精品解析：江苏省泰州市靖江市2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下图形是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，逐一验证各选项的正确性解答即可． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 与的被开方数不同，无法合并，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，正确，符合题意； D. ，错误，不符合题意， 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放乒乓球比赛”是必然的事件 B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件 C. “面积相等的两个三角形全等”是不可能事件 D. “网上任意买一张电影票，票上排号恰好是奇数”是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类，根据事件的分类进行判断即可得到答案. 【详解】解：A. “打开电视，正在播放乒乓球比赛”是随机事件，故选项错误，不符合题意； B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件，故选项正确，符合题意； C. “面积相等的两个三角形全等”是随机事件，故选项错误，不符合题意； D. “网上任意买一张电影票，票上排号恰好是奇数” 是随机事件，故选项错误，不符合题意； 故选：B 4. 如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 本题考查了旋转的性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上， 根据坐标特点，得到中心一定在y轴上， 根据旋转的全等性，发现到对应点的距离相等， 故旋转中心为． 故选：C． 5. 已知点在反比例函数为常数，的图象上，，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值大小，反比例函数的增减性，当两个点都在第四象限时，两个点纵坐标都是负数，不管横坐标的大小如何，纵坐标的和都小于0，当时，则有，则，据此可判断A、B；根据增减性和函数图象所在的象限可判断C、D． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随增大而增大； A、当两点都在第四象限时，满足，此时，不满足，原说法错误，不符合题意； B、当两点不在同一象限时，若，则不一定成立，例如时，则有，则，原说法错误，不符合题意； C、若，那么在同一象限，而，故，原说法错误，不符合题意； D、若，那么不在同一象限，而，则，原说法正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡和应位置上） 7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， ， 故答案为：． 8. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 9. 已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是___________．（写出所有的可能，填写序号即可） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定方法是解题关键； 分别将①②③④作为补充条件判断即可． 【详解】解：补充①； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 补充②； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充③； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充④； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 故答案为：②③． 10. 若关于x的方程会产生增根，则k的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程有增根推出，据此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵原方程会产生曾哥， ∴方程，即， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是 _____． 【答案】0.28 【解析】 【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：根据题意得：， 则第5组的频率为， 故答案为：0.28． 【点睛】此题考查了频数与频率，弄清题中的数据是解本题的关键． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，． 故答案为：． 13. 小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是___________（填写序号即可）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查的是频率和概率的关系．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为， ①掷骰子，向上一面的点数是6的概率为，故此选项不符合题意； ②掷骰子，向上一面的点数是偶数的概率为，故此选项不符合题意； ③掷骰子，向上一面的点数大于4的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③ 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点在双曲线上（为常数），点在轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点的对应点落在该双曲线上，过点作轴交于点，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，根据已知得出、点坐标是解题关键． 根据点的坐标为，即可得出的长以及反比例函数的解析式，即可得出点坐标，根据平移的性质即可得出点的纵坐标，进而利用正比例函数的解析式求得点的坐标，进一步即可得出答案． 【详解】解：菱形的顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数为， 由可知， ， 将该菱形向上平移，使点的对应点落在反比例函数的图象上， 点的横坐标为4， 把代入得，， ， 设直线为：，则， 解得， 故直线为：， ，点的纵坐标为2， ， ， 故答案为：2． 15. 如图，在四边形中，，点分别为的中点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．根据已知条件推出是直角三角形是解题的关键．如图，取边的中点，连接、．根据三角形中位线定理易求、的长度，并且，所以在直角中，利用勾股定理来求的长度． 【详解】解：如图，取边的中点，连接、． ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 又，， ，，， 在直角中，由用勾股定理，得 ． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、用轴对称方法解决最短路径问题，以及勾股定理等知识． 首先证明，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上，过点D作于点F，得到点D和F关于直线l对称，连交直线l于点H，连，证明当点P与点H重合时，的值最小，再分别求出，即可． 【详解】解：过P作于点N，交于点M， 由题意，， ∴， ∵点P是CE的中点， ∴， ∴， ∴， 则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上 过点D作于点F， 则此时点D和F关于直线l对称， 连交直线l于点H，连， 则， 当点P与点H重合时，的值最小， 由题意，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，掌握以上混合运算法则是关键． （1）运用二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法：解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解,解分式方程一定注意要验根． （1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可； （2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的增根；原方程无解． 19. 为了节约资源，保护环境，从6月1日起全国限用超薄塑料袋．古龙中学课外实践小组的同学利用业余时间对本城居民家庭使用超薄塑料袋的情况进行了抽样调查．统计情况如图所示，其中为“不再使用”，为“明显减少了使用量”，为“没有明显变化”． （1）本次抽样的样本容量是 　　． （2）图中　　（户），　　（户）． （3）若被调查的家庭占全城区家庭数的10%，请估计该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数． 【答案】（1）4000 （2）2800，400 （3）28000户 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图． （1）由扇形统计图可算出的百分比，再由条形统计图知的数量，最后算出样本容量； （2）用样本容量乘对应的百分比即可； （3）用样本去估计总体即可． 【小问1详解】 解：（1）800÷（100%-70%-10%）=4000， 故答案为：4000； 【小问2详解】 a=4000×70%=2800，c=4000×10%=400 故答案为：2800，400； 【小问3详解】 4000÷10%×70%=28000(户) 答：估计该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数是28000户． 20. 