1.2 一定是直角三角形吗 典型例题系列专题讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第1章 1.2 一定是直角三角形吗 第一篇 专题精析 专题名称 一定是直角三角形吗 专题内容 勾股定理的逆应用 讲解建议 根据知识点和题型进行讲解 考点题型 三个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：勾股定理的证明方法 1 题型二：以弦图为背景的计算题 31 题型三：用勾股定理构造图形解决问题 56 第三篇 典型例题汇总 题型一：勾股定理的证明方法 【例题1-1】．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（　　） A．秦九韶 B．祖冲之 C．赵爽 D．杨辉 【例题1-2】．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，这是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．中垂线定理 C．全等的判定定理 D．三角形内角和定理 【例题1-3】．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【例题1-4】．（24-25八年级上·全国·期末）2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（  ） A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 【例题1-5】．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-6】．（21-22八年级上·山西临汾·期末）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 【例题1-7】．（23-24八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【例题1-8】．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得．证明的这个定理是（    ） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．祖暅原理 D．费马定理 【例题1-9】．（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例题1-10】（2025·湖北襄阳·二模）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【例题1-11】（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-12】．（2025·山西吕梁·一模）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（   ） A．分析法 B．相似法 C．反证法 D．等面积法 【例题1-13】．（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-14】．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【例题1-15】．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【例题1-16】．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【例题1-17】．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 【例题1-18】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【例题1-19】．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 【例题1-20】．（24-25八年级下·山东德州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【例题1-21】．（24-25八年级下·广东汕头·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【例题1-22】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【例题1-23】．（24-25八年级上·河南郑州·期中）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，． （1）请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，请验证； 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移： （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【例题1-24】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：． 【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，． 求证：． 证明：由图可知， ∵，________，正方形边长为________，∴， 即． 【知识迁移】 （2）在中，，，过点作，垂足为，，将沿翻折后得到， ①如图2，连接，则线段的长为________； ②如图3，连接，请求出线段的长． 【例题1-25】．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成（三角形的三边长分别为，，），用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”． 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形（和）按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为，，，，于点． （1）在此基础上，请用，，分别表示出四边形、梯形和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出． 【方法迁移】（2）如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点，，，得到，则边上的高为______． （3）如图④，在中，，，，是边上的高，求的长． 【例题1-26】．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 【例题1-27】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到结论．这里用两种方法表示同一个量从而得到等式或方程，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 把两个全等的和按如图②所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．请用该图形证明勾股定理． 【方法迁移】 如图③，将长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端和，然后把中点竖直方向拉升至点，则橡皮筋被拉长了多少？ 【例题1-28】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 题型二：以弦图为背景的计算题 【例题2-1】．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 【例题2-2】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【例题2-3】（2025·海南海口·二模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（　　） A． B．6 C．5 D．4 【例题2-4】．（2025·江苏南京·二模）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（   ） A． B． C． D．2 【例题2-5】．（2025·浙江台州·二模）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形的面积为（   ） A．5 B． C．10 D．13 【例题2-6】．（24-25八年级下·天津·期中）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（   ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 【例题2-7】．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图1，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，就是著名的“赵爽弦图”．第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案就来源于此．若图中正方形的面积为，正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（   ） A．34 B．35 C．44 D．49 【例题2-8】．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【例题2-9】．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【例题2-10】．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【例题2-11】．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（   ） A．12 B． C．24 D．10 【例题2-12】．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图2中大正方形的面积为32，线段的长为，图2中4个全等的直角三角形面积和为（   ） A．28 B．24 C．20 D．16 【例题2-13】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例题2-14】．