精品解析：四川省成都市石室天府中学2024-2025学年高一下学期梧桐学院第三届贯通班期末考试数学试卷

成都石室天府中学2024—2025学年度下期梧桐学院第三届贯通班 期末数学试卷 【考情提示】梧桐学院（贯通部）与高中部的教学进度与考试内容均存在差异，请注意区分．本次考试考试范围：必修一；必修二第6章 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 且 2. 设，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知，则，，的大小顺序为 A. B. C. D. 4. 函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A. B. C. D. 1 6. 设函数的零点都在区间内，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 已知函数，若方程在的解为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 当时，曲线与有4个交点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知，若任意满足条件的实数、、均满足不等式，则可以为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 函数在时有最大值，最小值． B. 函数的最大值为． C. 函数的值域为． D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 是非奇非偶函数 B. 直线不是图象的对称轴 C. 在区间上恰有8100个零点 D. 当时，方程在区间内最多有13个不等实根 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是_____． 13. 化简：_______． 14. 在中，已知三边长分别为.则 ________. 四、解答题 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 如图有一块半径为1，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别半径OA，OB上． （1）若四边形为矩形，求其面积最大值； （2）若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围． 17. 已知函数. （1）若为偶函数，求函数的定义域； （2）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 18. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且． （1）求的解析式； （2）将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若且，求的最大值； （3）记在区间上的最大值为，最小值为，设，求在区间上的值域． 19. 已知函数，函数，设. （1）求证：是函数的一个周期； （2）当时，求：在区间上的最大值； （3）若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室天府中学2024—2025学年度下期梧桐学院第三届贯通班 期末数学试卷 【考情提示】梧桐学院（贯通部）与高中部的教学进度与考试内容均存在差异，请注意区分．本次考试考试范围：必修一；必修二第6章 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案. 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 2. 设，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算法则及换底公式化简，再利用指数式与对数式互化关系求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 3. 已知，则，，的大小顺序为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得. 【详解】 故选B. 【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题. 4. 函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出在指定区间内相位的范围，再利用正弦函数的性质列出不等式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 5. 在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 6. 设函数的零点都在区间内，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，确定零点所在区间即可得解. 【详解】函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，在上单调递增，， 则存在，使得，因此函数在的唯一零点， 则，由偶函数的性质得，于是， 所以的最小值为4. 故选：C 7. 已知函数，若方程在的解为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图像和性质，先求出在的一条对称轴及与轴的两个交点，再由图像的对称性得到的关系及的范围，利用，把转化成即可求解. 【详解】因为，所以， 所以当时，解得即为在的一条对称轴, 当时，解得或， 即或为在与轴的两个交点， 又因为是方程在的解， 所以由图像的对称性可知，， 且，所以， 所以. 又因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由图像的对称性得到， 关键二：利用，把转化成. 8. 当时，曲线与有4个交点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用方程法有或，，结合已知区间范围有，，根据交点的个数，讨论不同对应不同端点值研究各情况下满足要求的解的个数，即可得范围. 【详解】令，则或， 所以或， 即或，， 当，即，， 当，即，， 由曲线与有4个交点，不同对应不同端点值，讨论如下： 当且时，（不符合）或，无交点； 当且时，（不符合）或，一个交点； 当且时，（不符合）或（不符合）， 或或，两个交点； 当且时，（不符合）或（不符合）或（不符合）， 或或或，三个交点； 当且时，（不符合）或或（不符合）， 或或或，四个交点； 当且时，同上分析易知交点个数超过4个； 综上，正实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：应用方程法得到或，，结合已知区间范围有，，再应用分类讨论研究解的个数为关键. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知，若任意满足条件的实数、、均满足不等式，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得出，由此可得出满足题意，然后再取，，验证不满足题设条件即可. 【详解】解法一：因为 ， ， 若，则原不等式成立，可得，而，故BCD合乎题意. 当时，不妨取，，， 则 ， 则不成立. 解法二：原不等式转化为 ， 即， 如图，作出单位圆在第一象限的部分，作出的终边与单位圆的交点， 则表示的是三个矩形的面积， 则，所以符合题意， BCD正确； 当时，不妨取，，， 则 ， 则不成立. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 函数在时有最大值，最小值． B. 