课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ （1）请用“作差法”完成老师提出的问题； （2）比较大小：___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． （1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ． 故答案为：． 21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积； （2）在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数． 【答案】（1）如图1，菱形和菱形，即为所求， 或 （2） 如图，直角三角形即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理与网格问题，数形结合是解题的关键； （1）结合菱形的性质按要求画图，进而可得答案． （2）结合无理数的定义、勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可． 【小问1详解】 解：菱形的面积为；菱形的面积为， 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2） 矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）当时，的取值范围是___________； （3）若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 【答案】（1），8 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线解析式得到值，将点坐标代入求出的直线解析式得到值，将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）根据两个函数图象，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，根据列出方程，求出值即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， 把代入得：． ． 把代入得：． 的值为，的值为8． 【小问2详解】 由图象可知：当时，的图象在的上方， 当时，的取值范围是：． 故答案为：． 【小问3详解】 当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积； （2）在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数． 【答案】（1）如图1，菱形和菱形，即为所求， 或 （2） 如图，直角三角形即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理与网格问题，数形结合是解题的关键； （1）结合菱形的性质按要求画图，进而可得答案． （2）结合无理数的定义、勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可． 【小问1详解】 解：菱形的面积为；菱形的面积为， 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2） 矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点． （1）求与的值； （2）当时，的取值范围是___________； （3）若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 【答案】（1），8 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线解析式得到值，将点坐标代入求出的直线解析式得到值，将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）根据两个函数图象，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，根据列出方程，求出值即可． 【小问1详解】 解：（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：． ． 把代入得：． 的值为，的值为8． 【小问2详解】 由图象可知：当时，的图象在的上方， 当时，的取值范围是：． 故答案为：． 【小问3详解】 当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 27. 曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； （2）若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 【答案】（1） 证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上， ∴点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （2）对角线所在直线经过原点， 证明：∵点A、C在反比例函数图像上， 设点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点，，得出，,再求出直线的解析式为：，证明在直线上，即可得出结论； （2）设点，，同（1）即可求解； （3）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，证明，设，则，得出，进而根据完全平方公式变形得出，再根据三角形的面积公式以及勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵点A、C在反比例函数图像上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下图形是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放乒乓球比赛”是必然的事件 B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件 C. “面积相等的两个三角形全等”是不可能事件 D. “网上任意买一张电影票，票上排号恰好是奇数”是不可能事件 4. 如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在反比例函数为常数，的图象上，，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 无法确定 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡和应位置上） 7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 8. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 9. 已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是___________．（写出所有的可能，填写序号即可） 10. 若关于x的方程会产生增根，则k的值为________ 11. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是 _____． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 13. 小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是___________（填写序号即可）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点在双曲线上（为常数），点在轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点的对应点落在该双曲线上，过点作轴交于点，则___________． 15. 如图，在四边形中，，点分别为的中点，则___________． 16. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 为了节约资源，保护环境，从6月1日起全国限用超薄塑料袋．古龙中学课外实践小组的同学利用业余时间对本城居民家庭使用超薄塑料袋的情况进行了抽样调查．统计情况如图所示，其中为“不再使用”，为“明显减少了使用量”，为“没有明显变化”． （1）本次抽样的样本容量是 　　． （2）图中　　（户），　　（户）． （3）若被调查的家庭占全城区家庭数的10%，请估计该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数． 20. 课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ （1）请用“作差法”完成老师提出的问题； （2）比较大小：___________． 21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积； （2）在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数． 22. 如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 23. 如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）当时，的取值范围是___________； （3）若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积； （2）在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数． 25. 如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 26. 如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点． （1）求与的值； （2）当时，的取值范围是___________； （3）若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 27. 曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； （2）若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $