1.1 探索勾股定理 典型例题系列专题讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第一章 1.1探索勾股定理 第一篇 专题精析 专题名称 探索勾股定理 专题内容 掌握勾股定理的定义，可以利用勾股定理来解决问题 讲解建议 根据知识点和题型进行讲解 考点题型 十六个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：用勾股定理解三角形 1 题型二：用勾股定理求三角形面积 7 题型三：勾股定理在古代中的应用 8 题型四：赵爽弦图解三角形 10 题型五：勾股定理求三角形中的长度 10 题型六：以直角三角形三边为边长的图形面积 12 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 25 题型八：利用勾股定理证明线段平方关系 32 题型九：勾股数问题 34 题型十：勾股树问题 39 题型十一：折叠问题 46 题型十二：用勾股定理求最小值 84 题型十三：勾股定理与网格问题 87 题型十四：勾股定理的实际应用 99 题型十五：勾股定理的压轴题 106 题型十六：勾股定理规律问题 126 第三篇 典型例题汇总 题型一：用勾股定理解三角形 【例题1-1】．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为勾，b为股，c为弦）．若“勾”为3，“股”为4，则“弦”为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得，即可求解；掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：A． 【例题1-2】．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）在动画片《猫和老鼠》中，汤姆猫追逐杰瑞鼠，杰瑞鼠跑到了一个直角三角形的房间角落．已知两直角边分别为3米和4米，汤姆猫想直接斜穿过去截住杰瑞鼠，它需要跑多远？（   ） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，直接利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】解：， 汤姆猫想直接斜穿过去截住杰瑞鼠，它需要跑5米， 故选：C． 【例题1-3】．（24-25八年级下·江西赣州·期中）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 此直角三角形的斜边的长度为． 故选：A． 【例题1-4】．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得到多媒体屏幕的长是12拃，宽是3.5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（   ）（1拃） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．根据勾股定理可知多媒体屏幕的对角线长度的平方是多媒体屏幕的长和宽的平方和，据此求解即可． 【详解】解：∵1拃， ∴多媒体屏幕的对角线长度， 故选：A． 【例题1-5】．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：D． 【例题1-6】．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，．在高线所在直线上任取一点（不与点，重合），连结，，则的值为（    ） A．6 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．在及中分别将及的表示形式代入表示出和，在及中可分别表示出及，据此计算即可得出结果． 【详解】解： ． 故选：C． 【例题1-7】．（2025·贵州毕节·三模）在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：B． 【例题1-8】（24-25七年级下·黑龙江·期中）随着AI技术的发展，我校数学学习小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动，如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度，此时底部边缘处与处之间的距离，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离，则图中点处与点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用．勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵，, 在中，， ∴， 故选：B． 【例题1-9】．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴ ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款， 故答案为：3． 【例题1-10】．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：取的三等分点F（靠近B点），即，，连接；易证可得，再根据三角形的三边关系可得，即可说明当A、D、F三点共线时，的最小值为． 【详解】解：如图：取的三等分点F（靠近B点）， ∵， 即，，连接， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A、D、F三点共线时，有最小值为，即的最小值为． ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型二：用勾股定理求三角形面积 【例题2-1】（2025·江西新余·三模）如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查三角形面积比与角平分线相关知识，解题的关键是通过作辅助线，利用角平分线性质和三角形面积关系求解． 延长交于点，过点作于点，证明，得到，，构造出与已知面积比相关的线段关系，再结合勾股定理来求的长． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ，． ， ，即， ∴， ， ， 故选：C． 题型三：勾股定理在古代中的应用 【例题3-1】．（2025年浙江省衢州市实验学校教育集团九年级中考四模数学试卷）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，掌握勾股定理，由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， ，， ， ， 故选：D． 【例题3-2】．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为（   ）尺． A． B．10 C．16 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索长为尺，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设绳索长为尺，依题意得： ， 解得：， ∴绳索长为尺， 故选：B． 题型四：赵爽弦图解三角形 【例题4-1】．（2025·安徽合肥·模拟预测）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，若，，则大正方形的边长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，先对运用勾股定理求出，再对运用勾股定理求出，则即可求得，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型五：勾股定理求三角形中的长度 【例题5-1】．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，四边形中，，，，连接，的平分线交对角线，底边BC分别于点O，E，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理．熟练掌握是解题的关键． 连接，由勾股定理得，由等腰三角形性质得，由线段垂直平分线性质得，得，由勾股定理得，即得． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴． ∵，平分, ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【例题5-2】．（2025·浙江绍兴·一模）如图，，，在线段上，是的中点，连结，，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了去全等三角形性质和勾股定理等知识点，延长、交于点，通过倍长类中线构造直角三角形，根据全等三角形的判定和性质证明，进而由勾股定理求可求解. 【详解】解：如图，延长、交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 题型六：以直角三角形三边为边长的图形面积 【例题6-1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识．根据八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，得出，再根据，，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形， ∴， ∴ ； ； ∵正方形的边长为， ∴， ∴ 故选：C． 【例题6-2】．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为．若，，则（   ） A．5 B．13 C．18 D．97 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理．由正方形的面积公式可知，，，在中，由勾股定理得，即，由此可求．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积． 【详解】解：由正方形面积公式得，，， 在中，， ． 故选：B． 【例题6-3】．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理可得，即得，进而由即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【例题6-4】．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．下列选项中一定正确的是（    ） 图1             图2 A．直角三角形的面积 B． C． D．两个较小正方形重叠部分的面积 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， 阴影部分的面积， 较小两个正方形重叠部分的宽，长， 则较小两个正方形重叠部分面积， 因此知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积． 故选：． 【例题6-5】．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【例题6-6】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 【例题6-7】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，以直角三角形的各边为直径分别作半圆，把较小的两个半圆的重叠部分的面积记为，大半圆未重叠部分的面积记为，则的面积可表示成（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、 圆的面积 【分析】本题考查了勾股定理以及圆的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．设以的斜边为直径的半圆为大半圆，以为直径的半圆为中半圆，以为直径的半圆为小半圆，根据圆的面积公式得到，，，根据勾股定理于是得到． 【详解】解：设以的斜边为直径的半圆为大半圆，以为直径的半圆为中半圆，以为直径的半圆为小半圆， ∵，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【例题6-8】．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 【例题6-9】．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据和勾股定理求出，，再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵以为斜边在外侧作，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：C 【例题6-10】．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，分别以，，为边在同侧作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，根据图形列出面积的等量关系是解题的关键．设四边形的面积为，的面积为，由，列出等式即可求解． 【详解】解：设四边形的面积为，的面积为， ，以，，为边作正方形，正方形，正方形， 根据勾股定理得：， ， ． 故选：． 【例题6-11】．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】25 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图， 在中，， 在中，， ∴ 故答案为：25． 【例题6-12】．（2025八年级下·广西·专题练习）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，的值，即可解决问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【例题6-13】．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：38． 【例题6-14】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： ． 【例题6-15】．（24-25八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理以及正方形、长方形的面积进行解答即可． 