函数的最大值为． C. 函数的值域为． D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数单调性求出最值判断A；利用基本不等式求出最值判断BC；举例说明判断D. 【详解】对于A，函数在上单调递增，则，A正确； 对于B，函数定义域为R，该函数取最大值，当且仅当， 此时，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，函数定义域为R，， 函数是奇函数，当时，， 当时，，当且仅当取等号， 当时，，当且仅当取等号， 因此当时，，当时，，函数值域为，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 是非奇非偶函数 B. 直线不是图象的对称轴 C. 在区间上恰有8100个零点 D. 当时，方程在区间内最多有13个不等实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用奇偶性定义判断A；应用分类讨论判断是否恒成立判断B；首先确定为周期函数，再分析其一个周期内的图象，数形结合判断在上的零点个数判断C；作出函数在上的图象，令，，进而问题化为在时，直线与函数图象的交点个数判断D. 【详解】对于A，由，所以是偶函数，错误； 对于B，， 当时，， 当时，， 故不恒成立，即的图象不关于直线对称，正确； 对于C，当时，， 故当时，是周期函数，其中一个周期为，只需考察在上的情况， 当时，， 当时，， 画出在区间上的图象，如下图所示． 由图可知，在上恰有2个零点， 由周期性知在上有4050个零点， 由为偶函数得，在上也有4050个零点， 故在区间上有8100个零点，正确； 对于D，作出函数在上的图象如下， 令，，则方程可化为， 当时，，不成立， 当时，，等价于在时，直线与函数图象的交点， 而的图象如下： 由图可知，当，即时，， 由可知在上有13个不等实根； 当，即时，， 由知在上有12个不等实根； 当，即时，， 由可知在上有6个不等实根； 当，即时，无实根． 综上，当时，方程在区间内最多有13个不等实根，正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对于C，判断为周期函数，利用周期性分析区间内零点个数；对于D，根据的图象，令，将问题化为在时，直线与函数图象的交点个数为关键. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为，则函数在上为减函数，所以， 故，则， 因为，故，故， 综上所述，. 故答案为：. 13. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角公式及二倍角公式可得，再赋值计算即得. 【详解】由， 得，又， 所以 . 故答案为：0 14. 在中，已知三边长分别为.则 ________. 【答案】 【解析】 【详解】设.则， ，. 故 . 四、解答题 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，得，由， 得，则 ， 所以. 16. 如图有一块半径为1，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别半径OA，OB上． （1）若四边形为矩形，求其面积最大值； （2）若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围． 【答案】（1）矩形面积最大值为. （2） 【解析】 【分析】（1）连接OP，令，用表示出矩形的面积，再借助三角函数计算作答. （2）利用（1）中信息，用表示出和的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答. 【小问1详解】 连接OP，如图，令， 因四边形为矩形，则， 于是得矩形的面积， 而， 则当，即时，取最大值1， 所以的最大值为， 所以矩形面积最大值为. 【小问2详解】 由(1)知，， 则，， 和的面积和： ， 令，即， 而，则， ， 则， 显然在上单调递减， 当，即时，， 而，因此，， 所以和的面积和的取值范围是. 17. 已知函数. （1）若为偶函数，求函数的定义域； （2）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先得出的值，然后解出的解，即为函数的定义域； （2）先求出的最小值，然后分类讨论求出的最大值，进而得出的取值范围. 【小问1详解】 因为为偶函数， 所以,即， 因为，所以， 解得：，， 所以，， 所以的定义域为. 【小问2详解】 因为过点，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以，， ， 因为 ，所以， 设， 则有图象开口向下，对称轴为的抛物线， 当 时，在 上单调递增， 所以， 所以，解得，所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 ，所以， 解得，故； 当时，， 故，解得，所以， 综上所述：实数 a 的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据题意得，再利用换元法和二次函数的性质对进行分类讨论即可. 18. 已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且． （1）求的解析式； （2）将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若且，求的最大值； （3）记在区间上的最大值为，最小值为，设，求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用辅助角公式化简即得. （2）利用图象变换求出，再求出的取值，进而求出最大值. （3）分段求出的解析式及对应的值域，进而求出在指定区间上的值域. 【小问1详解】 函数， 由图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，得，解得， 则，由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由，即时，， 由，即时，， 由，得，， ，由，得， 同理，因此当时，， 所以的最大值为. 【小问3详解】 由，得， 当时，， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，又，则， 因此，，，； 当时，函数在上单调递减，， ， 因此，，， 所以在区间上的值域为. 19. 已知函数，函数，设. （1）求证：是函数的一个周期； （2）当时，求：在区间上的最大值； （3）若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 【答案】（1） 证明：函数， 则， 所以是函数的一个周期； （2）； （3）或或. 【解析】 【分析】（1）求证即可得证； （2）利用换元法结合二次函数性质进行求解即可； （3）根据绝对值性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦函数性质进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当，时，， 令，因为， 所以，所以， 又，故， 所以， 所以当，单调递增， 所以有. 【小问3详解】 当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递减， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递增， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $