2.1 认识实数 典型例题系列专题讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第二章 2.1实数 第一篇 专题精析 专题名称 实数 专题内容 无理数的定义以及实数的相关题型 讲解建议 根据知识点和题型归纳总结 考点题型 十二个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：无理数 2 题型二：无理数的大小估算 17 题型三：实数概念理解 24 题型四：实数的分类 26 题型五：实数的性质 30 题型六：实数与数轴 36 题型七：实数的大小比较 50 题型八：勾股定理与无理数 59 题型九：与实数运算相关的规律题 67 题型十：在实际问题中的大小比较 75 题型十一：新定义下的实数运算 78 题型十二：程序设计与实数运算 97 题型十三： 98 题型十四： 98 题型十五： 98 题型十六： 99 题型十七： 99 题型十八： 99 题型十九： 99 题型二十： 99 第三篇 典型例题汇总 题型一：无理数 【例题1-1】．（22-23七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【例题1-2】．（22-23八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例题1-3】．（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【例题1-4】．（24-25七年级下·河北唐山·期中）在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【例题1-5】．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知实数（两个1之间依次多一个0），，则无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例题1-6】．（22-23七年级下·重庆江津·期中）下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-7】．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-8】．（24-25七年级下·重庆合川·期中）下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【例题1-9】．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）下列实数：，0，，，其中无理数为（    ） A． B．0 C． D． 【例题1-10】．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）在下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【例题1-11】．（2025·山东泰安·一模）在实数，，，，（两个之间依次多一个），，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例题1-12】．（24-25七年级上·浙江温州·期末）在，，，这四个数中，属于无理数的是（  ） A． B． C． D． 【例题1-13】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列实数，，，0，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-14】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-15】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【例题1-16】．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）下列各数：，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， 是无理数的有（ ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【例题1-17】．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列实数： ，， （每两个之间依次多一个），  ， ，其中无理数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例题1-18】．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列各数：，，0.16，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，，是无理数的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【例题1-19】．（23-24九年级上·河南周口·期末）从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【例题1-20】．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 【例题1-21】（23-24七年级上·云南普洱·期末）下列命题中，说法正确的有（    ）个 ①非负数是指正数；②若则；③在时钟的钟面上下午2：40时的分针与时针夹角是；④在数中无理数只有1个；⑤点与点之间的最短距离是线段；⑥由四舍五入法得到的近似数精确到百位；⑦表示的数一定是负数；⑧数字879万用科学记数法表示为． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【例题1-22】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） 50．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，中，，，，点在线段上，若的长度是个无理数，则的长度可以是 ．（写出一个即可） 【例题1-23】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，四边形与四边形均为边长等于1的正方形，连接点A，B，C，D，E，F中任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数的线段的概率为 ． 【例题1-24】．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是 ． 【例题1-25】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成（方格纸中每个小方格的边长为）． (1)如图，线段的长为，请以为一边，画出一个面积为的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为 ；    (2)截取出方格纸的局部如图，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出剪切线，在图中画出拼成的正方形；    (3)截取出方格纸的局部如图，只剪两刀就可以将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出这两条剪切线．    【例题1-26】．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）乐乐同学对方格纸中的数学问题很感兴趣，请你一起来探究吧． (1)图中每个小正方形方格的边长为1，请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形，直角三角形的三个顶点都在格点上： ①使它的三边中有一边的边长不是有理数 ②使它的三边中有两边边长不是有理数 ③使它的三边边长都不是有理数 (2)乐乐认为要计算图中梯形的面积可以利用“算两次”的思想，第一种方法是直接求梯形的面积，第二种方法是利用割或补的方法，请你写出两种方法的过程（割或补的方法只写一种）． 题型二：无理数的大小估算 【例题2-1】．（2025·吉林长春·二模）在数轴上，介于和之间的整数是 ． 【例题2-2】．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例题2-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例题2-4】．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 任务： (1)约率是（   ） A．无理数    B．有限小数    C．整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 【例题2-5】．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【例题2-6】．（24-25七年级下·山东滨州·期中） ， ， ．（填“”“”或“”） 【例题2-7】（2025·江苏苏州·模拟预测）比较大小 ．（填“”“”或“”） 【例题2-8】．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”） 【例题2-9】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ， ， ． 题型三：实数概念理解 【例题3-1】．（24-25八年级上·全国·期中）下列命题中，真命题的个数是（　　） 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 图形平移的方向一定是水平的； 数轴上的每一点都对应唯一一个有理数． A． B． C． D． 【例题3-2】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【例题3-3】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【例题3-4】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【例题3-5】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 题型四：实数的分类 【例题4-1】．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 负实数集合：{______}． 【例题4-2】．（22-23七年级下·湖南株洲·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 【例题4-3】．（22-23八年级上·福建三明·期中）把下列各数填入相应的括号内： (1)无理数：{                  …}； (2)负实数：{                  …}； (3)整  数：{                  …}； (4)分  数：{                  …}； 【例题4-4】．（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【例题4-5】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）将下列各数填入相应的集合内．在，，0，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）． 有理数集合：{                               …}； 无理数集合：{                               …}； 负实数集合：{                               …}． 题型五：实数的性质 【例题5-1】．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【例题5-2】．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 【例题5-3】．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）若和是有理数，且满足，则． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【例题5-4】．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【例题5-5】．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是 ． 【例题5-6】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，其中是整数，，则的相反数为 ． 【例题5-7】．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）正整数m、n，满足，则m的最大值为 ． 【例题5-8】．（22-23八年级上·甘肃白银·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ． 【例题5-9】．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 【例题5-10】．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 【例题5-11】．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： (1)； (2)． 【例题5-12】．（24-25八年级上·福建泉州·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 题型六：实数与数轴 【例题6-1】．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题6-2】．（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【例题6-3】．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）若 x，y 为实数，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例题6-4】．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【例题6-5】．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【例题6-6】．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【例题6-7】．（24-25八年级上·河北唐山·期中）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 【例题6-8】．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．    (1)点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是_______； (2)若线段的中点为，线段上有一点，，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？ (3)若线段的中点为，线段上有一点，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，则的值为_______． 【例题6-9】．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． (3)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【例题6-10】．（2025·四川南充·二模）如图，是实数在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（   ） A． B． C． D． 【例题6-11】．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，点表示的数为1，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【例题6-12】．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（     ） A． B． C． D． 【例题6-13】．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【例题6-14】．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为6的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【例题6-15】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点： (1)那么点对应的数是______________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【例题6-16】．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4． (1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ； (2)请在数轴上表示下列各数：，，； (3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来． 【例题6-17】．（24-25八年级下·广西贺州·期中）如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点B与数轴上表示的点重合，点C与数轴上表示0的点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【例题6-18】．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，点O表示有理数O，点A表示有理数3；过点A作数轴的垂线，以A为圆心，2个单位长度的长为半径画弧交于点B；连接，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C；数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．3.8 D． 【例题6-19】．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，三角形的直角边分别对应数为和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（   ） A． B． C． D． 【例题6-20】．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 题型七：实数的大小比较 【例题7-1】．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 【例题7-2】（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 【例题7-3】．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例题7-4】（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数满足，记，若，则的值一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【例题7-5】．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）若，则一定是（   ） A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大 【例题7-6】．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题7-7】．（2024·北京·模拟预测）已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【例题7-8】．（2024·福建莆田·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例题7-9】．（2024八年级上·江苏·专题练习） ．（填“”或“”或“”） 【例题7-10】．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）比较大小： ． 【例题7-11】．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上、或=）． ① ；② 【例题7-12】．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 【例题7-13】．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）比较大小： ； ． 【例题7-14】．（2024·陕西西安·一模）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【例题7-15】．（2025七年级下·全国·专题练习）比较与的大小． 【例题7-16】．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 题型八：勾股定理与无理数 【例题8-1】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点C，那么点C表示的无理数是（ ） A． B． C． D． 【例题8-2】．（23-24七年级下·广东韶关·期中）阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 【例题8-3】．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【例题8-4】．（24-25八年级上·山西长治·期中）有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【例题8-5】（24-25八年级上·广东深圳·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系． (1)如图1，点是原点，点对应的实数为，过点作垂直于数轴，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，那么点对应的实数为 ； (2)在（1）的条件下，若将线段向右平移，使得点对应的实数为1，那么此时点对应的实数为 ； (3)如图2，点对应的实数是3，射线垂直数轴于点，请在数轴上作出对应的点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹） 【例题8-6】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知． (1)求数轴上点A所表示的数； (2)比较点A所表示的数与的大小． 【例题8-7】．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，已知，，． (1)说出数轴上点A所表示的数为___________； (2)在数轴上找出对应的点． 【例题8-8】．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知点A表示的数为，点A向右运动2个单位长度到达点B，点C表示的数为． (1)在数轴上画出点A； (2)点B表示的数为 ，其绝对值为 ． (3)看图比较大小： （填“>”、“=”或“<”），所以点B在点C ．（填左侧或右侧） 题型九：与实数运算相关的规律题 【例题9-1】．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例题9-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，… 试解决下列问题： ； ② ； ③ ． 【例题9-3】．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，，，，…，按此规律， ． 【例题9-4】．（24-25八年级下·北京·期中）定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，， 试解决下列问题 ① ； ② ． 【例题9-5】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【例题9-6】．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【例题9-7】．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【例题9-8】．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 【例题9-9】．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知，若当时，的值记为；当时，的值记为；当时，的值记为；…．请解决下列问题： （1） ； （2） ． 题型十：在实际问题中的大小比较 【例题10-1】．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）2024年5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．非遗苏绣作品《荷露娇欲语（苏绣）》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由（取3）． 【例题10-2】．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为的正方形空地，现打算将正方形的空地改建成面积为的长方形场地，且其长、宽的比为6：5． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)请问能改造出这样的长方形场地吗，如果能，若将正方形场地的铁栅栏围墙全部利用围成新场地的长方形围墙，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【例题10-3】．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 题型十一：新定义下的实数运算 【例题11-1】．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）已知整式M：，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【例题11-2】．（24-25七年级下·山东聊城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如若，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【例题11-3】．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，．下列说法正确的是(    ) A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【例题11-4】．（2025·重庆·三模）对于一个四位自然数（各数位数字均不为），若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这样的四位数为“倍差和乐数”．例如：，因为，所以是一个“倍差和乐数”．若将“倍差和乐数”的百位数字与千位数字组成的数记为，个位数字与十位数字组成的数记为，并规定．若是一个“倍差和乐数”，则 ，若一个四位数（均为整数，且，，，．）是一个“倍差和乐数”，且与的差能被整除，则满足条件的的最大值与最小值之差为 ． 【例题11-5】．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）一个四位正整数，各数位上的数字均不为，若的千位数字与十位数字之和是百位数字与个位数字之差的倍，则称这个四位数为“差倍数”．例如：，因为，所以是“差倍数”，则最小的“差倍数”是 ．将“差倍数”任意去掉两个数位的数字得到一个两位数，把能得到的所有两位数的和记为．例如：．若“差倍数”的百位数字与个位数字之差是，且是的倍数，则满足条件的“差倍数”的最大值与最小值之和为 ． 【例题11-6】．（2025·江苏无锡·二模）一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是 ；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为 ． 【例题11-7】．（2025·江苏扬州·一模）对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若、都是“迥异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，的最大值为 ． 【例题11-8】．（2025年重庆市九龙坡区九年级中考适应性考试数学试卷）如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“圆梦数”．例如，四位数：是“圆梦数”．则最小的“圆梦数”为 ；对于一个“圆梦数”，规定．若能被7整除，是一个正整数，则符合条件的的最大值为 ． 【例题11-9】（2025·湖南怀化·二模）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例题11-10】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ①对进行“差绝对值运算”的结果是8； ②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例题11-11】．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【例题11-12】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 【例题11-13】．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如果，那么叫做的平方根，如果，那么叫做的4次方根．如果，那么16的4次方根是 ． 【例题11-14】．（24-25七年级下·北京延庆·期中）我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么 ， ． 【例题11-15】（2025·重庆·二模）若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为，则称为“平和数”，并将分解成的过程称为“平和分解”．例如：因为，，，所以是“平和数”，分解成的过程就是“平和分解”．按照这个规定，最大的“平和数”是 ．把一个“平和数”进行“平和分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，把放在的右边组成一个四位数，若的二倍与的和除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数的值是 ． 