重点专题1-2 集合的概念与表示- 2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版）

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-2 集合的概念与表示 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 【题型2】元素与集合的关系判断 【题型3】确定集合中的元素 【题型4】用列举法表示集合 【题型5】用描述法表示集合 模块二中档题 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 【题型7】利用集合中元素的个数求参数范围 【题型8】根据两个集合相等求参数 【题型9】集合中的新定义问题 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 基础知识 1、元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2、元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。 (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。 (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 典型例题 【例题1】以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念 【例题2】(多选)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【解析】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 【巩固练习2】下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误 【巩固练习3】 【题型2】元素与集合的关系判断 基础知识 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 典型例题 【例题1】下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 【例题2】集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，新以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误.故选：B. 【巩固练习2】已知集合，，，若，，则必有（        ） A． B． C． D．都不属于 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴ 【巩固练习3】（多选）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合的定义，设出的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断． 【详解】由题意，设，，下面的均为整数， 则，， ，不是偶数时，， 【题型3】确定集合中的元素 基础知识 确定集合中的元素个数时要考虑互异性 典型例题 【例题1】已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【解析】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 【例题2】英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【解析】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素． 巩固练习 题型 【巩固练习1】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 【巩固练习2】已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【分析】根据，采用列举法表示集合B 即可求解. 【解答】根据题意 ， 所以集合B中共有6个元素 【题型4】用列举法表示集合 基础知识 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝”括起来. 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 典型例题 【例题1】（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 【例题2】用列举法表示集合_______． 【答案】 【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合． 【详解】因为且 所以可以取，2，3，4. 所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． 【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） 【巩固练习2】集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【解析】由可知， 所以只能取，又，所以， 即集合中的元素为，故列举法表示为. 【巩固练习3】用列举法表示集合=_______． 【答案】 【分析】利用列举法求解即可. 【详解】因为,所以且,即且, 又因为,所以,对应的, 其中,所以只能取, 故 【题型5】用描述法表示集合 基础知识 描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 描述法示例： 【注意】有限集且元素数量不多时选用列举法，其余选择描述法. 典型例题 【例题1】所有正偶数组成的集合是 ． 【答案】 【解析】所有正偶数组成的集合是． 【例题2】用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】表示平面内第二象限的点构成的集合为且.故选：D. 巩固练习 题型 【巩固练习1】所有正奇数组成的集合是 ． 【答案】 【巩固练习2】用描述法表示下列集合： （1）不等式的解组成的集合； （2）被除余的正整数的集合； （3）； （4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为，则集合中的元素是数. 设代表元素为x，则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x，则． 又因为元素为正整数，故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x，则． 但元素是2，4，6，8，10，所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 模块二中档题 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 基础知识 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况 典型例题 【例题1】已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【解答】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 【巩固练习2】（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 【巩固练习3】已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【解答】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 【巩固练习4】已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【解析】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1.