（24-25八年级下·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　    A．4 B．6 C．8 D．10 【例题2-15】．（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【例题2-16】．（24-25八年级下·河南漯河·期中）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【例题2-17】．（24-25八年级下·重庆·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4，求中间小正方形（阴影部分）的周长为（   ） A．4 B．5 C．12 D．14 【例题2-18】．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【例题2-19】．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【例题2-20】．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（   ） A． B．2 C． D． 【例题2-21】．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【例题2-22】．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形（斜边长为13，一条直角边长为12）拼成的大正方形，中空部分是一个小正方形．连接，则的长为 ． 【例题2-23】．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．（用含的代数式表示）． 【例题2-24】．（2025·吉林长春·模拟预测）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图①，连接四条线段得到如图②的新的图案．如果图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图②中阴影部分的面积为 ． 【例题2-25】．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ． 【例题2-26】．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是 ． 【例题2-27】．（24-25八年级下·天津河北·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 【例题2-28】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．若正方形的面积为4，，则正方形的边长为 ． 【例题2-29】．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【例题2-30】．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．若将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接成如图②，得到图形．若该图形的周长为48，，则 ， ． 【例题2-31】．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ． 【例题2-32】．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【例题2-33】．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为 ． 【例题2-34】．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3） 在直角三角形中，，，.求的长. 题型三：用勾股定理构造图形解决问题 【例题3-1】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（   ） A． B． C． D． 【例题3-2】．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【例题3-3】．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例题3-4】．（24-25八年级下·全国·单元测试）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【例题3-5】．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若，，则该矩形的面积为（　　　　）    A．96 B． C． D．90 【例题3-6】．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 【例题3-7】．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【例题3-8】．（22-23九年级下·安徽合肥·开学考试）有创新意识的小亮同学将自行车轮胎如图放置在台阶直角处，他测量了台阶高为，直角顶点A到轮胎与地面接触点Q的距离为，请帮小亮计算此轮胎的直径为：（    ）    A． B． C． D． 【例题3-9】．（24-25八年级下·北京海淀·期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程 ． 【例题3-10】．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【例题3-11】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 【例题3-12】．（2025·吉林·一模）吉林市某中学开展师生角色互换活动，学生考老师是该活动的主题之一．美婷同学考老师的问题是：若，，，则的最小值是多少？ 张新老师运用数形结合的方法，画如下草图． 大伟老师运用代数推理法，代入闵可夫斯基不等式： （取等条件…） 董婷老师应用拉格朗日数乘法… 王浩老师应用柯西不等式… … 老师们通过不同方法解出正确答案，有的老师用的方法，学生现阶段可以理解．有的老师用的方法，学生需要步入更高学府，学习更多的数学知识后才能理解．通过这次主题活动，同学们感受到了数学的魅力，对今后学习数学充满了兴趣和渴望． 请问美婷同学考老师的问题的正确答案是 ． 【例题3-13】．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是 ． 【例3-13】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【例题3-14】．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【例题3-15】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 【例题3-16】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【例题3-17】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【例题3-18】．（23-24七年级上·山东烟台·期末）春节将近，小明决定将家里长的圆柱体不锈钢护栏上均匀的缠满彩色丝带．已知圆柱体的不锈钢护栏的底面周长为，彩色丝带的宽度不计，若相邻两圈丝带间隔．请你帮小明计算一下，最少需要多长的丝带． 【例题3-19】．（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）八年级（3）班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球．问这位同学能拿到球吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到球吗？ 【例题3-20】．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【例题3-21】．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第1章 1.2 一定是直角三角形吗 第一篇 专题精析 专题名称 一定是直角三角形吗 专题内容 勾股定理的逆应用 讲解建议 根据知识点和题型进行讲解 考点题型 三个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：勾股定理的证明方法 1 题型二：以弦图为背景的计算题 31 题型三：用勾股定理构造图形解决问题 56 第三篇 典型例题汇总 题型一：勾股定理的证明方法 【例题1-1】．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（　　） A．秦九韶 B．祖冲之 C．赵爽 D．杨辉 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了关于勾股定理的历史知识：赵爽弦图；根据赵爽的弦图可以用于证明勾股定理即可求解． 【详解】解：赵爽的弦图可以用于证明勾股定理； 故选：C． 【例题1-2】．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，这是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．中垂线定理 C．全等的判定定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理，即可得出结论． 【详解】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选 A 【例题1-3】．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平方差公式与几何图形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 【例题1-4】．（24-25八年级上·全国·期末）2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（  ） A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了“弦图”与勾股定理的证明；知道利用“弦图”可以证明勾股定理这一历史事实是关键．根据这事实即可求解． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：C． 【例题1-5】．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 【例题1-6】．（21-22八年级上·山西临汾·期末）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：． 【例题1-7】．（23-24八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【例题1-8】．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得．证明的这个定理是（    ） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．祖暅原理 D．费马定理 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】根据勾股定理作答即可． 【详解】解：由， 整理得． 而a、b、c是直角三角形的三边， ∴证明的定理是勾股定理， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 【例题1-9】．（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：． 【例题1-10】（2025·湖北襄阳·二模）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 【例题1-11】（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理,不符合题意； B、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理，符合题意； D、边长为的正方形面积为,由图形面积之间的关系可得，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积，加上边长为的正方形面积（边长为的正方形中的两个直角三角形补到下边），则，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 【例题1-12】．（2025·山西吕梁·一模）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（   ） A．分析法 B．相似法 C．反证法 D．等面积法 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，即可证明勾股定理． 【详解】解：如图， 由题意得，， 整理得， ∴赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是等面积法， 故选：D． 【例题1-13】．（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、勾股定理的证明方法 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 【例题1-14】．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可． 【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， 则， ， 故选：． 【例题1-15】．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了学生对定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【例题1-16】．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想是解答本题的关键． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 【例题1-17】．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据他们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值 【详解】（1）解：∵ ∴ 整理得：； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是 在中， 在中， ∴ ∵ 则 解得 即 在中，由勾股定理，得 【例题1-18】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证． 【详解】证明：连接， 由图形可知， 则 ． ∴． 【例题1-19】．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 【答案】(1) (2)①28  ②14 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）证明，利用两种方法求出梯形的面积，可得结论； （2）①利用（1）中结论求出b可得结论； ②想办法求出可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的面积， ∴； （2）解：①当，时，， 长方形的面积是； 故答案为：28； ②当，时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴面积． 【例题1-20】．（24-25八年级下·山东德州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【难度】0.65 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【例题1-21】．（24-25八年级下·广东汕头·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】方法应用：①；；；②见解析；方法迁移：（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据可证； 方法迁移： （1）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】解：【方法运用】： ①由题意得，，，； 故答案为：①；；； ②∵， ∴， ∴， ∴； 【方法迁移】： （1）设边上的高为h， ， ， ， ∴， 即边上的高是； 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． 【例题1-22】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【答案】，，， 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案． 【详解】证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 【例题1-23】．（24-25八年级上·河南郑州·期中）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，． （1）请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，请验证； 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移： （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）41；（3）图见解析；16千米．（4）20 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可得出答案． （2）连接，作于点E，根据得到，从而得到千米，利用勾股定理求得两地之间的距离． （3）连接，作的垂直平分线交于P，P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． （4）根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出． 【详解】解：（1） ，，， 它们满足的关系式为：， ∴； （2）如图2①，连接，作于点E， ∵， ∴， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41； （3）如图2所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． （4）如图3， 先作出点C关于的对称点F，连接，过点F作与E，即：就是代数式的最小值． 代数式的几何意义是线段上一点到点D，C的距离之和， 而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线段的长，连线段与线段的交点就是它取最小值时的点， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值， ∴代数式的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 【例题1-24】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：． 【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，． 求证：． 证明：由图可知， ∵，________，正方形边长为________，∴， 即． 【知识迁移】 （2）在中，，，过点作，垂足为，，将沿翻折后得到， ①如图2，连接，则线段的长为________； ②如图3，连接，请求出线段的长． 【答案】（1），（2）① ② 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解答； （2）①设交于点N，由折叠可得是的垂直平分线，则，根据勾股定理求得，根据的面积求得，即可解答； ②过点作，交的延长线于点，则，在中，由勾股定理得，设，则， 根据勾股定理有，代入求得m的值，从而得到，，再由勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． 故答案为：，； （2）①如图2，设交于点N， 由折叠可得是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：； ②如图，过点作，交的延长线于点，则， 在中，由勾股定理得， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 【例题1-25】．