2.3有理数的乘除法 典型例题系列专题讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025-2026北师大版七年级数学上册典型例题系列「2026版」 2.3 有理数的乘除法 第一篇 专题精析 专题名称 有理数的乘除法 专题内容 有理数的乘法和除法的性质和相关题型 讲解建议 根据知识点和题型进行讲解 考点题型 十三个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：两个有理数的乘法运算 1 题型二：多个有理数的乘法运算 13 题型三：有理数乘法的实际应用 30 题型四：倒数 35 题型五：有理数乘法运算律 38 题型六：有理数的除法运算 43 题型七：有理数除法的应用 53 题型八：有理数乘除混合运算 59 题型十：有理数四则混合运算 69 题型十一：有理数四则混合运算的实际应用 81 题型十二：根据点在数轴的位置判断式子的正负 92 题型十三：数轴上的翻折 95 第三篇 典型例题汇总 题型一：两个有理数的乘法运算 【例题1-1】．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B．10 C． D．3 【例题1-2】．（2025·广东·模拟预测）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【例题1-3】．（2025·北京海淀·二模）若，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题1-4】．（2025·陕西咸阳·三模）计算：（    ） A． B．3 C． D．12 【例题1-5】．（2025·山西吕梁·一模）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【例题1-6】（2025·天津滨海新·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．1 C． D．11 【例题1-7】．（2025·四川南充·一模）计算：，其结果为（   ） A． B．1 C． D． 【例题1-8】．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知，两数表示在数轴上如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-9】．（24-25七年级上·河南漯河·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-10】．（21-22七年级上·河南洛阳·期中）已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-11】．（24-25七年级上·重庆江津·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-12】．（2025·四川资阳·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 【例题1-13】．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-14】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例题1-15】．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-16】．（2025·北京房山·一模）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-17】．（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（   ） A．0 B．4 C． D． 【例题1-18】．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 【例题1-19】．（24-25七年级下·全国·假期作业）（1）计算下列各式的值∶ ① ② ③ ④ （2）由上例请猜想下列各式的值∶ ① ② ③ ④ 【例题1-20】．（2025七年级下·全国·专题练习）怎样简便就怎样算． (1) ； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 【例题1-21】（24-25七年级下·全国·假期作业）思考并填空∶ (1) (2) (3) (4) 【例题1-22】．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 题型二：多个有理数的乘法运算 【例题2-1】．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【例题2-2】．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【例题2-3】．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： ； 【例题2-4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 【例题2-5】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ； ； ； ． 【例题2-6】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）绝对值不小于2.4且小于5的所有整数的积是 ． 【例题2-7】．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数的积是 ． 【例题2-8】．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 【例题2-9】．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【例题2-10】．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【例题2-11】．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1) ； (2)； (3)； (4)． 【例题2-12】．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 【例题2-13】．（21-22七年级上·江苏宿迁·期末）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 【例题2-14】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 【例题2-15】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【例题2-16】．（2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)． 【例题2-17】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【例题2-18】．（24-25七年级上·四川泸州·期中）计算：． 【例题2-19】．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【例题2-20】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【例题2-21】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【例题2-22】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【例题2-23】．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题2-24】．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题2-25】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题2-26】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1) ； (2)； (3)； (4)． 【例题2-27】．（2024七年级上·全国·专题练习） （1） ；         （2）； （3）；      （4）． 题型三：有理数乘法的实际应用 【例题3-1】．（24-25七年级上·广东佛山·期末）从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题3-2】．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按 顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为 ． 【例题3-3】．（2025·北京门头沟·二模）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付 元． 【例题3-4】．（2025·河北保定·一模）嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”． (1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少． (2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）． ①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果． 【例题3-5】．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量： 电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用． 题型四：倒数 【例题4-1】．（2024·山东菏泽·二模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【例题4-2】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【例题4-3】．（2025·广东·模拟预测）的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D．5 【例题4-4】．（2025·河北保定·一模）若互为倒数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【例题4-5】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【例题4-6】．（24-25七年级下·北京·开学考试）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①乘积为1的两个数互为倒数；②两个有理数相减，若差为正数，则被减数大于减数；③符号相反的两个数是相反数；④任意两个有理数的和一定大于其中的某一个加数． 【例题4-7】．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）的相反数的倒数是 ；的倒数是 ；倒数等于它本身的数是 ． 【例题4-8】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为 ． 题型五：有理数乘法运算律 【例题5-1】．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题5-2】．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算下列各题： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 【例题5-3】．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【例题5-4】．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【例题5-5】．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【例题5-6】．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算： 解：原式＝… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； (2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 题型六：有理数的除法运算 【例题6-1】．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【例题6-2】．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）已知，且，则的值是（　　　） A．6 B． C． D． 【例题6-3】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【例题6-4】．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例题6-5】．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若a，b为不等于0的有理数，则 ． 【例题6-6】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题6-7】．