【详解】解：设的斜边为：，两直角边为：b，c，斜边的正方形面积为：；直角边的正方形面积为：和， 故， 由勾股定理可知， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例题7-1】．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【例题7-2】．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【例题7-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形的性质、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查了勾股定理三角形，全等的判定和性质，三角形三边关系，①过点作于点，根据平行线间的距离相等可得，得出，根据中，为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，判断③，④． 【详解】解：①过点作于点，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【例题7-4】．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形、二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组，本题中根据和求出、的长度是解题的关键． 设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 故答案为：． 【例题7-5】（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 【例题7-6】．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 【例题7-7】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【例题7-8】．（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、全等三角形综合问题 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 【例题7-9】．（20-21八年级上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和等于斜边平方，进而得出答案． 【详解】∵在中，斜边 ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中． 题型八：利用勾股定理证明线段平方关系 【例题8-1】．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 【例题8-2】．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【例题8-3】．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 【例题8-4】．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 题型九：勾股数问题 【例题9-1】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A．，2， B．4，5，6 C．6，8，10 D．3，4，4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义即可求解判断，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，2，这三个数不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； B、，不是勾股数，故选项不符合题意； C、，是勾股数，故选项符合题意； D、不是勾股数，故选项不符合题意； 故选：C． 【例题9-2】．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例题9-3】．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【例题9-4】（24-25八年级下·河南周口·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 【例题9-5】．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A．，2， B．，， C．8，15，19 D．9，40，41 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义：若正整数满足，则称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、和不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意； B、，，都不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意； C、，故此选项不属于勾股数，不符合题意； D、，故此选项属于勾股数，符合题意； 故选：D． 【例题9-6】．（24-25八年级下·江西赣州·期中）能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握掌握勾股数的判断方法． 先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，是“勾股数”， ∴选项符合题意； 故选：D． 【例题9-7】．（24-25八年级下·河南安阳·期中）下列属于勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D．，2， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、，属于勾股数，符合题意； B、，但不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； C、，不属于勾股数，不符合题意； D、，且不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； 故选：A． 【例题9-8】．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A．∵，∴不是勾股数，不符合题意；     B．∵，∴不是勾股数，不符合题意； C．∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D．∵，∴5，12，13是勾股数，符合题意 故选D． 【例题9-9】．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 【例题9-10】．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为 ． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故答案为：． 题型十：勾股树问题 【例题10-1】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查图形类规律探究，等腰直角三角形的性质，勾股定理，根据题意依次求出前几个正方形的面积，进而得到规律，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴； 故选D． 【例题10-2】．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 【例题0-3】．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 【例题10-4】．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理可得，即为，求出即可解决问题. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 即， ∵，，， ∴， 即, ∴； 故选：D. 【例题10-5】．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 （    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ∵， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， 故选：D． 【例题10-6】（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 【例题10-7】．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，3，4，则正方形E的面积是（   ） A．14 B．17 C．19 D．34 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，，再根据，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 根据勾股定理的几何意义可得： ，， ∴， 即正方形E的面积是， 故选：B． 【例题10-8】（24-25八年级下·广东惠州·期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解答本题的关键． 根据题意可知“生长”次后，所有正方形的面积和是；“生长”次后，所有正方形的面积和是；即可求出“生长”次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形的面积和为； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积和为； ， 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， 故选：C． 题型十一：折叠问题 【例题11-1】．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点D与B重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，先得，，根据折叠的性质得，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：． 【例题11-2】．（2025·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．把四边形的两个角向内折叠，使，两点在点处重合，点落在边上的点处，，是折痕．若，则的长度是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，根据折叠的性质可得，，勾股定理求得，根据折叠可得，进而可得，证明，进而根据等角对等边，即可求解． 【详解】解：∵四边形中，，， ∴， ∵四边形的两个角向内折叠，使，两点在点处重合，点落在边上的点处， ∴，，，， 在中，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【例题11-3】．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【例题11-4】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 【例题11-5】．（2025·广东汕头·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【例题11-6】．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 【例题11-7】．（21-22八年级下·河南开封·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 【例题11-8】．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在斜边上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．首先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将沿着直线翻折，使点C落在斜边上的点E处， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 故选：D． 【例题11-9】（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， 解得， 即， 故选：B． 【例题11-10】．（24-25八年级下·天津·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为 ； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为 ． 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，学会构造全等三角形解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）取格点，连接，，，交于点．则，点即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，点即为所求． 方法：取格点，连接，，，交于点． 则，点即为所求 ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 当点与点重合时，的值最小． 故答案为： 【例题11-11】．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】当时，过点作于，可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】过点作于， 在中，，，， ∴ ∵， ， 在中， ∴， 当时，如图    由折叠性质可知，， 又 ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例题11-12】．（23-24九年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点O为线段的中点，沿着直线翻折后得到，线段与线段交于点N，若线段的长为2，则线段的长度为 ．      【答案】 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、勾股定理与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】作， 根据勾股定理求出，再根据折叠得，，根据勾股定理求，，进而求出，然后设，，表示，，再证明，根据相似三角形对应边成比例得出比例式求出答案即可． 