内定义运算：“※”：，例如：． (1)若，，计算的平方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本考查主要考查了新定义运算、平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键． （1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据平方根的定义即可； （2）根据题意得到，然后整理后利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴   ∴的平方根是； （2）解：∵，， ∴   ∴   ∴   ∴或 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)①，；②， (2)满足，理由见解析 (3)5或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据（1）中的计算结果可得该运算满足交换律； （3）由，可得，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：① ．     ．     ② ．     ． （2）解：由（1）可得：；， ∴该运算满足交换律． （3）解：∵是一个非负数， ∴， ∴，     ∴     ， ∴，     ∴， ∴， ∴或． 3．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根 (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则a的取值范围是______； (3)求x的值：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查新定义，开方运算，解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【典型例题十 平方根的实际综合应用】 【例1】（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，即可求出的值，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得：， 故选：． 【例2】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【答案】25 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 【答案】 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 1．（24-25七年级下·广东阳江·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根与立方根的应用，正确理解平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 【答案】(1)100 ，21 (2)20 (3)不可能拼成一个菱形，理由见解析 【分析】（1）观察图形，根据所给图形可得有阴影的三角形总数为：4，9，16，第9个图形中有阴影的三角形数为： ，故可求第（9）个图中阴影三角形的个数；非阴影三角形的个数为： ，故可得结论； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据菱形的特征和所给图形是等边三角形的特征解答即可． 【详解】（1）第（1）（2）（3）个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第（9）个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100（个），空白三角形的个数为; 故答案为：100；21； （2）第n个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：=， 解得，或（舍去） 经检验，符合要求， 所以，； （3）设第（m）个图形可重新拼成一个菱形，第（m）个图形总的三角形个数为,     由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x2,则有： 解得， ∴不是正整数， ∴不可能拼成一个菱形． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：． 2．（安徽省合肥市2024--2025学年七年级下学期期末测评数学试卷）下列实数中，是无理数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数． 【详解】解：A．是分数，属于有理数． B．，结果为整数，属于有理数． C．属于无理数． D．是有限小数，属于有理数． 故选C． 3．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，[4]＝4，则的值为（　　） A．1011 B．2021 C．2022 D．1012 【答案】B 【分析】根据[x]表示不大于x的最大整数可得到，，，…，，然后计算即可． 【详解】解：∵，，，…，， ∴ ＝ ＝2021 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的运算，理解[x]表示不大于x的最大整数及找到规律是解题的关键与难点． 4．（2025·广东肇庆·模拟预测）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 5．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，满足，那么a就叫做b的立方根，据此先求出的结果， 再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川自贡·期中）若，则 ． 【答案】9.05 【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．直接利用算术平方根的性质分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：9.05． 8．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）已知与均为正数的平方根，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查的是平方根的含义，熟记一个正数的两个平方根互为相反数是解本题的关键． 由题意可知，，由正数的两个平方根相等时可得，两个平方根互为相反数可得，求解的值，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 即或， 解得，或， 当时， ； 当时， ； 故答案为：或． 9．（23-24七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合即可判断①；根据被开方数小数点向右（向左）每移到两位，则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，据此可判断②；根据，即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴265的算术平方根比小，故③错误； ∵， ∴满足的正整数有共4个，故④正确； 故答案为：①②④． 10．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【答案】 6 否 【分析】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． （1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】解：（1）由大正方形的面积， 得大正方形的边长； 故答案为：6； （2）设长方形纸片长为，宽为， 则， 得， 故， 故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 故答案为：否． 11．（24-25七年级下·河南开封·期末）若的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】根据的算术平方根是3，求出的值后，代入中，再求的平方根． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算术平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉． 12．（24-25七年级下·山东济宁·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查由平方根运算、立方根运算解方程，熟练掌握平方根及立方根运算是解决问题的关键． （1）由平方根运算，直接开平方求解即可得到答案； （2）由立方根运算，直接开立方求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得或； （2）解：， ， 即， 解得． 13．（23-24七年级下·云南昆明·期末）【观察发现】 ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)整数部分为3，小数部分为； (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）按照材料1的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的整数部分为3，小数部分为； （2）的立方根是3，的算术平方根是4， ，， 解得：，， 是整数部分， ， ， 的平方根是． 14．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解； （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得，即可求解； ②根据关系得，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：① ； ② ； （3）解：由题意得 ， 答：这个长方形的面积为. 15．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根的应用，熟知求算术平方根和平方根的方法是解题的关键． （1）设长方形的宽为，则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，再与长方形的宽比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为． （2）解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 学科网（北京）股份有限公司 $$