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成（三角形的三边长分别为，，），用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”． 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形（和）按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为，，，，于点． （1）在此基础上，请用，，分别表示出四边形、梯形和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出． 【方法迁移】（2）如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点，，，得到，则边上的高为______． （3）如图④，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1），，，探究见解析；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题、勾股定理的证明方法 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法求得的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴； （2）， ， ， ， 即边上的高是； （3）设，在中，由勾股定理得 ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． ∴． 【例题1-26】．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 【答案】(1)；；；17 (2)96 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出大正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． （1）用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可． （2）利用（1）中发现的结论即可解决问题． （2）设，根据勾股定理建立关于的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①明：∵中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：． ②又∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积还可以表示为， ③ ④∵，， 故答案为：；；；17； （2）解：设， ∵外围轮廓（实线）的周长为48， 则． 在中， 解得， 即， ． 【例题1-27】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到结论．这里用两种方法表示同一个量从而得到等式或方程，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 把两个全等的和按如图②所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．请用该图形证明勾股定理． 【方法迁移】 如图③，将长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端和，然后把中点竖直方向拉升至点，则橡皮筋被拉长了多少？ 【答案】【方法运用】证明见解析，【方法迁移】橡皮筋被拉长了 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了证明勾股定理，勾股定理的应用．熟练掌握等面积法是解题的关键． （1）结合题意可得，，，根据，求解即可； （2）由点是的中点，，可得，是的垂直平分线．可得，由勾股定理，得，再进一步求解即可． 【详解】方法运用： 证明：，， ， ． 整理，得． 方法迁移： 解：点是的中点，， ，是的垂直平分线． ． ∵ 由勾股定理，得． ． 答：橡皮筋被拉长了． 【例题1-28】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【答案】(1)见解析； (2)； (3)①②． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是： （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 题型二：以弦图为背景的计算题 【例题2-1】．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意，中间小正方形的边长为，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例题2-2】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， 即， ， 故选：C． 【例题2-3】（2025·海南海口·二模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（　　） A． B．6 C．5 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是熟练运用各个图形之间的面积关系列出等式； 本题根据大正方形的面积等于小正方形的面积和4个直角三角形的面积和，求得大正方形的面积，即可求出大正方形的边长． 【详解】解：∵，小正方形的面积为14， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长为， 故选：B． 【例题2-4】．（2025·江苏南京·二模）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键． 设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，如图2，设，则可以用x表示出，又由于，，所以可以得到m与x的关系式，在直角中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可． 【详解】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n， 设图2：设， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 【例题2-5】．（2025·浙江台州·二模）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形的面积为（   ） A．5 B． C．10 D．13 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理．设直角三角形较短直角边为，较长直角边为，由题意得，求得①，由，求得②，据此求解即可． 【详解】解：设直角三角形较短直角边为，较长直角边为， 由题意得，即①， ， ∵， ∴， ∴， ∴②， 得， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：D． 【例题2-6】．（24-25八年级下·天津·期中）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（   ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ∴得出，，， ，故， ， 所以，即正方形的面积为． 故选：B 【例题2-7】．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图1，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，就是著名的“赵爽弦图”．第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案就来源于此．若图中正方形的面积为，正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（   ） A．34 B．35 C．44 D．49 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为，，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可． 【详解】解：设， 图1中正方形的面积是， ， 正方形的面积是1， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 【例题2-8】．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故选：C． 【例题2-9】．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断B选项式子；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断A选项式子；根据大正方形的面积与小正方形的面积的差可判断D选项式子；根据完全平方公式特点即可判断C选项式子． 【详解】解：大正方形的面积是36， x、y表示直角三角形的两条直角边， ，B选项式子正确，不符合题意； 小正方形的面积是4， ，A选项式子正确，不符合题意； 大正方形的面积是36，小正方形的面积是4， 四个全等的直角三角形的面积和为， ， ，D选项式子正确，不符合题意； ， ，C选项式子错误，符合题意； 故选：C． 【例题2-10】．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查勾股定理，长方形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出长方形的长和宽，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， 设， 解得， 长方形的面积为． 故选C． 【例题2-11】．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（   ） A．12 B． C．24 D．10 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，设两直角边分别为x，y，且，由勾股定理可得，结合小正方形的面积可得，再结合完全平方公式可得答案． 【详解】解：设两直角边分别为x，y，且， 根据题意得：，， ∴， ∴，   ∴， 即两直角边的积等于24， 故选C． 