【例题11-16】．（2025·山东济宁·二模）在数学中，“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何．最终都会收敛到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某位同学对各位数字不同的两位数进行了如下操作：将其各位数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是 ． 【例题11-17】．（2025·重庆·二模）将一个四位数的个位数字截去得到，再将减去个位数字的倍，得到的差记作，如果是的倍数，则称是一个“截尾数”．例如：四位数5508，，，是“截尾数”，则最小的“截尾数”是 ．若“截尾数”是的倍数，且能被整除，则满足条件的“截尾数”的最大值为 ． 【例题11-18】．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是 ；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值 ． 题型十二：程序设计与实数运算 【例题12-1】．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【例题12-2】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【例题12-3】．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第二章 2.1实数 第一篇 专题精析 专题名称 实数 专题内容 无理数的定义以及实数的相关题型 讲解建议 根据知识点和题型归纳总结 考点题型 十二个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：无理数 2 题型二：无理数的大小估算 17 题型三：实数概念理解 24 题型四：实数的分类 26 题型五：实数的性质 30 题型六：实数与数轴 36 题型七：实数的大小比较 50 题型八：勾股定理与无理数 59 题型九：与实数运算相关的规律题 67 题型十：在实际问题中的大小比较 75 题型十一：新定义下的实数运算 78 题型十二：程序设计与实数运算 97 题型十三： 98 题型十四： 98 题型十五： 98 题型十六： 99 题型十七： 99 题型十八： 99 题型十九： 99 题型二十： 99 第三篇 典型例题汇总 题型一：无理数 【例题1-1】．（22-23七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)错误，理由见解析 (5)错误，理由见解析 (6)错误，理由见解析 (7)错误，理由见解析 (8)正确，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】有理数的定义、无理数、实数概念理解 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可． 【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 【例题1-2】．（22-23八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实数概念理解 【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中， 是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1）， ∴无理数的个数是4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键． 【例题1-3】．（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】无理数、实数概念理解、实数的分类 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【例题1-4】．（24-25七年级下·河北唐山·期中）在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的分类 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，，均开方开不尽，是无理数，不符合题意； 故选：B． 【例题1-5】．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知实数（两个1之间依次多一个0），，则无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、实数的分类 【分析】本题考查实数的分类、无理数，根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可求解． 【详解】解：， 在所给数中，，，，（两个1之间依次多一个0）是无理数，共4个， 故选：C． 【例题1-6】．（22-23七年级下·重庆江津·期中）下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求一个数的立方根、实数的性质、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查立方根，实数的性质，根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据立方根的定义，实数的性质，加减法解方程组，逐一进行判断即可． 【详解】解：若与的值互为相反数，且， 则：，解得：， ∴；故①错误； ∵，解得：， ∵是整数，均为整数， ∴， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为；故②正确； ∵， ，得：；故③错误； ∵，解得：， 当互为相反数时，， 即：，此方程无解， 故无论取何值，和的值都不可能互为相反数．故④正确； 综上，正确的有2个； 故选B． 【例题1-7】．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数、实数的性质 【分析】根据无理数的定义和倒数的定义可判断①；根据相反数的定义和0不能做分母可判断②；根据绝对值的性质可判断③；根据有理数的大小比较方法可判断④． 【详解】解：①无理数的倒数还是无理数，正确； ②当时，无意义，故若互为相反数，则说法错误； ③若a为任意有理数，则，正确； ④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误． 综上可知正确的有①③共两个． 故选B． 【点睛】本题考查无理数的定义，倒数的定义，相反数的定义，0不能做分母，绝对值的性质，有理数的大小比较．熟练掌握上述知识是解题关键． 【例题1-8】．（24-25七年级下·重庆合川·期中）下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题考查了有理数与无理数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有理数与无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故A选项不符合题意； B、，是整数，属于有理数，故B选项不符合题意； C、是无理数，故C选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故D选项不符合题意； 故选：C． 【例题1-9】．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）下列实数：，0，，，其中无理数为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数即为无限不循环小数是解题的关键．根据无理数即为无限不循环小数进行判定即可． 【详解】解：， 其中无理数为， 故选C． 【例题1-10】．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）在下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．熟练掌握无理数就是无限不循环小数即可得到答案． 【详解】解：是无限不循环小数，即无理数， 故选C． 【例题1-11】．（2025·山东泰安·一模）在实数，，，，（两个之间依次多一个），，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】此题考查无理数的定义，解题关键在于掌握无理数为开方开不尽的数，以及像（两个之间依次多一个），等有这样规律的数． 无理数：无限不循环的小数是无理数，根据无理数的定义依次判断即可； 【详解】解：上述数中，是无理数的有：（两个之间依次多一个），，，共个； 故选：C． 【例题1-12】．（24-25七年级上·浙江温州·期末）在，，，这四个数中，属于无理数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键； 注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个之间依次多个）等形式． 根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例题1-13】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列实数，，，0，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的知识，无理数是无限不循环小数，掌握以上知识是解题的关键； 常见的无理数类型包括含有的数和开方开不尽的数，根据以上知识进行作答，即可求解． 【详解】解：，则是有理数，是无限循环小数，属于有理数， 实数，，，0，，中，无理数有，，共2个． 故选：B． 【例题1-14】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数就是无限不循环小数进行计算即可． 【详解】解：无理数就是无限不循环小数，是无限不循环小数， 故选C． 【例题1-15】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】无理数、有理数的定义 【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键； 直接利用有理数和有理数的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选：D 【例题1-16】．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）下列各数：，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， 是无理数的有（ ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断即可，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：是无理数的有：，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， ∴是无理数的共个， 故选：B． 【例题1-17】．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列实数： ，， （每两个之间依次多一个），  ， ，其中无理数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的概念，含根号的实数要判断是否能开得尽方是本题的关键． 根据无理数的概念，即无限不循环小数，依次判断即可得出答案． 【详解】解：是分数，是有理数；是无理数；（每两个之间依次多一个）是无理数；是有理数，是无理数； 故有个无理数； 故选：C 【例题1-18】．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列各数：，，0.16，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，，是无理数的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】，是有限小数，有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， 0.16，是有限小数，有理数， ，是无限不循环小数，是无理数， （两个1之间的0的个数逐次增加1），是无限不循环小数，是无理数， ，是分数，是有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， ，是有限小数，有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， 综上所述：共有5个无理数， 故选：D． 【例题1-19】．（23-24九年级上·河南周口·期末）从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法． 【详解】解：从数据，，1.9．，，中任选一个数，抽到的无理数的有，这2种可能， 从数据，，1.9．，，中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是． 故选：B． 【例题1-20】．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义：“无限不循环小数、根号开不尽的数”是解题的关键，根据无理数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是有理数，此选项不符合题意； B、是无理数，此选项符合题意； C、为有限小数，是有理数，此选项不符合题意； D、为分数，是有理数，此选项不符合题意； 故选：B． 【例题1-21】（23-24七年级上·云南普洱·期末）下列命题中，说法正确的有（    ）个 ①非负数是指正数；②若则；③在时钟的钟面上下午2：40时的分针与时针夹角是；④在数中无理数只有1个；⑤点与点之间的最短距离是线段；⑥由四舍五入法得到的近似数精确到百位；⑦表示的数一定是负数；⑧数字879万用科学记数法表示为． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数、无理数、钟面角 【分析】本题考查了非负数，绝对值，无理数，近似数，科学记数法，根据知识点判断即可． 【详解】①非负数是指正数和零，错误； ②若则或，错误； ③在时钟的钟面上下午2：40时的分针与时针夹角是，正确 ④在数中无理数只有1个，正确； ⑤点与点之间的最短距离是线段的长度，错误； ⑥由四舍五入法得到的近似数精确到百位，正确； ⑦表示的数不一定是负数，错误； ⑧数字879万用科学记数法表示为，正确． 故选C． 【例题1-22】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） 50．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，中，，，，点在线段上，若的长度是个无理数，则的长度可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】无理数、垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理，无理数的定义，解题的关键是掌握垂线段最短，以及无理数的定义．先利用勾股定理求出，根据垂线段最短得出，则，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， ∴的长度可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【例题1-23】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，四边形与四边形均为边长等于1的正方形，连接点A，B，C，D，E，F中任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数的线段的概率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、无理数 【分析】由题意知，连接两点所得的所有线段共15条，其中长度为无理数的线段有6条，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：连接两点所得的所有线段有：，，，，，，，，，，，，，，，共15条， 其中长度为无理数的线段有：，，，，，，共6条， ∴在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数的线段的概率为． 故答案为：． 【例题1-24】．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理数、根据概率公式计算概率 【分析】先找出3.14、、、这四个数中无理数的个数，再根据概率的计算公式进行计算即可． 本题主要考查了无理数的概念和概率的计算．无限不循环小数叫做无理数，通常情况下开方开不尽的数是无理数．熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 【详解】3.14、、、这四个数中无理数有一个， ∴从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是． 故答案为： 【例题1-25】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成（方格纸中每个小方格的边长为）． (1)如图，线段的长为，请以为一边，画出一个面积为的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为 ；    (2)截取出方格纸的局部如图，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出剪切线，在图中画出拼成的正方形；    (3)截取出方格纸的局部如图，只剪两刀就可以将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出这两条剪切线．    【答案】(1)，作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【难度】0.65 【知识点】无理数、勾股定理与网格问题 【分析】（）根据题目要求作出即可，利用勾股定理求出； （）个小正方形的面积和为，拼成的正方形的边长为，由此即可解决问题； （）截取一个边长为的正方形即可； 本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理与无理数，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图中，    ∴即为所求，第三边的长， 故答案为：； （2）解：如图，    ∴正方形即为所求； （3）解：如图（答案不唯一），    【例题1-26】．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）乐乐同学对方格纸中的数学问题很感兴趣，请你一起来探究吧． (1)图中每个小正方形方格的边长为1，请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形，直角三角形的三个顶点都在格点上： ①使它的三边中有一边的边长不是有理数 ②使它的三边中有两边边长不是有理数 ③使它的三边边长都不是有理数 (2)乐乐认为要计算图中梯形的面积可以利用“算两次”的思想，第一种方法是直接求梯形的面积，第二种方法是利用割或补的方法，请你写出两种方法的过程（割或补的方法只写一种）． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2)过程见解析 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、无理数 【分析】本题考查了实数、网格作图、勾股定理、求梯形的面积等知识，解题关键是能利用勾股定理在网格中作出不是有理数的边，能利用公式或者割补法求梯形的面积． （1））分别利用勾股定理构造无理数的边即可； （2）方法一可以先作出梯形的高，利用勾股定理求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形的面积公式求解，方法二可以先补成一个矩形，再减去三个直角三角形即可求解． 【详解】（1）①如图： （答案不唯一） ②如图： （答案不唯一） ③如图： （答案不唯一） （2）方法一： 如图，，，， ∴梯形的面积； 方法二： 如图，梯形的面积． 题型二：无理数的大小估算 【例题2-1】．（2025·吉林长春·二模）在数轴上，介于和之间的整数是 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 求出和的范围即可求解． 【详解】解：∵，即， ，即， ∴介于和之间的整数是3， 故答案为：3． 【例题2-2】．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、实数的性质 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 【例题2-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的运算的规律，实数与数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键．先由题意可得，点的数为2，再整理得表示的数为，故表示的数为，，同理得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵记右侧最近的整数点为， ∴点的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， 表示的数为， ， 则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， 则 同理可得；； 故选：D． 【例题2-4】．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 任务： (1)约率是（   ） A．无理数    B．有限小数    C．整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 【答案】(1)D (2) 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、实数的分类 【分析】本题考查了无理数的估算，读懂题意是解本题的关键． （1）是正分数，是有理数； （2）根据“调日法”的计算规则，计算求值即可． 【详解】（1）解：是正分数，是有理数． 故选：D； （2）解：， 首次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为． 且， ， 再次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为， 的近似分数为． 【例题2-5】．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、实数的性质、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 【例题2-6】．（24-25七年级下·山东滨州·期中） ， ， ．（填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较．先作差，再利用二次根式的估算，从而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 故答案为：；；； 【例题2-7】（2025·江苏苏州·模拟预测）比较大小 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数的大小比较，先计算出，再估算出，得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题2-8】．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查了用求差法比较实数的大小，因为，其中，所以可得：，从而可得：． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 【例题2-9】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ， ， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】去括号、实数的大小比较、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值、无理数的大小比较、去括号法则，先确定出，从而确定，，再根据绝对值的代数意义进行化简；解题的关键是确定，理解：绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：；；． 题型三：实数概念理解 【例题3-1】．（24-25八年级上·全国·期中）下列命题中，真命题的个数是（　　） 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 图形平移的方向一定是水平的； 数轴上的每一点都对应唯一一个有理数． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断命题真假、平行公理的应用、垂线的定义理解、实数概念理解 【分析】本题考查了命题真假的判断，根据平行线的定义及性质、垂线的定义、图形的平移，数轴特点逐一判断即可求解，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意；； 图形平移的方向不一定是水平的，原命题是假命题，不符合题意； 数轴上的每一点都对应唯一一个实数，原命题是假命题，不符合题意； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【例题3-2】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实数的分类、实数概念理解 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【例题3-3】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、无理数、实数与数轴、实数概念理解 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【例题3-4】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【难度】0.65 【知识点】实数概念理解、无理数、倒数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 【例题3-5】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】实数概念理解、实数的分类 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键． 题型四：实数的分类 【例题4-1】．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 负实数集合：{______}． 【答案】见解析． 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、实数概念理解、实数的分类 【分析】根据有理数、无理数、负实数的定义解答． 【详解】解∶ 在，0，，，，，， 中，，，， 有理数集合∶； 无理数集合∶ ； 负实数集合∶ ． 【点睛】本题考查了实数的定义，掌握实数的范围以及分类方法是解题的关键． 【例题4-2】．（22-23七年级下·湖南株洲·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 【答案】(1)，，0，， (2)， (3)，， 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、无理数、实数概念理解 【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解； （2）根据负无理数的定义，即可求解； （3）根据正实数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：， 有理数集合：{，，0，，，……}； 故答案为：，，0，，； （2）解：负无理数集合：{，，……}； 故答案为：，； （3）解：正实数集合：{，，，……}． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数． 【例题4-3】．（22-23八年级上·福建三明·期中）把下列各数填入相应的括号内： (1)无理数：{                  …}； (2)负实数：{                  …}； (3)整  数：{                  …}； (4)分  数：{                  …}； 【答案】(1)无理数：； (2)负实数：； (3)整   数：； (4)分   数： 【难度】0.65 【知识点】实数概念理解 【分析】（1）根据无理数是无限不循环的小数判断即可； （2）根据负实数包括负有理数和负无理数判断即可； （3）根据整数包括正整数、0、负整数判断即可； （4）根据分数包括正分数和负分数判断即可． 【详解】（1）解：无理数：； （2）负实数：； （3）整   数：； （4）分   数：． 【点睛】本题考查了实数的有关定义，解题的关键是掌握相关定义． 【例题4-4】．（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【难度】0.85 【知识点】有理数的定义、求一个数的立方根、无理数、实数概念理解 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 【例题4-5】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）将下列各数填入相应的集合内．在，，0，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）． 有理数集合：{                               …}； 无理数集合：{                               …}； 负实数集合：{                               …}． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、实数的分类、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的分类，零指数幂，开平方，开立方，解题的关键是掌握实数的范围以及分类方法．先利用零指数幂、开平方、开立方运算法则化简各项，再根据实数的分类，进行解答即可． 【详解】解：，，， 有理数集合：{，，0，，，}； 无理数集合：{ ，， ，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）…}； 负实数集合：{ ，…}． 题型五：实数的性质 【例题5-1】．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、实数的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解， 本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴， 【例题5-2】．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知一个数a的绝对值是，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，根据题意得到a的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵一个数a的绝对值是， ， 或． 故选：C． 【例题5-3】．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）若和是有理数，且满足，则． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，立方根，实数，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，实数的概念； （1）根据是无理数，是有理数，可得，再根据立方根的概念求解即可； （2）根据是无理数，是有理数，可得，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 所以， 所以的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ， 解得， ， 的平方根为， 故答案为：． 【例题5-4】．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、实数的性质 【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 【例题5-5】．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是 ． 【答案】①④/④① 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了立方根，实数的性质以及运算法则，根据实数的性质，加减乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：立方根等于本身的数是，0，1，故①说法正确； 时，，此时没有平方根， 时，，此时有平方根，故②说法错误； ，，两个均是无理数，它们的和为0，是有理数，故③说法错误； 若，，即，，则，故④说法正确； 若，即，则，即，故⑤说法错误； 若，则不一定是负数，例如，满足，但是是正数，故⑥说法错误； 故答案为：①④． 【例题5-6】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，其中是整数，，则的相反数为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、无理数整数部分的有关计算、实数的性质 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，实数的性质，先根据无理数的估算方法得到，则可得到，据此求出的值，再根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，， ∴， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 【例题5-7】．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）正整数m、n，满足，则m的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、整式加减的应用 【分析】本题考查的是数的整除性问题，把m用含n的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，求出m的最大值． 【详解】解：， ∴当时，m的最大值为． 故答案为． 【例题5-8】．（22-23八年级上·甘肃白银·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的性质 【分析】本题考查实数的运算和性质，根据算术平方根的定义，绝对值的意义，倒数的定义，进行求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 的绝对值是， 的倒数是； 故答案为：，，． 【例题5-9】．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 【答案】 4 8 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的混合运算、去绝对值，以及一种新的运算，将所求的式子转化是解题的关键．根据运算法则，把要求的式子转化成我们学过的内容，再计算即可． 【详解】， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以的最小值为8， 故答案为：4，8 【例题5-10】．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、立方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查的是立方根的含义，求解一个数的平方根，相反数的含义，先由相反数的定义可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， ∴． ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 【例题5-11】．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、实数的性质、求一个数的立方根 【分析】此题主要考查了实数的运算． （1）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算即可； （2）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【例题5-12】．（24-25八年级上·福建泉州·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、实数的性质、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出，的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出，的方程，解方程求得，的值，再利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）， ， 即， ， ， 的算术平方根为． 题型六：实数与数轴 【例题6-1】．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实数概念理解、实数与数轴 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误． ∴正确的是②③共2个． 故选：B． 【例题6-2】．（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、实数概念理解 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 【例题6-3】．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）若 x，y 为实数，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、实数概念理解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求得的值，然后代入代数式即可求解． 【详解】解：， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值，求得的值是解题的关键． 【例题6-4】．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的性质、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 【例题6-5】．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、实数的性质 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 【例题6-6】．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、实数的性质、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 【例题6-7】．（24-25八年级上·河北唐山·期中）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 【答案】(1)，图见解析； (2)，图见解析； (3)． 【难度】0.4 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数． 根据面积的公式可知：面积为的正方形的边长为，在数轴上构造直角边长为的等腰直角三角形，以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆，圆与数轴的交点表示的数即为， 把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是； 在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形，以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为，这一点在点的左侧，根据两点的位置关系比较两数的大小． 【详解】（1）解：面积为的正方形的边长为， 点表示的数是， 如下图所示，在数轴上作直角边长为的等腰直角三角形， 以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆， 圆与数轴的交点表示的数即为， 故答案为：； （2）解：把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是， 在数轴上表示点如下图所示， 故答案为：； （3）解：如下图所示，在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形， 以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为， 这一点在点的左侧， ． 【例题6-8】．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．    (1)点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是_______； (2)若线段的中点为，线段上有一点，，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？ (3)若线段的中点为，线段上有一点，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，则的值为_______． 【答案】(1)， (2)当或时，原点恰为线段的三等分点 (3)的值为或 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左减右加”即可求得结论； （2）先根据题意求得点M、N在数轴上对应的数，再根据点M、N运动规律求得运动后所对应的数，点O为的三等分点要分两种情形：或进行讨论，分别列方程求解，要注意对结果要进行验证； （3）以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形，由，只要分两种情形进行讨论：或，运用勾股定理即可构建方程求解． 【详解】（1）解：长方形的长是个单位长度，且点在数轴上表示的数是， 点在数轴上表示的数为， 两点之间的距离为，长方形的长是个单位长度， 点在数轴上表示的数为； 故答案为：，； （2）由题意知，线段的中点为，则表示的数为，线段上有一点，且，则表示的数为． 以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为， 即：，， 原点恰为线段的三等分点， 或且点在线段上，即M、N表示的数异号， ①当时，则有， 解得或， 经检验，不符合题意，舍去，符合题意． ②当时，则有， 解得或， 经检验，不符合题意，舍去，符合题意； 综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点． （3）根据题意，因为M、N、F三点中点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况： ①当时，点与点重合，此时，解得：； ②当时， ，， ，， ， ， ， ， 解得． ③如图，连接， 是长方形， ， ，或， 综上所述，的值为或．    【点睛】本题为动点问题，考查了实数与数轴上的点的对应关系及分类讨论思想，明确线段之间的数量关系，能够表示出线段长是解题的关键． 【例题6-9】．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ (1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 (2)“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． (3)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1)B (2)，，， (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 【详解】（1）解：体现了数形结合的思想； 故选：B； （2）解：图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； （3）解：∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点P表示的数为． 【例题6-10】．（2025·四川南充·二模）如图，是实数在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴 【分析】本题考查的是绝对值实数与数轴，由图可知，a在与之间，b在1与2之间，在这基础上用实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由图可知，a在与之间，b在1与2之间， ∴，；， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【例题6-11】．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，点表示的数为1，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴．根据题意得，结合点表示的数为1，点在点左侧，从而得到点表示的数． 【详解】解：根据题意得， ∵点表示的数为1，点在点左侧， ∴点表示的数为， 故选：A． 【例题6-12】．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法，确定取值范围，对照数轴覆盖数的范围判定即可． 【详解】解：根据数轴信息，得到被墨迹覆盖的数x满足， A、，则不符合题意； B、，即，则符合题意； C、，即，则不符合题意； D、，则不符合题意； 故选：B． 【例题6-13】．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：C． 