2.2有理数的加减法 典型例题系列专题讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025-2026七年级数学上册典型例题系列「2026版」 2.2 有理数的加减法 第一篇 专题精析 专题名称 有理数的加减法计算 专题内容 有理数的加减法计算 讲解建议 按照知识点和题型进行讲解 考点题型 十一个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：有理数的加法运算 2 【应用一】有理数的非负性 12 【应用二】有理数加法和绝对值的应用 13 【应用三】有理数加法和数轴的分类讨论问题 18 【应用四】有理数运算逻辑推理问题 22 【应用五】有理数在古代算筹中的应用 23 【应用六】有理数在生活中的实际应用 24 【应用七】有理数的计算问题 43 题型二：有理数加法中的符号问题 68 题型三：有理数加法在生活中的应用 76 题型四：有理数加法运算律 82 题型五：有理数的减法运算 101 题型六：有理数减法的实际应用 123 题型七：有理数的加减混合运算 128 【拓展】有理数加减计算的动点问题 147 题型八：有理数加减中的简便运算 149 题型九：有理数加减混合运算的应用 169 题型十：省略加法和括号的形式 175 题型十一：有理数的大小比较 179 第三篇 典型例题汇总 题型一：有理数的加法运算 【例题1-1】．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①所有整数都是正数； ②非负数指的是正的整数和分数； ③一个有理数不是整数就是分数； ④两个数的和，一定大于其中任意一个加数； ⑤几个有理数相乘，若积为0，则因数中至少有一个是0； ⑥若是正数，则不一定是负数． A．1 B．2 C．3 D．4 【例题1-2】．（24-25七年级上·天津河西·阶段练习）若a是有理数，则的值（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．可能是正数，可能是负数 D．不可能是负数 【例题1-3】．（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【例题1-4】．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）下列说法正确的个数有（   ） ①已知，且，则； ②若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数； ③一定是负数； ④若，则是非正数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例题1-5】．（2025·北京石景山·一模）某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要 分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要 分钟． 【例题1-6】．（2025·北京房山·一模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要 小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要 小时． 【例题】．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）计算： ． 【例题1-7】．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）若，，且，则的值是（   ） A．和 B．3和 C．和9 D．9和3 【例题1-8】．（24-25七年级上·新疆塔城·期中）在一条东西方向的跑道上，小亮先向西走了20米，记作“米”，接着又向东走了8米，此时小亮的位置可记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例题1-9】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）高速铁路以更快、更安全、更舒适的生活体验成为人们日常出行中的首选，若G3666次列车自“建平站”到“北京朝阳站”中途还需经过“牛河梁”和“承德南”两站，（列车单向行驶）那么列车在这段路程中售出的车票共有几种（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题1-10】．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【例题1-11】．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【例题1-12】．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）最大的负整数与绝对值最小的数之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【例题1-13】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知，，，且，则 ． 【例题1-14】．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）若，且a，b都是奇数，则满足条件的a与b共有 对． 【例题1-15】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算等于（   ） A． B．1 C．0 D．4 【例题1-16】．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例题1-17】．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，A、B、C、D、E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应的点在B与C之间，数b对应的点在D与E之间，若，则原点的位置可能是（    ） A．点C B．点A C．点B或点E D．点C或点D 【例题1-18】．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知．若数轴上点N，T所对应的数是n，t，则N，T的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【例题1-19】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【应用一】有理数的非负性 【例题1-20】．（24-25七年级上·广东清远·期中）若与互为相反数，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【应用二】有理数加法和绝对值的应用 【例题1-21】．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则 ． 【例题1-22】．（24-25七年级上·重庆·开学考试）将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 ．    【例题1-23】．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·分类讨论  已知，，若，则 ． 【例题1-24】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若：，则的最小值是 【例题1-25】．（24-25七年级上·四川成都·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好选自，，这三个数值中的一个（每个数字至少被选中一次），若，则 ． 【例题1-26】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 【例题1-27】．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为（   ） A．0或 B．或0 C． D． 【例题1-28】（2024·内蒙古包头·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 【应用三】有理数加法和数轴的分类讨论问题 【例题1-29】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，，设点、、所对应数的和是，若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为 ． 【例题1-30】．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．小超在草稿纸上画了一条数轴，并剪下包含线段一段纸条（点，表示的数分别为，），然后把这个纸条按如图方式折叠，在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，那么折痕处对应的点所表示的数是 ． 【例题1-31】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小之在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：在数轴上剪下从到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1∶1∶2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【应用四】有理数运算逻辑推理问题 【例题1-32】．（24-25七年级上·北京西城·期中）填空题 在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是： 甲：；乙：；丙：；丁：；戊：． 根据以上信息，判断： 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是 ； 乙同学手里拿的两张卡片上的数字是 ； 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是 ； 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是 ； 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 ． 【应用五】有理数在古代算筹中的应用 【例题1-33】．（24-25七年级上·北京·期中）中国古代很早就用算筹来表示数并进行计算，算筹有横式和纵式两种，表示个位、百位、万位……时用纵式算筹，而表示十位、千位、十万位……时用横式算筹，下面的图1是算筹的横式与纵式所表示的数字1-9，当时并没有代表0的符号，而是用空位来表示0．算筹不仅使用了十进制，而且是“位值制”，从右往左，第一位表示有几个1，第二位表示有几个10，…依此类推．图2是用算筹进行加法计算的过程，请补全图2中的数字和图形： ． 【例题1-34】．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1表示的是，根据刘徽的这种表示法，可推算图表示的算式及其结果为 ． 【应用六】有理数在生活中的实际应用 【例题1-35】．（23-24七年级上·福建泉州·期末）传说大禹治水来到洛水，洛水中浮出一只神龟，背上有奇怪的图，图上有许多圈和点，史称“洛书”，也就是我们常说的三阶幻方，又称为“九宫格”，人们发现“九宫格”里面有非常有趣的关系：不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，其和都相等，于是把这个和称为“幻和”，正中间的那个数称为“中心数”． (1)若由1，3，5，7，9，11，13，15，17这9个数构成“九宫格”，求“幻和”m的值； (2)小明对“九宫格”中数字的规律产生了浓厚的兴趣，希望找出这些数字中蕴含的数学规律．如图，将a、b、c、d、e、f、g、h、i这9个字母分别填入“九宫格”． ①若，求“中心数”e的值，并说明理由； ②直接写出a、f、h之间的数量关系． 【例题1-36】．（22-23七年级上·北京西城·阶段练习） 年，北京市燃油出租车具体收费标准如下： ①出租车收费标准公里以内收起步价元，再加1元燃油附加费，超过公里，超出部分按每公里元收费； ②预约叫车服务费：提前小时以上预约每次元，小时以内预约每次元； ③单程载客行驶超过公里的部分，按原价时段基本单价（元）加收的费用； ④出租车计价精确到米，超过米但不足米时按米计价，另外，每公里中的米计价元，后米计价按元． ⑤出租车收费结算以元为单位，精确到元（元以下四舍五入）． （注：如果车费不足起步价，则按起步价收费．） 结合以上信息，回答下列问题： (1)已知肖老师家距离学校公里，周五早上肖老师为了避开早高峰选择时预约出租车出发，一路畅通到达学校，请你计算一下肖老师早上上班的出租车费用是 元； (2)周五晚上，肖老师预约了周六上午乘出租车去机场，一路畅通到达机场，已知肖老师家距离机场（且为整数）公里，肖老师支付元（包括元高速收费站费用），则y＝ ． 【例题1-37】．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知一列数：4.5，，0，，，． (1)将上面的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)在上面的数中，找出绝对值小于但不小于1的所有数，并求它们的和． 【例题1-38】．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【例题1-39】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【例题1-40】．（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【例题1-41】．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B）、书店（记为C）依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边50米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了80米达到D处．如果把这条大街看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请用数轴表示上述A，B，C，D的位置． 【例题1-42】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）阅读下列内容，完成相关问题． 明明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ，； ，； ，． 兰兰看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳*（加乘）运算的运算法则：同号得______，异号得______，并把______．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的______． (2)计算： 【例题1-43】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 【例题1-44】．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三点A，B，C分别表示三个不同的有理数，，设点A，B，C所表示的三个有理数的和是m． (1)若以A为原点，则数轴上点C所表示的数是 ；若以B为原点，则m的值为 ； (2)若以C为原点，再添上一个有理数n，使得这四个有理数的和为0，求n的值； (3)若原点在图中数轴上，且点B到原点的距离为4个单位长度，求m的值． 【例题1-45】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，分别表示三个不同的有理数，其中点到点的距离为，点到点的距离为，设点，，所对应数的和是．    (1)若点为原点，则点，所对应的数分别为______，______，的值为__________； (2)若以点为原点，再添上一个有理数，使得这四个有理数的和为，求的值； (3)若原点在图中的数轴上，且点到原点的距离为，则等于多少？ 【例题1-46】．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，则； 当，，中有一个为正数，另两个为负数时，设，，，则． 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值． (2)三个有理数，，满足，求的值． 【例题1-47】．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）已知数轴上3的对应点是A，一个动点从原点出发在数轴上移动，每秒移动一个单位．如果第秒末正好位于点A，那么 (1)t可取的值是______； (2)满足上述结果的不同运动路线共有几种？请用你喜欢的方式表示出来． 【例题1-48】．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知一组数：2，，，． (1)在数轴上，表示2与的点之间（包括这两个点）有_____个点表示的数是整数，这几个整数分别是________，它们的和为_________． (2)在数轴上表示这一组数，并用“<”号连接． 【例题1-49】．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【例题1-50】（24-25七年级上·北京·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，...... (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得_______，并把绝对值_______；一个数与0相“乘加”等于_______； (2)根据法则计算：_______；________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：． 【例题1-51】．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【例题1-52】．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料 (1)______，______； (2)已知 ，求的值； (3)当时，求． 【例题1-53】．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，，，其中，两点之间的距离是2，，两点之间的距离是1，设，，所对应数的和是． (1)若以为原点，直接写出，对应的数，并求出的值； (2)若，表示的数互为相反数，则原点在点的________（填“左”或“右”）侧； (3)若原点在数轴上距离点1个单位长度，求的值； (4)若，直接写出原点会与，，中的哪个点重合． 【例题1-54】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若，计算： (1)x，y，z的值． (2)求的值． 【应用七】有理数的计算问题 【例题1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：（1） ；    （2） ． 【例题2】．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）设是实数，则的最小值为 ． 【例题3】．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）若，，且，那么的值是 ． 【例题4】．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试），这个算式结果的整数部分是 ． 【例题5】．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）A，B是自然数，并且，那么 【例题6】．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【例题7】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7) ； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【例题8】．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例题9】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【例题10】．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）提升计算： (1) (2) (3) 【例题11】．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，求的值． 【例题12】．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【例题13】．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【例题14】（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 【例题15】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 【例题16】．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【例题17】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明定义了一种新的运算“◎”，写出一些按照“◎”运算法则进行运算的算式： ，， ，， ，． (1)计算：______；______；______． (2)计算：______．（括号的作用与在有理数运算中一致） (3)若整数满足，且，请直接写出的值． 【例题18】．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题19】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）【阅读理解】对于可以如下计算： 解：原式____________________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【例题20】（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）根据加法的运算律进行简便运算， (1)将图中过程补充完整： __________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四 (2)如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号） ①加法结合律；②加法交换律 (3)仿照图中的方法，简便计算：． 【例题21】．（2024七年级上·北京·专题练习）计算：． 【例题22】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，． (1)求，的取值； (2)当，求的值． 【例题23】 ．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1) ； (2) ；(3)； (4)． 【例题24】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【例题25】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【例题26】．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【例题27】．（23-24七年级上·北京·阶段练习）计算： 【例题28】．（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ ， ． ， ． ， ． 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______．任何数同0进行“※”运算，都得______． 【运用】 (2)计算：； (3)化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 题型二：有理数加法中的符号问题 【例题2-1】．（2023七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【例题2-2】．（23-24七年级上·全国·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【例题2-3】．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则 0．（用＞，＜或＝填空） 【例题2-4】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题2-5】．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例题2-6】．（24-25七年级上·云南昭通·期中）如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例题2-7】．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题2-8】．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【例题2-9】．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【例题2-10】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【例题2-11】．（24-25七年级上·全国·课后作业）若数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则是（  ）    A．正数 B．0 C．负数 D．都有可能 【例题2-12】．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【例题2-13】．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【例题2-14】．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【例题2-15】（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题2-16】．（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【例题2-17】．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．100 C． D． 【例题2-18】．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 【例题2-19】（22-23七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【例题2-20】．（22-23七年级上·四川乐山·期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【例题2-21】．（22-23七年级上·福建福州·期中）已知有理数a，b满足条件：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：有理数加法在生活中的应用 【例题3-1】．（22-23七年级上·四川成都·期中）巴黎与北京的时差为时，如果北京时间是月日，那么巴黎时间是（　　） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【例题3-2】（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 【例题3-3】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 【例题3-4】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 【例题3-5】．