【例题2-12】．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图2中大正方形的面积为32，线段的长为，图2中4个全等的直角三角形面积和为（   ） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先得出图2中间小正方形的边长为4，根据四个全等的直角三角形面积等于大正方形的面积减去中间小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴图2中小正方形的边长为4， ∵大正方形的面积为32， ∴图2中4个全等的直角三角形面积和为． 故选：D． 【例题2-13】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 【例题2-14】．（24-25八年级下·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：，且， ， ∴， ∴， 故选：A． 【例题2-15】．（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， 因为，即 ， ， 所以， 的值是8， 故选：B． 【例题2-16】．（24-25八年级下·河南漯河·期中）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，运用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：A． 【例题2-17】．（24-25八年级下·重庆·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4，求中间小正方形（阴影部分）的周长为（   ） A．4 B．5 C．12 D．14 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理求出直角三角形的较长直角边，则可求出中间正方形的边长，然后根据正方形周长公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4， ∴直角三角形的较长直角边的长为， ∴中间正方形的边长为， ∴中间小正方形（阴影部分）的周长为， 故选：A． 【例题2-18】．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形的面积． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为， 正方形的面积． 故选：B． 【例题2-19】．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理的， ∴黄实的面积为． 故选：D． 【例题2-20】．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的判定可得，再由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：A 【例题2-21】．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键． 由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是， ， ， ， ， 小正方形的面积为：， 即， ， ， ， 故选D． 【例题2-22】．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形（斜边长为13，一条直角边长为12）拼成的大正方形，中空部分是一个小正方形．连接，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，即可得到对角线的长度． 【详解】解：如图，， ∴， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题2-23】．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了弦图，完全平方公式，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据题意，，结合已知化简计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 根据题意，， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的值是， 故答案为：． 【例题2-24】．（2025·吉林长春·模拟预测）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图①，连接四条线段得到如图②的新的图案．如果图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图②中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理，先求出中间小正方形的边长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【详解】解；∵图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3， ∴中间小正方形的边长为， ∴． 故答案为：16． 【例题2-25】．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ． 【答案】14 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 【例题2-26】．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦图的结构是解题关键． 根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出的值，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ,, , , 正方形的边长是, 故答案为：． 【例题2-27】．（24-25八年级下·天津河北·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为： 【例题2-28】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．若正方形的面积为4，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，根据得到，再根据正方形的面积公式即可得出，利用全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 正方形的面积为4， ， ， ， 故答案为：． 【例题2-29】．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、全等三角形的性质、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 【例题2-30】．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．若将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接成如图②，得到图形．若该图形的周长为48，，则 ， ． 【答案】 8 10 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用整体思想及方程思想是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，代入数值得，求出x即可解决问题． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， 故答案为：8，10． 【例题2-31】．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，由全等三角形的性质得到，，进而证明，根据勾股定理得，建立方程解方程，即可求解． 【详解】解：为中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【例题2-32】．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则再利用勾股定理得，然后根据，的，最后根据，进而求出答案． 【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 由图可知小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：． ∴， 小正方形的面积为5． 故答案为：5． 【例题2-33】．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】全等三角形的性质、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可设，则，根据线段之间的关系建立方程求出x的值，进而求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：5． 【例题2-34】．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 题型三：用勾股定理构造图形解决问题 【例题3-1】．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理的应用．将实际问题构造出直角三角形解决问题成为解题的关键． 如图：过点C作交于点E，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点C作交于点E，则， 由题意可知：， 所以． 在中，， 由勾股定理得：， ∴学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为． 故选B． 【例题3-2】．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 【例题3-3】．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 设秋千绳索的长为尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：根据题意，设秋千绳索的长为尺， 则； 故选：C 【例题3-4】．