【例题6-14】．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为6的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题主要考查了正方形的面积，实数与数轴，熟记正方形的面积公式是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据作法可得，从而得出结果． 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是2， ∴点E所表示的数为， 故选：D． 【例题6-15】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点： (1)那么点对应的数是______________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答； （2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离为圆的周长， ∴点对应的数是， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∴． 【例题6-16】．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4． (1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ； (2)请在数轴上表示下列各数：，，； (3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来． 【答案】(1)2， (2)见详解 (3)． 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，用数轴表示实数，以及利用数轴比较实数的大小． （1）由题意知一个小正方形的面积为1，则阴影部分的面积为：，边长为； （2）由，，在数轴上表示出各实数即可； （3）根据数轴比较实数的大小即可． 【详解】（1）解：∵由题意知：一个小正方形的面积为1， ∴阴影部分的面积为：，边长为． 故答案为：2，； （2）解：，， 则在数轴上表示如下： ； （3）解：由（2）可知：． 【例题6-17】．（24-25八年级下·广西贺州·期中）如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点B与数轴上表示的点重合，点C与数轴上表示0的点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求得，求得点D表示的数为即可． 【详解】解：∵有一个含有角的直角三角板， ∴， ∴， ∴点D表示的数为． 故选：C． 【例题6-18】．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，点O表示有理数O，点A表示有理数3；过点A作数轴的垂线，以A为圆心，2个单位长度的长为半径画弧交于点B；连接，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C；数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．3.8 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查作图、实数与数轴、勾股定理．首先利用勾股定理计算出的长，然后再由题意可得，从而可得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数为3， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C， ∴， ∴点C表示的数为． 故选：D． 【例题6-19】．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，三角形的直角边分别对应数为和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点的距离，熟练数轴两点之间距离是解题的关键； 本题可先根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，该长度等于点A到这个点的距离，再结合数轴上点的位置关系求出点A所表示的数． 【详解】解：∵三角形的直角边分别对应数为和1， ∴直角三角形的两条直角边长分别为2和1， 根据勾股定理， ∴点A到的距离是， 设点A表示的数为a， ∴， 故选：D． 【例题6-20】．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与无理数、无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据数轴可得在线段上的点，所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、是无理数，且，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：B． 题型七：实数的大小比较 【例题7-1】．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查相反数的定义、绝对值的性质以及实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；先判断的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】①解：的相反数是； 故答案为； ② 的绝对值是， 故答案为； ③， 即 ． 故答案为：． 【例题7-2】（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 / / 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的相反数是；的倒数是 故答案为：；． 【例题7-3】．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，则，再求出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴， ∴， 故选：D． 【例题7-4】（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数满足，记，若，则的值一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查比较实数的大小，根据，得到，进而得到，，，推出，根据，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：的值一定是非正数； 故选C． 【例题7-5】．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）若，则一定是（   ） A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数的大小比较，选择一个合适的数代入是解题的关键，在所给的范围内选择一个具体的数代入后比较即可． 【详解】 可取，那么 最小，最大． 故选：A． 【例题7-6】．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握两个负数比较、绝对值大的反而小是解题的关键． 根据两个负数比较、绝对值大的反而小逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，则，故此选项错误，不符合题意； B、由，，则，故此选项正确，符合题 C、由，，则，故此选项错误，不符合题意； D、由，，则，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【例题7-7】．（2024·北京·模拟预测）已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题考查了实数比较大小，正数大于0，负数小于0，绝对值大的负数反而小，再根据进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， 即，，，中最小的数是， 故选：D． 【例题7-8】．（2024·福建莆田·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、实数的大小比较、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案． 【详解】解： ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例题7-9】．（2024八年级上·江苏·专题练习） ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据，即，即可得出答案，解题的关键是掌握实数的大小比较方法． 【详解】解：∵，即， ∴， 故答案为：． 【例题7-10】．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用比差法计算是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【例题7-11】．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上、或=）． ① ；② 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】①根据实数的大小比较解答即可. ②根据实数的大小比较，无理数的估算解答即可. 本题考查了无理数的估算，大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键. 【详解】解：①∵，且， ∴； 故答案为：. ②∵， ∴ ∴， ∵是负数， ∴， 故答案为：. 【例题7-12】．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、实数的大小比较 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握偶次方，算术平方根，绝对值的非负性质，是解答问题的关键． 根据平方，算术平方根，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，求出a，b，c的值，比较，得出答案． 【详解】∵，，，且， ∴， ， ， ∴，， ， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【例题7-13】．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）比较大小： ； ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的大小比较、积的乘方运算 【分析】本题考查无理数的大小比较，算术平方根，分别计算进行比较的两个数的平方，再进行比较即可．解题的关键是掌握：，也考查了积的乘方． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴； ∵，， 又∵， ∴． 故答案为：；． 【例题7-14】．（2024·陕西西安·一模）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，能够判断出两个数的符号是解题的关键． 根据实数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴． 故答案为：＜． 【例题7-15】．（2025七年级下·全国·专题练习）比较与的大小． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查平方根、立方根、实数的运算及比较大小，根据进行比较，熟练掌握并灵活运用它们是本题的关键． 【详解】解：因为，所以， 所以． 因为，所以，所以． 【例题7-16】．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，幂的乘方的逆用，有理数的大小比较，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． （）根据材料二的方法求解即可； （）先根据材料一的方法可得，，然后判断即可解答； 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 题型八：勾股定理与无理数 【例题8-1】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点C，那么点C表示的无理数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求得的长度，即可得出点C表示的无理数． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点C表示的无理数是． 故选：D． 【例题8-2】．（23-24七年级下·广东韶关·期中）阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3)，见解析 (4)，见解析 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，掌握数轴上确定表示无理数所在点的位置的方法，是解题的关键． （1）根据图形，利用勾股定理求出大正方形的边长，即可，根据数轴构造无理数的方法，作图即可； （2）由图可知，点到1的距离为，根据两点间的距离即可得出结果； （3）以为圆心，为半径化弧，与数轴的交点到的距离即为，确定点位置，进行比较即可； （4）将的值代入，化简绝对值，然后在数轴上表示出结果即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：，如图，M点表示的数为； （2）由图可知，点到1的距离为， ∴点B表示的数为，点表示的数为：； 故答案为：，； （3）点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示： ． （4）由（1），得，， 原式 ． 【例题8-3】．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 【例题8-4】．（24-25八年级上·山西长治·期中）有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】程序设计与实数运算、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 【例题8-5】（24-25八年级上·广东深圳·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系． (1)如图1，点是原点，点对应的实数为，过点作垂直于数轴，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，那么点对应的实数为 ； (2)在（1）的条件下，若将线段向右平移，使得点对应的实数为1，那么此时点对应的实数为 ； (3)如图2，点对应的实数是3，射线垂直数轴于点，请在数轴上作出对应的点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识．熟练掌握实数与数轴，勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理得，，则点对应的实数为； （2）由题意知，此时点对应的实数为； （3）由题意知，，如图，在上取，连接，由，如图，取点，表示的数为，然后以为圆心，为半径画弧，右侧交点即为，点即为所作． 