【详解】过点O作，交于点E． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得． ∵点O是的中点， ∴． 根据折叠，得，，． 根据勾股定理，得． 在中，， ∴，   根据勾股定理，得， 解得， ∴． 设，，则，． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，构造直角三角形是解题的关键． 【例题11-13】．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 【答案】或3． 【难度】0.4 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点E只能落和上，分别画出图形，进行分析，利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，， ①如图，设边中点为M，连接， ，， 当E在上时， 由折叠可知，，，， ， 在中， 即： 解得： ②如图，设边的中点为N，连接， 当E点落在上时， ，， 由折叠可知， ， 四边形是正方形 ③如图，设、中点分别为M、N，作射线， ， 点D到的距离为 由折叠可知， 故E点不可能落在上, 综上所述， 故答案为：或3． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键． 【例题11-14】．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 【例题11-15】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 【例题11-16】．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【例题11-17】．（24-25八年级下·新疆和田·阶段练习）如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在斜边上的点处．则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；首先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，，得出，设，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：解：∵，，， ∴， ∵将沿着直线翻折，使点C落在斜边上的点E处， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：，即， 解得：． 故答案为：． 【例题11-18】．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得是直角三角形，得到，设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【例题11-19】．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，由翻折得，，分三种情况：①当点在边上，且（即）时；②当点在的延长线上，且（即）时；③当点在的延长线上，且（即）时，分别根据勾股定理求出的长，再求出的长即可 【详解】解：由翻折得，，分三种情况： ①当点在边上，且（即）时， ， 由勾股定理得，， 即， ， ， ； ②当点在的延长线上，且（即）时，同理得， ， ； ③当点在的延长线上，且（即）时， 由勾股定理得，， 即， ， ， ， ， ，此时点不在边上，不符合题意，舍去， 综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为，． 故答案为：，． 【例题11-20】．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 【例题11-21】．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 【答案】(1)； (2)点B到斜边的距离为． 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质． （1）根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：点B到斜边的距离为， ∵， ∴， 答：点B到斜边的距离为． 【例题11-22】．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 在直角三角形中，由勾股定理得： 解得：， ∴． 【例题11-23】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长；过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （2）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 过点作于，则， 在中， ，由勾股定理：，即， ． ， ， ， ； （2）解：过点作于， ， ，， ， ， ． 【例题11-24】．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，以及平行线的性质． （1）由由勾股定理求出，由折叠得，求出，然后再用勾股定理求解即可； （2）由平行线的性质得，由周角的定义求出，得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：在中，，，， 由折叠可知，， ， （2）解：，， ， ． 由折叠的性质得． ， ， ， ． 【例题11-25】．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 【例题11-26】．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． (1)写出点F的坐标． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形综合、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由点D的坐标可知，，根据翻折的性质可知，由勾股定理可求得，进而可求出点F的坐标． （2）设，由折叠得，则，在△中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中， ∴，， 由折叠的性质的可知：， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：设，由折叠得，则， ∵， ∴， 在△中，， 解得： ， ∴． 【例题11-27】．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定与折叠问题； （1）根据折叠得出，在中，根据勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理可得 ； （2）由（1）得，则  设，则 在中，根据勾股定理可得 即  解得，即 【例题11-28】．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，轴对称的性质，先由轴对称和长方形的性质得到；，，再由平行线间间距相等得到，由折叠的性质可得，，则由勾股定理得到，可得，设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设直线l分别与交于E、F， ∵l为长方形的一条对称轴， ∴；，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【例题11-29】．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求： (1)的面积； (2)的长； (3)折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可以得到，，．设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 是直角三角形，，， ． （2）解：是直角三角形，，， ． （3）解：由折叠，得． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 由折叠，得， ∴在中，． 【例题11-30】．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例题11-31】．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 【例题11-32】．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 【例题11-33】．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识间的联系和运用是解答的关键． （1）首先由折叠的性质得到，，，然后证明出，得到，进而求解即可； （2）由（1）可知，设，则，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：因为四边形是长方形，，， 所以，，． 由翻折的性质，得，，， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 因为，， 所以； （2）解：由（1）可知， 设，则，， 所以， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 【例题11-34】．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十二：用勾股定理求最小值 【例题12-1】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，，，垂足为M、N，，，，P是上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】15 【难度】0.65 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点A关于得对称点G，连接与的交点P就是取得最小值的位置点，过点G作，交的延长线于点H，则四边形是矩形，构造直角三角形，利用勾股定理解决即可． 本题考查了将军饮马原理，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：作点A关于得对称点G，连接与的交点P就是取得最小值的位置点， 过点G作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 【例题12-2】．（24-25八年级下·天津·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为 ； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为 ． 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，学会构造全等三角形解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）取格点，连接，，，交于点．则，点即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，点即为所求． 方法：取格点，连接，，，交于点． 则，点即为所求 ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 当点与点重合时，的值最小． 故答案为： 【例题12-3】．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、两直线平行内错角相等、两点之间线段最短 【分析】过点作，使，连接、，根据平行线的性质求出，，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据三角形三边关系求出最小为，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 在中，， ∴当、、在一条直线上时，最小为， 在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 题型十三：勾股定理与网格问题 【例题13-1】．（2024·北京丰台·二模）在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换． （1）如图1，在4×4的正方形网格图形中，从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为 （填“B” “C”或“D”）； （2）如图2，现有6×6的正方形网格图形，若从该正方形的格点M经过三次“跳马变换到达格点N，则共有 中不同的跳法． 【答案】 C 12 【难度】0.4 【知识点】圆的基本概念辨析、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理的运用，圆的概念等知识，根据网格的特征和勾股定理可求出，，，然后根据新定义判断即可；以M为圆心，为半径作，该圆经过6个格点，然后再以每一个格点为圆心，为半径作圆，判断此圆经过的各点到N的距离是否等于即可． 【详解】解：∵，，， ∴从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为C； 以M为圆心，为半径作，则经过格点A、B、C、D、E、F、G、H， 以A为圆心，为半径作，则经过6个格点，其中，， ∴或两种跳法符合“跳马变换； 以H为圆心，为半径作，则经过6个格点，每个格点到N的距离都不等于， 故此种情况不存在； 以G为圆心，为半径作，则经过6个格点，其中，， ∴或两种跳法符合“跳马变换； 以F为圆心，为半径作，则经过6个格点，其中，， ∴或两种跳法符合“跳马变换； ∴在左侧的格点中有种， 同理在右侧格点中有6种， ∴一共有种， 故答案为：C，12． 【例题13-2】．（2025·贵州铜仁·三模）如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图． (1)在图中，作的高线； (2)在图中． 在边上画一点，使平分的面积； 点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由． (3)在图中，在边上画一点F，使． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；作图见解析； (3)作图见解析． 