（24-25八年级下·全国·单元测试）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：B． 【例题3-5】．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若，，则该矩形的面积为（　　　　）    A．96 B． C． D．90 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理、代数式求值等知识．设，根据题意可知，，，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，然后结合矩形的面积公式可得，整体代入即可获得答案． 【详解】解：如下图，    设， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 整理，可得，即， ∴该矩形的面积 ． 故选：A． 【例题3-6】．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理，可得另一直角边长为， 则需购买红地毯的长为， 又因为红地毯的宽，即台阶的宽为， 所以共需购买红地毯． 故选：A． 【例题3-7】．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知：，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 【例题3-8】．（22-23九年级下·安徽合肥·开学考试）有创新意识的小亮同学将自行车轮胎如图放置在台阶直角处，他测量了台阶高为，直角顶点A到轮胎与地面接触点Q的距离为，请帮小亮计算此轮胎的直径为：（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、圆的基本概念辨析 【分析】连接，作，根据勾股定理得进而即可求解； 【详解】解：如图，自行车轮胎为，连接，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轮胎的直径为． 故选：C．    【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，正确计算是解题的关键． 【例题3-9】．（24-25八年级下·北京海淀·期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 【详解】解：设竿长为x尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是x尺， 根据勾股定理可得：． 故答案为：． 【例题3-10】．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)原路长6.5千米 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长6.5千米． 【例题3-11】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键． （1）由图形可知，中间小正方形面积大正方形面积等于四个完全相同的直角三角形的面积，列出等式化简即可得到结论； （2）根据周长得到，设，则，结合勾股定理求出，利用三角形面积公式，进而求出该图形的面积． 【详解】（1）证明：由图可知， ， ． ； （2）解：由题意得，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以，该图形的面积是． 【例题3-12】．（2025·吉林·一模）吉林市某中学开展师生角色互换活动，学生考老师是该活动的主题之一．美婷同学考老师的问题是：若，，，则的最小值是多少？ 张新老师运用数形结合的方法，画如下草图． 大伟老师运用代数推理法，代入闵可夫斯基不等式： （取等条件…） 董婷老师应用拉格朗日数乘法… 王浩老师应用柯西不等式… … 老师们通过不同方法解出正确答案，有的老师用的方法，学生现阶段可以理解．有的老师用的方法，学生需要步入更高学府，学习更多的数学知识后才能理解．通过这次主题活动，同学们感受到了数学的魅力，对今后学习数学充满了兴趣和渴望． 请问美婷同学考老师的问题的正确答案是 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．利用勾股定理得到，，则，利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，从而得到的最小值； 【详解】解：如图， 在中，，， ， 在中，，， ； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值为5． 故答案为：5． 【例题3-13】．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由即可求解． 【详解】解：中，， ， ， ， 故答案为：． 【例3-13】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图， ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 【例题3-14】．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】(1)①，  ② (2) (3)①  ② 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法. （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设 则利用勾股定理得到， 根据三角形三边的关系得到而 (当且仅当、、共线时取等号)，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可. 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②连接， 由①可得， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，． ∴，， ∴， 连接， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （3）①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：(当且仅当、、、共线时取等号) ， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图， 则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： ． 【例题3-15】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 【答案】(1)= (2)米 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ∴， 故答案为“＝”． （2）连接，则点、、三点共线， 在中，（米）， （米， 在中，（米）， ∵， （米）， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 【例题3-16】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 【例题3-17】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【答案】(1)7.5米 (2)能成功，见解析 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； （2）能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 【例题3-18】．（23-24七年级上·山东烟台·期末）春节将近，小明决定将家里长的圆柱体不锈钢护栏上均匀的缠满彩色丝带．已知圆柱体的不锈钢护栏的底面周长为，彩色丝带的宽度不计，若相邻两圈丝带间隔．请你帮小明计算一下，最少需要多长的丝带． 【答案】最少需要的丝带 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键在于将实际问题抽象成勾股定理进行计算．根据题意首先求出丝带需要缠绕的圈数，在根据勾股定理求出每圈丝带的长度，即可求出结果． 【详解】解：丝带需要缠绕的圈数：（圈 每圈丝带的长度为：． 最少需要的丝带长度：． 答：最少需要的丝带． 【例题3-19】．（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）八年级（3）班两位同学在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿羽毛球．问这位同学能拿到球吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到球吗？ 【答案】够不着；能够着 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】根据梯子的长和距离树干的距离求出树干的高度与2.3米进行比较即可得到结论． 【详解】解：设第一次的高为x， 则， 解得：， ∵， ∴够不着． 设第二次的高为y， 则， 解得：， ∵， ∴能够着． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解决此类问题的关键是正确的构造直角三角形． 【例题3-20】．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【答案】这名学生的身高为1.6米 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故这名学生的身高为1.6米． 【例题3-21】．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：4 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．结合图形及正方形的面积公式，半圆的面积公式逐项推导即可得解． 【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1 ， 即 故答案为： 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2 ， 即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得： 又 即 又，， ， 故答案为：4 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