【详解】（1）解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴点对应的实数为， 故答案为：； （2）解：由题意知，此时点对应的实数为； 故答案为：； （3）解：由题意知，， 如图，在上取，连接， ∵， ∴如图，取点，表示的数为，然后以为圆心，为半径画弧，右侧交点即为，点即为所作． 【例题8-6】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知． (1)求数轴上点A所表示的数； (2)比较点A所表示的数与的大小． 【答案】(1)点A所表示的数是 (2) 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的大小比较．掌握比较实数大小的方法是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，即可得出点A所表示的数， （2）由，得到，从而得到．即可得出结论． 【详解】（1）解：由勾股定理，得， ∵ 又点A在负半轴上， ∴点A所表示的数是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例题8-7】．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，已知，，． (1)说出数轴上点A所表示的数为___________； (2)在数轴上找出对应的点． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】本题为考查了实数与数轴，解题的关键构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）过表示数3的点D作数轴的垂线，取，以O为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点． 【详解】（1）解：在中，，，． ∴， ∴， ∵点 A在原点左侧， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）如图，点G表示的数为， 【例题8-8】．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知点A表示的数为，点A向右运动2个单位长度到达点B，点C表示的数为． (1)在数轴上画出点A； (2)点B表示的数为 ，其绝对值为 ． (3)看图比较大小： （填“>”、“=”或“<”），所以点B在点C ．（填左侧或右侧） 【答案】(1)见详解 (2)， (3)，右侧 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、绝对值的几何意义、勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】该题主要考查了勾股定理，无理数以及无理数大小比较等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意作边长为1的正方形，对角线即为，以O点为圆心，为半径作圆即可． （2）根据数轴上的平移规律和绝对值定义求解即可． （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上画出点A如图： 作边长为1的正方形，对角线即为，以O点为圆心，为半径作圆即可． （2）解：点B表示的数为， ∵，∴， ∴． （3）解：根据图象可得：， ∴， 所以点B在点C右侧， 故答案为：，右侧． 题型九：与实数运算相关的规律题 【例题9-1】．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】与实数运算相关的规律题、实数与数轴 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 【例题9-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，… 试解决下列问题： ； ② ； ③ ． 【答案】 2 3 【难度】0.4 【知识点】与实数运算相关的规律题、实数的混合运算、无理数的大小估算 【分析】①直接根据新定义，即可求解； ②根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ③根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③∵， ∴ ． 故答案为：①2；② 3；③． 【点睛】本题主要考查了新定义，无理数的估算，与实数运算有关的规律探索，解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题③的要点是：当n为正整数时，． 【例题9-3】．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，，，，…，按此规律， ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、与实数运算相关的规律题 【分析】由题意得从1开始个连续的奇数的和等于，求出连续奇数的个数即可解决问题． 【详解】解：，从1开始连续2个奇数相加； ，从1开始连续3个奇数相加； ，从1开始连续4个奇数相加； 连续整数的个数为：4045个，其中奇数的个数比偶数的个数多1个， 中，奇数有2023个，偶数有2022个， ， 故答案为：． 【点睛】本题是规律型的，从1开始连续2个奇数和等于，连续3个奇数的和为，连续4个奇数的和为，可以得出连续个奇数的和为的规律，解题的关键是求出连续奇数的个数． 【例题9-4】．（24-25八年级下·北京·期中）定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，， 试解决下列问题 ① ； ② ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、与实数运算相关的规律题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，与实数运算有关的规律探索，解第①小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题②的要点是：当n为正整数时，． ①根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ②根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵， ∴ ． 故答案为：， 【例题9-5】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，根据题意找到数据的规律是解体的关键． 根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置． 【详解】， 解：由题意可得，每五个数一行，， ，， 故所在的位置是第七行第二个数，位置记为， 故答案为：． 【例题9-6】．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例题9-7】．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题9-8】．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴ ； 故答案为： ． 【例题9-9】．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知，若当时，的值记为；当时，的值记为；当时，的值记为；…．请解决下列问题： （1） ； （2） ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查数字规律问题，实数的运算，根据题意，求出，得到规律即可得到答案，根据运算，得到从第三项开始值均为，即（其中为正整数）是解决问题关键． 【详解】解：（1）， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）由（1）知，从第三项开始值均为，即（其中为正整数）， ， 故答案为：（1）；（2）． 题型十：在实际问题中的大小比较 【例题10-1】．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）2024年5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．非遗苏绣作品《荷露娇欲语（苏绣）》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由（取3）． 【答案】(1)绣布的长为，宽为； (2)不能够裁出来．理由见解析 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，实数的大小比较；正确理解题意、会利用算术平方根求解、正确比较实数的大小是解题的关键． （1）设绣布的长为，宽为，由长方形的面积即可求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为r，由圆的面积得，进行估算比较大小，即可求解； 【详解】（1）解：依题意，设绣布的长为，宽为， 根据题意，得， 即， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∴绣布的长为，宽为； （2）解：不能够裁出来． 理由如下：设完整的圆形绣布的半径为， 由题意，得， ∵π取3， ∴， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴． ∴不能够裁出来． 【例题10-2】．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为的正方形空地，现打算将正方形的空地改建成面积为的长方形场地，且其长、宽的比为6：5． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)请问能改造出这样的长方形场地吗，如果能，若将正方形场地的铁栅栏围墙全部利用围成新场地的长方形围墙，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)长方形场地的长和宽分别为米、米 (2)能改造，原铁栅栏够用，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数的大小比较，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键． （1）设长方形场地长为米，则其宽为米，根据长方形面积列出方程求出的值，进而可知长方形长与宽； （2）比较长方形的长与原正方形的边长即可判断能否改造，由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用． 【详解】（1）解：设长方形场地长为米，则其宽为米，根据题意， 得：， 解得：或（舍）， 长，宽， 答：改建后的长方形场地的长和宽分别为米、米； （2）设正方形边长为，则， 解得：或（舍）， ， ∴， ∴能改造出这样的长方形场地 原正方形周长为120米， 新长方形的周长为， ， ∴ 栅栏够用， 答：能改造出这样的长方形场地，这些金属栅栏够用． 【例题10-3】．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、实数的性质 【分析】本题考查实数的性质，实数的混合运算，根据相反数，倒数和绝对值的意义，得到，分和，两种情况进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴ 或； 故答案为：． 题型十一：新定义下的实数运算 【例题11-1】．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）已知整式M：，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，根据可得，据此可判断①；分，，，，，，两种情况分别求出对应的M即可判断②；可求出，，那么当是一定不符合题意，再证明可符合题意即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 当时，则， ∵，且，，都是自然数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个，故②正确； 当时，， ∵，， ∴当时，， 当， ∵， ∴中，其中63个数取0到62的自然数，第63个数取72即可满足题意， ∴n的最大值为63，故③错误， 故选：B． 【例题11-2】．（24-25七年级下·山东聊城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如若，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，新定义下的实数运算，根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题． 【详解】解：∵，， 故． 故选： C． 【例题11-3】．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，．下列说法正确的是(    ) A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、整式的加减运算 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，新定义的理解，准确按照新定义进行运算是解本题的关键．根据不同范围，选择特定值进行计算,按照新定义进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：C． 【例题11-4】．（2025·重庆·三模）对于一个四位自然数（各数位数字均不为），若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这样的四位数为“倍差和乐数”．例如：，因为，所以是一个“倍差和乐数”．若将“倍差和乐数”的百位数字与千位数字组成的数记为，个位数字与十位数字组成的数记为，并规定．若是一个“倍差和乐数”，则 ，若一个四位数（均为整数，且，，，．）是一个“倍差和乐数”，且与的差能被整除，则满足条件的的最大值与最小值之差为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，整式加减的运用，根据新定义可得，即得，同理可得，，即得，可得是的倍数，得到或，进而解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴ ， ∴， ∵四位数是一个“倍差和乐数”， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵与的差能被整除， ∴是的倍数， ∴或， 当时，，此时，不合，舍去； 当时，，此时，即， 当，，，时，取最大值，最大值为， 当，，，时，取最小值，最小值为， ∴满足条件的的最大值与最小值之差为， 故答案为：，． 【例题11-5】．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）一个四位正整数，各数位上的数字均不为，若的千位数字与十位数字之和是百位数字与个位数字之差的倍，则称这个四位数为“差倍数”．例如：，因为，所以是“差倍数”，则最小的“差倍数”是 ．将“差倍数”任意去掉两个数位的数字得到一个两位数，把能得到的所有两位数的和记为．例如：．若“差倍数”的百位数字与个位数字之差是，且是的倍数，则满足条件的“差倍数”的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】整式加减的应用、数字类规律探索、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了“差倍数”的定义，代数式，解题的关键是理解定义．根据“差倍数”的定义，并结合题意求解即可． 