故选：C 【题型7】利用集合中元素的个数求参数范围 基础知识 利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参一元二次方程解的个数问题为背景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等 典型例题 【例题1】集合中只有一个元素，则实数的值是 . 【答案】 【解析】因为集合中只有一个元素， 则，解得. 【例题2】已知集合． （1）若A中没有元素，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时，集合，当时，集合；（3） 【解析】（1）中没有元素，且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合，集合A中恰有3个元素，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】且集合A中恰有有3个元素，则， 【巩固练习2】若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 【巩固练习3】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或 【题型8】根据两个集合相等求参数 解题技巧 集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。 集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 典型例题 【例题1】（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 【例题2】含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等，结合集合的互异性，即可求得，则问题得解. 【详解】要使得有意义，则，由集合， 故可得，此时， 故只需或， 若，则集合不满足互异性，故舍去. 则只能为. 则. 巩固练习 题型 【巩固练习1】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 【巩固练习2】设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 【巩固练习3】已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 【巩固练习4】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 【题型9】集合中的新定义问题 解题技巧 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： 第一点：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； 第二点：用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 典型例题 【例题1】定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【答案】26 【解析】． 故答案为：26 巩固练习 题型 【巩固练习1】定义运算，若集合，则 . 【答案】 【解析】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 【巩固练习2】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【解析】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 【巩固练习3】定义集合运算，设集合，则集合 . 【答案】 【解析】由题意可知， ①当时，则； ②当，时，； ③当，时，. 综上所述，. 【课后训练】 1． （多选）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集 2． 所以两个集合不是同一个集合，故D错误．下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【答案】D 【解析】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性. 故选：D 3． 用符号“”或“”填空： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）∉；（2）∈；（3）∉；（4）∈；（5）∉；（6）∈ 4． 若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【解析】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 5． 已知集合，且，则取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，且， 所以或. 当时，解得：或. 而，不符合元素的互异性，故或. 6． 试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【分析】直接用描述法得到答案. 【解答】（1）设方程的实数根为，并且满足条件， 用描述法表示为. （2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且， 故用描述法表示为. （3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为. 7． 已知，用列举法表示A. 【解析】由，则， 所以，，，，，，， 则列举法表示A为. 8． 定义集合､的一种运算：，若，，则 . 【答案】 【解析】∵ ，，， ∴ 9． 用列举法表示集合_______． 【答案】 【分析】利用题目条件，依次代入，使， ，从而确定的值，即可得到所求集合． 【详解】，为的正因数， ， 故答案为 10． （多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 11． 集合用列举法表示为 . 【答案】 【解析】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 12． 已知集合，集合A中恰有4个元素，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】且集合A中恰有有4个元素，则， 13． 已知，且，则＝ ． 【答案】或1 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【详解】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 14． 已知集合中的元素满足，. (1)若为单元素集合，求实数的值； (2)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （2）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-2 集合的概念与表示 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 【题型2】元素与集合的关系判断 【题型3】确定集合中的元素 【题型4】用列举法表示集合 【题型5】用描述法表示集合 模块二中档题 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 【题型7】利用集合中元素的个数求参数范围 【题型8】根据两个集合相等求参数 【题型9】集合中的新定义问题 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 基础知识 1、元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2、元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。 (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。 (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 典型例题 【例题1】以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【例题2】(多选)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【巩固练习2】下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【巩固练习3】 【题型2】元素与集合的关系判断 基础知识 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 典型例题 【例题1】下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【例题2】集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知集合，，，若，，则必有（        ） A． B． C． D．都不属于 【巩固练习3】（多选）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型3】确定集合中的元素 基础知识 确定集合中的元素个数时要考虑互异性 典型例题 【例题1】已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【例题2】英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 巩固练习 题型 【巩固练习1】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【巩固练习2】已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【题型4】用列举法表示集合 基础知识 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝”括起来. 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 典型例题 【例题1】（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【例题2】用列举法表示集合_______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． 【巩固练习2】集合可用列举法表示为 ． 【巩固练习3】用列举法表示集合=_______． 【题型5】用描述法表示集合 基础知识 描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 描述法示例： 【注意】有限集且元素数量不多时选用列举法，其余选择描述法. 典型例题 【例题1】所有正偶数组成的集合是 ． 【例题2】用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 巩固练习 题型 【巩固练习1】所有正奇数组成的集合是 ． 【巩固练习2】用描述法表示下列集合： （1）不等式的解组成的集合； （2）被除余的正整数的集合； （3）； （4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 模块二中档题 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 基础知识 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况 典型例题 【例题1】已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【巩固练习2】（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【巩固练习3】已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【巩固练习4】已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【题型7】利用集合中元素的个数求参数范围 基础知识 利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参一元二次方程解的个数问题为背景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等 典型例题 【例题1】集合中只有一个元素，则实数的值是 . 【例题2】已知集合． （1）若A中没有元素，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合，集合A中恰有3个元素，则的取值范围为 . 【巩固练习2】若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【巩固练习3】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【题型8】根据两个集合相等求参数 解题技巧 集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。 集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 典型例题 【例题1】（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【例题2】含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【巩固练习2】设a，，若集合，则 . 【巩固练习3】已知，若，则实数的值为 ． 【巩固练习4】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【题型9】集合中的新定义问题 解题技巧 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： 第一点：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； 第二点：用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 典型例题 【例题1】定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】定义运算，若集合，则 . 