1.1探索勾股定理第1课时（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

北师大版2024·八年级上册 1.1 探索勾股定理 （第1课时） 第一章 勾股定理 章节导读 三角形 1.1 探索勾股定理 1.2 勾股定理逆定理（判断直角三角形） 直角三角形 边角关系 全等三角形 边角 关系 勾股定理逆定理 勾股数 确定直角三角形 勾股定理解直角三角形 勾股定理的证明 方法 1.3 勾股定理的应用 折叠问题 大树折断/芦苇问题 几何体表面最短路径问题 1.1.1学 习 目 标（P1-P3） 1 2 3 理解并掌握勾股定理的内容，会在直角三角形中运用勾股定理求第三边，形成勾股定理的应用意识； 经历探索勾股定理的过程，了解先猜想后验证的数学定理学习方法和从特殊到一般的数学定理验证方法； 会利用面积法（割补法/拼图法）验证勾股定理，体会数形结合的思想方法，提高推理能力。 某大楼不幸发生了火灾，消防队员在消防车上，向受灾的楼层搭建救灾梯，楼层、消防车顶所在水平面和救灾梯组成了一个直角三角形，已知楼与消防车的高度差和楼与消防车的水平距离，如果你们是消防队员，需准备多长的梯子呢？ 情景引入 通过测量楼与消防车的高度差为6m，楼与消防车的水平距离为8m，此时可以转化为纯数学问题：在一个直角三角形中，已知两条直角边的长，求斜边。 其实在一个直角三角形中，任意两边确定了就可以求出第三边，这是因为直角三角形三边边长的平方满足一个关系，这一关系就是我们今天要学的勾股定理，接下来我们一起进入今天的学习，求出消防梯长。 6m 8m ？ 温故知新 (1)等腰三角形中的边角关系有哪些？ (2)直角三角形中的边角关系有哪些？ 通过以上问题，猜想一下：直角三角形中的边长关系是什么？让我们赶紧进入勾股定理的探索吧！ ∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C AB=AC AB=AC ⇄∠B=∠C ∠A+∠B=∠C=180° ※问题2 图案中的两个小正方形的面积和一个大正方形的面积有什么关系？ 新知探究 探究1.探究等腰直角三角形三条边长之间的关系      图案中的小正方形是由两个单位三角形组成，大正方形是由四个单位的三角形组成，所以两个小正方形的面积和等于大正方形的面积 S1+S2=S3 S2 S1 S1 都是4个等腰直角三角形 ※问题2 根据问题1的结论，请你分析等腰直角三角形的三边的边长平方之间的关系？ 新知探究 探究1.探究等腰直角三角形三条边长之间的关系 S1+S2=2a2，S3=c2，2a2=c2， 等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 设图中等腰直角三角形的直角边长为a,斜边长为c      S1 S2 S3 S1+S2=S3 拿出准备好的方格纸（每个小方格代表1个单位面积），在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形（直角边长数据在下表中），分别测量它们的三条边长，并填入下表。看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。 新知探究 探究2.数格子和表格法归纳勾股定理 直角三角形 a A的面积 b B的面积 C的面积 SA，SB，SC之间的关系     3 9 3 9 18   2 4 2 4 8   2 4 3 9 13   4 16 3 9 25             问题1.分别求出图1中正方形A、B、C的面积 新知探究 探究2.数格子和表格法归纳勾股定理 图1：正方形A的面积是 9 ，同理，正方形B的面积是 9 ，正方形C的面积是 18 . A、B：数格子(3×3=9个)；C：①数格子(不满一格按半格算) 问题2.用什么方法求出的A、B、C的面积？ ②割：分割成4个等腰直角三角形(S正方形C=4××3×3=18)； ③补：补成一个6×6的大正方形(S正方形C=×6×6=18) 问题3.分别求出图2中的正方形（A、B、C）的面积 图2：正方形A的面积是 4 ，同理，正方形B的面积是 4 ，正方形C的面积是 8 . 问题3.按照上述方法求出图3，并在小组内讨论正方形C的面积是怎样得出的？ 新知探究 探究2.数格子和表格法归纳勾股定理 图3：正方形A的面积是 4 ，正方形B的面积是 9 ，正方形C的面积是 13 . ①分割为4个直角三角形和1个小正方形 ②补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 ③将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形 拿出准备好的方格纸（每个小方格代表1个单位面积），在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形（直角边长数据在下表中），分别测量它们的三条边长，并填入下表。看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。 新知探究 探究2.数格子和表格法归纳勾股定理 直角三角形 a A的面积 b B的面积 C的面积 SA，SB，SC之间的关系     3 9 3 9 18 9+9=18 2 4 2 4 8 4+4=8 2 4 3 9 13 4+9=13 4 16 3 9 25 16+9=25           a2   b2 c2 SA+SB=SC，a2+b2=c2 问题5.如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由. 新知探究 探究2.数格子和表格法归纳勾股定理 ∵2.4=0.8×3，1.6=0.8×2，32×22=13； ∴0.82×32+0.82×22=0.82×13 问题6.从上面的分析中，归纳直角三角形三边长度之间存在什么关系？ 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 通过上面的活动，我们发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 新知探究 归纳定理 在古代，我们把直角三角形中较短的直角边(弯曲成直角的手臂的上半部分)称为勾，较长的直角边(弯曲成直角的手臂的下半部分)称为股，斜边称为弦.因此这一定理称为勾股定理。 新知探究 归纳定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2， Rt△ABC中，∠C=90°, 则a2+b2=c2. 变形：①c2=a2+b2 ； ②a2=c2-b2 ； ③b2=c2-a2 ； 应用勾股定理解直角三角形 提分笔记 1 应用勾股定理求导入问题中的消防梯的长度？ 应用新知 2 求出图中直角三角形第三边的长度. 解：因为62+82=100=102，所以建消防梯长10m （1） （2） 解：（1）由勾股定理，得152+x2=172，所以x2=64，所以x=8. 32+42 （2）由勾股定理，得x2=32+42+52，所以x2=169，所以x=13. 斜边 直角边 ①斜边 ②直角边 题型一.勾股定理与等面积法求三角形一边上的高 题型探究 方法点拨：等面积法求高 因为 S△ABC=AC·BC=AB·CD， 所以AC·BC=AB·CD(等面积法)，所以CD= 例1.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长. 解：因为∠ACB=90°AC=3，BC=4，所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5. 根据三角形的面积公式，AC·BC=AB·CD，所以CD=. 题型一.勾股定理与等面积法求三角形一边上的高 题型探究 变式1.（求等腰三角形的面积）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积？ 解：作AD⊥BC于D，在等腰△ABC中，∵AB=AC=13，BC=10， ∴BD=CD=5， ∴AD2=AB2-BD2 =132-52 =144， ∴AD=12，S△ABC=BC•AD=×10×12=60． 题型二. 应用勾股定理和方程思想求边长 题型探究 例2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．已知BD=3，AB=5．设CD长为x． (1)根据勾股定理，得AC2= ．（用含x的代数式表示，结果需化简） (2)求x的值． 16+x2 方法点拨： 用含x的代数式表示出AC2，根据∠BAC=90°和勾股定理列出等式，转化为方程 题型二. 应用勾股定理和方程思想求边长 题型探究 变式2-1.如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在AB边上，若BD=10，BC=5，且AD+AC=BD+BC，求AD的长． x 15-x 10 5 题型二. 应用勾股定理和方程思想求边长 题型总结 变式2-2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=8，BC=6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD= ． 10 5 8 6 x x 8-x 6 4 应用勾股定理和方程思想解折叠问题 拓展提升 例3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=3cm，BC=5cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合．折痕为DE，则的CD长为 cm． 5-x 4 x 应用勾股定理和方程思想解折叠问题 拓展提升 变式3.如图，三角形纸片ABC，∠C=90°，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边AB上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交BC于点E．若AC=2，BC=4，则CE的长为 ． 真题感知 真题感知 1. 基础必做题：教材P8，习题§1.1 第1、2题； 2. 开放探究题：查找勾股定理的其他证明方法（如总统证法、欧几里得证法）； 3. 实践操作题：用尺规作一个三边长为整数的直角三角形（如5、12、13）。 作业布置 课堂小结 本节课学习内容梳理： 感谢聆听! （1）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 长为x， ∴ ， 故答案为： ； （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 解得 ． 解：设 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， 再 中， ，根据勾股定理可知， ， 即 ， 解得 ， ∴ ． 解：如图，过点D作 的垂线，垂足为P，   在 中，∵ ，∴ ， ∵ 是 的角平分线，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ， 设 ， 在 中，∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ 故答案为：5． 解：由折叠得， ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 即 ， 故答案为： ． 解：由折叠可得 ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， 设 ，则 ， 由勾股定理得 ，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为： ． 解：由折叠的性质，得 ， 设 ，则 ， 由勾股定理，得 ， ∴ ， 解得 . 故答案为：3． 1.（2024·四川·中考真题）如图， 中， ， ， ，折叠 ，使点A与点B重合，折痕 与 交于点D，与 交于点E，则 的长为 ． 解：∵ ， ， ，D是边 的中点， ∴ ，∴ ， ∵将 沿 翻折，点C落在 上的点F处， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则： ， 在 中，由勾股定理，得： ， 解得： ；∴ ； 故答案为： ． 2.（2024·江苏常州·中考真题）如图，在 中， ， ， ，D是边 的中点，E是边 上一点，连接 ．将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，则 ． $