【详解】解：一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为、、、，且各数位上的数字均不为， 根据题意可得：， 要使“差倍数”最小，则， ，且 ，，则， 最小的“差倍数”是； 故答案为： 由题意可得：， 则，， ， ， 是的倍数，是的倍数， 是的倍数， 当时，，不是的倍数； 当时，，是的倍数，此时，则最小可取，则，此时足条件的“差倍数”的最小值为； 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，是的倍数，此时，则最小可取，则，此时足条件的“差倍数”的最小值为； 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 满足条件的“差倍数”的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 【例题11-6】．（2025·江苏无锡·二模）一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是 ；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为 ． 【答案】 8 或 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算、整式四则混合运算 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据题意得到，由此即可可得满足条件的“智惠数”中最大的数，设，（是正整数），由此列举判定即可． 【详解】解：，叫做“智惠数”，若， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值， ∵， ∴当时，， ∴满足条件的“智惠数”中最大的数是； 已知， ∴，， ∴是完全平方数， 能被整除， 设，（是正整数）， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴符合条件的：或，对应的“智惠数”的值为或； 故答案为：①；②或 ． 【例题11-7】．（2025·江苏扬州·一模）对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若、都是“迥异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算，设，且，根据定义可得，即得，，进而由得，再根据、都是正整数解答即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、都是正整数， ∴（不合）或或（不合）或， ∴，或，， ∴或， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 【例题11-8】．（2025年重庆市九龙坡区九年级中考适应性考试数学试卷）如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“圆梦数”．例如，四位数：是“圆梦数”．则最小的“圆梦数”为 ；对于一个“圆梦数”，规定．若能被7整除，是一个正整数，则符合条件的的最大值为 ． 【答案】 1243 8932 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解新定义是解题的关键． 由题意最小的“圆梦数”各数位的数应为1，2，3，4，根据，得到，，，，即可得到答案；根据题意得最大“圆梦数” ，，或，，根据，分类讨论验证即可得到答案． 【详解】解：由题意最小的“圆梦数”各数位的数应为1，2，3，4， ， ，，，， 最小的“圆梦数”为1243； 一个“圆梦数” 最大，则当时， 当时， 各数位均不为0且互不相等，且， 当时，则，， ， ，不能被7整除， 不符合题意； 当时，，， ，， ∴， ∴ 不符合题意； 当时，，， ， ∵，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，，， ， ∵，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，，， ， ∵，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，，， ， ∵，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时， 各数位均不为0且互不相等，且， 当时，则，， ， ，则不能被7整除， 不符合题意； 同理当时，都不符合题意； 当时，最大， 各数位均不为0且互不相等，且， 当时，则，， ， ，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，则，， ， ，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，则，， ， ，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，则，， ， ，则不能被7整除， ，不符合题意； 当时，则，， ， ，则能被7整除， ∴， ∴， 符合题意； ∴符合条件的M的最大值为8932． 【例题11-9】（2025·湖南怀化·二模）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了数字规律，根据题意，充分理解为与的距离，为与的距离，且满足，，则，分别代入数值到化简，得，，，再代入数值到，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵，规定，，， ∴， ∵记为与的距离，为与的距离， ∴， ∴， ∴ ∴， 则， 解得，， 则 ∴ 故选：A． 【例题11-10】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ①对进行“差绝对值运算”的结果是8； ②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、新定义下的实数运算、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值计算，定义新运算问题，实数计算等．根据题意将代入题中式子计算即可判断①的结论正确；对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，再由绝对值几何意义得到的最小值为6，即可判断②的结论不正确；对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，再根据绝对值几何意义即可得到本题答案． 【详解】解：对进行“差绝对值运算”的结果是， ①的结论正确； 对x，2，5进行“差绝对值运算”得到， 由绝对值的几何意义知，当时，取得最小值为3， 的最小值为6， ②的结论不正确； 对a，b，c进行“差绝对值运算”得到， 而利用绝对值的意义去绝对值后，的不同表达式一共有7种， ，，，，，，0， ③的结论不正确， 以上说法中正确的个数为1个． 故选：B． 【例题11-11】．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，根据题意求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 由于x和y为两个连续正整数，， ∴，， ∴ ∴的算术平方根为4， 故选：C． 【例题11-12】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查实数的运算，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：∵对于任意实数，，都有， ∴ ， 故答案为：9． 【例题11-13】．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如果，那么叫做的平方根，如果，那么叫做的4次方根．如果，那么16的4次方根是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平方根概念理解、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义，平方根．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个． 结合，利用四次方根的定义，求解即可． 【详解】解：∵ ∴16的4次方根是 故答案为：． 【例题11-14】．（24-25七年级下·北京延庆·期中）我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么 ， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义下实数运算，数字变化规律， ①根据题中给出的运算法则将变形为，再代入计算即可； ②先找到规律，发现每四个数为一个周期，相加和为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：①；②． 【例题11-15】（2025·重庆·二模）若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为，则称为“平和数”，并将分解成的过程称为“平和分解”．例如：因为，，，所以是“平和数”，分解成的过程就是“平和分解”．按照这个规定，最大的“平和数”是 ．把一个“平和数”进行“平和分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，把放在的右边组成一个四位数，若的二倍与的和除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数的值是 ． 【答案】 ； 或． 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义、有理数的混合运算、二次函数的最值问题，解决本题的关键是根据规定的运算法则进行计算即可． 根据“平和数”的定义可知，根据二次函数的最值问题可知当最大时，最大，根据“平和数”的定义可知的最大值是，代入计算求出的最大值即可； 根据（为整数），可知，可得：，可得：，又因为的二倍与的和除以余数为，从而可得：，求出符合要求的，即可求出正整数的值． 【详解】解：设，则，其中、为整数，且，， 则， 整理得：， 当最大时，最大， 当，时， ， 故答案为：； 解：设，则，其中、为整数，且，， 则，， 整理可得：，， ， 整理得：， （为整数）， ， 整理得：， 是完全平方数， ，，且、为整数， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 又的二倍与的和除以余数为， ，， 当时， 则，， ， 当时， 则，， ， 综上所述，正整数的值为或． 【例题11-16】．（2025·山东济宁·二模）在数学中，“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何．最终都会收敛到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某位同学对各位数字不同的两位数进行了如下操作：将其各位数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是 ． 【答案】63 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义分别计算出前六次操作的结果，可得规律每五次操作位一个循环，操作的结果依次为27，45，09，81，63，据此规律求解即可． 【详解】解：第一次操作，初始数为36，最大数为63，最小数为36，则最大数与最小数的差为， 第二次操作，初始数为27，最大数为72，最小数为27，则最大数与最小数的差为， 第三次操作，初始数为45，最大数为54，最小数为45，则最大数与最小数的差为，补零后为09， 第四次操作，初始数为09，最大数为90，最小数为09，则最大数与最小数的差为 第五次操作，初始数为81，最大数为81，最小数为18，则最大数与最小数的差为， 第六次操作，初始数为63，最大数为63，最小数为36，则最大数与最小数的差为， ……， 以此类推可知，从第一次操作开始，每五次操作位一个循环，操作的结果依次为27，45，09，81，63， ∵， ∴将数字36按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是63， 故答案为：63． 【例题11-17】．（2025·重庆·二模）将一个四位数的个位数字截去得到，再将减去个位数字的倍，得到的差记作，如果是的倍数，则称是一个“截尾数”．例如：四位数5508，，，是“截尾数”，则最小的“截尾数”是 ．若“截尾数”是的倍数，且能被整除，则满足条件的“截尾数”的最大值为 ． 【答案】 1003 7854 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、二元一次方程的解 【分析】本题考查了新定义运算，二元一次方程的解，根据新定义分析设四位数 ，截去个位后得到 ，根据定义，，且 需为 17 的倍数，根据题目要求得出最小最大值，即可求解． 【详解】解：设四位数 ，截去个位后得到 ，根据定义，，且 需为 17 的倍数 最小，则，， ∴ ∵为 17 的倍数，， ∴ ∴最小时，， 因此，最小的“截尾数”为 1003， 是 7 的倍数，且 能被 15 整除 设 ，则 需为 15 的倍数，即 （ 为正整数）， ∴ 且需为7的倍数 ∴是的倍数， ∴是的倍数， 又∵， 则， ∴，，对应的四位数 ， 满足条件的最大“截尾数”为 7854 故答案为：1003，7854 【例题11-18】．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是 ；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、新定义下的实数运算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定的最大值及的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“方佳数”的定义，得出， 再由能被整除可知 是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到的最小值． 【详解】解： 是“方佳数”， 即 ， ∴当 时，有最大值， ∴这个数最小是； 设这个四位数则 ， ∵四位数是“方佳数”， ， ， 能被整除， 是整数， 是整数且 ∴满足条件的的值为， ， ∵要求的最小值，则， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为： ；． 题型十二：程序设计与实数运算 【例题12-1】．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解． 本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：输入x的值为256时，256的算术平方根是16， 16是有理数，再输入可得： 16的算术平方根是4， 4是有理数，再输入可得： 4的算术平方根是2， 2是有理数，再输入可得： 2的算术平方根是， 是无理数，则输出y的值是． 故答案为：． 【例题12-2】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 【例题12-3】．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】 625 【难度】0.65 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．根据运算规则即可求解；根据三次取算术平方根运算；输出的y值为，返回运算三次平方可得y的值． 【详解】解：当时，，，输出的y值为； 当经过三次取算术平方根运算，输出的y值为时， 则，，． 故答案为：；625． 学科网（北京）股份有限公司 $$