精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷

2024-2025学年度（下）期中质量检测 八年级数学试卷 ※考试时间120分钟，试卷满分120分． 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 1.5，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 7，24，25 3. 下列计算错误是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为菱形，则可以添加的条件是（ ） A B. C. D. 5. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ） A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 6. 下列命题中正确的是（　　） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 7. 如图，是平行四边形的边的中点，，的延长线相交于点，若，，则平行四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 10. 如图，在正方形中，是上一点，，，是上一动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当x______________时，二次根式有意义． 12. 如图，在平行四边形中， ， ，角平分线交于点，交的延长线于点，则____________． 13. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为_______米． 14. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 15. 如图，在长方形中，，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长为_____． 三、解答题：（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 18. 如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 19. 安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端到地面的距离的长． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象简介 吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂升降作业起重臂的长度也可以伸缩 操作示意图 操作数据 起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米 提示：四边形是长方形，． 操作评价 20. 数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： （1）计算：______________； （2）计算：______________； （3）计算：． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求长． 22. 在矩形中，对角线，交于点，，垂足，且平分． （1）求的度数； （2）若，求矩形的面积． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形中对角线于点．所以四边形是垂美四边形． （1）在图1中，我们发现垂美四边形的两组对边满足：，请你证明这个结论； （2）如图2，请你用（1）中的结论解决下面问题：分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（下）期中质量检测 八年级数学试卷 ※考试时间120分钟，试卷满分120分． 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. ，故A选项不符合题意； B. ，故B选项不符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键. 2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 1.5，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 7，24，25 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系，以及勾股定理的逆定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵1.5+2＝2.5＜3；32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252， ∴选项A不能，B，C，D能， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确进行判断． 3. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，不是同类二次根式，无法合并，计算错误. 故选：B. 4. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为菱形，则可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，先证明四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 则当时，则四边形是菱形， 或或都不能证明四边形为菱形， 故选：C 5. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ） A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED． 【详解】解：如图所示： ∵AE//BF， ∴∠EAB=∠ABF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD，∠ABC=90°， ∴∠ABF+27°=90°， ∴∠ABF=63°， ∴∠EAB=63°， ∵AB//CD， ∴∠AED=∠EAB=63°． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 6. 下列命题中正确的是（　　） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形判定，逐个进行验证，即可得出正确选项． 【详解】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确． B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误． C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误． D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，命题的真假判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断. 7. 如图，是平行四边形的边的中点，，的延长线相交于点，若，，则平行四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质得，结合是边的中点，以及对顶角相等得，故，根据平行四边形的性质即可求出平行四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， 则， 则平行四边形的周长为， 故选：C． 8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质；利用全等三角形的性质得到，再根据正方形和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵，，，是四个全等的直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，的长，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选B． 10. 如图，在正方形中，是上一点，，，是上一动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线确定当三点共线时，最小，即最小，最小值为是解题的关键．先根据正方形的性质和线段之间的关系得到，再根据正方形的对称性得到，进而推出当三点共线时，最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P是上一动点， ∴由正方形的对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为10， 故选C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当x______________时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故答案是： 12. 如图，在平行四边形中， ， ，角平分线交于点，交的延长线于点，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．先证明，再结合平行四边形的性质，计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为_______米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵是直角三角形， ∴， ∴大树的高度， 故答案为：18． 14. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得： ． 故答案为：． 15. 如图，在长方形中，，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在对角线上点处，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠可以得到，，，由勾股定理可求出对角线的长，在中，设，用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ 在中， 由于折叠 ∴， 设 在中 ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 三、解答题：（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）6 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）利用二次根式的化简求解即可； （2）根据二次根式的乘除法运算即可； （3）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可； （4）根据完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 17. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合，理由见解析 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 18. 如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 连接，与交于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，进而即可得到结论． 【详解】证明：连接，与交于点O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ， 即， ∴四边形是平行四边形． 19. 安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端到地面的距离的长． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象简介 吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂升降作业起重臂的长度也可以伸缩 操作示意图 操作数据 起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米 提示：四边形长方形，． 操作评价 【答案】点到地面的距离的长为米 【解析】 【分析】中，根据勾股定理求出得到，于得到结论． 【详解】在中， 由勾股定理得， 米， 米， 答：点到地面的距离的长为米． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 20. 数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： （1）计算：______________； （2）计算：______________； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3）2024 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 22. 在矩形中，对角线，交于点，，垂足为，且平分． （1）求的度数； （2）若，求矩形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据矩形的性质得到，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，求出； （2）根据矩形的性质得到，然后利用勾股定理求出厘米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∵平分 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴； 【小问2详解】 由（1）得是等边三角形 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴矩形的面积为． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形中对角线于点．所以四边形是垂美四边形． （1）在图1中，我们发现垂美四边形的两组对边满足：，请你证明这个结论； （2）如图2，请你用（1）中的结论解决下面问题：分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理即可得证； （2）连接，设分别交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出四边形是垂美四边形，利用（1）的结论求解即可得． 【小问1详解】 证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 则． 【小问2详解】 解：如图，连接，设分别交于点， ∵在中，直角边，斜边， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是垂美四边形， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$