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）某地一天早晨的气温是，到了中午，气温上升了，则中午的气温是（    ） A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃ 【例题3-6】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存（   ）吨 A．413 B．414 C．415 D．416 【例题3-7】．（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 【例题3-8】．（2025·北京海淀·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【例题3-9】．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共10张牌挑出，打乱顺序后随机地发给了甲、乙、丙、丁、戊五名同学，每人各两张牌．并要求其中四位同学将手中两张牌的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11，乙：4，丙：17，戊：7，则戊的两张牌上的数字是 ，丁的两张牌上的数字是 ． 【例题3-10】．（24-25七年级上·北京顺义·期末）某校学生参加社会大课堂活动，来到艺术品工作坊，老师让每两个同学组成一组，共同制作A，B，C三件工艺品．制作要求：每人同一时间只能制作一件工艺品；每件工艺品需先由甲进行塑形，再由乙进行上色．甲、乙两位同学合作完成三件工艺品，已知每位同学完成每件工艺品各自工序需要的时间（单位：）如下： A B C 甲 6 4 3 乙 4 7 5 （1）若按照的顺序制作，总时长最少为 ； （2）若要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，请写出一种满足条件的制作顺序 ． 【例题3-11】．（24-25七年级上·北京·期中）首师朝阳教育集团在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需、七个步骤，种植要求如下：①步骤须在步骤完成后进行，步骤须在步骤都完成后进行，步骤须在步骤都完成后进行；②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；③各个步骤所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟． 步骤 所需时间分钟 10 10 8 10 8 11 3 题型四：有理数加法运算律 【例题4-1】．（16-17七年级上·浙江衢州·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题4-2】（2024七年级上·全国·专题练习）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 【例题4-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）是应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与加法结合律 D．以上说法都不对 【例题4-4】．（2024七年级上·全国·专题练习）这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 【例题4-5】．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算时，■中可以填入的使该题用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【例题4-6】．（2024七年级上·云南·专题练习）在计算时，■中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【例题4-7】．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运 用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【例题4-8】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【例题4-9】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【例题4-10】．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 【例题4-11】．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为−7，则最后输出的数为 ． 【例题4-12】（24-25七年级上·湖北咸宁·期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【例题4-13】．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）为了有效监管酒后驾驶，某位交警开车在一条东西方向的公路上巡逻，以A地作为出发点，规定向东为正方向，则交警的行车记录（单位：）如下：． (1)请你帮忙确定该交警最后停车时的所在地相对于A地的方向和距离； (2)已知该交警所开汽车每千米耗油，若该交警接到命令需要马上返回出发点，则这次巡逻（含返回路程）共耗油多少升？ 【例题4-14】．（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（正号表示客流量比前一天增加，负号表示客流量比前一天减少，9月30日本市客流量是61万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 (1)与9月30日相比，10月7日的客流量是增加了还是减少了，变化了多少？ (2)请算出10月2日的客流量． 【例题4-15】．（23-24七年级上·陕西安康·期中）已知某粮库已存有粮食吨，某周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正，运出为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 进出粮食吨 (1)通过计算，说明这周内哪天粮库剩余的粮食最多，是多少？ (2)若运进的粮食为购进的，购买的价格为每吨元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨元，则这一周的利润为多少元？ (3)若每周平均进出的粮食数量大致相同（误差忽略不计），则再过几周粮库存的粮食可达到吨？ 【例题4-16】．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下： (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为，则这天下午小王的车共耗油多少升? (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过公里，收费元，超过公里的部分，按每公里元收费，则这天下午小王营运收入共多少元？ 【例题4-17】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ；(2)；(3)． 【例题4-18】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【例题4-19】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【例题4-20】．（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【例题4-21】．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【例题4-22】．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【例题4-23】．（2024七年级上·全国·专题练习）利用加法运算律简便运算． (1)； (2)； (3)． 【例题4-24】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【例题4-25】．（19-20七年级上·山东青岛·单元测试）计算： (1)； (2) 【例题4-26】．（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： (1) (2) 【例题4-27】．（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【例题4-28】（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）计算题 (1) ； (2)； (3)； (4)； 题型五：有理数的减法运算 【例题5-1】．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【例题5-2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【例题5-3】．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 【例题5-4】（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题5-5】．（2025·辽宁大连·一模）若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 【例题5-6】．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）数轴上点表示的数是，点与点在数轴上相距4个单位长度．则点表示的数是（    ） A． B．1 C．或1 D．或7 【例题5-7】．（24-25七年级上·河北保定·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数中绝对值最大的数是c B． C． D． 【例题5-8】．（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【例题5-9】．（24-25七年级上·湖南常德·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【例题5-10】．（24-25七年级上·新疆哈密·期末）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题5-11】．（24-25七年级上·河北唐山·期末）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题5-12】．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，数轴上的六个点满足，则在点A、B、C、D、E、F对应的数中，最接近的点是（   ） A．点E B．点D C．点C D．点B 【例题5-13】．（24-25七年级上·重庆大足·阶段练习）若，且，那么的值是 （     ） A． B． C．或 D．或 5 【例题5-14】．（24-25六年级上·山东淄博·期中）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题5-15】．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数m与数n在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题5-16】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）当，，且，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【例题5-17】．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题5-18】．（2025七年级下·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例题5-19】．（2025·吉林长春·一模）下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 【例题5-20】．（2025·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【例题5-21】．（2025·安徽淮北·三模）下列各数中，比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．6 【例题5-22】．（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各式运算结果不为的是（    ） A． B． C． D． 【例题5-23】．（2025·天津·二模）计算的结果等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【例题5-24】．（2025·山西临汾·二模）的结果是（    ） A． B． C． D． 【例题5-25】．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 【例题5-26】．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则的值为 ． 【例题5-27】．（24-25七年级上·江苏·期末）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算： ． 【例题5-28】．（24-25六年级上·山东烟台·期中）点、、在同一条数轴上，其中点、表示的数分别为、1，若点与点的距离是2，则点与点的距离为 ． 【例题5-29】．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长为 ． 【例题5-30】．（24-25七年级上·山东·期末）已知点，，在同一条数轴上，其中点，表示的数分别为，，若，则 ． 【例题5-31】．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）已知，，且，则 ． 【例题5-32】．（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）（1）已知，，则的值为 ． （2）若，，且，则 ． 【例题5-33】．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 【例题5-34】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 【例题5-35】．（24-25七年级上·山西长治·期中）数轴上点的位置如图所示． 观察数轴，解答下列问题： (1)点表示的有理数为______；表示有理数“”的点是点______，两点之间的距离为______个单位长度． (2)在数轴上用点分别表示出有理数和． (3)将表示的四个有理数用“”连接的结果为______． (4)这五个点表示的数中绝对值最小的点为点______． 【例题5-36】．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，且a与b互为相反数： (1)判断正负：a______0，_______0，______0； (2)已知，求的值． 【例题5-37】．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）： ①______； ②______； ③______； ④______． （2）通过以上比较，请你分析、归纳出，当，为有理数时，与的大小关系．（直接写出结论即可） （3）根据（2）中得出的结论，当时，求的取值范围． 【例题5-38】．（2024七年级上·云南·专题练习）学习情境·阅读理解 阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． 根据上述材料，回答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； (2)借助数轴解决问题：如果，那么______； (3)可以理解为数轴上表示的点到表示______和______这两个点的距离之和，则的最小值是______． (4)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【例题5-39】．（2024七年级上·全国·专题练习）比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 【例题5-40】．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)当取最小值时，可以取整数______； (3)当_____时，的值最小，最小值为____； 题型六：有理数减法的实际应用 【例题6-1】．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，是市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A． B． C． D． 【例题6-2】．（2025·湖南娄底·二模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【例题6-3】．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是年元月日 B．巴黎是年元月日 C．东京是年元月日 D．上海是年元月日 【例题6-4】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为2和6． 目的 由于，两点位置不确定，故a与b的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当，两点都在原点右侧时，求的值； （2）当点在点左侧时，求的值． 【例题6-5】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 题型七：有理数的加减混合运算 【例题7-1】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)； (6)． 【例题7-2】．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【例题7-3】．（22-23七年级上·广东惠州·期中）观察下面算式，解答问题： ； ； …… (1)的结果为______________； (2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示的值为_____________； (3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细解答过程）． 【例题7-4】．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【例题7-5】．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【例题7-6】．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (3) (5) (6) (8) (8) 【例题7-7】．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【例题7-8】．（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【例题7-9】．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）列式并计算： (1)，，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大多少？ (2)设表示不超过的最大整数，例如：，，求的值； 【例题7-10】．（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【例题7-11】．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【例题7-12】．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）阅读材料： 因为一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如；当时，，如． 根据以上信息完成下列问题： (1)___________；___________； (2)计算：． 【例题7-13】．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【例题7-14】．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解题：求的值可用下面的两种方法： 方法一：（按法则进行运算）：． 方法二：通过画图发现的值等于1减去图中阴影部分的面积，即得． 方法三：由图得到启发，求：，，，于是得． (1)请你模仿上述任意两种方法求的值； (2)用合理的方法计算：； (3)用合理的方法计算：． 【例题7-15】．（24-25六年级上·山东威海·期中）（1）计算下列各式，将结果直接写在横线上： __________，__________； __________，__________； __________，__________ （2）将（1）中每行计算的结果进行比较，利用你发现的规律计算： 【例题7-16】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）若，且． (1)填空： 0， 0；（填“”或“”） (2)求的值． 【例题7-17】．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 【尝试应用】根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： （1）______； （2）______； 【深入研究】有理数、在数轴上的位置如图所示，则______； 【解决问题】用简便的方法计算： 【例题7-18】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【例题7-19】．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）对于一个三位自然数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若百位数字与个位数字的和与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“和差一数”．若百位数字与个位数字和的两倍与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“倍差一数”．例如：自然数463，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以463是“和差一数”；自然数392，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以392是“倍差一数”，则最小的“和差一数”为 ；若“和差一数”s的百位数字为3，“倍差一数”t的个位数字为1，且能被7整除，则满足条件的最大的s为 ． 【例题7-20】．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： ． 【拓展】有理数加减计算的动点问题 【例题7-21】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 题型八：有理数加减中的简便运算 【例题8-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． 【例题8-2】．（22-23七年级上·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算 (1) ； (2) (3) (4) 【例题8-3】（21-22七年级上·天津和平·期中）计算： (1) (2) (2) (4) 【例题8-4】．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【例题8-5】．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【例题8-6】．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (2) (4) (4) (6) (7) (8) 【例题8-7】．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：． 【例题8-8】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【例题8-9】．（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读下面文字： 对于 可以按如下方法进行计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算： 【例题8-10】．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【例题8-11】．（2024七年级上·全国·专题练习） 【例题8-12】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【例题8-13】．（2024七年级上·全国·专题练习）脱式计算．（能简算的要简算） 【例题8-14】．（24-25七年级上·广东茂名·期中）计算 (1) ； (2)． 【例题8-15】．（24-25七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 【例题8-16】．（24-25七年级上·北京房山·期中）完成计算，并补全相应步骤的运算依据． 运算依据：___________； 运算依据：___________； ___________．运算依据：异号的两个数相加，取___________的符号，并用___________． 【例题8-17】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【例题8-18】．（2024七年级上·全国·专题练习）数学课上张老师在多媒体上列出了如下材料： 计算：． 解：原式 ． 请仿照上面的方式计算：． 【例题8-19】．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）计算 (1) ； (2)； (3)； (4)． 【例题8-20】．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【例题8-21】．（18-19七年级上·浙江金华·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 【例题8-22】．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）利用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 题型九：有理数加减混合运算的应用 【例题9-1】．（2025·北京·模拟预测）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间／分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【例题9-2】．（23-24九年级上·北京东城·期末）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 【例题9-3】．（2025·江苏南京·二模）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是 ． 【例题9-4】．