【巩固练习2】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【巩固练习3】定义集合运算，设集合，则集合 . 【课后训练】 1． （多选）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 2． 所以两个集合不是同一个集合，故D错误．下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 3． 用符号“”或“”填空： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4． 若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 5． 已知集合，且，则取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 6． 试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 7． 已知，用列举法表示A. 8． 定义集合､的一种运算：，若，，则 . 9． 用列举法表示集合_______． 10． （多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 11． 集合用列举法表示为 . 12． 已知集合，集合A中恰有4个元素，则的取值范围为 . 13． 已知，且，则＝ ． 14． 已知集合中的元素满足，. (1)若为单元素集合，求实数的值； (2)若为双元素集合，求实数的取值范围. 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$1 专题 1- 2 的概念与表示 模块一 重点题型梳理 【题 1】 断 成 ( 定 ) 【题 2】元 与 的关系 断 【题 3】 定 中的元 【题 4】用 举法表示 【题 5】用描述法表示 模块二中档题 【题 6】已知一个元 于 ， 中所 的参数值 (互异 ) 【题 7】 用 中元 的个数 参数范围 【题 8】根 两个 相 参数 【题 9】 中的新定义问题 【课后训练】 模块一 重点题型梳理 1、元 与 的概念及表示 (1)元 ：一 ，把 对 统称为元 ，元 用 写的拉丁字母 a， b， c，⋯表示． (2) ：把一些元 组成的 叫做 ( 称为 )， 用大写的拉丁字母A，B，C， ⋯表示． 2、元 的特 (1) 定 ：给定的 ，它的元 必须 定的．也 说，给定一个 ， 么任 一个元 不 这个 中 定了． 记为“ 定 ”． 注意：题目中不 的词语， 如：“很大”、“著 ” 。 (2)互异 ：一个给定 中的元 互不相 的．也 说， 中的元 不重复出现的． 记为“互异 ”．考察互异 的问题一 针对数字类的题目，注意 一个数字不 的表示方法。 (3)无 ：给定 中的元 不 先 ， 顺 的． 记为“无 ”． 【题型 1】判断是否构成集合 (确定性) 1 以下对 的全 不能构成集 的个数 ( ) (1)高一 (1)班的高个子 学；         (2)所有的数学难题； (3)北京市中考分数 580以上的 学；     (4)中国古代四大发明； (5)我国的大河流；                     (6)大于 3的偶数． A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2 2 (多 )下 组对 能组成集 的 ( ) A. 大于 6的所有整数 B. 高中数学的所有难题 C. 被 3除 2的所有整数 D. 函数 y= 1 x 图 上所有的点 1 下 组对 可以构成集 的 ( ) A. 数学必修第一册课本中所有的难题 B. 于 8的所有 数 C. 直角 面内第一 限的一些点 D. 所有 的正数 2 下 说法正 的 ( ) A. 我 很喜欢足 的 学能组成一个集 B. 联 国安 任 事国能组成一个集 C. 数 1,0,5, 2 3 ， 3 7 ， 6 9 ， 4 5 组成的集 中有 7个元 D. 由不大于 4的自然数组成的集 的所有元 为 1,2,3,4 【题型 2】元素与集合的关系判断 1．元 与 的关系 (1) 于：如 a A的元 ， 说 a 于 A，记 a∈A． (2)不 于：如 a不 A的元 ， 说 a不 于 A，记 a∉A． 【注】 号“∈” “∉”只能用于元 与 之间， 且这两个 号的左边 元 ，右边 ，具 方 ，左右两边不能互 . 2． 用的数 及其记法 自然数 正整数 整数 理数 实数 号 N N *(或N+) Z Q R 1 下 说法正 的 ( ) A. π⊆R B. 2 ∈ Z C. 1 3 ∈Q D. 0∈N * 2 集 P= x x=2k,k∈Z ,Q= x x=2k+1 ,k∈Z ,R= x x=4k+1 ,k∈Z ，且 a∈P,b∈Q， 有 ( ) A. a+ b∈P B. a+ b∈Q C. a+ b∈R D. a+ b不 于P,Q,R中的任意一个 3 1 下 元 与集 的关系中，正 的 ( ) A. - 3∈N ∗ B. 5 ∈R C. 1 2 ∈ Z D. 0∉N 2 已知集 A= x x=2k,k∈Z ， B= x x=2m+1,m∈Z ， C= x x=4n+1,n∈Z ， 若 a∈A， b∈B， 必有 ( ) A．a+ b∈A B． a+ b∈B C． a+ b∈C D．都不 于 3 ( 多 ) 已 知 集 A = x x=3k-1 ,k∈Z ， B = x x=3k ,k∈Z ， C = x x=6k-1 ,k∈Z ．若 a∈A， b∈B， c∈C． 下面结论中一定正 的 ( ) A． c- b∈A B．a- c∈B C． a+ b∈C D．a+ b+ c∈B 【题型 3】确定集合中的元素 定 中的元 个数时要考虑互异 1 已知正数集 A= a1,a2,a3,a4 ， 以 a1， a2， a3， a4为边长构成的四边形可能 ( ) A. 行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 形 2 英文单词 interesting的所有字母组成的集 共有 ( ) A. 7个元 B. 8个元 C. 9个元 D. 11个元 1 集 A= a,b,c 中的三个元 表示某一个三角形的三边长 ， 么这个三角形一 定不 ( ) A. 等 三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 2 已知集 A= 0,1,2 ， 集 B= x,y x≥y,x∈A,y∈A 中元 的个数 ( ) A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【题型 4】用列举法表示集合 举法：把 的所 元 一一 举出 ， 用 括号“{ }”括起 . 注意： (1)元 与元 之间必须用“，” 开． (2) 中的元 必须 的． (3) 中的元 不能重复． (4) 中的元 可以 任 事物． 1 (24- 25高一上·北京·阶段练习)用 举法表示集 x∈Z x +x=0,x>-5 为 ． 4 2 用 举法表示集 A= a  65-a ∈N *,a∈Z = ． 1 用 举法表示下 集 ： (1)大于 1且小于 6的整数： (2)A= x (x-1)(x+2)=0 ： (3)B= x∈Z -3<2x-1<3 ： (4) { x,y |0≤ x≤ 2,0≤ y< 2,x,y∈ Z}： 2 集 x x∈N且 6x+2 ∈N 可用 举法表示为 ． 3 用 举法表示集 A= x 3 5-x ∈Z,x∈N = ． 