【难度】0.65 【知识点】根据三角形中线求面积、用勾股定理解三角形、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，理解题意，正确作出图形是解题的关键． （）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求； （）取的中点，连接即可； 作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于点，连接即可； （）取格点，构造等腰直角三角形，取格点，，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图中，线段即为所求； 如图中，点即为所求； （3）解：如图中，点即为所求， 理由：由网格可知：， ∴， ∴点即为所求． 【例题13-3】．（24-25九年级下·安徽池州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点(网格线的交点)上，直线l在网格线上． (1)画出关于直线l对称的． (2)直接写出线段的长度． (3)在直线l的右侧确定一个格点D，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形 【分析】本题考查作图轴对称变换，勾股定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，的对应点即可； （2）利用勾股定理求解； （3）根据是等腰直角三角形，延长即可找到格点． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）； （3）如图，点即为所求． 证明：依题意得：，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即点D符合题意． 【例题13-4】．（2025·宁夏银川·二模）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图中的上取点，使与面积相等； (2)在图中取格点，使得（不与重合）； (3)在图中作的高． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)作图见解析 【难度】0.65 【知识点】格点作图题、勾股定理与网格问题、全等三角形综合问题、根据三角形中线求面积 【分析】（）取格点，连接，由三角形中线的性质可得与面积相等，故点即为所求； （）取格点，连接，由勾股定理可得，，进而由可证，故点即为所求； （）取格点，连接并延长与相交，交点即为点，可根据证明，再根据全等三角形的对应角相等结合 网格特征即可得到； 本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求． 【例题13-5】．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． (1)在图中作格点C，使得． (2)连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】重心的概念、勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查无刻度直尺作图，重心的概念； （1）根据网格得到，即可求出． （2）根据三角形重心是三角形三条中线的交点，再结合网格即可求出． 【详解】（1）解：如图，C为所求； （2）解：如图，G为所求； 【例题13-6】．（24-25八年级下·山西大同·期中）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，构造，点D，E，F都在格点上． 由勾股定理，得，，． 在中，， ． 【例题13-7】．（24-25七年级下·北京·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)过点作线段的垂线段，垂足为点； (2)过点作的平行线，与轴交于点； (3)的面积为______； (4)线段的长为______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查的是作垂线段，画平行线，求解网格三角形的面积，勾股定理的应用； （1）根据网格特点画即可； （2）根据网格特点画的平行线即可； （3）利用割补法求解的面积即可； （4）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； ； （3）解：由图形可得：； （4）解：由勾股定理可得：． 【例题13-8】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点、、、四点都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）．点是的边上的一点． (1)找出格点，画出的平行线，图中满足要求的格点共可以找出___________个； (2)过点画的垂线，交于点，过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线_____________的距离，线段____________的长度是点到直线的距离； (4)因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段，，这三条线段长度的大小关系是______________．（用“”连接） 【答案】(1)图见解析；2 (2)见解析 (3)， (4) 【难度】0.65 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线、勾股定理与网格问题 【分析】（1）运用网格特点作作图，根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据网格与勾股定理得到正方形，由正方形的性质即可求解； （3）根据垂线段，距离的定义判定即可； （4）根据直线外的点到直线的线段中，垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图所示,取格点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求点的位置， ∵线段经过经过两个格点，即点， ∴满足要求的格点共可以找出2个； （2）解：如图所示，取格点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即； 取格点，连接， 根据网格的特点得到， ∴点即为所求点的位置； （3）解：由图可知，，， ∴线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：，； （4）解：根据直线外一点到直线上的线段中，垂线段最短，结合图形得：． 【点睛】本题主要考查了网格与勾股定理，画垂线，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握网格特点，数形结合分析是关键． 【例题13-9】．（24-25九年级下·北京西城·期中）在解决“已知三角形三边长，求三角形的面积”的问题中，某些情况下，我们可以在边长为1的正方形格点中构造三角形，再利用割补法计算该三角形的面积． 例如：，由于，故可以画为格点中矩形的对角线，同理可以画为矩形的对角线，可以画为矩形的对角线，如图1，由割补法可求出面积为3.5． 根据材料回答下列问题： (1)请在图2中画出三边长度分别为的三角形（长度为的边已在图中给出），该三角形的面积是_____________； (2)如果三角形三边的边长分别为（其中），用含的代数式表示三角形的面积为_____________． 【答案】(1)图见解析，7 (2) 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，借助网格求面积： （1）根据，，画出三角形，借助网格求面积即可； （2）根据勾股定理画出三角形，利用网格求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：，，以三边长度分别为的三角形如图所示： 由题可知：三角形的面积为：； （2）由题意，在由长为，宽为的小矩形组成的大矩形中，构造如图所示的三角形， 由图可知：三角形的面积为：． 题型十四：勾股定理的实际应用 【例题14-1】．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）春晚已经成为中国现代化发展的文化符号，成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量，在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题，与“生生不息“相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形________（“是”或“不是”）； (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”?请作出判断并写出判断依据； (3)在中，三边长分别为a，b，c，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出b的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)是，理由见解析 (3)，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了新定义，勾股定理； （1）由勾股定理得，由新定义即可求解； （2）计算，由新定义即可求解； （3）由新定义分类讨论：①当 时，②当时，③当时，即可求解； 理解新定义，能进行分类讨论是解题的关键. 【详解】（1）解：如图，在中，， ， ， ∴等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”， 故答案为：是； （2）解：该三角形是“巳巳如意三角形”，理由如下： 该三角形是“已巳如意三角形”； （3）的值为，理由如下： 中，三边长分别为a，b，c，且，， 或或（舍去）， 当时，， 这个三角形是“巳巳如意三角形”， 此时，（负值已舍去）； 当时，、、， 这个三角形不是“已已如意三角形”； 综上所述，的值为． 【例题14-2】．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，，，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1) (2)他应该再放出8米线 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为几何问题成为解题的关键． （1）先运用勾股定理求得，进而求得即可； （2）先求出风筝的高度为20米，然后求出此时风筝线的长为25米，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得： 所以． （2）解：风筝沿方向再上升12米后，风筝的高度为20米， 所以此时风筝线的长为：（米）， （米）． 答：他应该再放出8米线． 【例题14-3】．（24-25八年级下·天津·期中）天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知A、B、C、D点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题． 【答案】(1)米 (2)能成功，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，，米， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 【例题14-4】．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）11月9日全国消防日，某中学开展消防技能演练，特邀消防大队现场指导，消防大队出动了消防云梯助力．消防云梯主要用于高层建筑火灾救援，能让消防员快速到达火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最大伸长长度为（即），消防车顶端距地面高度为（点，到地面的垂直距离，即），首次救援时，云梯升至距地面高的点（即），而后需从距离地面高的点（即）进行二次救援，此时，消防车需从点水平移动至点，靠近楼房．求消防车水平移动距离的长度？（已知：点均在同一平面内，所在的直线与地面平行，与楼房垂直） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作，根据题意求出的值即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 【例题14-5】．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）（阅读理解）问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． （方法感悟）当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． （问题解决）（2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （问题拓展）（3）如图3，在中，，是的中线，，，且．直接写出的长=________． 【答案】（1），，， （2）见解析． （3）8 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用证明，得到，利用三角形三边的关系，解答即可． （2）延长到点．使．连接，利用倍长中线思想，线段垂直平分线的判定和性质，三角形三边关系定理解答即可． （3）延长，交的延长线于点． 仿照（2）的证明解答即可． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是， 由，， 故． 故答案为：，，，． （2）证明：延长到点．使．连接， ∵是的中点， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：延长，交的延长线于点． ∵是的中线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的中线，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 题型十五：勾股定理的压轴题 【例题15-1】．（2025·江苏常州·二模）学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 【答案】学习材料2：；；；；（1）是；（2）或11 【难度】0.65 【知识点】根据三角形中线求长度、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 学习材料2：根据前后步骤之间的逻辑关系，结合图形填空即可； （1）画出图形，由旋转的性质得：点共线，，则是等腰三角形，等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）由旋转的性质得：点共线，，，根据是关于点的“奇妙三角形”，得到或，据此分情况讨论，先根据求出，再由学习材料可得，代入计算即可． 【详解】解：学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， ∵点是的中点， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：；；；； （1）解：等腰直角三角形是“奇妙三角形”，理由如下： 在中，，，点是的中点， 将绕点旋转得到，如图②所示： 由旋转的性质得：点共线，， ∴是等腰三角形， ∴等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）∵中，， ， N是的中点， ∴将绕点旋转得到，如图所示： 由旋转的性质得：点共线，，， ∵是关于点的“奇妙三角形”， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴或， 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去）； 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去） 综上， 或11． 【例题15-2】．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）在中，，，是内的一条射线且与交于点，如图1，分别过点和点作，垂足分别为． (1)证明：； (2)已知： ①连接，若，如图2，求的长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证即可； （2）①由得，证明，在中由勾股定理得，从而可得结论； ②由勾股定理得，，根据可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 又， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去） ∴； ②过点A作于点P，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 【例题15-3】．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【难度】0.4 【知识点】确定第三边的取值范围、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 【例题15-4】．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【难度】0.4 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 【例题15-5】．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，长方形中，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时， 的长为 ， 的长为 ； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．） （只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程） ②连接，求周长的最小值． 【答案】(1)，3 (2)①；②6 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据，可得，，利用即可证明，得到； （2）①设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【详解】（1）∵当点P是的中点时， ∴， ∴ ， ，， 点是的中点， ， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）①由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， 由两点之间线段最短可知， 当点恰好位于对角线上时，最小． 连接，在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． 【例题15-6】．（23-24八年级上·广东深圳·期中）(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；② 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解； （2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长． 【详解】解：（1）∵，∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即； （2）①∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，； ② 解析：在四边形中，，由（1）知 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 图2 【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键． 【例题15-7】．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）在学习等腰直角三角形的过程中，小宛同学遇到了一个问题：在等腰直角中，，，点为线段BC上任意一点，试说明，，之间的数量关系．小宛的思路是：首先过点作的垂线，再构造与全等的三角形，从而转化，，使问题得到解决．请根据小宛的思路完成下面的作图与填空： 尺规作图：过点作的垂线，在上方的直线上截取，连接，（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）． 证明：为等腰直角三角形，，， ， ， ______， 在和中，， ， ，______， ， ， ， 在中，，， 在中，，______， 又， ， ． 【答案】图见解析，；；；． 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用辅助线构造全等三角形，利用勾股定理得出线段平方关系． 根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质得到，，进一步证明，得到，，从而证明，利用勾股定理分别表示出，，从证明结论． 【详解】解：如图， 证明：∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 在中，，， 又∵， ∴， ∴． 【例题15-8】．（24-25八年级上·山东青岛·期中）（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题是勾股定理证明平方关系． （1）①由勾股定理可得，，再结合，即可得出结论； ②过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （2）过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）以、为边作长方形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ； （3）如图，以、为边作长方形，连接、， 由（1）中规律可得， 由（2）得：， ∵，，， ∴， 解得：， 当、、三点共线时，最小， ∴的最小值的最小值， 故答案为：． 【例题15-9】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)24 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 题型十六：勾股定理规律问题 【例题16-1】．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①16，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 【答案】(1)60，61；48，50 (2) 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据所提供的几组勾股数找出规律，难度不大． （1）根据所提供的几组勾股数的规律即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第（5）组勾股数： 当为奇数时，如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；（5）11，60，61； 当为偶数时，如17，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37；（5）14，48，50； 故答案为：60，61；48，50； （2）猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为，则这三个数为勾股数． 证明： 又∵n为奇数， ∴为整数， ∴这三个数为勾股数． 故答案为：． 【例题16-2】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； (2)当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)或或 【难度】0.4 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（）观察勾股数，找出规律即可求解； （）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，据此可得，然后计算验证即可； （）由勾股定理可得，再根据勾股定理可得，然后根据列举法即可解答； 本题考查了勾股数，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴为奇数，且时，勾股数为、、， ∴、、， 故答案为：、； （2）解：观察发现，当(为奇数，且)时，股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一， ∴当，时可以构造出勾股数， 证明：∵，， ∴， ∵为奇数，且， ∴、、是正整数， ∴、、三个数组成的数是勾股数； （3）解：由勾股定理可得， 当时，则有， 即， 当时，解得，， ∵， ∴该种情况不合题意，舍去； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 【例题16-3】．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、　 　、　 　； (2)若第一个数用字母a（a为奇数，且）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为　 　、　 　； (3)用所学知识加以说明． 【答案】(1)， (2)、 (3)见解析 【难度】0.4 【知识点】勾股树（数）问题、用代数式表示数、图形的规律、列代数式 【分析】（1）根据勾股数找出规律即可得到答案； （2）根据勾股数找出规律即可得到答案 （3）根据平方差公式证明即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2， ∴第二个数是，第三个数是， 故答案为，； （2）解：由题意可得， 第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2， ∴第二个数是，第三个数是， 故答案为：、； （3）解：由题意可得， ∴勾股数规律是a，，． 【点睛】本题考查勾股数规律问题，解题的关键是找出规律第二个数是第一个数的平方减1的和除以2，第三个数比是第一个数的平方加1的和除以2． 【例题16-4】．（2025·河北保定·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】本题考查找规律，涉及勾股数，根据题中所给等式的结构特征找准规律即可，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）由题中所给等式的结构特征即可得到答案； （2）根据题中所给等式的结构特征即可得到答案； （3）由（2）中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）补充上述表格，， 故答案为：； （2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：， 故答案为：； （3）由（2）中规律， 则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形， 当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得， 直角三角形的另一个直角边是， 则这个直角三角形的面积为． 【例题16-5】．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵，∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴ ① ．（填“>”或“<”） ∵， ∴． ∵= ② = ③ ，= ④ ， ∴， ∴，，为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，为勾股数，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了勾股数，完全平方公式，不等式的性质，一元二次方程等知识点，解题的关键是读懂题意掌握勾股数公式的推导过程． （1）利用不等式的性质和完全平方公式逐步进行计算即可； （2）根据三个数的大小关系分三种情况进行讨论，然后利用勾股数公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴①处填； ∵ ∴②处填，③处填； ∵， ∴④处填， 故答案为：，，，． （2）解：根据勾股数的定义可得， 当时，， 解得， 则； 当时，， 解得，（负值舍去） 则； 当时，， 解得，不符合题意，该种情况不成立； 所以，或． 【例题16-6】．（2025·安徽六安·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)，或，． 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数及其应用． （1）根据解题过程，结合上下文即可完成； （2）分三种情况：；；，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． （2）解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026北师大版八年级数学上册典型例题系列「2026版」 第一章 1.1探索勾股定理 第一篇 专题精析 专题名称 探索勾股定理 专题内容 掌握勾股定理的定义,可以利用勾股定理来解决问题 讲解建议 根据知识点和题型进行讲解 考点题型 十六个题型 第二篇 典型例题目录 题型一:用勾股定理解三角形 1 题型二:用勾股定理求三角形面积 7 题型三:勾股定理在古代中的应用 8 题型四:赵爽弦图解三角形 10 题型五:勾股定理求三角形中的长度 10 题型六:以直角三角形三边为边长的图形面积 12 题型七:利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 25 题型八:利用勾股定理证明线段平方关系 32 题型九:勾股数问题 34 题型十:勾股树问题 39 题型十一:折叠问题 46 题型十二:用勾股定理求最小值 84 题型十三:勾股定理与网格问题 87 题型十四:勾股定理的实际应用 99 题型十五:勾股定理的压轴题 106 题型十六:勾股定理规律问题 126 第三篇 典型例题汇总 题型一:用勾股定理解三角形 【例题1-1】.(24-25八年级下 贵州黔南 期中)勾股定理在《九章算术》中的表述是:“勾股术曰:勾股各自乘,并而开方除之,即弦”,即(a为勾,b为股,c为弦).若“勾”为3,“股”为4,则“弦”为( ) A.5 B.6 C.7 D. 【例题1-2】.(24-25八年级下 福建龙岩 期中)在动画片《猫和老鼠》中,汤姆猫追逐杰瑞鼠,杰瑞鼠跑到了一个直角三角形的房间角落.已知两直角边分别为3米和4米,汤姆猫想直接斜穿过去截住杰瑞鼠,它需要跑多远?( ) A.3米 B.4米 C.5米 D.7米 【例题1-3】.(24-25八年级下 江西赣州 期中)已知一个直角三角形的两直角边长分别为和,则斜边的长度为( ) A. B. C. D.或 【例题1-4】.(24-25八年级下 陕西渭南 期中)如图,生活中,可以用身体上的尺子:肘、拃、步长等来估计距离.某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备,某同学想知道屏幕有多大,他用手掌测量得到多媒体屏幕的长是12拃,宽是3.5拃,请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是( )(1拃) A. B. C. D. 【例题1-5】.(2025 陕西咸阳 模拟预测)如图,在中,于点,若,则的长为( ) A. B. C.6 D.5 【例题1-6】.(2025 浙江 模拟预测)如图,在中,,.在高线所在直线上任取一点(不与点,重合),连结,,则的值为( ) A.6 B.18 C.36 D.72 【例题1-7】.(2025 贵州毕节 三模)在中,,若,,则的长是( ) A.7 B.6 C.5 D.2 【例题1-8】(24-25七年级下 黑龙江 期中)随着AI技术的发展,我校数学学习小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动,如图,当张角为时,顶部边缘处离桌面的高度,此时底部边缘处与处之间的距离,小组成员调整张角的大小继续探究,最后发现当张角为时(是的对应点),顶部边缘处到桌面的距离,则图中点处与点之间的距离为( ) A. B. C. D. 【例题1-9】.(24-25八年级下 湖北武汉 期中)为了体验人工智能生活,小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落(鞋柜、衣柜与地面均无缝隙),在没有障碍物阻挡的前提下,扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面.已知该圆形扫地机有如下5款尺寸(直径):,,,,,则其中有 款扫地机可以购买. 【例题1-10】.(24-25八年级下 辽宁大连 期中)如图,中,,已知,E为上一点,且,连接,则的最小值为 . 题型二:用勾股定理求三角形面积 【例题2-1】(2025 江西新余 三模)如图,在中,,平分,过点作,垂足为,连接,若,,则的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 题型三:勾股定理在古代中的应用 【例题3-1】.(2025年浙江省衢州市实验学校教育集团九年级中考四模数学试卷)清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中,用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理.如图,四边形为正方形,若的斜边,,则图中线段的长为( ) A.6 B. C.8 D. 【例题3-2】.(24-25八年级下 重庆璧山 期中)《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有立木,系索其末,委地四尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?译文:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有4尺.牵着绳索(绳索头与地面接触)退行,在距木根部8尺处时绳索用尽,问绳索长是多少?根据题意求出绳索长为( )尺. A. B.10 C.16 D.12 题型四:赵爽弦图解三角形 【例题4-1】.(2025 安徽合肥 模拟预测)“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”,是数形结合的典型体现.如图,大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成.连接,若,,则大正方形的边长为( ) A.5 B. C. D. 题型五:勾股定理求三角形中的长度 【例题5-1】.(2025 黑龙江绥化 二模)如图,四边形中,,,,连接,的平分线交对角线,底边BC分别于点O,E,若,,则的长为( ) A. B. C. D. 【例题5-2】.(2025 浙江绍兴 一模)如图,,,在线段上,是的中点,连结,,若,,则的长是( ) A. B. C. D. 题型六:以直角三角形三边为边长的图形面积 【例题6-1】(24-25八年级下 广东惠州 期中)如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”.记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为,若正方形的边长为,则的值( ) A.16 B.17 C.18 D.20 【例题6-2】.(24-25八年级下 辽宁大连 阶段练习)如图,分别以的三条边为边向外作正方形,面积分别记为.若,,则( ) A.5 B.13 C.18 D.97 【例题6-3】.(24-25八年级下 河北廊坊 阶段练习)如图,在中,,分别以为边在外侧作正方形和正方形,再以为斜边在外侧作,若,,则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 【例题6-4】.(24-25八年级下 河北邢台 阶段练习)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.下列选项中一定正确的是( ) 图1 图2 A.直角三角形的面积 B. C. D.两个较小正方形重叠部分的面积 【例题6-5】.(24-25八年级上 广东佛山 期末)如图,分别以的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为,,.若,则图中阴影部分的面积为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 【例题6-6】.(24-25九年级上 江苏南京 期末)如图,在Rt中,,分别以各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( ) A.6 B. C. D. 【例题6-7】.(23-24八年级下 湖北武汉 阶段练习)如图,以直角三角形的各边为直径分别作半圆,把较小的两个半圆的重叠部分的面积记为,大半圆未重叠部分的面积记为,则的面积可表示成( ). A. B. C. D. 【例题6-8】.(24-25八年级下 全国 期中)有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图1所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”如图2所示,若“生长”了2 024次后,形成的图形中所有的正方形的面积和是( ) A.2025 B.2024 C.22023 D. 【例题6-9】.(24-25八年级上 辽宁沈阳 期末)如图,在中,,分别以为边在外侧作正方形和正方形,再以为斜边在外侧作,若,,则图中阴影部分的面积是( ) A.10 B. C. D. 【例题6-10】.(23-24八年级上 福建三明 期中)如图,在中,,分别以,,为边在同侧作正方形,正方形,正方形.设的面积为,的面积为,的面积为,四边形的面积为,四边形的面积为,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【例题6-11】.(2025 陕西宝鸡 模拟预测)如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,,则阴影部分的面积之和为 . 【例题6-12】.(2025八年级下 广西 专题练习)如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分的面积是 . 【例题6-13】.(23-24八年级下 安徽淮北 期中)如图,中,,分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形:,,,若图中阴影部分的面积,,,则 . 【例题6-14】.(24-25八年级上 江苏盐城 期中)如图,在四边形中,,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,面积分别记为,,,.若,,则 . 【例题6-15】.(24-25八年级上 浙江金华 期末)勾股定理是人类最伟大的科学发明之一.如图1,以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内,三个阴影部分面积分别记为,,,若已知,,,则两个较小正方形纸片的重叠部分(四边形DEFG)的面积为 . 题型七:利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【例题7-1】.(23-24八年级下 安徽阜阳 期中)如图,四边形的对角线,相交于点.若,则 . 【例题7-2】.(24-25八年级上 湖北十堰 期末)如图,等腰直角,等腰直角,,连接相交于点M,则 . 【例题7-3】(23-24七年级下 山东烟台 期末)如图,点、、在同一条直线上,点在点,之间,点,在直线同侧,,,,连接,设,,,给出下面三个结论:①;②;③;④,上述结论中,所有正确结论的序号是 . 【例题7-4】.(23-24八年级下 四川德阳 阶段练习)如图在中,、分别是、的中点,,,,则的长为 . 【例题7-5】(23-24八年级下 河南郑州 期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形,对角线交于点,若,,则 . 【例题7-6】.(23-24八年级上 辽宁沈阳 阶段练习)如图,四边形ABCD的对角线交于点O.若,,,则 . 【例题7-7】(23-24八年级上 江苏盐城 阶段练习)中,斜边,则的值是 . 【例题7-8】.(22-23八年级下 山西大同 期末)如图,和都是等腰直角三角形,,,的顶点A在的斜边上,则的值为 . 【例题7-9】.(20-21八年级上 甘肃兰州 期中)在中,斜边,则 . 题型八:利用勾股定理证明线段平方关系 【例题8-1】.(24-25八年级上 广东梅州 阶段练习)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形,对角线交于点.若,,则等于( ) A.14 B.15 C.16 D.17 【例题8-2】.(23-24八年级上 河北保定 期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形,对角线交于点.若,,则等于( ) A. B. C. D. 【例题8-3】.(23-24八年级下 河南商丘 期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,如图,在“垂美”四边形中,对角线交于点O,若,则 . 【例题8-4】.(23-24八年级上 陕西西安 期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形,对角线交于点.若,则 . 题型九:勾股数问题 【例题9-1】(24-25八年级下 辽宁大连 阶段练习)下列各组数中,是勾股数的一组是( ) A.,2, B.4,5,6 C.6,8,10 D.3,4,4 【例题9-2】.(2025 湖南 模拟预测)三个勾股数互质时称之为本原勾股数,按规律排列:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41…,则第n组勾股数的第二个数为( ). A. B. C. D. 【例题9-3】.(24-25八年级下 重庆渝北 期中)下列四组数中,不是勾股数的是( ) A.3,4,5 B.5,6,7 C.7,24,25 D.9,12,15 【例题9-4】(24-25八年级下 河南周口 期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中,下列各组数中,是“勾股数”的是( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 【例题9-5】.(24-25八年级下 安徽安庆 期中)下列各组数中,属于勾股数的是( ) A.,2, B.,, C.8,15,19 D.9,40,41 【例题9-6】.(24-25八年级下 江西赣州 期中)能够成为直角三角形三条边长的正整数,我们称为“勾股数”,下列各组数中,是“勾股数”的是( ) A.2,3,4 B.4,5,6 C.7,8,9 D.9,40,41 【例题9-7】.(24-25八年级下 河南安阳 期中)下列属于勾股数的是( ) A.3,4,5 B.0.3,0.4,0.5 C.1,2,3 D.,2, 【例题9-8】.(24-25八年级下 陕西西安 期中)下列各组数是勾股数的是( ) A.13,14,15 B.6,8,11 C.,, D.5,12,13 【例题9-9】.(24-25八年级下 湖北孝感 期中)勾股定理本身就是一个关于,,的方程,满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:.分析上面勾股数组可以发现,,分析上面规律,第9个勾股数组为 . 【例题9-10】.(24-25八年级下 广东阳江 期中)如图是一株勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,已知最大正方形的面积是16,则图中阴影正方形的面积之和为 . 题型十:勾股树问题 【例题10-1】.(24-25八年级下 广东东莞 期中)如图,正方形的边长为4,其面积标记为,以为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为,…按照此规律继续下去,则的值为( ) A. B. C. D. 【例题10-2】.(24-25八年级下 山东德州 期中)有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图1所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”如图2所示,若“生长”了2025次后,形成的图形中所有的正方形的面积和是( ) A.2026 B.2025 C. D. 【例题0-3】.(24-25八年级下 广东广州 期中)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形、、、的面积分别是,则正方形的面积是( ) A. B. C. D. 【例题10-4】.(24-25八年级下 安徽阜阳 期中)如图,在四边形中,,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,其面积分别记为,,,,若,,,则的长为( ) A.7 B.5 C.4 D.6 【例题10-5】.(24-25八年级下 安徽芜湖 阶段练习)如图,在中,分别以这个三角形的三边为边长作正方形,面积分别记为,若,则阴影部分的面积为 ( ) A.10 B.8 C.6 D.5 【例题10-6】(24-25八年级下 湖南怀化 期中)如图是一种“羊头”形图案,其做法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②',…,然后依此类推,若正方形①的面积为64,则第4个正方形的边长为( ) A. B. C. D. 【例题10-7】.(24-25八年级下 福建福州 阶段练习)如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,若正方形A,B,C,D的面积分别为4,6,3,4,则正方形E的面积是( ) A.14 B.17 C.19 D.34 【例题10-8】(24-25八年级下 广东惠州 期中)有一个面积为的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图,如果继续“生长”下去,它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”.请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是( ) A. B. C. D. 题型十一:折叠问题 【例题11-1】.(24-25八年级下 江苏盐城 期中)如图,把一张长方形纸片折叠起来,使其顶点D与B重合,折痕为.若,,则长为 . 【例题11-2】.(2025 浙江 模拟预测)如图,在四边形中,,,,.把四边形的两个角向内折叠,使,两点在点处重合,点落在边上的点处,,是折痕.若,则的长度是 . 【例题11-3】.(24-25八年级下 四川泸州 期中)已知直角三角形纸片的两直角边长分别是,,现将按如图所示那样折叠,使点A与点B重合,折痕为,则的长是( ) A.3 B. C.4 D. 【例题11-4】.(24-25八年级下 安徽合肥 期中)如图,在中,,将它的锐角A翻折,使得点A落在边的中点D处,折痕交边于点E,交边于点F,则的长为( ) A.2 B.3 C. D. 【例题11-5】.(2025 广东汕头 一模)如图,三角形纸片中,,,.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与的交点为E,则的长是( ) A. B. C. D. 【例题11-6】.(24-25八年级下 北京 期中)如图,在中,,,,是的中点,是上一点,连接、.将沿翻折,点落在上的点处,则的长是( ) A. B. C. D. 【例题11-7】.(21-22八年级下 河南开封 期末)如图,在,,,,以为折痕将翻折,使点与点重合,则的长为( ) A. B.1 C. D. 【例题11-8】.(24-25八年级上 陕西榆林 阶段练习)如图,在中,,,,点在上,将沿着所在直线翻折,使点落在斜边上的点处,则的长为( ) A. B. C. D. 【例题11-9】(24-25八年级上 河南郑州 期中)小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题,如图,在中,,,,沿过点的直线折叠,使点落在边上的点处,再次折叠,使点与点重合,折痕交于点E,则的长度为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【例题11-10】.(24-25八年级下 天津 期中)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,我们把每个小正方形的顶点称为格点,、、均为格点. (1)线段的长度为 ; (2)若点E、F分别在线段、上,满足,则当取得最小值时,请用无刻度的直尺画出点E的位置(保留作图痕迹),此时的最小值为 . 【例题11-11】.(23-24八年级上 广东深圳 期中)如图,在中,,,,为斜边上的一动点(不包含,两端点),以为对称轴将翻折得到,连结.当时,的长为 . 【例题11-12】.(23-24九年级上 重庆北碚 阶段练习)如图,在等腰直角三角形中,,点O为线段的中点,沿着直线翻折后得到,线段与线段交于点N,若线段的长为2,则线段的长度为 . 【例题11-13】.(2023 河南南阳 一模)如图,在中,,,,点D为边的中点,点P为边上任意一点,若将沿折叠得,若点E在的中位线上,则的长度为 . 【例题11-14】.(24-25八年级下 广西来宾 期中)如图,将一张长方形纸片沿折叠,使、两点重合,点落在点处.已知,.则线段的长是 . 【例题11-15】.(24-25八年级下 安徽合肥 期中)有一块直角三角形纸片: (1)如图,若两直角边,,现将直角边沿直线折叠,使恰好在斜边上,且点与点重合,则的长为 ; (2)如图,若两直角边,,点在边上,以为折痕折叠得到,边与边交于点.若为直角三角形,则的长为 . 【例题11-16】.(24-25八年级下 河北廊坊 阶段练习)如图,在长方形中,,,,沿边所在直线翻折,与重合,点F在上,则的长是 . 【例题11-17】.(24-25八年级下 新疆和田 阶段练习)如图,在中,,,,点在上,将沿着所在直线翻折,使点落在斜边上的点处.则的长为 . 【例题11-18】.(24-25八年级上 山东威海 期末)如图,三角形纸片,,将纸片沿过点C的直线折叠,使点A落在边上点D处,再折叠纸片使点B与点D重合,折痕交于点E.若,,则的长为 . 【例题11-19】.(24-25八年级上 河南郑州 期末)如图,在中,,,点为线段上的一个动点,将沿直线折叠,使点的对应点落在射线上,连接,若的某一直角边等于斜边长度的一半时,则的长为 . 【例题11-20】.(24-25八年级下 广东东莞 期中)如图,将长方形沿折叠,使落在的位置,且与相交于点F. (1)求证:; (2)若,,求. 【例题11-21】.(24-25八年级下 云南昆明 期中)如图,在中,,,,将折叠,使点C与点A重合,折痕为, (1)求的长; (2)求点B到斜边的距离; 【例题11-22】.(24-25八年级下 天津宝坻 阶段练习)如图所示,有一块直角三角形纸片,,将斜边翻折,使点B落在直角边的延长线上的点E处,折痕为,则的长. 【例题11-23】(24-25八年级下 辽宁葫芦岛 阶段练习)如图,把一张长方形纸片折叠起来,使其对角顶点与点重合,点与点重合,若,求: (1)求的长; (2)求阴影部分的面积. 【例题11-24】.(24-25八年级上 陕西榆林 期末)如图,在中,,,,D是边上一动点,连接.将沿着直线翻折.使点B落到点处,得到 (1)如图1,当点在线段的延长线上时,连接,求的长. (2)如图2,当时,求的度数. 【例题11-25】.(24-25八年级上 四川成都 期中)在矩形纸片中,,. (1)如图①,将矩形纸片沿折叠,点落在对角线上的点处,求的长: (2)如图②,点为上一点,将沿翻折至,与相交于点,与相交于点、且,求的长: (3)如图③,将矩形纸片折叠,使顶点落在边上的点处,折痕所在直线同时经过、包括端点,请直接写出的最大值和最小值. 【例题11-26】.(24-25八年级上 江西景德镇 期中)如图,在平面直角坐标系中,将长方形沿直线折叠(点E在边上),折叠后顶点D恰好落在边上的点F处,若点D的坐标为. (1)写出点F的坐标. (2)求的长. 【例题11-27】.(24-25八年级上 广东深圳 期中)如图,将长方形沿直线 折叠,顶点 恰好落在边上点处,未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分,已知,. (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积. 【例题11-28】.(24-25八年级上 河南郑州 阶段练习)如图,在长方形中,,,P是射线上一动点,l为长方形的一条对称轴,将沿折叠,当点B的对应点落在l上时,的长为多少? 【例题11-29】.(2024八年级上 全国 专题练习)如图,在直角三角形纸片中,,,.将该纸片折叠,折叠后点A与点B重合,折痕与边交于点D,与边交于点E.求: (1)的面积; (2)的长; (3)折痕的长. 【例题11-30】.(24-25八年级上 广东深圳 期中)如图,将长方形纸片沿对角线折叠,使点落到点位置,与交于点,且,. (1)求证:; (2)求的长; (3)点为线段上任一点,于,于.请直接写出的值. 【例题11-31】.(24-25八年级上 河南郑州 阶段练习)如图,将边长为的正方形折叠,使点D落在边的中点E处,点A落在F处,折痕为. (1)求线段长. (2)求线段的长. 【例题11-32】.(24-25八年级上 河北保定 阶段练习)如图1,在中,,,.点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动,当点P与点C重合时,停止运动.设点P的运动时间为秒,连接. (1)当秒时,求的长. (2)如图2,将沿直线折叠,使得点C的对应点M恰好落在边上,求此时的值. 【例题11-33】.(24-25八年级上 陕西西安 阶段练习)如图,在长方形中,,,P为上一点,将沿翻折至,,与分别相交于点O,G,且. (1)试说明:; (2)求的长. 【例题11-34】.(24-25八年级上 江西吉安 阶段练习)如图,将长方形纸片沿对角线折叠,使点落到点位置,与交于点. (1)试说明:; (2)若,求的面积; (3)在(2)的条件下,若点为线段上任一点,于于.求的值. 题型十二:用勾股定理求最小值 【例题12-1】.(2025 黑龙江哈尔滨 二模)如图,,,垂足为M、N,,,,P是上任意一点,则的最小值是 . 【例题12-2】.(24-25八年级下 天津 期中)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,我们把每个小正方形的顶点称为格点,、、均为格点. (1)线段的长度为 ; (2)若点E、F分别在线段、上,满足,则当取得最小值时,请用无刻度的直尺画出点E的位置(保留作图痕迹),此时的最小值为 . 【例题12-3】.(24-25八年级下 四川泸州 期中)如图,在中,,,,、分别是、边上的动点,连接、,则的最小值是 . 题型十三:勾股定理与网格问题 【例题13-1】.(2024 北京丰台 二模)在正方形网格图形中,每个小正方形的边长为,将其顶点称为格点.从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动,因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃,故称为一次“跳马”变换. (1)如图1,在4 4的正方形网格图形中,从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为 (填“B” “C”或“D”); (2)如图2,现有6 6的正方形网格图形,若从该正方形的格点M经过三次“跳马变换到达格点N,则共有 中不同的跳法. 【例题13-2】.(2025 贵州铜仁 三模)如图是由边长为的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,的顶点在格点上,仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图. (1)在图中,作的高线; (2)在图中. 在边上画一点,使平分的面积; 点是边上任意一点,在的条件下,在上画一点,使,并说明理由. (3)在图中,在边上画一点F,使. 【例题13-3】.(24-25九年级下 安徽池州 期中)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均在格点(网格线的交点)上,直线l在网格线上. (1)画出关于直线l对称的. (2)直接写出线段的长度. (3)在直线l的右侧确定一个格点D,连接,使得. 【例题13-4】.(2025 宁夏银川 二模)如图,网格中每个小正方形的边长都为,的顶点均在格点上,只用无刻度直尺,根据网格特征作图: (1)在图中的上取点,使与面积相等; (2)在图中取格点,使得(不与重合); (3)在图中作的高. 【例题13-5】.(2025 浙江嘉兴 二模)如图,在的网格中,线段的端点都在格点上,请按要求用无刻度直尺作图. (1)在图中作格点C,使得. (2)连结,,在图中作出的重心点G.(保留作图痕迹) 【例题13-6】.(24-25八年级下 山西大同 期中)我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题. 例如:如图1,在正方形网格中(每个小正方形的边长都为1),构造,点A,B,C都在格点上,比较与的大小. 解:由勾股定理,得,,. 在中,,. 请仿照上述方法,在图2中构造图形,比较与的大小. 【例题13-7】.(24-25七年级下 北京 期中)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)过点作线段的垂线段,垂足为点; (2)过点作的平行线,与轴交于点; (3)的面积为_; (4)线段的长为_. 