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数，，满足且，，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【例题6-8】．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）若且，那么的值为 ． 【例题6-9】．（2024七年级上·全国·专题练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当时，若，则 0； （2）当时，若，则c 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则 ． 【例题6-10】．（23-24七年级上·全国·单元测试）若a、b、c均为实数，且 ． 【例题6-11】．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【例题6-12】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 题型七：有理数除法的应用 【例题7-1】．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【例题7-2】．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【例题7-3】．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（   ）重合 A．点A B．点B C．点C D．点D 【例题7-4】．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点：若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从2这点开始跳，则经过2024次后它停在哪个数对应的点上（   ）    A．1 B．2 C．3 D．5 【例题7-5】．（2024七年级下·四川成都·专题练习）将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干正方形，则正方形最少是（    ）个． A．78 B．7 C．5 D．6 【例题7-6】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【例题7-7】．（24-25七年级上·山东青岛·期末）年月日在青岛青春足球场进行了世界杯亚洲区预选赛第三阶段的比赛，该阶段支球队被分为个小组（每组支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方的主场和另一方的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为 ． 【例题7-8】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）两根钢条，一根长，一根长．要把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段最长是 m，最少可以截成 段． 【例题7-9】．（24-25七年级上·河南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识解决下列问题： (1)一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数和的两点距离为，那么数轴上表示数和的两点距离可表示为；的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离． (2)如果，那么______． (3)如图，小明把一根木棒放在数轴上，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒长为，图中点表示的数为______． 根据小明以上做法，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小红现在的年龄，写出具体做法和相关计算过程． 题型八：有理数乘除混合运算 【例题8-1】．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【例题8-2】．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： (1) (2) (3)； (4)． 【例题8-3】．（24-25七年级上·河南·单元测试）计算： (1)； (2)． 【例题8-4】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【例题8-5】．（24-25七年级上·陕西安康·期中）计算： (1)； (2)． 【例题8-6】．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）计算：． 【例题8-7】．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【例题8-8】．（24-25六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【例题8-9】．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： (1) (2)； 【例题8-10】．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【例题8-11】．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 题型十：有理数四则混合运算 【例题10-1】．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）对任意有理数、定义新运算“”如下：．则 ． 【例题10-2】．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）在空内填上“、或” 52个( )520个； ( )；( ) 【例题10-3】．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为． 问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说："我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为 岁． 【例题10-4】．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）如果规定，那么 ． 【例题10-5】．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算．           【例题10-6】．（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【例题10-7】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【例题10-8】．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【例题10-9】．（24-25六年级下·山东济南·期中）用你喜欢的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【例题10-10】．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (2) (4) 【例题10-11】．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【例题10-12】．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 题型十一：有理数四则混合运算的实际应用 【例题11-1】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上．    ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和7，则刻度对应数轴上的点表示的数是2； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和15，则刻度对应数轴上的点表示的数是5： ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2.5，则刻度对应数轴上的点表示的数是1； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0.4，则刻度对应数轴上的点表示的数是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【例题11-2】（2025·福建福州·三模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【例题11-3】．（2025·北京房山·二模）某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 【例题11-4】．（2025·北京海淀·二模）某生态农场有三项任务需要完成，如下表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人 （填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为 小时． 【例题11-5】．（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 【例题11-6】．（24-25七年级下·北京·期中）随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作． 该机器人充一次电需要小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作小时，“节能模式”可连续工作小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，请完成下列任务： （1）该机器人在“节能模式”下完成个单位的家务工作至少需要 小时（含中途充电时间）． （2）小时内，该机器人最多可以完成 个单位的家务工作． 【例题11-7】．（24-25七年级上·福建福州·期末）合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示． 注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计； 注2：以上计算取3； 注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等； 注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点． (1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为． ①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）； ②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）； (2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）． 【例题11-8】．（24-25七年级上·河南商丘·期末）某粮库一周内大米的进出记录如下表所示：（运进为正，运出为负，单位，吨） 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进出记录 (1)周五粮库内的大米的存量相比周一是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)周日粮库管理员盘点时发现粮库中大米的存量还剩60吨，那么上周日盘点时，粮库中大米的存量有多少吨？ (3)如果进、出粮库的装卸费均由粮库支付，且都是每吨5元，那么这一周共花费装卸费多少元？ (4)在（3）的条件下，若运进的大米为购买的，购买价格为2000元/吨，运出的大米为卖出的，卖出价格为2300元/吨，则这一周该粮库共获得的利润为多少？ 【例题11-9】．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动． 素材： 如图1是学校操场实物图，图2是操场部分跑道示意图，操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为．标准跑道一般设置8条跑道，跑道设置6条跑道，直道长均为，每道宽．在一个标准的跑道内，，，，等比赛跑道的起点不同，终点相同．（注：取3，跑道分界线的宽度忽略不计） 任务： (1)海安某校操场是跑道． ①求第一跑道弯道的半径； ②小明、小勇参加学校运动会比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度是，小勇的速度是，他们同时跑向同一终点，问小明几秒能追上小勇？ (2)小丽、小红参加学校运动会比赛，若小丽在第三跑道，小红在最外圈跑道，并且最外圈跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸，求操场最外圈跑道的周长． 题型十二：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例题12-1】．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【例题12-2】．（24-25七年级上·天津宁河·期末）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【例题12-3】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 【例题12-4】．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【例题12-5】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十三：数轴上的翻折 【例题13-1】．（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026北师大版七年级数学上册典型例题系列「2026版」 2.3 有理数的乘除法 第一篇 专题精析 专题名称 有理数的乘除法 专题内容 有理数的乘法和除法的性质和相关题型 讲解建议 根据知识点和题型进行讲解 考点题型 十三个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：两个有理数的乘法运算 1 题型二：多个有理数的乘法运算 13 题型三：有理数乘法的实际应用 30 题型四：倒数 35 题型五：有理数乘法运算律 38 题型六：有理数的除法运算 43 题型七：有理数除法的应用 53 题型八：有理数乘除混合运算 59 题型十：有理数四则混合运算 69 题型十一：有理数四则混合运算的实际应用 81 题型十二：根据点在数轴的位置判断式子的正负 92 题型十三：数轴上的翻折 95 第三篇 典型例题汇总 题型一：两个有理数的乘法运算 【例题1-1】．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B．10 C． D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算计算即可． 【详解】解：， 故选：A 【例题1-2】．（2025·广东·模拟预测）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本考查有理数的乘法，根据乘法法则计算即可，注意：若两个乘数的符号相同，则结果为正数，若两个乘数的符号相反则结果为负数． 【详解】解：， 故选：A． 【例题1-3】．（2025·北京海淀·二模）若，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的加法和乘法，绝对值意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则，乘法法则和绝对值意义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，或，， 当，时，则， ∴； 当，时，∵， ∴， 综上分析可知：． 故选：D． 【例题1-4】．（2025·陕西咸阳·三模）计算：（    ） A． B．3 C． D．12 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0．据此计算即可． 【详解】解：． 故选A． 【例题1-5】．（2025·山西吕梁·一模）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】该题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【例题1-6】（2025·天津滨海新·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．1 C． D．11 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算，先算乘法，再算加法，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 【例题1-7】．（2025·四川南充·一模）计算：，其结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的乘法法则计算即可得． 【详解】解： ， 故选：B． 【例题1-8】．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知，两数表示在数轴上如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题主要考查利用数轴比较有实数大小．根据数轴上字母，数字与原点的距离，绝对值的性质，有理数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：由图可得：，且， ∴，，， 观察四个选项，选项C符合题意； 故选：C． 【例题1-9】．（24-25七年级上·河南漯河·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了数轴，能够根据有理数a、b在数轴上对应点的位置进行判断是解题的关键．根据有理数、在数轴上对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ，，， ∴故选项A、C、D不符合题意，只有选项B是符合题意． 故选：B． 【例题1-10】．（21-22七年级上·河南洛阳·期中）已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘除法，加法运算法则和化简绝对值，根据有理数的乘除法运算，加法法则，与化简绝对值的方法逐项判断即可． 【详解】①，则，（否则，可推出，矛盾），即a与b异号，符合题意； ②， a与b异号，符合题意； ③，若成立，a与b不一定异号，不符合题意； ④，当时成立，不符合题意； 则其中一定能够表示a、b异号的有2个． 故选：B． 【例题1-11】．（24-25七年级上·重庆江津·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的乘法， 先根据数轴可知，再根据“两数相乘同号得正，异号得负”分情况讨论，并逐个判断即可. 【详解】解：根据题意，得， 如果，当或时，可知，所以（1）正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（2）正确； 如果，当或时，不能确定的正负性，所以（3）不正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（4）不正确. 正确的有2个. 故选：B. 【例题1-12】．（2025·四川资阳·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法和乘法运算，根据绝对值的意义及有理数的加法和乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、若，则，该选项运算错误，不合题意； 、若， ，则或，该选项运算错误，不合题意； 、若， 则为任意有理数，该选项运算正确，符合题意； 、若  则，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 【例题1-13】．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个有理数的乘法运算、倒数、有理数加法运算 【分析】本题考查倒数，有理数的乘法，关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则． 由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个． 故选：B． 【例题1-14】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可． 【详解】解：，， ，， 又， 、同号， 当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值是或， 故D选项符合题意． 故选：D ． 【例题1-15】．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据点所在位置，结合数轴上的数右边的比左边的大，判断出数的大小关系，进行判断出式子的符号，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，， 故只有选项C是正确的； 故选C． 【例题1-16】．（2025·北京房山·一模）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，，， 故选：C． 【例题1-17】．（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（   ） A．0 B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了数轴和绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键． 根据数轴和可知，解出的值，相乘即可． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，且， 根据图可知， 解得， ∴， 故选：C． 【例题1-18】．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 【答案】③④ 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】根据绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义依次对各说法进行判断即可． 【详解】解：①若，则或，故①错误； ②两个数相加，若和为负数，则这两个数可能都是负数或者一正一负或者和负数，故②错误； ③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大，故③正确； ④一个数乘，积为这个数的相反数，故④正确． ∴正确的序号有③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义，解题的关键是明确它们各自的含义． 【例题1-19】．（24-25七年级下·全国·假期作业）（1）计算下列各式的值∶ ① ② ③ ④ （2）由上例请猜想下列各式的值∶ ① ② ③ ④ 【答案】（1）、、、；（2）、、、． 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法法则、有理数乘法的意义等知识点，掌握有理数乘法表示几个相同数的和是解题的关键． （1）直接根据有理数加法运算法则求解即可； （2）结合（1）运用有理数乘法的意义即可解答． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④． 故答案为：、、、． （2）①； ②； ③； ④． 故答案为：、、、． 【例题1-20】．（2025七年级下·全国·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘法，然后根据加法结合律进行同分母运算，最后算加法即可； （）先算括号内的除法，再算加法，最后算减法即可； （）根据加法结合律进行同分母运算，最后算减法即可； （）分别算括号内的加法，乘法和减法，最后算除法即可； （）先算乘法，然后通过乘法分配律进行简便计算即可； （）先算括号内的加法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【例题1-21】（24-25七年级下·全国·假期作业）思考并填空∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数乘法法则． （1）按照有理数乘法法则运算即可； （2）按照有理数乘法法则运算即可； （3）按照有理数乘法法则运算即可； （4）按照有理数乘法法则运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【例题1-22】．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型二：多个有理数的乘法运算 【例题2-1】．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【例题2-2】．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 【例题2-3】．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： ； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例题2-4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算和有理数的大小比较，先进行有理数的乘法运算，再与0比较大小即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为： ． 【例题2-5】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ； ； ； ． 【答案】 30 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查多个有理数乘法运算，解答时除了正确运用乘法法则外，还需注意利用运算律进行简便运算．先确定积的符号，再计算绝对值即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ． 故答案为：，，30， 【例题2-6】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）绝对值不小于2.4且小于5的所有整数的积是 ． 【答案】144 【难度】0.85 【知识点】绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘法运算，根据题意，求出满足题意的所有整数，再利用有理数的乘法法则进行计算即可，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，绝对值不小于2.4且小于5的所有整数有， ∴； 故答案为：144． 【例题2-7】．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数的积是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，求一个数的绝对值，有理数比较大小，根据绝对值的意义和有理数比较大小的方法得到绝对值小于的整数有，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：绝对值小于的整数有， ∴绝对值小于的所有整数的积是， 故答案为：． 【例题2-8】．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【例题2-9】．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算以及绝对值的性质，解题的关键是根据数轴判断出a，b，c的正负性和大小关系． 先根据数轴确定a，b，c的正负和取值范围，再据此对每个选项逐一分析判断． 【详解】由数轴可知， A、因为，则，该选项正确，不符合题意； B、因为，所以；又因为，所以，该选项正确，不符合题意； C、|a|的取值范围是的取值范围是的取值范围是，则，且，所以，该选项错误，符合题意； D、由可得；由可得；由可得，所以，该选项正确，不符合题意． 故选：C． 【例题2-10】．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘法运算律，理解的定义是解题关键．根据题意可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 故选：B． 【例题2-11】．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘除混合运算、多个有理数的乘法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【例题2-12】．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则n次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解． 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的m个数，其积的符号不变，那么n次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项C正确，选项A、B、D均错误； 故选：C． 【例题2-13】．（21-22七年级上·江苏宿迁·期末）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键理解新定义运算；根据新定义运算进行求解即可 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式． 故选D． 【例题2-14】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，由题意可得、、中两个数为负数，一个数为正数，再分三种情况：当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；分别求解即可得解． 【详解】解：∵、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0， ∴、、中两个数为负数，一个数为正数， 当为正数，、为负数时，此时， 当为正数，、为负数时，此时； 当为正数，、为负数时，此时； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【例题2-15】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【例题2-16】．（2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法，灵活运用乘法运算律是解题的关键． （）运用乘法结合律进行简算即可得到答案； （）运用乘法分配律计算乘法后，再进行加减运算即可版答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题2-17】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)588 (3) 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法计算即可； （2）将除法化为乘法计算即可； （3）连乘，约分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【例题2-18】．（24-25七年级上·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查几个有理数相乘．几个不是0的有理数相乘时，当负的乘数的个数是偶数时，积为正数；当负的乘数的个数是奇数时，积为负数．计算时先确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值．据此即可解答． 【详解】解： ． 【例题2-19】．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 【例题2-20】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【例题2-21】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算等，掌握多个有理数相乘的符号规律为解题的关键． （1）先确定积的负号，然后进行计算即可； （2）先确定积的负号，然后进行约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例题2-22】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则进行计算即可求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 【例题2-23】．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法运算法则是解答的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【例题2-24】．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)24 (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法的法则及运算律． （1）先确定符号，再用绝对值相乘即可； （2）先确定符号，再用乘法结合律计算即可； （3）先确定符号，把小数化为分数，再按照法则计算即可； （4）先确定符号，把小数化为分数计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例题2-25】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例题2-26】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例题2-27】．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）；         （2）； （3）；      （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法法则及乘法运算律，掌握有理数的乘法法则是解题的关键。 （1）把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把和，和利用乘法交换、结合律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）把与交换结合到一起，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型三：有理数乘法的实际应用 【例题3-1】．（24-25七年级上·广东佛山·期末）从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 分类讨论，分别算出所有人的爬楼距离，再比较即可． 【详解】解：若在1层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在2层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在3层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在4层，则所有参会人员爬楼距离之和为， ∵， ∴会议室地点应设在3层， 故选：C． 【例题3-2】．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按 顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意本着节目人数多先彩排的原则，按照人数排列和彩排时间排列，即可求解； （2）人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是，进而计算等待总时长，即可求解． 【详解】解：（1）两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； 故答案为：． （2）将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目， 人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是 ∴按照顺序，则等待时间分别为：， 故答案为：． 【例题3-3】．（2025·北京门头沟·二模）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付 元． 【答案】 ② 64 【难度】0.4 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可； （2）因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的即可，所以先配送A和D时间短的，一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送赔付最少，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总赔付：（元）， ②总赔付：（元）， ③总赔付：（元）， ∴赔付最少的是②， 故答案为：②； （2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的， 一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送最少， 配送赔付：（元）， 配送赔付：（元）， 共需要最少赔付：（元）， 故答案为：64． 【例题3-4】．（2025·河北保定·一模）嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”． (1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少． (2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）． ①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果． 【答案】(1) (2)①14分；②有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板 【难度】0.65 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）由题意得到，即可得到答案； （2）①根据题意列出计算式进行计算即可； ②原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分，即可得到答案． 【详解】（1）解：． 故最大块的边长比最小块多． （2）解：① （分）； ②解：原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分， 有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板． 【例题3-5】．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量： 电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用． 【答案】问题1：630元；问题2：667元；问题3：①30；3；13；②订购方案的总费用为元（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，据此列式计算即可作答； （2）结合刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，据此列式计算即可作答； （3）根据题意，制定一个奶茶订购方案为电话订购30杯，送3杯，则外卖订购杯，再结合红包类型尽可能多使用红包减少费用，据此列式计算即可作答． 【详解】解：问题1： 通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费（元）， 答：需花费630元． 问题2： 刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用， 则需花费（元）， 答：需花费667元． 问题3： 根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元， 则可以选择电话订购30杯，送3杯， 此时花费（元），则外卖APP订购杯； 通过某外卖分五次下单这13杯奶茶， 其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”， 则（元）， 订购总费用为（元）． 电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元． 故答案为：30；3；13（答案不唯一）． 题型四：倒数 【例题4-1】．（2024·山东菏泽·二模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、倒数 【分析】本题考查了绝对值、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据绝对值、倒数的定义解答即可． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 【例题4-2】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值、相反数的定义化简，再根据倒数的定义即可解答． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 【例题4-3】．（2025·广东·模拟预测）的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查了相反数和倒数，掌握倒数和相反数的定义是解题的关键． 先求出的倒数，然后再求其相反数即可． 【详解】的倒数为的相反数为， 的倒数的相反数是， 故选：D． 【例题4-4】．（2025·河北保定·一模）若互为倒数，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选B． 【例题4-5】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】倒数 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键； 根据互为负倒数的定义可知，用，即可得到3的负倒数； 【详解】解：由题可知， ， 故答案为：． 【例题4-6】．（24-25七年级下·北京·开学考试）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①乘积为1的两个数互为倒数；②两个有理数相减，若差为正数，则被减数大于减数；③符号相反的两个数是相反数；④任意两个有理数的和一定大于其中的某一个加数． 【答案】①② 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、倒数、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法、倒数、相反数的定义、有理数加法等知识点，掌握定义及定理成立时的条件是解题的关键． 根据倒数的定义、有理数的减法、相反数的定义、有理数的加法逐个作出判断即可． 【详解】解：①乘积是1的两数互为倒数是正确的； ②两个有理数相减，差为正，则被减数大于减数，故正确； ③只有符号相反的两个数是相反数，原说法没有限制“只有”这个条件，反例：和2符号相反，但不是相反数，故错误； ④任意两个有理数的和不一定大于其中的一个加数，故错误． 综上，①②正确． 故答案：①②． 【例题4-7】．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）的相反数的倒数是 ；的倒数是 ；倒数等于它本身的数是 ． 【答案】 或 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义、倒数 【分析】本题考查的知识点是倒数、相反数和绝对值的相关知识，掌握以上知识是解答本题的关键：相反数的定义：“只有符号不同的两个数是互为相反数”；倒数的定义：“若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数”；绝对值的定义：“这个数在数轴上的点到原点的距离”； 本题分别根据倒数、相反数与绝对值的定义求解即可得出结论． 【详解】解：的相反数是，的倒数是；先将化简为，再化简绝对值为，的倒数为；倒数等于它本身的数是或； 故答案为：；；或． 【例题4-8】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的加法，根据倒数的定义，先从最小的正整数倒数开始，利用有理数的加法，一次求出正整数的个数即可，熟记倒数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型五：有理数乘法运算律 【例题5-1】．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 【例题5-2】．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)9 (2) (3)1 (4) (5) 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的乘法运算律是解题的关键． （1）先将减法运算转化为加法运算，然后化简为省略加号的形式，再运用加法交换律和结合律进行计算，即得答案； （2）运用加法交换律和结合律，将同分母分数相加减进行计算，即得答案； （3）先确定4个有理数相乘结果的符号，再将它们的绝对值相乘，即得答案； （4）运用分配律计算，即得答案； （5）运用分配律的逆运算计算，即得答案． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【例题5-3】．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】(1)张明，见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】倒数、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：喜欢张明的解法． 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数 ， ∴． 【例题5-4】．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 【例题5-5】．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【例题5-6】．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算： 解：原式＝… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； (2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律即可求得答案； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得遮盖的算式为：， 则； （2）解：原式 ． 题型六：有理数的除法运算 【例题6-1】．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例题6-2】．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）已知，且，则的值是（　　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法、绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质以及求出的值，再根据除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴分两种情况：①时，；　②时， 故选：B． 【例题6-3】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【例题6-4】．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算错误； ③，故计算正确； ④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个， 故选：． 【例题6-5】．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若a，b为不等于0的有理数，则 ． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的除法，掌握分类讨论思想是解题的关键．根据a，b的符号分情况讨论，去掉绝对值进行求解即可． 【详解】解：分情况讨论： ①若，，则，， ∴； ②若，，则，， ∴； ③若，，则，， ∴； ④若，，则，， ∴． 综上所述，或0或2． 故答案为：或或． 【例题6-6】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】①根据绝对值的性质可判定①；根据绝对值的意义得到或或或，然后分情况讨论即可判断②；③根据题意得到或或，然后分情况求解即可判断③；根据题意得到中有两个负数一个正数，然后不妨设，进而代入即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴或或或 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数，故②错误； ∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等 ∴或或 ∴或或 解得：或或，故③错误； ∵， ∴中有两个负数一个正数 不妨设 则，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式，有理数的运算等知识点．熟记相关结论是解题关键． 【例题6-7】．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数，，满足且，，那么的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的乘除，由题意得，中有两个负数，一个正数，再分当时，，当时，两种情况讨论即可． 【详解】因为且，所以或，且， 当时，则， 因为， 所以，所以， 所以， 所以，， 所以原式； 当时，则， 因为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以原式， 综上，的值为0． 故选A． 【例题6-8】．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）若且，那么的值为 ． 【答案】 1 【难度】0.65 【知识点】有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算、有理数加法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及代数式的化简，需掌握互为相反数的两数(除外) 的商是，相等两数的商为． （1）由给出条件和绝对值的性质，易得结论； （2）由条件先确定的正负, 再化简绝对值，计算代数式的值． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为： ； （2） , ∴两正一负， ∴ ； 故答案为：． 【例题6-9】．（2024七年级上·全国·专题练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当时，若，则 0； （2）当时，若，则c 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则 ． 【答案】 或 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据有理数乘法的符号法则，得到，再根据绝对值的意义和有理数加法的符号法则，进行判断即可； （2）根据有理数乘法的符号法则，进行判断即可； （3）分a，b，c都是正数，a，b，c都是负数，a，b，c中有两个正数，一个负数，a，b，c中有两个负数，一个正数，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：时，， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； （3）对a，b，c的取值情况分类讨论如下： 当a，b，c都是正数时， ； 当a，b，c都是负数时， ； 当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 中有两个1，一个，所以和为1； 当a，b，c中有两个负数，一个正数时， 中有一个1，两个，所以和为； 的值为或， 故答案为：或． 【例题6-10】．（23-24七年级上·全国·单元测试）若a、b、c均为实数，且 ． 【答案】4或2或0或． 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数加减中的简便运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了有理数的乘法和绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的化简．分四种情况进行讨论，即三数均为正、三数均为负、三数一正二负、三数一负二正分类求解即可． 【详解】解：①当时，原式． ②当时，原式． ③设当时，原式． ④设当时，原式． 所以，的值是4或2或0或． 故答案为：4或2或0或． 【例题6-11】．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)， (2)3或或1或 (3)1 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】（1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． （3）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的意义、有理数的加法，乘除运算的含义，分类讨论的思想方法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【例题6-12】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)，过程见解析 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 题型七：有理数除法的应用 【例题7-1】．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数除法的应用 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 【例题7-2】．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题． 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 【例题7-3】．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（   ）重合 A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、有理数除法的应用 【分析】本题考查了数轴动点问题，有理数的除法的应用，根据数轴上数字在正方形滚动过程中的对应规律，找到滚动过程中数字的对应方式即可解答． 【详解】解：， ∴正方形到达数轴上的数字2024时，正方形滚动253圈后再滚动1次， 正方形的顶点每次循环一次，即第一次为点C，第二次为点B，第三次为点A，第四次为点D，； ∴数轴上的数字2024将与字母C重合， 故选：C． 【例题7-4】．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点：若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从2这点开始跳，则经过2024次后它停在哪个数对应的点上（   ）    A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了数的变换规律，根据题意找出变换规律是解题的关键． 列出青蛙每次跳动后的落点，找出规律求解即可． 【详解】解：由题意可得： 第一次跳后落在1上； 第二次跳后落在3上； 第三次跳后落在5上； 第四次跳后落在2上； ∴分别在1，3，5，2这4个数上循环， ∴， ∴应落在2上； 故选：B． 【例题7-5】．（2024七年级下·四川成都·专题练习）将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干正方形，则正方形最少是（    ）个． A．78 B．7 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数除法的应用 【分析】根据题意，得；，解答即可． 本题考查了有理数的除法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得；， 故最少有； 故选B． 【例题7-6】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【答案】己未 【难度】0.65 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可． 【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”， 所以2099年是己未年． 故答案为：己未 【例题7-7】．（24-25七年级上·山东青岛·期末）年月日在青岛青春足球场进行了世界杯亚洲区预选赛第三阶段的比赛，该阶段支球队被分为个小组（每组支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方的主场和另一方的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数乘除运算的实际应用，由题意可得，每个小组的每支球队需要进行场比赛，可得个小组需要进行场比赛，据此即可求解，正确列出算式求出个小组需要进行的比赛场数是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，每个小组的每支球队需要进行场比赛， ∴个小组需要进行场比赛， ∴个小组需要进行场比赛， 故答案为：． 【例题7-8】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）两根钢条，一根长，一根长．要把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段最长是 m，最少可以截成 段． 【答案】 12 5 【难度】0.65 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数除法的应用、公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用，最大公因数等知识点，根据题意，可计算出36与24的最大公因数，即是每根小段的最长，然后再用36除以最大公因数加上24除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案，熟练掌握利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根钢条可以截成的段数是解决此题的关键． 【详解】∵，， ∴最大公因数是， ∴每段最长， （段）， 答：每段最长，最少可以截成5段， 故答案为：12，5． 【例题7-9】．（24-25七年级上·河南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识解决下列问题： (1)一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数和的两点距离为，那么数轴上表示数和的两点距离可表示为；的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离． (2)如果，那么______． (3)如图，小明把一根木棒放在数轴上，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒长为，图中点表示的数为______． 根据小明以上做法，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小红现在的年龄，写出具体做法和相关计算过程． 【答案】(1)；， (2)或 (3)；小红现在的年龄为岁 【难度】0.65 【知识点】有理数除法的应用、数轴上两点之间的距离 【分析】本题综合考查了数轴上两点的距离，有理数的混合运算； （1）根据数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，即可求解； （2）根据表示数与的距离为，即可求解； （3）由数轴观察知三根木棒长是，依此可求木棒长为，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，依此可求出点所表示的数； 在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷若是小红现在这么大看做当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红若是爷爷现在这么大看做当点移动到点时，此时点所对应的数为，所以可知爷爷比小红大，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，数轴上表示数和的两点距离可表示为；的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：；，． （2）表示数与的距离为， ∴或； 故答案为：或． （3）由数轴观察知，三根木棒长是， 则木棒长为：． 木棒长为，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为， 点表示的数是， 将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为， 点所表示的数是． 故答案为：，； 借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷若是小红现在这么大看做当点移动到点时， 此时点所对应的数为， 小红若是爷爷现在这么大看做当点移动到点时， 此时点所对应的数为， 可知爷爷比小红大， 小红现在的年龄为：（岁）． 答：小红现在的年龄为岁． 题型八：有理数乘除混合运算 【例题8-1】．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可． 本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： A中、，不相同，故选项不符合题意； B中、相同，故选项符合题意： C中、，不相同，故选项不符合题意； D中、，不相同，故选项不符合题意； 故选：B． 【例题8-2】．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2)18 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘除混合运算、多个有理数的乘法运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、有理数的运算律等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可； （2）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可； （3）认真审题不难发现：相邻两数之差为，整个计算式中共有2000个数据，所以可以得到1000个； （4）先将小数化成分数，然后计算乘法，再算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题8-3】．（24-25七年级上·河南·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算顺， （1）先去绝对值和乘法运算，最后算加减即可得解； （2）将除法变为乘法，再根据乘法计算即可求解； 熟练掌握其运算法则和运算顺序是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 【例题8-4】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先确定运算符号并将带分数转化成假分数，再根据有理数的乘除混合运算的法则计算即可；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先确定运算符号并做括号内的运算，再将带分数转化成一个整数和一个分数的和，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题8-5】．（24-25七年级上·陕西安康·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律 【分析】（）先通过有理数的乘法分配律进行运算，然后根据有理数的加减运算进行求解即可； （）根据有理数的乘除法即可进行求解； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题8-6】．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将带分数化为假分数，再利用有理数乘除的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】解： ． 【例题8-7】．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘除混合运算．熟练掌握有理数的加法运算，有理数的乘除混合运算是解题的关键． （1）直接进行加法运算即可； （2）先将除法变乘法，然后进行乘法运算即可； （3）先将小数化成分数，然后进行乘除运算，最后进行加法运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【例题8-8】．（24-25六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【答案】(1)2；； (2)③ (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的乘除法计算．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：2；； （2）解：对于任何正整数n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，故①错误； ∵，， ∴，故②错误； ，故③正确； ∵表示的是个a相除，而， ∴根据除法计算法则可知，多个非零有理数进行除法计算时，负数的个数为偶数个数，最后的结果的符号为正，即，故④错误； 故答案为：③； （3）解： ， 故答案为：． 【例题8-9】．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数加法运算律 【分析】（）根据有理数的加减运算法则和运算律计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ． 【例题8-10】．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减、乘除混合运算，注意同级运算从左到右进行计算． （1）利用有理数的加减混合运算解题即可； （2）先确定结果符号，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题8-11】．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算； （1）根据有理数加减法计算法则求解即可； （2）根据有理数加减法计算法则求解即可； （3）先计算绝对值，再利用分配律去括号，最后计算加减法即可； （4）先计算乘除法，再计算加法即可； （5）先把除法变成乘法，再计算乘法即可； （6）根据乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型十：有理数四则混合运算 【例题10-1】．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）对任意有理数、定义新运算“”如下：．则 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的新定义运算，解题关键是依据新运算规则准确代入有理数进行计算．根据新运算的定义将，代入到中，按照先计算乘方，再计算减法的顺序进行计算． 【详解】解：根据题意得： 将，代入 故答案为：1． 【例题10-2】．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）在空内填上“、或” 52个( )520个； ( )；( ) 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，整数乘小数、负数大小的比较、分数的四则混合运算等知识点，掌握有理数大小比较的方法成为解题的关键．先分别根据整数乘小数计算、负数的绝对值本身越小、先根据分数的混合运算计算，然后再比较大小即可． 【详解】解：由52个为，520个为，； 由，则； ， ， ∵， ∴． 故答案为：；，． 【例题10-3】．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为． 问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说："我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为 岁． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是数轴的应用，有理数的混合运算的应用；运用上边的模型把奶奶与丽丽的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】解：如图： 奶奶与妙妙的年龄差为：（岁）， 奶奶现在的年龄为（岁）． 故答案为： 【例题10-4】．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）如果规定，那么 ． 【答案】15 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据新运算的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：15． 【例题10-5】．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算．           【答案】4000；54；4；10；378；12.5 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数乘法的混合运算，运用运算律进行简算是解题的关键． （1）根据乘法结合律进行简算即可； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （3）先算，根据乘法分配律进行简算，再根据加法结合律进行简算； （4）先交换“”和“”的位置，再根据减法的性质进行简算； （5）先算括号里面的减法，再算除法，最后算乘法； （6）根据逆用乘法分配律进行简算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【例题10-6】．（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④6 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数混合运算的运算法则、分数与百分数的互化、简便运算技巧（乘法分配律、加法结合律），熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． ①先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，最后计算括号外的除法； ②先将和化成统一小数形式，都可以化成，再根据乘法分配律，将式子化为进行计算； ③将化成分数，计算小括号里面的减法，分数进行通分，再计算小括号外面的除法，最后计算加法； ④通过分组凑整法，简化计算即可． 【详解】解：① ② ③ ④ ． 【例题10-7】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了百分数的运算，分数的混合运算以及小数的运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算括号里的除法，再计算括号里的加法，最后计算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题10-8】．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算，先去括号，再根据加法结合律和交换律进行计算即可； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【例题10-9】．（24-25六年级下·山东济南·期中）用你喜欢的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2)2 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）把改写成，再根据乘法计算法则求解即可； （2）先计算小括号内的减法，再计算乘除法即可； （3）先计算括号内的乘法，再把除法变成乘法后利用乘法分配律求解即可； （4）把改写成，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题10-10】．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题10-11】．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差． （1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得； （2）将原式利用（1）中所得规律裂项求和可得． （3）先利用乘方分配律每一项提出一个，再将式子利用（1）中所得规律裂项求和可得． 【详解】（1）解：根据题意知，①；② 故答案为；． （2）解：＋＋＋ ． （3）解： ． 【例题10-12】．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2)15 (3)50 (4) (5) (6)3 (7) (8) (9) (10) 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数乘法与加减法的混合运算，熟练掌握有理数的加减与乘法的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数加法运算律计算即可； （4）现将有理数的减法转化为加法计算，再运用加法运算律计算即可； （5）运用有理数乘法的运算律计算即可； （6）先计算绝对值内的加法，再进行有理数的加减混合运算即可； （7）根据先乘除再加减的运算顺序计算即可； （8）运用分配律计算即可； （9）先去小括号，再去中括号，最后根据有理数的加法运算法则及加法运算律计算即可； （10）运用有理数的分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 题型十一：有理数四则混合运算的实际应用 【例题11-1】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上．    ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和7，则刻度对应数轴上的点表示的数是2； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和15，则刻度对应数轴上的点表示的数是5： ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2.5，则刻度对应数轴上的点表示的数是1； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0.4，则刻度对应数轴上的点表示的数是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】② 【难度】0.65 【知识点】有理数除法的应用、有理数四则混合运算的实际应用、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确算出每一厘米表示的单位长度．先计算出两点间的距离为几个单位长度，再除以刻度尺的长度，即可知每表示的单位长度． 【详解】解：①∵和对应数轴上的点表示的数分别为1和7， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故①错误； ②∵和对应数轴上的点表示的数分别为1和15， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故②正确； ③∵和对应数轴上的点表示的数分别为和2.5， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故③错误； ④∵和对应数轴上的点表示的数分别为和0.4， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数，故④错误， 故答案为：②． 【例题11-2】．（23-24七年级下·广东佛山·开学考试）一块布长18.1米，宽1.6米，用这块布剪两条直 17．（2025·福建福州·三模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【答案】40 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和． 【详解】解：如图所示，按照时间线，做完各自工作进入下一房间， ∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤， ∴最后一间房的后三个步骤从32分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间6分钟，丙在第35分钟进入最后一间房完成5分钟，则最少需要40分钟． 故答案为：40． 【例题11-3】．（2025·北京房山·二模）某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了不等式的应用，有理数的计算的应用；根据题意计算租用7辆，3辆，2辆，租车的总费用，设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 得出，计算三种客车的单价，确定车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，找到最大整数解为，进而确定，，计算费用，即可求解． 【详解】解：依题意得(元)； 设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 则，即， 整理得 ∴车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低， ∵a，b，c都是正整数， ∴， ∴， 此时最低费用为（元） 故答案为：，． 【例题11-4】．（2025·北京海淀·二模）某生态农场有三项任务需要完成，如下表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人 （填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为 小时． 【答案】 不能 4 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查工程问题中的任务规划与时间计算，涉及到对任务轮次、耗时、所需人力的综合分析．解题关键在于合理规划任务安排，准确计算任务执行时间和任务切换准备时间，通过比较不同任务的耗时情况来确定整体最短耗时或判断能否在规定时间内完成任务． （1）本题围绕生态农场的三项任务展开，根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解． （2）根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解． 【详解】解：（1）A任务每轮耗时小时，需完成轮，且名工人刚好满足每轮需求， ∴A任务总耗时为小时． 完成A任务后切换到其他任务，有两次任务切换，每次准备时间小时， ∴准备时间共小时． B任务每轮耗时小时，需轮，名工人即可；C任务每轮耗时小时，需轮，每轮名工人． ∴名工人可同时进行B和C任务（人做B，人做C ），C任务轮共小时，B任务小时，以耗时较长的C任务为准，B和C任务同时进行最短耗时小时． 三项任务总耗时为小时，， ∴名工人不能在小时内完成全部三项任务． 故答案为：不能； （2）增加名工人后共名工人．可安排人同时进行C任务的轮，耗时小时；人进行B任务，耗时小时；同时安排人进行A任务的轮，耗时小时． ∵， ∴在A任务进行到第小时时，B和C任务完成，此时剩下A任务还需小时，A任务这小时不需要额外准备时间（前面任务进行时已包含准备时间 ）． 总耗时为小时． 故答案为：4． 【例题11-5】．（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数运算的应用，根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， （米）， 故答案为：． 【例题11-6】．（24-25七年级下·北京·期中）随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成个单位的家务工作． 该机器人充一次电需要小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作小时，“节能模式”可连续工作小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，请完成下列任务： （1）该机器人在“节能模式”下完成个单位的家务工作至少需要 小时（含中途充电时间）． （2）小时内，该机器人最多可以完成 个单位的家务工作． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的应用， （1）根据题意知：在“节能模式”下，机器人每小时完成个单位的工作，满电状态下可连续工作小时，可完成个单位的家务工作，则要完成个单位需要两次满电工作，可得答案； （2）要在小时内最大化工作量，需结合“快速模式”和“节能模式”的效率与耗时：可得出“快速模式”每小时完成个单位的家务工作，每周期耗时小时；“节能模式”每小时完成个单位的家务工作，每周期耗时小时，然后分两种情况：通过混合策略：1．前两次“快速模式”；2．再两次“节能模式”；调整后：“快速模式”次(小时，单位)，剩余小时；“节能模式”次：首次小时(单位)至第小时，充电小时至第小时，最后小时(至小时)节能模式，再完成单位，可得答案． 【详解】解：（1）在“节能模式”下，机器人每小时完成个单位的工作，满电状态下可连续工作小时， ∴可完成家务工作为：（单位）， 要完成个单位需要两次满电工作：第一次工作小时，完成单位；然后充电小时；第二次工作小时，完成剩余单位， ∴总时间为（小时）， 故答案为：； (2)要在小时内最大化工作量，需结合“快速模式”和“节能模式”的效率与耗时∶ “快速模式”每小时完成：（单位），每周期(工作小时充电小时)耗时小时； “节能模式”每小时完成：（单位），每周期(工作小时充电小时)耗时小时， 通过混合策略∶ 1．前两次“快速模式”：（小时），完成：（单位）； 2．再两次“节能模式”：（小时），完成：（单位）， 总时间为：（小时） 超出限制，不符合题意， 调整如下： “快速模式”次(小时，单位)，剩余小时； “节能模式”次：首次小时(单位)至第小时，充电小时至第小时，最后小时(至小时)节能模式，再完成单位， 总工作量为：（单位），总时间小时． 故答案为：． 【例题11-7】．（24-25七年级上·福建福州·期末）合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示． 注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计； 注2：以上计算取3； 注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等； 注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点． (1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为． ①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）； ②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）； (2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）． 【答案】(1)①第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为．②第六分道起跑点设在北侧直道；第六道相对于第一道的前伸数． (2)两项比赛场地的总面积为． 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握圆的周长公式． （1）①根据总长减去圆周长进行计算即可； ②根据①的计算结果可得起跑点设在北侧直道，再由第六跑道西侧查道测量线的长减去第一跑道西侧弯道测量线的长即可； （2）利用割补法求解五边形的面积，再求解圆的面积，再求和即可． 【详解】（1）解：①记第一分道弯道测量线所在圆半径为，第六分道弯道测量线所在圆半径为 第六分道的直道总长度为 第六分道的弯道总长度为 答：第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为． ②第六分道起跑点设在北侧直道； 第六分道西侧弯道长为 第一分道西侧弯道长为 答：第六道相对于第一道的前伸数． （2）解：根据题意，得 长方形的面积为 三角形的面积为 三角形的面积为 五边形的面积为 “跳绳”项目比赛场地 答：两项比赛场地的总面积为． 【例题11-8】．（24-25七年级上·河南商丘·期末）某粮库一周内大米的进出记录如下表所示：（运进为正，运出为负，单位，吨） 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进出记录 (1)周五粮库内的大米的存量相比周一是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)周日粮库管理员盘点时发现粮库中大米的存量还剩60吨，那么上周日盘点时，粮库中大米的存量有多少吨？ (3)如果进、出粮库的装卸费均由粮库支付，且都是每吨5元，那么这一周共花费装卸费多少元？ (4)在（3）的条件下，若运进的大米为购买的，购买价格为2000元/吨，运出的大米为卖出的，卖出价格为2300元/吨，则这一周该粮库共获得的利润为多少？ 【答案】(1)周五粮库内的大米的存量相比周一减少了35吨 (2)上周日盘点时，粮库中大米的存量有50吨 (3)这一周共花费装卸费850元 (4)这一周该粮库共获得利润3150元 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正负数的应用和有理数运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握正负数的意义． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）求出数据的绝对值的和，再乘5即可； （4）用卖出的总价减去购卖的总价，再减去装卸费即可． 【详解】（1）解：（吨） 答：周五粮库内的大米的存量相比周一减少了35吨． （2）解：（吨） （吨） 答：上周日盘点时，粮库中大米的存量有50吨． （3）解：（元） 答：这一周共花费装卸费850元． （4）解：（元） （元） 答：这一周该粮库共获得利润3150元． 【例题11-9】．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动． 素材： 如图1是学校操场实物图，图2是操场部分跑道示意图，操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为．标准跑道一般设置8条跑道，跑道设置6条跑道，直道长均为，每道宽．在一个标准的跑道内，，，，等比赛跑道的起点不同，终点相同．（注：取3，跑道分界线的宽度忽略不计） 任务： (1)海安某校操场是跑道． ①求第一跑道弯道的半径； ②小明、小勇参加学校运动会比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度是，小勇的速度是，他们同时跑向同一终点，问小明几秒能追上小勇？ (2)小丽、小红参加学校运动会比赛，若小丽在第三跑道，小红在最外圈跑道，并且最外圈跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸，求操场最外圈跑道的周长． 【答案】(1)①；②小明秒能追上小勇 (2)第四跑道周长为 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）①设第一跑道弯道半径为 R ，根据第一跑道全长由“两段直道两个半圆”组成，直道总长为，即可得到弯道的总长，由圆的周长公式即可求出半径；②两条相邻跑道半径相差，则第二跑道比第一跑道多出的长度为，再利用路程速度差时间列式计算即可； （2）根据题意，求出第四跑道与第三跑道整圈（）相差 ；再利用两条相邻跑道半径相差，由第一跑道整圈，求出第三跑道整圈的长度，最后加上第四跑道与第三跑道整圈的长度差 即可得出结果． 【详解】（1）解：①设第一跑道弯道半径为 R ， 第一跑道全长由“两段直道两个半圆”组成，直道总长为，弯道总长为 ， 则， 解得：； ②小明在第一跑道，小勇在第二跑道，均跑 比赛，小明的速度是，小勇的速度是， 两条相邻跑道半径相差，则第二跑道比第一跑道多出的长度为， 为保证二人比赛距离同为 ，第二跑道的起点要比第一跑道“向前”，这相当于小勇一开始比小明“领先”， 小明比小勇每秒快， 答：小明秒能追上小勇； （2）解：根据题意：小红在第四跑道， 两条相邻跑道半径相差，且第四跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸， 对应第四跑道的半圆跑道与第三跑道的半圆跑道相差，则两条跑道整圈（）相差 ， 第三跑道的全长可视为第一跑道的加上向外两道的长度差：每增加一条道（宽 ），整圈弯道长度增量为； 从第一跑道到第三跑道相差 ， 故第三跑道周长为， 因为第四跑道与第三跑道整圈相差 ， 所以第四跑道周长为． 题型十二：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例题12-1】．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【难度】0.65 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【例题12-2】．（24-25七年级上·天津宁河·期末）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据有理数的加法法则逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，． A、，则此项正确，不符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，则此项不正确，符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 【例题12-3】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴是解题的关键．根据点在数轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图可知 ，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确． 故选B． 【例题12-4】．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查用数轴上点表示实数，实数运算，掌握根据数轴上点的位置判断式子的值是解题的关键． 根据数轴得到，结合实数运算法则判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴得，， ∴A、，此选项不符合题意， B、，此选项不符合题意， C、，此选项符合题意， D、，此选项不符合题意， 故选：C． 【例题12-5】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了数轴上两数比较大小及有理数运算，解题关键是正确得出a，b的信息并熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则. 先观察数轴可知：，根据得，然后然后对四个选项逐一分析即可. 【详解】观察数轴可知：， ∵， ∴， A．，，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； D．，所以，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：D． 题型十三：数轴上的翻折 【例题13-1】．（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的除法运算、数轴上的翻折 【分析】本题考查折叠的性质，数轴上两点间的距离，掌握两点间距离的计算方法是解题的关键． （1）设与数8对应的点重合的点对应的数为，根据题意得到，即可解题． （2）设折叠处为点C，根据折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【详解】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$