专题08 有理数的乘除运算（4知识点+9大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

null 专题08 有理数的乘除运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【题型1 两个有理数的乘法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 倒数】 例题：（2025·江苏南京·二模）的倒数是 ． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）的倒数是 ． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 3．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 【题型4 有理数乘法运算律】 例题：（24-25七年级上·吉林四平·期末）计算： 【变式训练】 1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）计算：． 2．（24-25七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【题型5 有理数乘法的实际应用】 例题：（24-25七年级上·广东梅州·期中）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)若道州脐橙每千克售价元，则这筐道州脐橙可卖多少元？ 3．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【题型6 有理数的除法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 有理数的乘除混合运算】 例题：（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 2．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 3．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，， 例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例题：（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 一、单选题 1．（2025·江西新余·模拟预测）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．2和 B．3和 C．1和 D．和 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 4．（2025·北京·一模）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 6．（2025·上海杨浦·模拟预测）的倒数是 ． 7．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ． 8．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 9．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，是正方体包装盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个平面展开图折成正方体后，相对面上的两数字互为相反数，则A、B、C内的三个数的乘积为 ． 10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 13．（24-25六年级下·黑龙江大庆·开学考试）下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 15．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 16．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 17．（24-25七年级上·山东济宁·期中）樱桃是邹城特色农产品之一，现有30箱樱桃，以每箱为标准，重量超过标准的千克数用正数表示，重量不足标准的千克数用负数表示，具体数据见下表： 与标准重量的差值 0 0.1 0.2 0.3 箱数 3 4 6 9 5 2 1 (1)在30箱樱桃中，最重的一箱比最轻的一箱多_____； (2)与标准重量相比，30箱樱桃超出或不足的重量为多少？ (3)若每千克樱桃20元，则这30箱樱桃可卖多少钱？ 18．（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 有理数的乘除运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【题型1 两个有理数的乘法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则求解即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法运算法则求解即可； （4）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换． （1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）根据0乘以任何数都是0，即可求解； （4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解题的关键． (1)根据两数相乘，异号得负，先确定符号，再把绝对值相乘即可； （2）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可； （3）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】利用有理数的乘法法则，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； （2）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； （3）根据有理数的乘法法则，任何数与相乘都得，计算即可求解； （4）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 【题型2 多个有理数的乘法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算等，掌握多个有理数相乘的符号规律为解题的关键． （1）先确定积的负号，然后进行计算即可； （2）先确定积的负号，然后进行约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查多个有理数相乘，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）根据多个有理数乘法法则计算即可求解； （2）根据多个有理数乘法法则计算即可求解； （3）根据多个有理数相乘法则计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型3 倒数】 例题：（2025·江苏南京·二模）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数，根据两个数的乘积为1，这两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，解题的关键是知道乘积为1的两个数互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】/ 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．将带分数化为假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， 即的倒数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 【答案】 【知识点】倒数、相反数的定义 【分析】本题属于较为基础的相反数与倒数的概念填空题，主要考查了相反数与倒数的判断，考生做此类题时一定要认真，细心，抓住细节，防止出错． 根据题意，相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数． 据此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 的倒数为； 故答案为：，． 【题型4 有理数乘法运算律】 例题：（24-25七年级上·吉林四平·期末）计算： 【答案】47 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键． （1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 有理数乘法的实际应用】 例题：（24-25七年级上·广东梅州·期中）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼 (2)116元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正数和负数的应用，绝对值的应用，有理数运算的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，比较简单． （1）把记录的数字加起来，看结果是正还是负，就可确定是向东还是西； （2）求出记录数字的绝对值的和，再乘以2即可． 【详解】（1）解：， 故出租车离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼； （2）解：元， 故司机一个下午的营业额是116元． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【答案】(1)科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； (2)科考队的船只总共行驶了海里； (3)船只共耗油升． 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法和乘法，绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，再由结果即可得出答案； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据单位耗油量乘以行驶里程即可求解． 【详解】（1）解：（海里）， ∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； （2）解：由题意可得： （海里）， ∴科考队的船只总共行驶了海里； （3）解：（升）， ∴船只共耗油升． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)若道州脐橙每千克售价元，则这筐道州脐橙可卖多少元？ 【答案】(1)最重的一筐比最轻的一筐重千克 (2)这20筐道州脐橙可卖元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的应用，解题的关键是根据题意分别列出算式，再根据有理数的加减乘除运算的顺序计算即可． （1）利用超出最多的重量减去不足最多的重量，即可解题； （2）用总质量成单价即可． 【详解】（1）解：由题知，（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：由题知， 总质量为 （千克）， （元）， 答：这20筐道州脐橙可卖元． 3．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 【题型6 有理数的除法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)36 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； （3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算．根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． （1）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （2）直接进行除法运算即可； （3）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （4）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型7 有理数的乘除混合运算】 例题：（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)12 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键． （1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可； （3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】（）利用有理数的乘除运算法则即可求解； （）利用有理数的除法法则即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． （1）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （2）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则． （1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． （2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算和新定义运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题中给出的信息，利用已知的新定义运算法则和有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 【答案】． 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的除法运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键．先根据定义计算括号内的，再根据定义进行下一步的计算，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2)7 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的加法和乘法混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义先计算，进一步计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解：根据题中的新定义得： ． 3．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，， 例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)10 (2)3 (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值等知识点，将新定义的运用化成有理数的运算成为解题的关键． （1）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可； （2）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可； （3）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例题：（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【知识点】有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查绝对值的意义及有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算及绝对值的意义是解题的关键； （1）把直接代入进行求解即可； （2）根据绝对值的意义及有理数的除法运算可进行求解； （3）由题意可分当和进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：； （2）解：∵， ∴； （3）解：由可分： 当时，则有； 当时，则有； 综上所述，的值为2或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算、有理数的减法运算、带有字母的绝对值化简问题、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的比较大小，有理数的除法运算． （1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的减法法则判断即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴； （2）解：∵， ∴； 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，，或，，或，，两负一正或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （2）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，， ，，两负一正， ，，两正一负，． 故的值为或 （3）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 一、单选题 1．（2025·江西新余·模拟预测）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．2和 B．3和 C．1和 D．和 【答案】A 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的概念，熟练掌握乘积为1的两数互为倒数，是解题的关键． 根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案． 【详解】解：A. 2和互为倒数，符合题意； B、C、D选项均不符合倒数的定义，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 4．（2025·北京·一模）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，，， 故选：C． 5．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，再由，可得，即可判断①，②；由，，化简绝对值即可判断③；根据，，推出，再由，得到或，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 二、填空题 6．（2025·上海杨浦·模拟预测）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查的是有理数除法的计算，以及如何将除法运算转化为乘法运算的基本数学技巧．需要理解除以一个分数等同于乘以它的倒数． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了新定义运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 根据新定义列算式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，是正方体包装盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个平面展开图折成正方体后，相对面上的两数字互为相反数，则A、B、C内的三个数的乘积为 ． 【答案】0 【知识点】正方体相对两面上的字、相反数的定义、多个有理数的乘法运算 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，可得：B与0是相对面，C与是相对面，A与2是相对面，从而可得，，，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：B与0是相对面，C与是相对面，A与2是相对面， ∵相对面上的两数字互为相反数， ∴，，， ∴A、B、C内的三个数的乘积为， 故答案为：0． 10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 1 0或/或0 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键． （1）由给出条件和绝对值的性质即可解答； （2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：（1）当时，． 故答案为：1． （2）∵， ∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或． 故答案为：0或． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数乘法运算律，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先利用有理数乘法交换律，将转化为，然后计算，进而可得出答案； （2）先将带分数化为假分数，然后将除法运算转化为乘法运算，再利用有理数乘法结合律，先将第二项和第三项相乘，即，进而可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． （1）先把除法转化成乘法，最后计算即可． （2）先把除法转化成乘法，最后计算即可． （3）先算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解：原式 ． 13．（24-25六年级下·黑龙江大庆·开学考试）下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用乘法分配律进行简算； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律计算； （3）先算小括号里的减法，再算括号外的减法，最后算除法； （4）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)25 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，列出算式． （1）根据题目给出的定义，列式计算即可； （2）根据题目给出的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴； （2）解：，， ． 15．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】(1)张明，见解析 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、倒数 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：喜欢张明的解法． 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数 ， ∴． 16．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 17．（24-25七年级上·山东济宁·期中）樱桃是邹城特色农产品之一，现有30箱樱桃，以每箱为标准，重量超过标准的千克数用正数表示，重量不足标准的千克数用负数表示，具体数据见下表： 与标准重量的差值 0 0.1 0.2 0.3 箱数 3 4 6 9 5 2 1 (1)在30箱樱桃中，最重的一箱比最轻的一箱多_____； (2)与标准重量相比，30箱樱桃超出或不足的重量为多少？ (3)若每千克樱桃20元，则这30箱樱桃可卖多少钱？ 【答案】(1)0.6； (2)不足的重量为；； (3)1478元 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加减法和乘法的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）用最重的一箱与最轻的一箱作差即可； （2）将30箱樱桃与标准质量的差值相加即可得解； （3）用30箱樱桃的总质量乘以单价求解即可／． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.6； （2）解：， 即与标准重量相比，30箱樱桃不足的重量为； （3）解：（元）， 答：这30箱樱桃可卖元． 18．（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【答案】(1)的值是10或4； (2)的值为2或； (3)的值可能是或． 【知识点】绝对值的几何意义、有理数乘除混合运算、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点， (1)根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可； (2)根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可； (3)根据都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可； 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：都是有理数,,且， 或, 当时，， 当时，； ∴由上可得，的值是10或4； （2）解：都是非零的有理数，且满足同号， ,或,, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值为2或； （3）解：都是有理数，且, 中三正或一正两负，不妨设或, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值可能是或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$