【题型 5】用描述法表示集合 (1)定义：一 ，设A表示一个 ，把 A中所 具 共 特征P(x)的元 x所组成的 表示为 {x∈A|P(x)}，这种表示 的方法称为描述法． 时也用冒号或 号代替竖线． (2)具 方法： 括号内先写上表示这个 元 的一 号及取值 (或变化)范围，再画一 竖 线， 竖线 写出这个 中元 所具 的共 特征． 描述法示 ： x∈N -4<x≤1  【注意】 且元 数量不多时 用 举法，其 择描述法. 1 所有正 数组成的集 ． 2 用性质描述法表示 面内第二 限的点构成的集 ，正 的 ( ) A. x,y x>0 且 y<0  B. x,y x≤0 且 y<0  C. x,y x≥0 且 y≤0  D. x,y x<0 且 y>0  1 所有正奇数组成的集 ． 2 用描述法表示下 集 ： (1)不等式 2x- 3< 1的解组成的集 A； (2)被 3除 2的正整数的集 B； (3)C={2,4,6,8,10}； (4)平 直角 标系中第二象限内的点组成的集 D． 5 模块二 模块二中档题 【题型 6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值 (互异性) 互异 ：一个给定 中的元 互不相 的．也 说， 中的元 不重复出现的． 记为 “互异 ”． 注意： 过互异 参数要检验 中的所 元 重复的 况 1 已知 x2∈{1,0,x}， 实数 x的 为 ( ) A. 0 B. 1 C. - 1 D. ± 1 2 已知集 A= 2,a2+1,a2-4a ,B= 0,a2-a-2 ,5∈A， 实数 a的 为 ． 1 已知 x∈ 1,2,x2 ， x的取 为 ( ) A. 1 B. 1或 2 C. 0或 2 D. 0或 1或 2 2 (多 )若集 A= a2+2a,3a+2,8 ， 实数 a的取 可以 ( ) A. 2 B. 3 C. - 4 D. 5 3 已知集 A= 12,a2+4a,a-2 ，-3∈A， a= ( ) A. - 1 B. - 3或 1 C. 3 D. - 3 4 已知集 P有三个元 -1,2a+ 1,a2- 1.若 0∈P， 实数 a的 为 ( ) A. - 1 2 B. 1 C. - 1 2 或 1 D. 0或 1 【题型 7】利用集合中元素的个数求参数范围 用 中元 的个数 参数的问题往往以 参一元二次方 解的个数问题为背 ，注意 方项的 系数 可以去取 0，以及验证 能取 1 集 M= x ax2-3x-2=0,a≠0 中只有一个元 ， 实数 a的 . 2 已知集 A= x ax2-3x+2=0,x∈R,a∈R ． (1)若A中没有元 ，求 a的取值 围； (2)若A中只有一个元 ，求 a的值，并求集 A； (3)若A中至少有一个元 ，求 a的取值 围． 6 1 已知集 A={x∈ Z ∣-1< x≤ k}，集 A中恰有 3个元 ， k的取 围为 . 2 若集 x bx2+4x+1=0 只 有一个元 ， 实数 b的取 围为 ． 3 (24- 25高一下·湖北黄石·阶段练习)已知集 A= x|ax2-10x-5=0 中至多有一个元 ， a的取 围 ． 【题型 8】根据两个集合相等求参数 相 ：两个 的元 一样的，我们 称两个 相 的。 A与 B相 记 A=B. 【注意】 (1)两个 相 时，这两个 的元 个数相 ； (2)两个 相 ，不能只从 的形式上 ，比如 0< x< 5,x∈N 成的 与 1,2,3,4, 成的 相 ． 1 已知m,n∈R，集 A= 1,m+n,m ,B= 0, n m ,n ，且A=B， mn= . 2 有三个实数的集 既可表示成 a, b a ,1 ，又可表示成 a2,a+b,0 ， a 2019 + b 2020 = . 1 有三个实数的集 可表示为 a, b a ,1 ，也可以示为 a2,a+b,0 ， a2023+ b 2024的 为 . 2 设 a， b∈R，若集 {1,a+ b,a}= 0, b a ,b ， a2- b= . 3 已知 M = a-3,2a-1,a2+1 ,N = -2,4a-3,3a-1 ，若 M = N， 实数 a的 为 ． 4 已知集 1,a,b = a2,a,0 ， a2024+ b2025= . 【题型 9】集合中的新定义问题 解决以 为背 的新定义问题，要抓 两点： 一点： 扣新定义，首先 新定义的特点，把定义所叙述的问题的 质弄清楚， 能够 用 具 的解题过 之中，这 新定义 问题 点的关键所 ； 二点：用好 的 质，解题时要善于从试题中发现可以 用 质的一些因 ， 关键之外 用好 的运 与 质. 7 1 定义集 A,B的一种运算：A⊕ B= x=x1+x2,x1∈A,x2∈B ，若A= 1,2,3 ,B= 4,5 ， A⊕B中的所有元 之 为 ． 1 定义运算A ∗A= x x=a-b,a∈A,b∈A ，若集 A= 1,2,3 ， A ∗A= . 2 设P，Q为两个非空实数集 ，定义集 A= a+b a∈P,b∈Q ，若P={0,2,5}，Q ={1,2,6}， A中元 的个数 ． 3 定义集 运算A⊙B= z∣z=xy x+y ,x∈A,y∈B ，设集 A= 0,1 ,B= 2,3 ， 集 A⊙B= . 模块三 【课后训练】 1 (多 )下 说法错误的 ( ) A. 集 x∈N |x3=x 用 举法表示为 0,1  B. 实数集可以表示为 {x x为所有实数}或 R  C. 能被 4整除 3的所有自然数组成的集 用描述法可表示为 x|x=4n+3,n∈N  D. 集 y|y=x2 与 x,y |y=x2  一个集 2 所以两个集 不 一个集 ，故D错误．下 组对 可构成一个集 的 ( ) A. 与 10非 接近的数 B. 本班视 差的女生 C. 中国 亮的工 D. 我 学生中的女生 3 用符号“∈”或“∉”填空： (1)2 3_____ x x< 11  (2)3 2_____ x x>4  (3)3_____ x x=n2+1，n∈N+  (4)5_____ x x=n2+1，n∈N ∗  (5) (-1,1)_____ y y=x2  (6) (-1,1)_____ (x,y) y=x2  4 若集 A= 1,2m,m2-m ，且 0∈A， m的 为 ( ) A. 0 B. 1 C. 0或 1 D. 0或-1 5 已知集 M= 1,m,m2+3 ，且 4∈M， m取 构成的集 为 ( ) A. 1,4  B. -1,4  C. -1,1,4  D. ∅ 6 试用描述法表示下 集 . (1)方程 x2- 2= 0的所有实数 组成的集 ； (2)由大于 10且 于 20的所有整数组成的集 ； (3)二次函数 y= x2- 2图 上的所有点组成的集 . 8 7 已知A={(x,y)|x+ y= 6,x∈N ,y∈N}，用 举法表示A. 8 定义集 A、B的一种运算：A ∗B= x x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B ，若A={1， 2， 3}，B={1， 2}， A ∗B= . 9 用 举法表示集 M= m  10m+2 ∈N ,m∈Z = ． 10 (多 ) 已知集 A = x x=3k-1,k∈Z ， B = x x=3k+1,k∈Z ， C = x x=3k,k∈Z ，且 a∈A， b∈B， c∈C， ( ) A. 2a∈B B. 2b∈A C. b+ c∈A D. a+ b∈C 11 集 A= x∈Z x= 2 a +a,a∈Z 用 举法表示为 . 12 已知集 A= {x∈ Z ∣-2≤ x< k}，集 A中恰有 4个元 ， k的取 围为 . 13 已知M= 2,a,b ,N= 2a,2,b2 ，且M=N， a+ b= ． 14 已知集 A中的元 x满足 ax2- 3x+ 1= 0， a∈R. (1)若A为单元 集 ，求实数 a的 ； (2)若A为双元 集 ，求实数 a的取 围.