精品解析：辽宁省鞍山市铁西区2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷　

八年级数学学情调查（五月） （考试时间共90分钟，试卷满分100分） 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，否则不给分，答题要求见答题卡． 一、选择题：（3分*10=30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. ，1， B. 40，50，60 C. ，2， D. 13，14，15 3. 如图，在中，对角线、相交于点．若，，，则周长是（ ） A. 32 B. 25 C. 20 D. 27 4. 在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（ ） A. 速度是变量 B. 速度是常量，路程和时间都是变量 C. 时间，速度是变量 D. 速度、时间、路程都是常量 5. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 计算的正确结果为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中真命题有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 9. 某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（　　） A y＝2x B. C. y＝5000x D. 10. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，交于点．连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，若，则的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（3分*5=15分） 11. 如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则___________． 12. 函数的自变量的取值范围是________． 13. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_____度． 14. 如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则________． 15. 利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算：________． 三、解答题：（2个小题，16题12分，17题5分，共17分） 16. 计算： （1） （2）已知，，求下列各式的值： ①；② 17. 小明是一位爱思考的同学，学习了勾股定理以后，小明发现利用勾股定理可以测量树高，他进行了下面的操作，如下图所示，他的眼睛到地面的距离为线段的长，测得，，，请你根据他的记录计算出树高．（结果保留小数点后一位，已知） 四、解答题：（2个小题，18题6分，19题8分共14分） 18. 李老师周日早晨从家骑车到公园去锻炼，先上坡后下坡，所行路程与时间的关系如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍与去时上坡、下坡的速度分别相同，求李老师从公园骑车回家用的时间． 19. 如图，在四边形中，，，，，是的中点，连结并延长，交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）将沿翻折，点恰好落在上点处，求的长． 五、解答题：（2个小题，每题12分，共24分） 20. 综合与探究 在二次根式运算时，我们要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．如，，这样的式子，我们还要将其进一步化简． （1）根据二次根式的除法请你化简：， （2）根据平方差公式我们可以化简分母中含有二次根式式子 例如：化简可以采取下面的方法． 方法一： 方法二： 请用不同的方法化简． ①参照方法（一）化简； ②参照方法（二）化简． 【学以致用】 （3）化简：． 【拓展提高】 （4）比较大小：________；（用“”、“”或“”填空） 21. 在数学学习和研究中我们经常用到类比、转化等思想方法，请看下面的案例．已知三角形中任意两边的中点或一边上的中点，我们通常会采取下面的方法进行转化． （一）直接构中位线： （二）构造中点构中位线： 【解决问题】 （1）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点，点在上，且，连接，求的长． （2）如图，与均为等腰直角三角形点，，分别为边，，中点，判断线段与之间的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学学情调查（五月） （考试时间共90分钟，试卷满分100分） 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，否则不给分，答题要求见答题卡． 一、选择题：（3分*10=30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母求解即可． 【详解】解：A、，被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，含能开方的因数9，不是最简二次根式，不符合题意； D、为最简二次根式，符合题意， 故选：D． 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. ，1， B. 40，50，60 C. ，2， D. 13，14，15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c（较长边）满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，1，的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴长为40，50，60的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为，2，的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为13，14，15的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，对角线、相交于点．若，，，则的周长是（ ） A. 32 B. 25 C. 20 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质．利用平行四边形的性质求出，，，进而求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，，，， ，，， 的周长， 故选：C． 4. 在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（ ） A. 速度是变量 B. 速度是常量，路程和时间都是变量 C. 时间，速度是变量 D. 速度、时间、路程都是常量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查常量与变量的概念．根据题意，速度保持不变，即速度是常量．路程与时间的关系为，当速度固定时，路程和时间会相互影响而变化，因此两者均为变量． 【详解】解：由公式可知，若速度不变（常量），则路程会随着时间的变化而变化，或时间随路程的变化而变化． 因此，速度是常量，路程和时间均为变量． 故选：B． 5. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用二次根式的性质化简，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．先运用勾股定理求得线段的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴点D表示的数为． 故选：D． 6. 计算的正确结果为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ．   故选： B． 7. 下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中真命题有（ ）个 A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项符合题意； ②有一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题，故本选项不符合题意； ③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形， 如图所示，若， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，是真命题，故本选项符合题意； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项符合题意； 综上所述，其中真命题有3个． 故选：C． 8. 如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的利用割补法求解阴影部分的面积，勾股定理的应用，理解阴影部分的面积等于直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于阴影部分所在的两个半圆的面积加上的面积减去大半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解： 等腰，， ， ； ． 故选：A． 9. 某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（　　） A. y＝2x B. C. y＝5000x D. 【答案】D 【解析】 【分析】行驶千米数=汽油升数×每升汽油可行驶千米数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵汽车行驶每100千米耗油x升， ∴1升汽油可走米， ∴y=50×． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数关系式，解决本题的关键是找到行驶千米数的等量关系，注意先求得一升汽油所走的千米数． 10. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，交于点．连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，若，则的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 二、填空题（3分*5=15分） 11. 如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键． 12. 函数的自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围；根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，可知：且，解得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_____度． 【答案】114 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B，再根据平行四边形的性质求出∠D即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°， ∴∠D＝∠B＝114°. 故答案为：114. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，题中由折叠得到∠BAC＝∠B′AC，从而得到∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC是解题的关键. 14. 如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， 又，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴ ∴； 故答案：． 15. 利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：，可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴得到整系数方程为：， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题：（2个小题，16题12分，17题5分，共17分） 16. 计算： （1） （2）已知，，求下列各式的值： ①；② 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及求代数的值，熟练掌握二次根式的运算法则以及公式法因式分解是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则，先化简各二次根式，再进行二次根式乘法计算后合并即可， （2）①根据已知条件求得，根据代入数据即可求解． ②直接代入数据，根据完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 ① ② 17. 小明是一位爱思考的同学，学习了勾股定理以后，小明发现利用勾股定理可以测量树高，他进行了下面的操作，如下图所示，他的眼睛到地面的距离为线段的长，测得，，，请你根据他的记录计算出树高．（结果保留小数点后一位，已知） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形，等腰直角三角形．在中，,中，,利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 答：树高约为． 四、解答题：（2个小题，18题6分，19题8分共14分） 18. 李老师周日早晨从家骑车到公园去锻炼，先上坡后下坡，所行路程与时间的关系如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍与去时上坡、下坡的速度分别相同，求李老师从公园骑车回家用的时间． 【答案】李老师从公园骑车回家用的时间是分钟． 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，解题时需要注意上坡返回时变为下坡、下坡返回时变为上坡．根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度，又已知返回途中的上下坡的路程正好相反，故可计算出共用的时间． 【详解】由图可得，去公园时，上坡路的距离为米，所用时间为分， 上坡速度米分， 下坡路的距离是米，所用时间为分， 下坡速度 米分； 上坡返回时变为下坡、下坡返回时变为上坡， 李老师从公园骑车回家用的时间是：分钟． 答：李老师从公园骑车回家用的时间是分钟． 19. 如图，在四边形中，，，，，是的中点，连结并延长，交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）将沿翻折，点恰好落在上的点处，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、证明四边形是平行四边形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由平行线的性质、中点的定义证明可得，再结合即可证明结论； （2）设．由折叠的性质进可得设，根据勾股定理求得根据等面积法，列方程求得；进而得到，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 小问2详解】 解：如图：设． ∵将沿翻折，点恰好落在上的点处， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴， ∴． 五、解答题：（2个小题，每题12分，共24分） 20. 综合与探究 在二次根式运算时，我们要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．如，，这样的式子，我们还要将其进一步化简． （1）根据二次根式的除法请你化简：， （2）根据平方差公式我们可以化简分母中含有二次根式的式子 例如：化简可以采取下面的方法． 方法一： 方法二： 请用不同的方法化简． ①参照方法（一）化简； ②参照方法（二）化简． 【学以致用】 （3）化简：． 【拓展提高】 （4）比较大小：________；（用“”、“”或“”填空） 【答案】（1），；（2），过程见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． （1）根据二次根式的性质化简即可求解； （2）①把分子分母有乘以，然后利用平方差公式计算； ②把2化为，然后利用平方差公式约分即可； （3）先分母有理化，然后合并即可； （4）比较和，即可求解． 【详解】（1）；； （2）解：①原式 ； ②原式 ； （3）解：原式 ； （4） ， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 在数学学习和研究中我们经常用到类比、转化等思想方法，请看下面的案例．已知三角形中任意两边的中点或一边上的中点，我们通常会采取下面的方法进行转化． （一）直接构中位线： （二）构造中点构中位线： 【解决问题】 （1）如图，在中，，，平分交于点，交延长线于点，点在上，且，连接，求的长． （2）如图，与均为等腰直角三角形点，，分别为边，，的中点，判断线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握中位线的性质与判定是解题的关键； （1）勾股定理求得，延长交于点，证明得出，，结合已知可得则是的中位线，即可求解； （2）连接交于点，交于点，证明，得出，，进而根据中位线的性质得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图，延长交于点， 在中，，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴； （2），，理由如下， 如图，连接交于点，交于点， ∵与均为等腰直角三角形， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴即， ∵点，，分别为边，，的中点， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$