（2025·北京顺义·一模）炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要 分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照 的顺序生产． 【例题9-5】．（2025·北京延庆·模拟预测）甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块 个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装 套系统． 【例题9-6】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪子 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______； (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）： (3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）； 题型十：省略加法和括号的形式 【例题10-1】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题10-2】．（24-25七年级上·海南海口·期中）把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【例题10-3】．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题10-4】．（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【例题10-5】．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题10-6】．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是(    ) A． B． C． D． 【例题10-7】．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【例题10-8】．（19-20七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）将写成省略加号的和式为（   ） A． B． C． D． 【例题10-9】．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【例题10-10】．（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）把式子改写成省略括号的和的形式 ． 【例题10-11】．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 【例题10-12】．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）将算式“”写成省略加号的形式为 ． 【例题10-13】．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 题型十一：有理数的大小比较 【例题11-1】．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【例题11-2】．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026七年级数学上册典型例题系列「2026版」 2.2有理数的加减法 第一篇 专题精析 专题名称 有理数的加减法计算 专题内容 有理数的加减法计算 讲解建议 按照知识点和题型进行讲解 考点题型 十一个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：有理数的加法运算 2 【应用一】有理数的非负性 12 【应用二】有理数加法和绝对值的应用 13 【应用三】有理数加法和数轴的分类讨论问题 16 【应用四】有理数运算逻辑推理问题 20 【应用五】有理数在古代算筹中的应用 21 【应用六】有理数在生活中的实际应用 22 【应用七】有理数的计算问题 42 题型二：有理数加法中的符号问题 66 题型三：有理数加法在生活中的应用 75 题型四：有理数加法运算律 81 题型五：有理数的减法运算 101 题型六：有理数减法的实际应用 127 题型七：有理数的加减混合运算 132 【拓展】有理数加减计算的动点问题 155 题型八：有理数加减中的简便运算 156 题型九：有理数加减混合运算的应用 177 题型十：省略加法和括号的形式 185 题型十一：有理数的大小比较 189 题型十二： 190 题型十三： 190 题型十四： 191 题型十五： 191 题型十六： 191 题型十七： 191 题型十八： 191 题型十九： 191 题型二十： 192 第三篇 典型例题汇总 题型一：有理数的加法运算 【例题1-1】．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①所有整数都是正数； ②非负数指的是正的整数和分数； ③一个有理数不是整数就是分数； ④两个数的和，一定大于其中任意一个加数； ⑤几个有理数相乘，若积为0，则因数中至少有一个是0； ⑥若是正数，则不一定是负数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、相反数的定义、有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查的是相反数，绝对值的含义，有理数、整数、非负数的概念，熟记以上基础概念是解本题的关键．根据整数的分类可判断①，根据非负数的含义可判断②，根据有理数的概念可判断③，根据有理数的加法可判断④，根据有理数的乘法可判断⑤，根据相反数的定义可以判断⑥从而可得答案． 【详解】解：①所有整数都是正数；描述错误，整数包括正数和负数以及0，故①不符合题意； ②非负数指的是正的整数和正的分数；描述错误，还包括0，故②不符合题意； ③一个有理数不是整数就是分数；描述正确，故③符合题意； ④两个数的和，一定大于其中任意一个加数；描述错误，例如，故④不符合题意； ⑤几个有理数相乘，若积为0，则因数中至少有一个是0；描述正确，故⑤符合题意； ⑥若是正数，则不一定是负数，描述错误，一定是负数，故⑥不符合题意； 综上分析可知：正确的有③⑤，共2个． 故选：B． 【例题1-2】．（24-25七年级上·天津河西·阶段练习）若a是有理数，则的值（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．可能是正数，可能是负数 D．不可能是负数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键， 【详解】解：若，则，若，则，若，则， 所以是有理数，则的值不可能是负数． 故选∶． 【例题1-3】．（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 【例题1-4】．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）下列说法正确的个数有（   ） ①已知，且，则； ②若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数； ③一定是负数； ④若，则是非正数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法法则，数轴和绝对值，理解绝对值的性质、理解数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．①根据已知条件判断出a，b的符号及绝对值的大小即可；②通过绝对值的性质即可求解；③本题可通过特殊值法求解；④通过绝对值的性质即可求解． 【详解】解：①∵，且， ∴，故①错误； ②正数和0的绝对值等于它本身，负数小于它的绝对值，故②正确； ③时，，故③错误； ④若，则a是非正数，故④正确． 故选：C． 【例题1-5】．（2025·北京石景山·一模）某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要 分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要 分钟． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 因为家务的第二阶段可以由机器完成，小明在完成家务的第一阶段后，就可以开始完成家务，小明在完成家务的时间段内，机器可以完成家务的第二阶段，所以小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 因为家务的第二阶段需要分钟，完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，家务的第二阶段需要分钟，而完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，这样一来，完成家务和需要分钟，完成家务和需要分钟，所以 这四项家务全部完成最少需要分钟． 【详解】解：小明先完成家务的第一阶段，用时分钟， 由机器完成家务的第二阶段，同时小明开始家务的第一阶段， 小明完成家务的第一阶段和第二阶段共用时分钟， 在小明完成家务（第一阶段和第二阶段）时间段内，机器完成了家务的第二阶段， 小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 小明和哥哥合作完成四项家务，把和分为一组，和分为一组， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要分钟． 故答案为：，． 【例题1-6】．（2025·北京房山·一模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要 小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要 小时． 【答案】 54 28 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 当由两位工人合作完成时，一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要（小时）． 【例题】．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键； 根据有理数加法法则计算即可求解； 【详解】解：， 故答案为： 【例题1-7】．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）若，，且，则的值是（   ） A．和 B．3和 C．和9 D．9和3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、求一个数的绝对值 【分析】由＝3，，可得，，结合， 再求解的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 当时， ∴， 当时， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较，求解代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【例题1-8】．（24-25七年级上·新疆塔城·期中）在一条东西方向的跑道上，小亮先向西走了20米，记作“米”，接着又向东走了8米，此时小亮的位置可记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法运算 【分析】此题考查了正负数的应用，有理数的加法，依题意，向西走为负，则向东走为正，得到，即可得出答案，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：根据题意，向西走为负，则向东走为正， ∴， ∴此时小亮的位置可记作米， 故选：B． 【例题1-9】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）高速铁路以更快、更安全、更舒适的生活体验成为人们日常出行中的首选，若G3666次列车自“建平站”到“北京朝阳站”中途还需经过“牛河梁”和“承德南”两站，（列车单向行驶）那么列车在这段路程中售出的车票共有几种（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用．熟练掌握单向行驶车票种类的计算办法，是解题的关键． 自“建平站”到“北京朝阳站”到“牛河梁”到“承德南”的列车单向行驶，那么列车在这段路程中售出的车票“建平站”的有3种，共有几种，“北京朝阳站”的有2种，“牛河梁”的有1种，相加即得． 【详解】解：（种）． 故选：D． 【例题1-10】．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【例题1-11】．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】 分数化小数、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的运算，把每一个分数化为小数计算可得和为即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，…… ∴ ∴， 故选C． 【例题1-12】．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）最大的负整数与绝对值最小的数之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的概念和有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的概念和有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：最大的负整数是，绝对值最小的数是0， 它们的和为， 故选：B． 【例题1-13】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知，，，且，则 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、求一个数的绝对值、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，有理数的大小比较，根据绝对值的性质求出的值，再分情况相加即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【例题1-14】．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）若，且a，b都是奇数，则满足条件的a与b共有 对． 【答案】20 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加法计算，根据a，b都是奇数，得到都是奇数，则可推出或或或或，再由绝对值的意义即可得到答案． 【详解】解：∵a，b都是奇数， ∴都是奇数， ∵， ∴或或或或， ∴或或，或或 ∴满足条件的a与b共有20对， 【例题1-15】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算等于（   ） A． B．1 C．0 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选A． 【例题1-16】．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．先根据可得，，，再根据即可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【例题1-17】．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，A、B、C、D、E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应的点在B与C之间，数b对应的点在D与E之间，若，则原点的位置可能是（    ） A．点C B．点A C．点B或点E D．点C或点D 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查数轴上的点表示有理数，绝对值，掌握有理数的符号和绝对值是确定有理数的必要因素． 逐个点作为原点，分别验证是否可能，进而作出判断． 【详解】解：∵A、B、C、D、E分别是数轴上五个连续整数所对应的点， 又由a、b在数轴上的位置可知，表示数a、b两点之间的距离小于3， 因此原点不可能在a、b之间， 故原点不可能为点C、D， 若原点为点A，则，，此时，故原点不能为点A， 若原点为点B，则，，此时可能等于3，故原点可能为点B， 若原点为点E，则，，此时可能等于3，故原点可能为点E， 综上，原点可能是点B或点E． 故选：C． 【例题1-18】．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知．若数轴上点N，T所对应的数是n，t，则N，T的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据题意得到，且，然后根据数轴上的位置判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即，且， 故N，T的位置符合的是A选项， 故选：A． 【例题1-19】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】分三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据求绝对值的法则以及有理数的加法运算法则，进行计算即可得解．本题主要考查求绝对值的法则以及有理数的加法法则，掌握求绝对值的法则以及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：①三个数都是正数时， 则， 原式； ②中有两个正数时， 设， 则， 原式； 设， 则 原式； 设， 则， 原式； ③有一个正数时， 设，则 原式； 设，则， 原式； 设则 原式； ④三个数都是负数时，即，则， 原式． 综上所述，的可能值的个数为4． 故选：C． 【应用一】有理数的非负性 【例题1-20】．（24-25七年级上·广东清远·期中）若与互为相反数，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、绝对值非负性、相反数的定义 【分析】本题考查了绝对值非负性，相反数，有理数加法等知识点的应用，由与互为相反数得，求出的值，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 【应用二】有理数加法和绝对值的应用 【例题1-21】．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】或或 【难度】0.4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，化简绝对值等知识点，分析判断其余个字母的值的和为时，这个字母可能是什么数是解题的关键． 根据已知条件：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，且，又因，因而可推出有两个字母的值分别为，，其余个字母的值的和为，然后分三种情况讨论：当这个字母的值分别为，，，，0，0时；当这个字母的值分别为，，，，，0时；当这个字母的值分别为，2，2，2，2，时，分别化简绝对值并求和，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个， ∵， ， 有两个个字母的值分别为，，其余个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，，0或，，，，,0或，2，2，2，2， 当这个字母的值分别为，，，，，0时， ， 当这个字母的值分别为，，，，，0时， ， 当这个字母的值分别为，2，2，2，2，时， ， 或或， 故答案为：或或． 【例题1-22】．（24-25七年级上·重庆·开学考试）将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 ．    【答案】23 【难度】0.4 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了宫格数阵问题．熟练掌握数阵链特点，尝试填数，是解决问题的关键． 根据中间三个数加了两次，和最大是24 ，9个数的和为45，即可求出每条线上数的和最大为23，据此尝试填数（答案不唯一）． 【详解】由图可知，中间三个数加了两次，这三个数的和最大是： ， ∵数字的和为：， ∴． ∴每条线上的4个数的和最大为23． 故答案为：23．    【例题1-23】．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·分类讨论  已知，，若，则 ． 【答案】7或1/1或7 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握绝对值的性质和分类讨论的思想是解题的关键． 根据题意分别得到的值，，再根据，结合分类讨论，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：7或1． 【例题1-24】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若：，则的最小值是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据的最小值为，的最小值为，结合数轴求得的最小值，即可求解． 【详解】解：∵的最小值为，的最小值为，当时，等式，成立， ∴的最小值为，的最小值为 ∴的最小值是 故答案为：． 【例题1-25】．（24-25七年级上·四川成都·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好选自，，这三个数值中的一个（每个数字至少被选中一次），若，则 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，化简绝对值等知识点．根据已知条件：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，且，又因，因而可推出有三个字母的值分别为，，，其余个字母的值的和为，然后分两种情况讨论：当这个字母的值分别为，，，，时；当这个字母的值分别为，，4，，时；分别化简绝对值并求和，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个， ， ， 有三个字母的值分别为，，，其余个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，或，，4，，， 当这个字母的值分别为，，，，时， ， 当这个字母的值分别为，，4，，时， ， 或， 故答案为：或． 【例题1-26】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设a为正数，b，c为负数，则原式； ④一个负数，两个正数，假设a为负数，b，c为正数，则原式； 综上，的值为或， 故选：D 【例题1-27】．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为（   ） A．0或 B．或0 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减，分类讨论是解答本题的关键．由得，代入，然后分两种情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式， 当时，原式． 故选D． 【例题1-28】（2024·内蒙古包头·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【应用三】有理数加法和数轴的分类讨论问题 【例题1-29】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，，设点、、所对应数的和是，若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的加减法的应用；根据题意得出点表示的数为，进而根据，得出点、点表示的数分别是，，进而根据点、、所对应数的和是，即可求解． 【详解】解：原点在图中数轴上点的右边，且， 点表示的数为， ，， ，， 点、点表示的数分别是，， ． 故答案为：． 【例题1-30】．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．小超在草稿纸上画了一条数轴，并剪下包含线段一段纸条（点，表示的数分别为，），然后把这个纸条按如图方式折叠，在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，那么折痕处对应的点所表示的数是 ． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴上的折叠变换问题，有理数的加法运算，分当，当，当三种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：设折痕处对应的点所表示的数是， 如图，当， 设，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数是， 如图，当， 设，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当， 设，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 综上可知：折痕处对应的点所表示的数是或或， 故答案为：或或． 【例题1-31】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小之在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：在数轴上剪下从到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1∶1∶2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴上的折叠变换问题，有理数的加法运算， 分三种情况进行讨论：分别画出对应的图形，①当时所以设，，，得，得出的值计算折痕处对应的点所表示的数的值，当时，当时，同理可得出折痕处对应的点所表示的数的值．掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图：①当时， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴折痕处所表示的数为：； ②当时， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； ∴折痕处所表示的数为：； ③当时， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； ∴折痕处所表示的数为：； 综上所述：折痕处所表示的数可能为：或或． 故答案为：或或． 【应用四】有理数运算逻辑推理问题 【例题1-32】．（24-25七年级上·北京西城·期中）填空题 在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是： 甲：；乙：；丙：；丁：；戊：． 根据以上信息，判断： 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是 ； 乙同学手里拿的两张卡片上的数字是 ； 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是 ； 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是 ； 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 ． 【答案】 和 和 和 和 和 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数加法的应用，根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可，解题的关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 【详解】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复， 由甲：，可知甲手中的数字可能是和，和，和，和，和； 由乙：，可知乙手中的数字只有和； 由丙：，可知丙手中的数字可能是和，和； 由丁：，可知丁手中的数字可能是和，和，和； 由戊：，可知戊手中的数字可能是和，和； ∴丁只能是和，甲只能是和，丙只能是和，戊只能是和， 故答案为：和；和；和；和；和． 【应用五】有理数在古代算筹中的应用 【例题1-33】．（24-25七年级上·北京·期中）中国古代很早就用算筹来表示数并进行计算，算筹有横式和纵式两种，表示个位、百位、万位……时用纵式算筹，而表示十位、千位、十万位……时用横式算筹，下面的图1是算筹的横式与纵式所表示的数字1-9，当时并没有代表0的符号，而是用空位来表示0．算筹不仅使用了十进制，而且是“位值制”，从右往左，第一位表示有几个1，第二位表示有几个10，…依此类推．图2是用算筹进行加法计算的过程，请补全图2中的数字和图形： ． 【答案】   【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】考查了应用类问题，关键是对我国古代用算筹记数的规定的理解和掌握，有理数加法法则． 根据算筹记数规定可知加数，计算加法得到和，再依规定即可得到和表示的数． 【详解】解：由已知可得加数为65． 和为， 所以数字和的图形为   故答案为：． 【例题1-34】．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1表示的是，根据刘徽的这种表示法，可推算图表示的算式及其结果为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，根据正放表示正数，斜放表示负数，列出算式计算即可，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：∵正放表示正数，斜放表示负数， ∴由图可得，， 故答案为： 【应用六】有理数在生活中的实际应用 【例题1-35】．（23-24七年级上·福建泉州·期末）传说大禹治水来到洛水，洛水中浮出一只神龟，背上有奇怪的图，图上有许多圈和点，史称“洛书”，也就是我们常说的三阶幻方，又称为“九宫格”，人们发现“九宫格”里面有非常有趣的关系：不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，其和都相等，于是把这个和称为“幻和”，正中间的那个数称为“中心数”． (1)若由1，3，5，7，9，11，13，15，17这9个数构成“九宫格”，求“幻和”m的值； (2)小明对“九宫格”中数字的规律产生了浓厚的兴趣，希望找出这些数字中蕴含的数学规律．如图，将a、b、c、d、e、f、g、h、i这9个字母分别填入“九宫格”． ①若，求“中心数”e的值，并说明理由； ②直接写出a、f、h之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【难度】0.4 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【分析】本题考查规律型问题，幻方等知识，解题的关键是理解题意，学会构建等式解决问题． （1）依题意中心数为9，根据“幻和恰好等于中心数的3倍”即可得解． （2）①根据“幻和恰好等于中心数的3倍”即可得解； ②根据幻方规律：不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，其和都相等，列出等式，通过等式变形得到结论． 【详解】（1）解：通过中心数有4条线，将这4条线全部加起来，可以得到： 全体数的和中心数， 而三阶幻方中，全体数的和（三行或三列） 则有：中心数， 化简得到：中心数， 依题意中心数为9，所以． （2）解：①由（1）得中心数， 所以中心数； ②依题意由， 所以， 所以， 所以，即． 【例题1-36】．（22-23七年级上·北京西城·阶段练习） 年，北京市燃油出租车具体收费标准如下： ①出租车收费标准公里以内收起步价元，再加1元燃油附加费，超过公里，超出部分按每公里元收费； ②预约叫车服务费：提前小时以上预约每次元，小时以内预约每次元； ③单程载客行驶超过公里的部分，按原价时段基本单价（元）加收的费用； ④出租车计价精确到米，超过米但不足米时按米计价，另外，每公里中的米计价元，后米计价按元． ⑤出租车收费结算以元为单位，精确到元（元以下四舍五入）． （注：如果车费不足起步价，则按起步价收费．） 结合以上信息，回答下列问题： (1)已知肖老师家距离学校公里，周五早上肖老师为了避开早高峰选择时预约出租车出发，一路畅通到达学校，请你计算一下肖老师早上上班的出租车费用是 元； (2)周五晚上，肖老师预约了周六上午乘出租车去机场，一路畅通到达机场，已知肖老师家距离机场（且为整数）公里，肖老师支付元（包括元高速收费站费用），则y＝ ． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.4 【知识点】有理数加法运算、列代数式 【分析】（1）出租车费用加预约叫车服务费加元燃油附加费即可求解； （2）出租车费用加预约叫车服务费加元燃油附加费，再加元高速收费站费用即可求解． 【详解】（1）肖老师早上上班的出租车费用是：(元) 故答案为：； （2）， 故答案为：元． 【点睛】此题考查了列代数式，有理数的混合运算的实际运用，理解题意，掌握收费标准是解决问题的关键． 【例题1-37】．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知一列数：4.5，，0，，，． (1)将上面的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)在上面的数中，找出绝对值小于但不小于1的所有数，并求它们的和． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的大小比较、有理数的加法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上点的特征把各数表示出来即可； （2）根据绝对值的定义结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：把各数表示在数轴上如下： （2）解：由（1）可得，绝对值小于但不小于1的所有数为，，， 它们的和为． 【例题1-38】．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)；； (2)；63 (3) 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】（1）确定原点，找到各点表示的数，相加即可； （2）分情况讨论：原点O在点C的右侧时，原点O在点C的左侧时，找到各点表示的数，相加即可； （3）确定原点，单位长度为，表示各数，相加即可． 本题考查了数轴上点的坐标表示以及原点位置变化对应点坐标的影响． 【详解】（1）若以点C为原点，因为 则A表示的数是，B表示的数为， ∴． （2）原点O在点C的右侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． 原点O在点C的左侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． （3）以A，B中点为原点，单位长度为，， ∴点A对应，点B对应，点C对应， ∴． 【例题1-39】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【答案】(1)得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值 (2)23 (3)不相等，不满足 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）由题干中的算式归纳运算的法则即可； （2）根据归纳的法则计算即可； （3）根据归纳的法则计算后判断两式结果是否相等即可． 【详解】（1）解：由题干中的算式可得运算的法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解： ， 则与不相等，运算不满足结合律， 故答案为：不满足． 【例题1-40】．（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)适用，举例见解析（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】此题考查了新定义运算，以及有理数的加法运算． （1）根据所给算式，归纳出※（加乘）运算的运算法则即可． （2）根据新定义，先算中括号里，再算中括号外即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果等于这个数的绝对值． （2） ． 故答案为：； （3）加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知： ， ， 所以， 即加法交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 【例题1-41】．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B）、书店（记为C）依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边50米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了80米达到D处．如果把这条大街看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请用数轴表示上述A，B，C，D的位置． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴的知识，解答本题的关键是找出关键点及正方向． 根据题意，可设从西向东方向为正方向，学校所在位置为原点，则很容易用数轴来表示A、B、C、D的位置． 【详解】解：根据题意，可设从西向东方向为正方向，学校所在位置为原点， （米）， ∴点D位于学校西边40米处， 则用数轴表示上述A，B，C，D的位置如下： 【例题1-42】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）阅读下列内容，完成相关问题． 明明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ，； ，； ，． 兰兰看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳*（加乘）运算的运算法则：同号得______，异号得______，并把______．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的______． (2)计算： 【答案】(1)正，负，绝对值相加，绝对值 (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的算式进行分析即可； （2）根据所给的运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：*（加乘）运算的运算法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的绝对值； （2）解： ． 【例题1-43】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 【答案】(1)若以B为原点，点A所对应的数为，点C所对应的数为1，；若以C为原点， (2) 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及有理数的加减运算，关键是掌握数轴上两点间的距离与点所对应的数的关系． （1）根据以B为原点，则C表示1，A表示，进而得到P的值；根据以C为原点，则A表示，B表示，进而得到p的值； （2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且，可得C表示，B表示，A表示，据此可得p的值． 【详解】（1）解：若以B为原点，则点A所对应的数为，点C所对应的数为1， 此时，， 若以C为原点，则点A所对应的数为，点B所对应的数为， 此时，； （2）解：若原点O在图中数轴上点C的右边，且， 则点C所对应的数为，点B所对应的数为，点A所对应的数为， 此时，． 【例题1-44】．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三点A，B，C分别表示三个不同的有理数，，设点A，B，C所表示的三个有理数的和是m． (1)若以A为原点，则数轴上点C所表示的数是 ；若以B为原点，则m的值为 ； (2)若以C为原点，再添上一个有理数n，使得这四个有理数的和为0，求n的值； (3)若原点在图中数轴上，且点B到原点的距离为4个单位长度，求m的值． 【答案】(1)11，5； (2) (3)17或 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，数轴的应用，熟练掌握数轴上点与数的对应关系是解题的关键． （1）以A为原点，分别得到B，C所表示的数，得到结果；以B为原点，分别得到A，C所表示的数，得到结果； （2）以C为原点，分别得到A，B所表示的数，得到结果； （3）分别讨论原点的位置，得到A，B，C三点所表示的数，得到结果． 【详解】（1）解：∵以A为原点，， ∴， ∴点C表示的数是11； ∵若以B为原点，， ∴点B表示的数是0，点A表示的数是，点C表示的数是8， ∴， 故答案为：11，5； （2）若以C为原点，， ∴点C表示的数是0，点B表示的数是，点A表示的数是， ∵再添上一个有理数n，使得这四个有理数的和为0， ∴， ∴； （3）若原点在B点的左侧，，则：点B表示的数是4， ∴点A表示的数是1，点C表示的数是12， ∴； 若原点在B点的右侧，，则点B表示的数是， ∴点A表示的数是，点C表示的数是4， ∴， ∴m的值为17或． 【例题1-45】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，分别表示三个不同的有理数，其中点到点的距离为，点到点的距离为，设点，，所对应数的和是．    (1)若点为原点，则点，所对应的数分别为______，______，的值为__________； (2)若以点为原点，再添上一个有理数，使得这四个有理数的和为，求的值； (3)若原点在图中的数轴上，且点到原点的距离为，则等于多少？ 【答案】(1)，，； (2)； (3)的值为或． 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算 【分析】（）根据题意可求出三个点所表示的数，进而即可求出结果； （）当为原点时分别求出，所对应的数，再根据四个有理数的和为，进行求解即可； （）根据当原点在点的左边时和原点在点的右边时两种情况下，分别求出三个点所对应的数，即可求求解； 本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数，有理数加法的运算，掌握分类讨论的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：因为点为原点，且，都位于的右侧， 所以点所对应的数为，点所对应的数为， 所以， 故答案为：，，； （2）解：因为点为原点， 所以点表示的数为，点表示的数为， 所以， 解得：； （3）解：因为点到点的距离为个单位长度，点到点的距离为，点到原点的距离为个单位长度， 所以当原点在点的左边时，，，三点在数轴上所对应的数分别为，，， 所以； 当原点在点的右边时，，，三点在数轴上所对应的数分别为，，， 所以； 综上所述：的值为或． 【例题1-46】．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，则； 当，，中有一个为正数，另两个为负数时，设，，，则． 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值． (2)三个有理数，，满足，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】（）仿照题目给出的思路和方法即可求解； （）根据绝对值的意义分当，，都为负数，当，，中有一个为负数，另两个为正数时进行分析即可； 本题考查了绝对值的意义及有理数加减运算，正确理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或， 则或； （2）解：因为， 所以，，都为负数或其中一个为负数，另两个为正数， 当，，都为负数，即，，时， 则原式=； 当，，中有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则原式， 综上所述，的值为或． 【例题1-47】．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）已知数轴上3的对应点是A，一个动点从原点出发在数轴上移动，每秒移动一个单位．如果第秒末正好位于点A，那么 (1)t可取的值是______； (2)满足上述结果的不同运动路线共有几种？请用你喜欢的方式表示出来． 【答案】(1)或 (2)6；见解析 【难度】0.65 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，解题的关键是根据题目要求移动动点即可． （1）根据题意，因为第秒末正好位于点A，即t可以等于1，2，3，4，5，6，一个动点从原点出发在数轴上移动，每秒移动一个单位，最后落在3这个点上，所以动点从原点一直向正方向跳动直至A点，即路径为，此时；动点从原点向负方向跳动一次，其余为向正方向跳动直至A点，此时； （2）列出不同的运动路线，求和即可． 【详解】（1）解：第一种情况：动点从原点一直向正方向跳动直到A点，即路径为，此时； 第二种情况：动点从原点向负方向跳动一次，其余为向正方向跳动直至A点，其中一条路径为，此时； 综上分析可知：或； （2）解：解析（1）中的第一种情况只有一条路径：； 第二种情况有五条路径：①； ②； ③； ④； ⑤； ∴不同的运动路径共有（种）． 【例题1-48】．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知一组数：2，，，． (1)在数轴上，表示2与的点之间（包括这两个点）有_____个点表示的数是整数，这几个整数分别是________，它们的和为_________． (2)在数轴上表示这一组数，并用“<”号连接． 【答案】(1)5；、、0、1、2；0 (2)在数轴上表示见解析， 【难度】0.65 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、有理数加法运算 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，有理数的加法运算，利用数轴比较大小，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整数的定义和有理数加法法则解答即可； （2）在数轴上表示出各数，再根据在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较大小即可． 【详解】（1）解：在数轴上，表示2与的点之间（包括这两个点）有5个点表示的数是整数，这几个整数分别是、、0、1、2，它们的和为． 故答案为：5；、、0、1、2；0； （2）解：在数轴上表示这一组数，如图， 由图可知． 【例题1-49】．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 【例题1-50】（24-25七年级上·北京·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，...... (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得_______，并把绝对值_______；一个数与0相“乘加”等于_______； (2)根据法则计算：_______；________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：． 【答案】(1)负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． （1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果即可； （3）根据新的运算先分别算出和，再计算出即可． 【详解】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：负，相加，这个数的绝对值； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 【例题1-51】．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，例子见解析 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． 【详解】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用. 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 【例题1-52】．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料 (1)______，______； (2)已知 ，求的值； (3)当时，求． 【答案】(1)3，2 (2) (3)的值为或 【难度】0.65 【知识点】绝对值方程、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】（1）根据定义，得，，解答即可． （2）根据得，解得，根据定义，得． （3）根据得，整理得到，求得x值后，根据定义计算的值即可． 本题考查了新定义计算，有理数的加法，绝对值的意义，绝对值方程，正确理解定义，熟练掌握运算，解绝对值方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得，， 故答案为：3，2． （2）解：根据， 得， 解得， 根据定义，得． （3）解：根据， 得， 整理得到， 解得或 当时，； 当时，； 故的值为或． 【例题1-53】．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，，，其中，两点之间的距离是2，，两点之间的距离是1，设，，所对应数的和是． (1)若以为原点，直接写出，对应的数，并求出的值； (2)若，表示的数互为相反数，则原点在点的________（填“左”或“右”）侧； (3)若原点在数轴上距离点1个单位长度，求的值； (4)若，直接写出原点会与，，中的哪个点重合． 【答案】(1)A对应的数是，C对应的数是1， (2)左 (3)点p的值为8或2 (4)，原点与点C重合． 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的加法运算，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式以及有理数的加法运算法则是解此题的关键． （1）以B为原点，先分别求出A，B，C三点对应的数即可解决问题； （2）先求出A、C两点之间的距离，然后结合A、C表示的数互为相反数，可求出A表示的数，进而求出B表示的数，即可判断； （3）分原点在A的左侧、右侧讨论即可． （4）分A、B、C为原点讨论即可； 【详解】（1）解：∵B为原点，A、B两点之间的距离是2，B、C两点之间的距离是1， ∴A对应的数是，C对应的数是1， ∴； （2）解：∵A、B两点之间的距离是2，B、C两点之间的距离是1， ∴A、C两点之间的距离是， 又A、C表示的数互为相反数， ∴A对应的数是，C对应的数是， ∴B对应的数为， ∴原点在点B的左侧． （3）解：当原点在A左侧时， ∵原点在数轴上距A点1个单位长， ∴点A、B、C表示的数依次是：1、3、4， 则； 当原点在A右侧时， ∵原点在数轴上距A点1个单位长， ∴点A、B、C表示的数依次是：、1、2， 则； 所以点p的值为8或2． （4）解：∵A、B两点之间的距离是2，B、C两点之间的距离是1， ∴A、C两点之间的距离是， 当A为原点时，A表示的数是0，B表示的数是2，C表示的数是3， 此时，不符合题意，舍去； 当B为原点时，A表示的数是，B表示的数是0，C表示的数是1， 此时，不符合题意，舍去； 当C为原点时，A表示的数是，B表示的数是，C表示的数是0， 此时，符合题意， 综上，若，则原点是A、B、C三点中的点C． 【例题1-54】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若，计算： (1)x，y，z的值． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)18 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了非负数的性质，有理数加法运算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． （1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出方程，即可解出、、的值； （2）将（1）中求出的、、的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得，，； （2）解：当，，时， ． 【应用七】有理数的计算问题 【例题1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：（1） ；    （2） ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则成为解题的关键． （1）先算出等式的右边，然后再利用加数与和的关系即可解答； （2）先算出等式的左边，然后再利用加数与和的关系即可解答． 【详解】解：（1）等式的右边：，则所求的加数为：； 故答案为：． （2）等式的右边：，则所求的加数为：； 故答案为：． 【例题2】．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）设是实数，则的最小值为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义，画出数轴，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，在数轴上画出实数分别对应的点A、B、C、D、E，如图所示，设x对应动点P， 则根据绝对值的几何意义，得   因此，当时，取得最小值为6． ， 故答案为：6． 【例题3】．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）若，，且，那么的值是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】此题考查了有理数的加法及绝对值，根据绝对值的意义确定出与的值，即可求出的值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， 则或， 故答案为：或． 【例题4】．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试），这个算式结果的整数部分是 ． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，将原式化为，再进行计算即可． 【详解】解： ， ∴算式结果的整数部分是7， 故答案为：7． 【例题5】．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）A，B是自然数，并且，那么 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题关键．先通分计算得出，即得出等量关系，再根据A，B是自然数，即得出，，即得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵A，B是自然数， ∴，， ∴． 故答案为：9 【例题6】．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【例题7】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、求一个数的绝对值 【分析】（）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）将分数化为带分数，进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）将化为，进行计算即可得； （）通分进行计算即可得； （）先直接计算，再去绝对值即可得； （）将化为，进行计算即可得； （）先去绝对值，再进行计算即可得； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； （9）解：原式 ； （10）解：原式 ； （11）解：原式 ， ； （12）解：原式 ． 【例题8】．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)100 (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】（1）根据有理数加法法则进行计算即可； （2）根据有理数加法法则进行计算即可； （3）根据有理数加法法则进行计算即可； （4）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （5）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （6）先计算绝对值，再按照加法法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数的加法运算．两个有理数相加时，直接运用加法法则进行计算即可，多个有理数相加时可以运用加法的交换律和结合律进行简便运算．熟练掌握有理数的加法法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【例题9】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】（）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ． 【例题10】．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）提升计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （3）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【例题11】．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，求的值． 【答案】26或4 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值和有理数的加减法，利用绝对值的定义确定a、b的可能取值，再计算的值． 【详解】解：∵，， ∴，或， ， ∵， ∴， ∴时，， ； 时，， ， ∴的值为26或4． 【例题12】．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的加法运算律，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； （2）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题13】．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （2）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （3）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （4）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题14】（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算； （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【例题15】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 【答案】(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握拆项法是解题的关键： （1）利用拆项法进行计算即可； （2）利用拆项法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 【例题16】．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）参照（1）的解题思路按照有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ， ， 故答案为：；；． （2）解：原式， ， ． 【例题17】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明定义了一种新的运算“◎”，写出一些按照“◎”运算法则进行运算的算式： ，， ，， ，． (1)计算：______；______；______． (2)计算：______．（括号的作用与在有理数运算中一致） (3)若整数满足，且，请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2) (3)或或或 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解新运算的运算性质并熟练 应用是解题的关键． （1）根据新定义运算法则进行计算即可； （2）运用新定义运算法则进行计算即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：两个非零数进行“◎”运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行“◎”运算，或任何数和0进行“◎”运算，结果为正，取这个数的绝对值； 所以，； ； ； 故答案为：；；； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：当同号时， ∵整数满足，且，， ∴或； 当中有一个为0时， ∵整数满足， ∴或， ∵， ∴或， 综上，或或或． 【例题18】．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】（）根据有理数的加法运算法则计算即可； （）根据有理数的加法运算法则和运算律计算即可； （）根据有理数的加法运算法则和运算律计算即可； （）根据有理数的加法运算法则和运算律计算即可； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ． 【例题19】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）【阅读理解】对于可以如下计算： 解：原式____________________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意． （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）， ， ， ， ， ． 【例题20】（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）根据加法的运算律进行简便运算， (1)将图中过程补充完整： __________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四 (2)如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号） ①加法结合律；②加法交换律 (3)仿照图中的方法，简便计算：． 【答案】(1)， (2)②，① (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数加法运算及加法运算律． （1）根据图中过程结合有理数加法运算法则补充即可； （2）根据有理数加法运算律解答即可； （3）先将分数化为小数，再利用有理数加法法则及运算律计算即可． 【详解】（1）解： ……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四； （2）解：根据有理数加法运算律可得：“步骤一”运用了②加法交换律，“步骤二”运用了①加法结合律； （3）解：原式 ． 【例题21】．（2024七年级上·北京·专题练习）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【例题22】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，． (1)求，的取值； (2)当，求的值． 【答案】(1)；； (2)或． 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】（）首先依据绝对值的定义求得、； （）结合条件，进行分类计算即可； 本题主要考查了绝对值的定义，有理数加法，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算及分类讨论思想． 【详解】（1）∵，， ∴；； （2）解：由（）得：；， ∵， ∴，，则； ，，则； ∴的值为或． 【例题23】 ．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数加法法则计算即可； （2）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （3）根据有理数加法法则计算即可； （4）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例题24】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)14 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）做带分数加法时，可将带分数化为整数和分数两部分，然后分别相加，再把结果相加，但要注意分开的整数部分和分数部分都要保留原带分数的符号； （2）正数和正数相加，负数和负数相加，再算异号两数； （3）根据加法交换率和加法结合律简便计算； （4）根据加法交换率和加法结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 【例题25】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5050 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）把相邻两个数放一起做加法得到结果为，而一共可以分成50组，据此求和即可； （2）把第1个数和最后1个数相加得到101，第2个数和倒数第2个数相加得到101，第3个数和倒数第3个数相加得到101，据此可得一共有50个101求和，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题26】．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，； （2）解： ． 【例题27】．（23-24七年级上·北京·阶段练习）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题有理数的加法，根据加法交换律和结合律将原式转化为，根据同分母、异分母加法运算法则进行计算即可．掌握相应的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】解： ． 【例题28】．（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ ， ． ， ． ， ． 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______．任何数同0进行“※”运算，都得______． 【运用】 (2)计算：； (3)化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】(1) 绝对值相加 这个数的绝对值 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】（1）根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． （2）先计算括号里，再计算括号外面的解答即可； （3）分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解新运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值． （2）解：． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 题型二：有理数加法中的符号问题 【例题2-1】．（2023七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【例题2-2】．（23-24七年级上·全国·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【难度】0.94 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【例题2-3】．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则 0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【难度】0.94 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 【例题2-4】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【例题2-5】．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 【例题2-6】．（24-25七年级上·云南昭通·期中）如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较、有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，绝对值的含义，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据题目条件分析出，，且，再进一步即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，，且， ∴，， ∴． 故选：D． 【例题2-7】．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了点在数轴上的计算问题，根据a、b在数轴上的位置，可知，由此可对选项逐一进行判断． 【详解】解：A．由数轴图可知，故A选项错误，不符合题意； B．由数轴图可知，，故，故B选项正确，符合题意； C．由数轴图可知，故C选项错误，不符合题意； D．由B选项知，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【例题2-8】．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 【例题2-9】．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】此题主要考查了有理数的新定义运算，正确运用公式是解题关键． 根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 【例题2-10】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【例题2-11】．（24-25七年级上·全国·课后作业）若数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则是（  ）    A．正数 B．0 C．负数 D．都有可能 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题结合数轴考查了有理数的加法法则，体现了数形结合的思想，熟练掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． 先根据数轴发现异号，再进一步比较其绝对值的大小，然后根据有理数的加法运算法则确定结果的符号．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号． 【详解】解：由图可知：． 则， 故选：C． 【例题2-12】．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数加法中的符号问题、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 【例题2-13】．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 【例题2-14】．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 【例题2-15】（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法中的符号问题 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 【例题2-16】．（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正数，则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案． 【详解】解：∵两数和为正数， ∴绝对值大的数的符号为正， 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算法则，熟知两数相加时，符号取绝对值大的数的符号是解题的关键． 【例题2-17】．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．100 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数加法中的去括号法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：A． 【点睛】本题考查有理数的加法，解答的关键是熟知去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号；去括号，看符号：是正号，不变号；是负号，全变号． 【例题2-18】．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，三个数中必然会有负数，即，，三个数中至少有一个负数， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【例题2-19】（22-23七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数加法运算、有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 【例题2-20】．（22-23七年级上·四川乐山·期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数加法计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意； B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意； C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意； D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数加法计算，熟知两个有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号是解题的关键． 【例题2-21】．（22-23七年级上·福建福州·期中）已知有理数a，b满足条件：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据可得a，b异号，且负数的绝对值较大，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴a，b异号，且负数的绝对值较大， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型三：有理数加法在生活中的应用 【例题3-1】．（22-23七年级上·四川成都·期中）巴黎与北京的时差为时，如果北京时间是月日，那么巴黎时间是（　　） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】用加上时差，再根据有理数的加法运算求解，然后解答即可． 【详解】解：∵， ∴如果北京时间是月日，那么巴黎时间是月日 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法，理解时差的正、负的意义是解题的关键． 【例题3-2】（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元） 则最终结果收入6元应表示为， 故选：B 【例题3-3】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，熟练掌握正负数的实际应用和有理数加法运算法则是解题的关键． 根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可得解． 【详解】解：， 即小华当天微信收支的最终结果是收入元， 故选：C． 【例题3-4】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把这些数用据比较大小，然后进行计算即可； 【详解】解：∵ ∴ ∴这10名学生中的最小体重是 故选：B． 【例题3-5】．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）某地一天早晨的气温是，到了中午，气温上升了，则中午的气温是（    ） A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查正负数的定义，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键．根据正负数的实际意义进行解题即可． 【详解】解：， 故某地一天早晨的气温是℃，到了中午，气温上升了10℃，则中午的气温是8℃． 故选C． 【例题3-6】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存（   ）吨 A．413 B．414 C．415 D．416 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加法运算，利用有理数的加法运算是解题的关键． 根据有理数的加减法运算，可得答案． 【详解】解：吨， 故本周五天后这种小麦库存415吨， 故选：C． 【例题3-7】．（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律探究，解题关键是发现规律，本题的规律是第n个图形有个圆圈． 【详解】解：第①个图形中一共有个圆圈； 第②个图形中一共有个圆圈； 第③个图形中一共有个圆圈； 第⑦个图形中一共有个圆圈； 故选：B ． 【例题3-8】．（2025·北京海淀·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【答案】 （答案不唯一） 200 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 【例题3-9】．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共10张牌挑出，打乱顺序后随机地发给了甲、乙、丙、丁、戊五名同学，每人各两张牌．并要求其中四位同学将手中两张牌的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11，乙：4，丙：17，戊：7，则戊的两张牌上的数字是 ，丁的两张牌上的数字是 ． 【答案】 和； 和； 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，理解题意，找出逻辑关系是解题关键．先求出丁同学的两张牌的数字之和，再把五名同学的所有可能情况罗列出来，以乙的两张牌为突破口逐一破解即可． 【详解】解：由题意可知，一共有10张牌，五名同学每人各两张牌，数字不重复， 五名同学10张牌的和为，甲、乙、丙、戊四名同学的牌数字之和为， 丁同学的两张牌的数字之和为， 由甲：11可知，甲的两张牌上的数字可能是和、和、和，和、和； 由乙：4可知，乙的两张牌上的数字只能是和； 由丙：17可知，丙的两张牌上的数字可能是和、和； 由丁：16可知，丁的两张牌上的数字可能是和、和； 由戊：7可知，戊的两张牌上的数字可能是和、和、和； 综上可知，乙的两张牌上的数字是和；戊的两张牌上的数字是和；甲的两张牌上的数字是和；丙的两张牌上的数字可能是和；丁的两张牌上的数字可能是和； 故答案为：和；和； 【例题3-10】．（24-25七年级上·北京顺义·期末）某校学生参加社会大课堂活动，来到艺术品工作坊，老师让每两个同学组成一组，共同制作A，B，C三件工艺品．制作要求：每人同一时间只能制作一件工艺品；每件工艺品需先由甲进行塑形，再由乙进行上色．甲、乙两位同学合作完成三件工艺品，已知每位同学完成每件工艺品各自工序需要的时间（单位：）如下： A B C 甲 6 4 3 乙 4 7 5 （1）若按照的顺序制作，总时长最少为 ； （2）若要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，请写出一种满足条件的制作顺序 ． 【答案】 22 （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加法的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． （1）根据题目所给的顺序制作，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按照的顺序制作，总时长最少为． 故答案为：22； （2）由（1）得，按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，满足条件的制作顺序为或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 【例题3-11】．（24-25七年级上·北京·期中）首师朝阳教育集团在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需、七个步骤，种植要求如下：①步骤须在步骤完成后进行，步骤须在步骤都完成后进行，步骤须在步骤都完成后进行；②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；③各个步骤所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟． 步骤 所需时间分钟 10 10 8 10 8 11 3 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据种植要求得出种植步骤是解题的关键． 将所有步骤需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B；然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G；最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，然后可得答案． 【详解】解：由题意，得：(分钟)， 即：一名学生单独完成需要分钟， 假设这两名学生为甲、乙， ∵步骤C，D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B，D都完成后进行，且步骤A，B都需要10分钟完成， ∴甲学生先做步骤A，乙学生同时做步骤B，需要10分钟，然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G，需要11分钟，但此时甲同学后面多1分钟剩余，则甲学生做步骤F过程中，1分钟后乙学生同时做步骤E，还需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要(分钟)， 故答案为：60，31． 题型四：有理数加法运算律 【例题4-1】．（16-17七年级上·浙江衢州·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【例题4-2】（2024七年级上·全国·专题练习）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数加法的运算律进行判断即可． 【详解】解：由题，可知，计算运用了加法交换律与加法结合律； 故选：C． 【例题4-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）是应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与加法结合律 D．以上说法都不对 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数加法的运算律进行判断即可． 【详解】解：由题，可知，计算运用了加法交换律与加法结合律； 故选C． 【例题4-4】．（2024七年级上·全国·专题练习）这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】解：这个运算中运用了加法的结合律和交换律， 故选：C． 【例题4-5】．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算时，■中可以填入的使该题用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．根据有理数的加法法则逐个判断即可． 【详解】解：观察分母，在计算时，中选可以使该题可以用简便方法， ， 而其它数都不能用简便方法， 故选：D． 【例题4-6】．（2024七年级上·云南·专题练习）在计算时，■中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．根据有理数的加法运算法则判断，即可解题． 【详解】解：与同分母，且和为整数， 即 ； ■中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为， 故选：D． 【例题4-7】．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运 用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，根据加法交换律和加法结合律即可求解，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：． 【例题4-8】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算律、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数加法运算，利用结合律恒等变形，逐个求解即可得到简便运算方法，熟练掌握有理数加法运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【例题4-9】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 【详解】解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 【例题4-10】．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的和为3，据此分组计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法及其运算律，发现各项之间的规律是解题的关键． 【例题4-11】．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为−7，则最后输出的数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：依题意，输出结果为：， 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则和加法运算律是解题的关键． 【例题4-12】（24-25七年级上·湖北咸宁·期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【答案】(1)守门员最后回到球门线上； (2)守门员离开球门线的最远距离达米； (3)对方球员有3次挑射破门的机会． 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数大小比较、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数的大小比较，理解题意是解题关键． （1）将守门员的跑动情况记录相加，即可得到答案； （2）分别求出每次跑动距离球门的距离，比较大小后取最大值即可； （3）结合（2）的结果，找出守门员离开球门线的距离超过10米的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 即守门员最后回到球门线上； （2）解：第一次跑动：， 第二次跑动：， 第三次跑动： 第四次跑动： 第五次跑动： 第六次跑动： 第七次跑动： 第八次跑动：， ， 守门员离开球门线的最远距离达米； （3）解：由（2）可知，在这一时间段内，守门员离开球门线的距离超过10米的情况有3个， 则对方球员有3次挑射破门的机会． 【例题4-13】．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）为了有效监管酒后驾驶，某位交警开车在一条东西方向的公路上巡逻，以A地作为出发点，规定向东为正方向，则交警的行车记录（单位：）如下：． (1)请你帮忙确定该交警最后停车时的所在地相对于A地的方向和距离； (2)已知该交警所开汽车每千米耗油，若该交警接到命令需要马上返回出发点，则这次巡逻（含返回路程）共耗油多少升？ 【答案】(1)交警最后所在地在地的东方20千米处 (2)这次巡逻（含返回））共耗油升 【难度】0.65 【知识点】绝对值的其他应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，考核学生的应用意识，第（2）问中求绝对值的和是解题的关键． （1）把这些数值相加，结果为正，在东方，反之在西方； （2）不论向那边走，都要耗油，所以与方向无关，算这些数的绝对值的和加上返回的20千米即为所走的路程，进而求出耗油量． 【详解】（1）解：千米， 答：交警最后所在地在地的东方20千米处． （2）千米， 千米， 答：这次巡逻（含返回））共耗油升． 【例题4-14】．（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（正号表示客流量比前一天增加，负号表示客流量比前一天减少，9月30日本市客流量是61万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 (1)与9月30日相比，10月7日的客流量是增加了还是减少了，变化了多少？ (2)请算出10月2日的客流量． 【答案】(1)与9月30日相比，10月7日的客流量是增加了，增加了18万人 (2)78万人 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用： （1）把这七天的人数变化情况相加，结果取绝对值即为人数的变动情况，若结果为正，则与9月30日相比客流量增加了，若结果为负，则与9月30日相比客流量减少了，若结果为0，则与9月30日相比客流量不增不减； （2）用9月30日的客流量分别加上10月1日和10月2日的客流量变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解： 万人， ∴与9月30日相比，10月7日的客流量是增加了，增加了18万人； （2）解：万人， ∴10月2日的客流量为78万人． 【例题4-15】．（23-24七年级上·陕西安康·期中）已知某粮库已存有粮食吨，某周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正，运出为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 进出粮食吨 (1)通过计算，说明这周内哪天粮库剩余的粮食最多，是多少？ (2)若运进的粮食为购进的，购买的价格为每吨元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨元，则这一周的利润为多少元？ (3)若每周平均进出的粮食数量大致相同（误差忽略不计），则再过几周粮库存的粮食可达到吨？ 【答案】(1)星期六剩余的粮食最多，是吨 (2)元 (3)周 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（）根据正负数的意义算出每天的剩余的粮食即可判断求解； （）根据利润销售总额购进成本列出算式计算即可求解； （）用（一周前存有粮食吨数）每周平均进出的粮食数量列式计算即可求解； 本题考查了正负数的意义，有理数加减、混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：星期一：（吨）， 星期二：（吨）， 星期三：（吨）， 星期四：（吨）， 星期五：（吨）， 星期六：（吨）， 星期日：（吨）， 答：星期六剩余的粮食最多，是吨； （2）解： （元）， 答：这一周的利润为元； （3）解： ， ， 答：再过周粮库存的粮食可达到吨． 【例题4-16】．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下： (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为，则这天下午小王的车共耗油多少升? (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过公里，收费元，超过公里的部分，按每公里元收费，则这天下午小王营运收入共多少元？ 【答案】(1)公里 (2)升 (3)元 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（）把各数相加即可求解； （）根据绝对值的意义求出总里程，再乘以每公里耗油量即可求解； （）分别求出每趟的收费，再相加即可求解； 本题考查了有理数加法、混合运算的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地公里远； （2）解：， 答：这天下午小王的车共耗油升； （3）解：第一趟收费元， 第二趟收费元， 第三趟收费元， 第四趟收费元， 第五趟收费元， 第六趟收费元， 第三趟收费元， ∴这天下午小王营运收入共元． 【例题4-17】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【例题4-18】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】50 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】此题主要考查了加减法中的巧算问题，通过观察，发现两两搭配在一起，可以得出组相同的数，然后再相加即可． 【详解】解： ． 【例题4-19】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【例题4-20】．（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【例题4-21】．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，例子见解析 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． 【详解】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用. 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 【例题4-22】．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （4）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【例题4-23】．（2024七年级上·全国·专题练习）利用加法运算律简便运算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查有理数加法运算： （1）利用加法交换律和结合律进行简算即可； （2）利用加法交换律和结合律进行简算即可； （3）利用加法交换律和结合律进行简算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【例题4-24】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握加法运算法则是解题关键． （1）利用加法交换律和结合律计算即可解题； （2）利用加法交换律和结合律计算即可解题． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 【例题4-25】．（19-20七年级上·山东青岛·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】（1）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可． 本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键．注意运用加法运算律简便运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题4-26】．（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可； （2）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题4-27】．（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【例题4-28】（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律进行计算是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （2）化简绝对值，然后利用加法交换律和加法结合律进行计算； （3）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （4）利用加法交换律和加法结合律进行计算． 【详解】（1）解： = = =； （2）解： = = = =； （3）解： = = =； （4）解： = = = 题型五：有理数的减法运算 【例题5-1】．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 【例题5-2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 【例题5-3】．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：当时，，，，故A不符合题意； 当时，，，，故B不符合题意； 当时，，，，故C不符合题意； 当时，，，，故D符合题意； 故选：D． 【例题5-4】（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数大小比较、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴与有理数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则和大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，故错误， ∵，，， ∴，故正确，错误， 故选：． 【例题5-5】．（2025·辽宁大连·一模）若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数大小比较、有理数的定义 【分析】本题主要考查了运用有理数的概念、有理数加减运算、有理数的大小比较等知识点，掌握有理数的加减运算法则成为解题的关键． 根据有理数的概念与运算法则进行比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴中最大的一个数是． 故选：A． 【例题5-6】．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）数轴上点表示的数是，点与点在数轴上相距4个单位长度．则点表示的数是（    ） A． B．1 C．或1 D．或7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减，关键是分点B在点A的左侧和右侧分别求解． 分点B在点A的左侧和右侧求解即可． 【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B表示的数是， 当点B在点A的右侧时，点B表示的数是， 故选：C． 【例题5-7】．（24-25七年级上·河北保定·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数中绝对值最大的数是c B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，化简绝对值，有理数的减法运算，由数轴可知，，，则，，再由相反数的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∵a与c互为相反数， ∴ ∴a、b、c三个数中绝对值最大的数是， ，，， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 【例题5-8】．（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、相反数的定义 【分析】本题考查了有理数的加法法则、相反数、减法法则．首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：A选项：，不一定是正数，故A选项错误； B选项：，，一定是正数，故B选项错误； C选项：，，，不一定是负数，故C选项错误； D选项：，，，又，，，一定是正数，故D选项正确． 故选：D． 【例题5-9】．（24-25七年级上·湖南常德·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，有数轴可得，，逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，． ∴选项ABC的结论正确，选项D的结论错误． 故选：D 【例题5-10】．（24-25七年级上·新疆哈密·期末）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数的大小关系；熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、是解决本题的关键．根据数轴得，，然后依次进行判断即可． 【详解】解：根据数轴得， A、由图可知，，，得， 故此选项不符合题意； B、由图可知，，故选项不符合题意； C、由图可知，，，得，故选项不符合题题意； D、由图可知，，，，得，故选项符合题意； 故选：D． 【例题5-11】．（24-25七年级上·河北唐山·期末）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查正负数，有理数加法应用，解题的关键是正确理解有理数的加法法则，本题属于基础题型． 根据向左（负方向）移动7个单位长度记作，向右移动2个单位长度记作，有理数的加法意义列式计算即可． 【详解】解：由题意，得 故选：C． 【例题5-12】．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，数轴上的六个点满足，则在点A、B、C、D、E、F对应的数中，最接近的点是（   ） A．点E B．点D C．点C D．点B 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数大小比较、有理数的减法运算 【分析】根据数轴上两点间的距离求出，然后求出的长度，再求出、、表示的数，然后确定出与接近的点即可． 【详解】解：由图可知，， , ， 点表示的数是， 点表示的数是， 点表示的数是， ∵， 最接近的点是点， 故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴以及线段等分点的定义，有理数的大小比较，有理数的加减运算等知识点，熟练掌握数轴上两点间距离的求解并能灵活运用是解决此题的关键． 【例题5-13】．（24-25七年级上·重庆大足·阶段练习）若，且，那么的值是 （     ） A． B． C．或 D．或 5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查有理数的加法，有理数的减法，绝对值，由绝对值的定义可得，结合，可确定x，y的取值，再利用有理数减法法则计算可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 【例题5-14】．（24-25六年级上·山东淄博·期中）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的减法运算 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减运算等知识点，熟练掌握绝对值的化简和有理数加减运算法则是解题的关键． 根据有理数加减运算法则以及绝对值的知识逐项判断即可解答． 【详解】解：A. ，故A正确，符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. ，故C错误，不符合题意； D. ，故D错误． 故选：A． 【例题5-15】．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数m与数n在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴，绝对值和有理数的加法，由数轴可知，，再进行判断即可． 【详解】解：根据数轴可知，， 所以，，， 所以，即， 选项A结论不正确，符合题意． 故选：A． 【例题5-16】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）当，，且，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法运算，确定有两种情况：分别进行计算即可求解． 【详解】解：，， ，， ， 时，或时，； 当，时， ； 当，， ； 的值为或． 故选：B． 【例题5-17】．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法中的符号问题、绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查数轴，有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．先根据a、b两点在数轴上的位置确定出a，b，符号及大小，再根据有理数的加减运算法则逐项进行解答即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ， 、，， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项符合题意； 、， ，故本选项不符合题意； 故选：． 【例题5-18】．（2025七年级下·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减法，先化简绝对值，然后根据有理数的加减法则计算，最后逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，但不符合题意； B．，故原计算正确，但不符合题意； C．，故原计算正确，但不符合题意； D．，故原计算错误，符合题意； 故选：D． 【例题5-19】．（2025·吉林长春·一模）下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 根据有理数加减法法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【例题5-20】．（2025·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【例题5-21】．（2025·安徽淮北·三模）下列各数中，比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的加减运算． 有理数大小比较的法则∶正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解∶ A．， 比小1，故符合题意； B．， 比大1，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选∶A． 【例题5-22】．（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各式运算结果不为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意； 故选：D． 【例题5-23】．（2025·天津·二模）计算的结果等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 【例题5-24】．（2025·山西临汾·二模）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键； 根据有理数减法法则计算即可求解； 【详解】解：； 故选：D 【例题5-25】．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 【答案】 4 1 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，求出，再进行减法运算即可； （2）根据新运算的法则，求出，再根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：4； （2）， 由绝对值的意义，可知：表示数轴上表示数的点到数的距离之和， ∴当在之间（包括两个端点）时，的值最小为：； 故答案为：1． 【例题5-26】．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则的值为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值、有理数的减法，熟练掌握绝对值的意义，有理数的减法计算法则是解题的关键．由可得，，再分类计算的值即可． 【详解】解：，， ，， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【例题5-27】．（24-25七年级上·江苏·期末）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“”的运算法则计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：． 【例题5-28】．（24-25六年级上·山东烟台·期中）点、、在同一条数轴上，其中点、表示的数分别为、1，若点与点的距离是2，则点与点的距离为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴上两点距离，有理数的减法的应用．分类讨论，然后根据两点间的距离进行计算即可． 【详解】解：当点表示的数在数轴的正半轴上，若点与点的距离是， 故点表示的数为， 则点与点的距离为． 当点表示的数在数轴的负半轴上，若点与点的距离是， 故点表示的数为， 则点与点的距离为． 故答案为：或． 【例题5-29】．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键．根据，可得点C在点A，B之间，从而得到A，B间的距离为2，再由，可得A、D两点间的距离为，然后分两种情况讨论：当点D在点A的左侧时，当点D在点A的右侧时，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点C在点A，B之间，且点A，C两点间的距离为1，B，C两点间的距离为1， ∴A，B间的距离为2， ∵， ∴， 即A、D两点间的距离为， 不妨设， 当点D在点A的左侧时，线段的长度为； 当点D在点A的右侧时，线段的长度为； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【例题5-30】．（24-25七年级上·山东·期末）已知点，，在同一条数轴上，其中点，表示的数分别为，，若，则 ． 【答案】6或2/2或6 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键．分点C在点B的右侧和点C在点B的左侧两种情况计算． 【详解】解∶∵表示的数，， ∴当点C在点B的右侧时，点C表示数的数为； 当点C在点B的左侧时，点C表示数的数为， 又A表示的数为， ∴或， 故答案为：6或2． 【例题5-31】．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）已知，，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】此题考查了有理数的加减法，绝对值的非负性，由且，而，可知，进而求得，的值即可求解． 【详解】解：∵且，而，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【例题5-32】．（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）（1）已知，，则的值为 ． （2）若，，且，则 ． 【答案】 2或 或 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题关键在于掌握其性质：一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． （1）根据绝对值的意义求出的值，然后代入计算即可． （2）根据绝对值的性质求出、的值，然后代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∴或． 故答案为：或． （2）∵，． ∴或；或． 又∵， ∴，或． ∴或． 故答案为：或． 【例题5-33】．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 【答案】(1)3； (2)，0，1，2； (3)1； (4)有最小值，最小值为7，x的整数解，0，1 【难度】0.4 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数的减法运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义求解； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示和两点之间的距离是3， 故答案为：3； （2）解：根据绝对值的定义，可表示为x到与2两点距离的和， 根据绝对值的几何意义知， 当x在的左边时，x到2的距离大于，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， 当x在与2之间时，x到与2两点距离的和为3， 当x在2的右边时，x到的距离大于3，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， ∴当x在与2之间时，有最小值3，x的整数解为：，0，1，2， 故答案为：，0，1，2； （3）解：∵ ∴可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， 由（2）知：当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，的最小值为0， ∴当时，有最小值为3， 故答案为：1； （4）解：表示x到，，1，2这四个点的距离之和． 令， 时，， 时，， 时，， 时，， 观察数轴， 当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综合以上： 即有最小值，最小值为7．x在和1之间时取最小值，x的整数解是：，0，1． 【例题5-34】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 【答案】的值为或 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数大小比较、绝对值的几何意义 【分析】此题考查绝对值的计算，有理数加减法计算法则，正确理解绝对值的计算是解题的关键，根据绝对值定义得到a，b的值，代入计算加减法即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或， ∵, ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 【例题5-35】．（24-25七年级上·山西长治·期中）数轴上点的位置如图所示． 观察数轴，解答下列问题： (1)点表示的有理数为______；表示有理数“”的点是点______，两点之间的距离为______个单位长度． (2)在数轴上用点分别表示出有理数和． (3)将表示的四个有理数用“”连接的结果为______． (4)这五个点表示的数中绝对值最小的点为点______． 【答案】(1)4；B；5.5 (2)图见解析 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查数轴与有理数： （1）根据点在数轴上的位置，以及两点间的距离公式进行作答，求解即可； （2）在数轴上表示出点即可； （3）根据数轴上的点表示的数右边比左边的大判断即可； （4）根据绝对值的意义，结合数轴进行判断即可． 【详解】（1）解：由图可知：点表示的有理数为，表示有理数“”的点是点； 两点之间的距离为； 故答案为：4；B；5.5 （2）在数轴上表示点，如图： （3）由图可知：； （4）由图可知，点到原点的距离最小， ∴绝对值最小的点为点． 【例题5-36】．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，且a与b互为相反数： (1)判断正负：a______0，_______0，______0； (2)已知，求的值． 【答案】(1)＞；＜；＜ (2)8 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，然后利用有理数的减法进行计算，即可解答； （2）根据相反数的意义可得，可知，然后把字母的值代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可得, ∴，，． 故答案为：＞；＜；＜； （2）∵，， ∴， ∵a与b互为相反数， ∴， ∴ ∵且， ∴， ∴， 答：的值为8． 【例题5-37】．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）： ①______； ②______； ③______； ④______． （2）通过以上比较，请你分析、归纳出，当，为有理数时，与的大小关系．（直接写出结论即可） （3）根据（2）中得出的结论，当时，求的取值范围． 【答案】解：（1）①② ③④；（2）（3） 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、有理数大小比较、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查有理数的运算，化简绝对值： （1）分别进行计算后，比较大小即可； （2）根据（1）中结果进行归纳即可； （3）根据（2）中结论进行判断即可． 【详解】解：（1）①，， ∴； ②，， ∴； ③，； ； ④， ∴． （2）由（1）知：当，异号时，， 当，同号或其中有一个加数是0时，，所以； （3）由（2）中得出的结论可知，与同号或，当， 故的取值范围是非正数，即：． 【例题5-38】．（2024七年级上·云南·专题练习）学习情境·阅读理解 阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． 根据上述材料，回答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； (2)借助数轴解决问题：如果，那么______； (3)可以理解为数轴上表示的点到表示______和______这两个点的距离之和，则的最小值是______． (4)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)或 (3)，1，3 (4)有最小值，最小值为9 【难度】0.65 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查绝对值的意义． （1）根据两点间的距离求法直接求解即可； （2）由题意知，或，即可求解； （3）由题意可得，表示x轴上点到点和1的距离之和，且最小值为3； （4）由题意可得，可以理解为数轴上表示的点到4和这两个点的距离之和，有最小值． 【详解】（1）解：2和5的两点之间的距离是，1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （3）解：表示x轴上点到点和1的距离之和， ∴的最小距离是3， 故答案为：，1，3． （4）解：可以理解为数轴上表示的点到4和这两个点的距离之和， ∴当在数轴上表示的点在表示和4（包括和4）的点之间时，取得最小值，最小值为9． 【例题5-39】．（2024七年级上·全国·专题练习）比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算、有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据与的大小得出结论即可； （2）根据与的大小得出结论即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ． 【例题5-40】．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)当取最小值时，可以取整数______； (3)当_____时，的值最小，最小值为____； 【答案】(1) (2)，0，1 (3)，7 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离计算，有理数加减计算： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，而当时，有最小值0，则当时，有最小值，据此求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：表示数轴上表示数x的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴x可以取整数，0，1． 故答案为：，0，1； （3）解：表示数轴上表示数x的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：，7． 题型六：有理数减法的实际应用 【例题6-1】．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，是市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了统计图，根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案． 【详解】解：从图中可以看出，这一天中最高气温是，最低气温是， ∴这一天中最高气温与最低气温的差为， 故选：C． 【例题6-2】．（2025·湖南娄底·二模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 【例题6-3】．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是年元月日 B．巴黎是年元月日 C．东京是年元月日 D．上海是年元月日 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，熟练掌握有理数加减法则是解题的关键； 根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解； 【详解】解：A、纽约与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为：年元月日， 时间表示正确，不符合题意； B、巴黎与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为巴黎是年元月日， 时间表示错误，符合题意； C、东京与北京的时差为， ， 故东京此时时间为年元月日， 时间表示正确，不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是年元月日， 时间表示正确，不符合题意； 故选：B 【例题6-4】．（24-25七年级上·河南南阳·期中）数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为2和6． 目的 由于，两点位置不确定，故a与b的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当，两点都在原点右侧时，求的值； （2）当点在点左侧时，求的值． 【答案】（1）8；（2）或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的加减，熟练掌握运算法则，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据当，两点都在原点右侧时得出，，再相加即可得解； （2）根据当点在点左侧时，即，得出，，再分别计算即可得解． 【详解】解：∵数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为2和6， ∴，， ∴，， （1）当，两点都在原点右侧时，即，， ∴，， ∴； （2）当点在点左侧时，即， ∴，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为或． 【例题6-5】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)17；152 (2)160厘米 (3)青蛙在第18次跳出了井口 【难度】0.65 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解； （2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处， 故答案为：17，152； （2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米． （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：（厘米）， ∵ ∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口， ∴青蛙在第18次跳出了井口． 题型七：有理数的加减混合运算 【例题7-1】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.4 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先将带分数拆成整数和分数两部分，然后利用加法的交换律和结合律，整数和整数相结合，同分母分数相结合，进行计算即可． （3）将带分数转化为假分数再进行有理数加减乘除运算即可； （4）乘方后，计算小括号部分，再运算乘除即可； （5）将带分数转化为假分数再进行有理数乘除运算即可； （6）先计算前两项，再与后一项运算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握分数与小数的转化是关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【例题7-2】．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)30 (2)17 (3) (4) (5) (6) 【难度】0.4 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】（1）根据有理数加减运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 【例题7-3】．（22-23七年级上·广东惠州·期中）观察下面算式，解答问题： ； ； …… (1)的结果为______________； (2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示的值为_____________； (3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细解答过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）通过上面的数据观察可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方，计算即可； （2）用（1）的猜想写出结果； （3）先把原式化为，再利用前面猜测的结论去计算； 【详解】（1）解：； ； ； ； ； 依次可得，， 故答案为： （2）解：； ； ； ； ； ； 故答案为： （3） 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、整式加减、规律型数字的变化类，熟练掌握有理数的加减法运算法则，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方的猜想是解题关键． 【例题7-4】．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把加减混合运算转化为有理数的加法运算，把小数转化为分数，再利用加法交换律和结合律，把分母相同的数结合在一起，可得：原式，利用有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： 【例题7-5】．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数加法运算，有理数加减混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据有理数加法运算法则进行计算求解，即可解题； （2）根据有理数加法运算法则进行计算求解，即可解题； （3）根据有理数加减混合运算法则进行计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【例题7-6】．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【例题7-7】．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据加法交换律和结合律以及有理数的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题7-8】．（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，解题的关键是掌握有理数的加减计算法则． 根据有理数的加减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【例题7-9】．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）列式并计算： (1)，，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大多少？ (2)设表示不超过的最大整数，例如：，，求的值； 【答案】(1)20； (2)． 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较和混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解答本题的关键． （1）分别求出绝对值的和与和的绝对值，两者相减即可； （2）根据规定，先化简，再根据有理数加减混合运算法则运算即可． 【详解】（1）解：，，的绝对值的和为：， ，，代数和的绝对值为：， ，，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大：． （2）解：根据题意可得 ． 【例题7-10】．（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【答案】（）；；；（）；． 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】（）根据题意可知，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； （）根据题意可去绝对值得到，由有理数加减运算法则求解即可； 根据题意，去绝对值时，用大数减去小数，逐一去绝对值求解即可； 本题主要考查了有理数的加减计算，去绝对值，正确理解题意，掌握去绝对值的方法是解题的关键． 【详解】解：（）； ； ； 故答案为：；；； （）解：原式 ， 故答案为：； 解：原式 ． 【例题7-11】．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)1 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）根据有理数加法运算法则进行计算； （2）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算； （4）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题7-12】．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）阅读材料： 因为一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如；当时，，如． 根据以上信息完成下列问题： (1)___________；___________； (2)计算：． 【答案】(1)2； (2) 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减混合计算： （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）先根据绝对值的意义去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：；， 故答案为：2；； （2）解： ． 【例题7-13】．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查化简绝对值及有理数的加减混合运算，掌握有理数加减运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再计算加减； （2）先化简绝对值，再利用加法结合律和加法交换律进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题7-14】．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解题：求的值可用下面的两种方法： 方法一：（按法则进行运算）：． 方法二：通过画图发现的值等于1减去图中阴影部分的面积，即得． 方法三：由图得到启发，求：，，，于是得． (1)请你模仿上述任意两种方法求的值； (2)用合理的方法计算：； (3)用合理的方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法运算等知识点，模仿题中的方法正确列式计算是解题的关键． （1）模仿题中的三种方法任选两种方法进行计算即可求解； （2）模仿题中的方法二求解即可； （3）将原式变形为，然后模仿题中的方法三求解即可． 【详解】（1）解：用方法二计算：原式， 用方法三计算：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【例题7-15】．（24-25六年级上·山东威海·期中）（1）计算下列各式，将结果直接写在横线上： __________，__________； __________，__________； __________，__________ （2）将（1）中每行计算的结果进行比较，利用你发现的规律计算： 【答案】（1），（2） 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】此题考查的是绝对值及有理数的减法，掌握绝对值性质及有理数减法法则是解决此题关键． （1）利用有理数的减法法则和绝对值的意义运算即可； （2）利用（1）中的结论对绝对值进行化简运算即可． 【详解】解：（1）解：，， ，， ，， 故答案为：； （2） ． 【例题7-16】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）若，且． (1)填空： 0， 0；（填“”或“”） (2)求的值． 【答案】(1)， (2)或1 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，非负性，有理数的加减运算： （1）根据绝对值的非负性，进行判断即可； （2）求出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， （2）由（1）可知：， ∴或． 【例题7-17】．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 【尝试应用】根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： （1）______； （2）______； 【深入研究】有理数、在数轴上的位置如图所示，则______； 【解决问题】用简便的方法计算： 【答案】[尝试应用]（1）；（2）； [深入研究]；[解决问题] 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，有理数的加减混合运算，数轴； （1）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可； [深入研究]根据数轴中，的位置得出，，且，进而推出，根据绝对值的性质化简得出答案； [解决问题]利用绝对值的性质化简，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】[尝试应用]（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． [深入研究] 根据数轴中，的位置得出，，且， ，，， ； 故答案为：； [解决问题]解：原式 ． 【例题7-18】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、倒数 【分析】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的定义，代数式求值，解题时注意分情况讨论． 先分别根据相反数、倒数、绝对值的定义求出，，m的值，再代入即可． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是2， ∴，，， 当时，原式=， 当时，原式=， 综上，的值为1或， 故选：D． 【例题7-19】．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）对于一个三位自然数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若百位数字与个位数字的和与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“和差一数”．若百位数字与个位数字和的两倍与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“倍差一数”．例如：自然数463，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以463是“和差一数”；自然数392，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以392是“倍差一数”，则最小的“和差一数”为 ；若“和差一数”s的百位数字为3，“倍差一数”t的个位数字为1，且能被7整除，则满足条件的最大的s为 ． 【答案】 243 397 【难度】0.4 【知识点】有理数的加减混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，熟练掌握数的特点，理解三个数位上数字之间的关系是解题的关键．根据“和差一数”的定义求出最小数，设“和差一数”s的个位数字为a（且是整数）；“倍差一数”t的百位数字为b（且是整数）；则“和差一数”s的十位数字为；“倍差一数”t的十位数字为；由已知条件求出满足条件的a、b；从而得出结论． 【详解】解：根据“和差一数”的定义可知：“和差一数”的百位上的数字和个位上的数字不能有1；否则十位上的数字就会重复； ∴最小的和差一数的百位数字为2，个位数字为3， ∴十位数字为：， ∴最小的和差一数为243； 故答案为：243； 若“和差一数”s的百位数字为3；“倍差一数”t的个位数字为1； 设“和差一数”s的个位数字为a（且即且是整数）； “倍差一数”t的百位数字为b（且是整数）； 则“和差一数”s的十位数字为； “倍差一数”t的十位数字为； ； ； ； ； 能被7整除；且是整数， 且是整数； ∴满足条件的a、b有、、； ∴满足条件的s有：、、（舍去）； 即s可为397或364． ∴最大数为397； 故答案为：397． 【例题7-20】．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了有理数的加减，绝对值，利用有理数的加减法即可解答，熟练进行计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【拓展】有理数加减计算的动点问题 【例题7-21】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 【答案】或/或14 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长度． 分两种情况讨论：①当正方形沿数轴向右移动时，②当正方形沿数轴向左移动时根据面积为9，正方形的边长为3，求出的长再求出的长，再根据是的中点求出的长，然后由点表示的数为，从而得出结论． 【详解】∵正方形的边长为3，点表示的数为， ①当正方形沿数轴向右移动时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为； ②当正方形沿数轴向左移动时，如图， ， ， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为． 综上，数轴上点表示的数是或； 故答案为：或． 题型八：有理数加减中的简便运算 【例题8-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． 【答案】1011 【难度】0.4 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】首先根据规律可得是这一组数中的第个数，把这一组数两两分组可得组，每组数的和都是，所以可得原式，经过计算即可求出结果． 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 【例题8-2】．（22-23七年级上·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算 (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3)1 (4) 【难度】0.4 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数四则混合运算 【分析】（1）根据将原式变形为即可得到答案； （2）将原式先加上，再减去，根据有理数加减计算法则求解即可； （3）根据，利用乘法的分配律将分子变形为，由此即可得到答案； （3）根据先将括号内的式子变形为，再由进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数的相关计算法则和运算律是解题的关键． 【例题8-3】（21-22七年级上·天津和平·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.4 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律 【分析】（1）先算同分母分数，再计算加减法； （2）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （4）根据乘法分配律简便计算． 【详解】（1）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （2）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （3）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （4）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程． 【例题8-4】．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)8 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例题8-5】．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 【例题8-6】．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【例题8-7】．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法，牢牢掌握有理数的加法运算律是解答本题的关键． 根据（1）可知利用拆分法即可解答本题． 【详解】解：原式 ． 【例题8-8】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）利用加法法则计算即可； (5）（6）利用加法交换律和结合律计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【例题8-9】．（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读下面文字： 对于 可以按如下方法进行计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算律． 仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得． 【详解】解：原式 ． 【例题8-10】．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，运用加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 【例题8-11】．（2024七年级上·全国·专题练习） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】此题主要考查有理数的加减运算及简便运算，掌握实数的各种简便运算是解决本题的关键，将每个分数变成两个分数和的形式，然后进行简便运算． 【详解】解： ． 【例题8-12】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握其运算规则是解题关键．可以利用凑整法解题，从而得出答案． 【详解】解：原式 【例题8-13】．（2024七年级上·全国·专题练习）脱式计算．（能简算的要简算） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，先根据把所求式子裂项，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【例题8-14】．（24-25七年级上·广东茂名·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算解答即可． （2）根据有理数加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题8-15】．（24-25七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律及简便运算等知识，掌握运算法则是解题的关键；常见的加减法简便方法有：相加得整数的先相加，正数与负数分别相加，同分母或易于通分的先相加等； （1）第一、四项相加，第二、三项相加，最后再相加即可； （2）正数与负数分别相加，即可求解； （3）同分母的分数分别相加即可求解； （4）两个小数、两个分数分别相加即可，最后再相加； （5）互为相反数的两个数、同分母两个数及两个小数分别结合相加，最后再相加即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． 【例题8-16】．（24-25七年级上·北京房山·期中）完成计算，并补全相应步骤的运算依据． 运算依据：___________； 运算依据：___________； ___________．运算依据：异号的两个数相加，取___________的符号，并用___________． 【答案】加法的交换律；加法的结合律；；绝对值较大加数；较大的绝对值减去较小的绝对值 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．在加减混合运算中，通常将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： 运算依据：加法的交换律； 运算依据：加法的结合律； ．运算依据：异号的两个数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 故答案为：加法的交换律；加法的结合律；；绝对值较大加数；较大的绝对值减去较小的绝对值． 【例题8-17】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)9 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数加减混合运算； （1）先去括号，再利用加法交换律和加法结合律进行简便运算，最后进行有理数加减混合运算，即可求解； （2）利用加法交换律和加法结合律进行简便运算，再进行有理数加减混合运算，即可求解； 能熟练利用加法运算律进行简便运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题8-18】．（2024七年级上·全国·专题练习）数学课上张老师在多媒体上列出了如下材料： 计算：． 解：原式 ． 请仿照上面的方式计算：． 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，先把带分数化为整数加分数的形式，再把整数和整数进行加减计算，分数与分数进行加减计算，最后求和即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【例题8-19】．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算法则． （1）将符号相同的两个数分别结合为一组求解； （2）将将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解； （3）将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （4）将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题8-20】．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）先计算绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把原式变形为，再计算加减法即可； （3）先把原式变形为，再计算加减法即可； （4）先把原式变形为，再计算加减法即可． 【详解】（1）解； ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题8-21】．（18-19七年级上·浙江金华·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律 【分析】（1）由前面4个等式的规律可得第5个等式的规律，即可完成求解； （2）利用（1）中的规律即可完成求解； （3）利用（1）中规律，把每一项拆成两个分数的差的形式，即可求解． 【详解】（1）解：由前面4个等式的规律，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题是规律探索问题及其应用，考查有理数的混合运算，寻找到规律是解题的关键． 【例题8-22】．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）利用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算、两个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数加减中的简便运算 【分析】（1）利用乘法交换律计算求解即可； （2）先去括号，然后根据加法交换律进行加减运算即可； （3）根据，计算求解即可； （4）先将带分数化为假分数，利用加法结合律计算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型九：有理数加减混合运算的应用 【例题9-1】．（2025·北京·模拟预测）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间／分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和． 【详解】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为（分）； 如图所示，按照时间线，做完各自工作进入下一房间， ∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤， ∴最后一间房的后三个步骤从分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间 分钟，丙在第分钟进入最后一间房完成分钟，则最少需要分钟 故答案为：；． 【例题9-2】．（23-24九年级上·北京东城·期末）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 【答案】 86 38 【难度】0.4 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算． （1）在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可； （2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可． 【详解】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要天，完成G需要25天， ∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要： （天）； 故答案为：86； （2）（天）， ∴至少需要将整个任务缩短6天， ∵B，E，F，G不可缩短， ∴工序最多可以缩短天， ∵天， ∴只缩短工序2天，A工序可以不缩短，然后工序每缩短1天，C工序就要缩短1天， ∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为： （万元）， 故答案为：38． 【例题9-3】．（2025·江苏南京·二模）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是 ． 【答案】年月 【难度】0.65 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意可得王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，即得王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，进而根据李斌比王强小个月即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，王强的退休年龄是周岁个月，李斌的退休年龄是周岁， 即王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月， ∵男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月， ∴王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月， ∵李斌比王强小个月， ∴李斌的出生年月是年月， 故答案为：年月． 【例题9-4】．（2025·北京顺义·一模）炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要 分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照 的顺序生产． 【答案】 19 【难度】0.65 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据生产和冷却要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可； （2）根据产品A，B，C生产和冷却的时间，结合加工要求分情况解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：生产产品的同时可以冷却其他多个产品， 生产A产品需要2分钟，生产B产品需要7分钟，可在生产B产品的同时冷却A产品， 生产1个A产品1个B产品并冷却1个A产品共需要9分钟，即分钟； 生产C产品的同时冷却B产品，冷却B产品需要10分钟，生产C产品需要6分钟， 生产C产品后还需冷却B产品1分钟， 冷却C产品需要3分钟， 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟， 故答案为：19； （2）由（1）知按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 同理：按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照“”的顺序生产，并完成冷却， 故答案为：． 【例题9-5】．（2025·北京延庆·模拟预测）甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块 个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装 套系统． 【答案】 196 【难度】0.65 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】①由题意列出算式即可； ②由题意得甲在项目连续工作天最多能开发模块个，甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，每6天为一个循环，每6天组装套系统，最后两天分别计算开发两种不同系统，再列式计算即可． 【详解】解：①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块个； ②一个科技系统需个模块和个模块， 天两模块同时开发出数量最多， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， ∴每6天为一个循环，每6天组装套系统， ∵， ①每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， ∴天最多能组装模块套系统． ②每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， 天最多能组装模块套系统． ∵ ∴一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装196套系统． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答． 【例题9-6】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪子 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______； (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）： (3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）； 【答案】(1)0 (2)甲 (3)布 【难度】0.65 【知识点】有理数加减混合运算的应用、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上动点问题，有理数的加减的应用； （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可求解； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）根据游戏规则可得黑棋和白棋相向运动，即可求解． 【详解】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， ∴第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为 故答案为：． （2）∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，则第二局是甲赢， ∴，， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，则第三局是甲赢， 故答案为：甲． （3）解：由（2）可得， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 第三局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是， ∵第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小， 根据游戏规则可得黑棋和白棋相向运动，即甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度 ∴乙第四局的手势是布 题型十：省略加法和括号的形式 【例题10-1】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【例题10-2】．（24-25七年级上·海南海口·期中）把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了有理数的加法，先将原式整理为，再写出省略加号的形式即可． 【详解】原式 ． 故选：A． 【例题10-3】．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 【例题10-4】．（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 【例题10-5】．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握有理数的加法法则和减法法则是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 【例题10-6】．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】根据相反数意义及有理数的加法法则处理． 【详解】解：， 故选：A 【点睛】本题考查相反数的意义，有理数的加法；理解有理数的加法法则是解题的关键． 【例题10-7】．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握去括号法则及正确去括号是解题关键． 【例题10-8】．（19-20七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）将写成省略加号的和式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】根据去括号法则去掉括号即可． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，去括号法则，关键在于熟练运用去括号法则去掉括号即可． 【例题10-9】．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用减法法则变形即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【例题10-10】．（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）把式子改写成省略括号的和的形式 ． 【答案】21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和 【难度】0.85 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式即可． 【详解】解：， 所以把式子改写成省略括号的和的形式为21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和． 故答案为：21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和． 【例题10-11】．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 【答案】 负、、负、、负的和(或负加减加减) 【难度】0.85 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： ， 读作：、、、、的和或加减加减， 故答案为：；负、、负、、负的和(或负加减加减） 【例题10-12】．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）将算式“”写成省略加号的形式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】根据有理数的加法和减法的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的加减运算．熟练掌握加减的符号法则，正确的去括号，是解题的关键． 【例题10-13】．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】根据去括号的法则：同号得正，异号得负，计算即可得到答案． 【详解】解：， 将式子写成省略括号和加号的形式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减—去括号，熟练掌握去括号的法则：同号得正，异号得负，是解此题的关键． 题型十一：有理数的大小比较 【例题11-1】．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 【例题11-2】．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，有理数的加法，根据相反数、绝对值、两个负数比较大小的运算法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，正确，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项不符合题意； C、，，则，原式错误，故此选项符合题意； D、，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$