【例题13-8】.(24-25七年级下 辽宁沈阳 期中)如图,每个小方格都是边长为1的正方形,点、、、四点都是格点(每个小方格的顶点叫做格点).点是的边上的一点. (1)找出格点,画出的平行线,图中满足要求的格点共可以找出_个; (2)过点画的垂线,交于点,过点画的垂线,垂足为; (3)线段的长度是点到直线_的距离,线段_的长度是点到直线的距离; (4)因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,所以线段,,这三条线段长度的大小关系是_.(用“”连接) 【例题13-9】.(24-25九年级下 北京西城 期中)在解决“已知三角形三边长,求三角形的面积”的问题中,某些情况下,我们可以在边长为1的正方形格点中构造三角形,再利用割补法计算该三角形的面积. 例如:,由于,故可以画为格点中矩形的对角线,同理可以画为矩形的对角线,可以画为矩形的对角线,如图1,由割补法可求出面积为3.5. 根据材料回答下列问题: (1)请在图2中画出三边长度分别为的三角形(长度为的边已在图中给出),该三角形的面积是_; (2)如果三角形三边的边长分别为(其中),用含的代数式表示三角形的面积为_. 题型十四:勾股定理的实际应用 【例题14-1】.(24-25八年级下 江西景德镇 期中)春晚已经成为中国现代化发展的文化符号,成为国家交流和对外传播的品牌和名片,成为彰显中国文化软实力的代表,从而构筑中国精神,中国价值,中国力量,在2025年中央广播电视台联欢晚会中:“巳巳如意“被用作主题,与“生生不息“相结合;表达了对未来的美好期望和祝福.我们定义一种三角形:两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”. (1)根据“巳巳如意三角形”的定义,可知等腰直角三角形_(“是”或“不是”); (2)若某三角形的三边长分别为6,,8,问该三角形是不是“巳巳如意三角形”?请作出判断并写出判断依据; (3)在中,三边长分别为a,b,c,且,,若这个三角形是“巳巳如意三角形”,请你求出b的值,并说明理由. 【例题14-2】.(24-25八年级下 湖北十堰 期中)某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度,通过勘测,得到如下记录表: 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米. ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米. ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米. 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析,他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度.请完成以下任务. (1)已知:如图,在中,,,.求线段的长. (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米,长度不变,则他应该再放出多少米线? 【例题14-3】.(24-25八年级下 天津 期中)天天和津津放风筝,在试飞风筝过程中,他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度.以下是他们测量高度的过程: ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米; ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米; ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米. 已知A、B、C、D点在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度; (2)在测高的过程中天天提出了一个新的问题:在手中剩余线仅剩7.5米的情况下,若想要风筝沿射线方向再上升9米,长度不变,能否成功呢?请你帮助解决他提出的问题. 【例题14-4】.(24-25八年级下 山西吕梁 期中)11月9日全国消防日,某中学开展消防技能演练,特邀消防大队现场指导,消防大队出动了消防云梯助力.消防云梯主要用于高层建筑火灾救援,能让消防员快速到达火灾现场,执行灭火、疏散等救援任务.如图,已知云梯最大伸长长度为(即),消防车顶端距地面高度为(点,到地面的垂直距离,即),首次救援时,云梯升至距地面高的点(即),而后需从距离地面高的点(即)进行二次救援,此时,消防车需从点水平移动至点,靠近楼房.求消防车水平移动距离的长度?(已知:点均在同一平面内,所在的直线与地面平行,与楼房垂直) 【例题14-5】.(24-25八年级下 黑龙江绥化 期中)(阅读理解)问题:如图1,在中,,,是的中点,求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法: (1)如图1,延长到点,使,连接.根据_可以判定_,得出_.这样就能把线段、、集中在中.利用三角形三边的关系,即可得出中线的取值范围是_. (方法感悟)当条件中出现“中点”、“中线”等条件时,可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中,这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法. (问题解决)(2)如图2,在中,是边的中点,,交于点,交于点,连接,求证:. (问题拓展)(3)如图3,在中,,是的中线,,,且.直接写出的长=_. 题型十五:勾股定理的压轴题 【例题15-1】.(2025 江苏常州 二模)学习材料1:将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线,中线将三角形分成两个小三角形,若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形,则称是关于点M的“奇妙三角形”. 学习材料2:以下材料需根据提供的思路填写空白处. 如图①, 已知各角、、所对的边为a、b、c, 点D是的中点,连接, 求的长(用含a、b、c的代数式表示). 分析:作于H, 设, 由题意得 , 由 ,得 ,得 ,而 ,得 . 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式. 通过以上材料的学习,完成下列学习任务: (1)等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填:“是”或“否”); (2)如图②,中,, , N是的中点, 是关于点N的“奇妙三角形”.求的长. 【例题15-2】.(24-25八年级下 安徽淮北 期中)在中,,,是内的一条射线且与交于点,如图1,分别过点和点作,垂足分别为. (1)证明:; (2)已知: ①连接,若,如图2,求的长; ②若,求的长. 【例题15-3】.(23-24八年级上 浙江宁波 期末)[方法储备]如图1,在中,为的中线,若,,求的取值范围.中线倍长法:如图2,延长至点,使得,连结,可证明,由全等得到,从而在中,根据三角形三边关系可以确定的范围,进一步即可求得的范围. 在上述过程中,证明的依据是_,的范围为_; [思考探究]如图3,在中,,为中点,、分别为、上的点,连结、、,,若,,求的长; [拓展延伸]如图4,为线段上一点,,分别以、为斜边向上作等腰和等腰,为中点,连结,,. ①求证:为等腰直角三角形; ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置(,,不在同一条直线上),连结,为中点,且,在同侧,连结,.若,,求和的面积之差. 【例题15-4】.(23-24八年级上 四川成都 期中)如图,已知在中,,是上的一点,,点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动,设点的运动时间为,连接. (1)当秒时,求的面积; (2)若平分,求的值; (3)过点作于点.在点的运动过程中,当为何值时,能使? 【例题15-5】.(23-24八年级上 福建漳州 期中)如图,长方形中,,,点P在边上(不含端点B,C),直线与的延长线交于点E. (1)当点P是的中点时, 的长为 , 的长为 ; (2)将沿直线折叠得到,点落在长方形的内部,延长交直线于点. ①在(1)的条件下,求出的长;(小陈不完整的求解过程如下,请你帮他补充完整.) (只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程) ②连接,求周长的最小值. 【例题15-6】.(23-24八年级上 广东深圳 期中)(1)如图1,四边形的对角线于点.判断与的数量关系,并说明理由. (2)如图2,分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形,连接,,交点为. ①判断,的关系,并说明理由. ②连接.若,,请直接写出的长. 【例题15-7】.(24-25八年级上 河南南阳 阶段练习)在学习等腰直角三角形的过程中,小宛同学遇到了一个问题:在等腰直角中,,,点为线段BC上任意一点,试说明,,之间的数量关系.小宛的思路是:首先过点作的垂线,再构造与全等的三角形,从而转化,,使问题得到解决.请根据小宛的思路完成下面的作图与填空: 尺规作图:过点作的垂线,在上方的直线上截取,连接,(用基本作图,保留作图痕迹,不写作法、结论). 证明:为等腰直角三角形,,, , , _, 在和中,, , ,_, , , , 在中,,, 在中,,_, 又, , . 【例题15-8】.(24-25八年级上 山东青岛 期中)(1)问题①:如图1,长方形中,,,,则与的数量关系是_. ②如图2,P是长方形内任意一点,通过构造直角三角形,利用勾股定理,你能发现与的数量关系为_. (2)探究:如图3,P是长方形外任意一点,上面②的结论是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (3)应用结论:如图4,在中,,,B是内一点,且,,则的最小值_. 【例题15-9】.(24-25八年级上 江苏常州 期中)在中,, 若如图①,则有 ;若是锐角三角形,小明猜想,理由: 如图②, 过点A作, 垂足为D,设.在中,,在 中, ,,整理得 , ,,, ,∴当是锐角三角形时, ,∴小明的猜想是正确的. (1)请你猜想,是钝角三角形且为钝角时, (填“>”“<”或“=”); (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的. (3)若, 则的面积是 . 题型十六:勾股定理规律问题 【例题16-1】.(24-25九年级下 福建厦门 阶段练习)已知:满足的三个正整数a,b,c称为一组勾股数,很多勾股数组具有规律: (1)设,观察提供的4组勾股数的规律,完成第⑤组勾股数; 当a为奇数时如①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41,⑤11, , ; 当a为偶数时,如①16,8,10;②8,15,17;③10,24,26;④12,35,37,⑤14, , ; (2)猜想:三个整数中,若最小的数为奇数n,另外两个数分别为 , ,则这三个数为勾股数,请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确. 【例题16-2】.(24-25八年级上 江苏无锡 期中)课堂上学习了勾股定理后知道:直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”.王老师给出一组数让学生观察:;;;;,学生发现这些勾股数的勾都是奇数,且从起就没有间断过,于是王老师提出以下问题让学生解决.若两直角边为(),斜边为. (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:、 、 ; (2)当(为奇数,且)时,若 , 时可以构造出勾股数(用含的代数式表示),并证明你的猜想; (3)构造勾股数的方法很多,请你寻找当时, . 【例题16-3】.(22-23八年级上 江苏扬州 期中)课堂上学习了勾股定理后,知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察:;;;;…,学生发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,于是王老师提出以下问题让学生解决. (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:、 、 ; (2)若第一个数用字母a(a为奇数,且)表示,那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示?聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律:,,……,则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为 、 ; (3)用所学知识加以说明. 【例题16-4】.(2025 河北保定 模拟预测)观察下列等式: 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… (1)补充上述表格. 发现: (2)请用含n(n为正整数,且n>1)的等式表示上述规律: ; 应用: (3)若三个整数能构成直角三角形的三条边长,则称这三个数为勾股数(例如:3,4,5).现有一个直角边为14的直角三角形,它的三边长为勾股数,请求这个直角三角形的面积. 【例题16-5】.(2025 安徽宿州 二模)数学兴趣小组开展探究活动,研究“勾股数”.指导老师首先提出一个猜想:如果表示大于1的整数,则,,为勾股数.例如:当时,,,. ∵,∴数据3,4,5是勾股数. 对于此规律,兴趣小组的成员进行了如下证明: ∵, ∴, ∴ ① .(填“>”或“<”) ∵, ∴. ∵= ② = ③ ,= ④ , ∴, ∴,,为勾股数. (1)请补全横线上所缺的内容. (2)若数据8,为勾股数,且,求的值. 【例题16-6】.(2025 安徽六安 模拟预测)数学兴趣小组开展探究活动,研究“勾股数”.指导老师首先提出一个猜想:如果n表示大于1的整数,则,,为勾股数.例如:当时,,,. ∵, ∴数据3,4,5是勾股数. 对于此规律,兴趣小组的成员进行了如下证明: ∵, ∴, ∴① .(填“”或“”) ∵, ∴. ∵② ③ ,④ , ∴, ∴为勾股数. (1)请补全横线上所缺的内容. (2)若数据8,a,b为勾股数,且,求a,b的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$