专题02 八大重要的特殊三角形模型（高效培优专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题02 八大重要的特殊三角形模型 题型一：平行+平分现等腰模型 题型二：平分+射影现等腰模型 题型三：等腰三角形中的维维尼亚模型 题型四：等边三角形中的维维尼亚模型 题型五：等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 题型六：等边截等长模型（定角模型） 题型七：等边内接等边模型 题型八：角平分线第二定理模型 题型一：平行+平分现等腰模型 1．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点作交于M，交于N，若，，则线段的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（），中，，、的平分线相交于点，过点作交于．(1)与间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明） (2)若，第①问中与间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证明过程．(3)若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图（），与间的关系如何？为什么？ 5．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形；（2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ．（5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 题型二：平分+射影现等腰模型 6．（24-25八年级·绵阳市·假期作业）如图，在中，，于点D，的平分线交于F，交于E，若，，则 ． 7.（24-25.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 8．（24-25·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）    A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF 9.（24-25.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 10.（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．(1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若，求证：． 题型三：等边三角形中的维维尼亚模型 11．（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且，则的边长为 ． 12．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，是三角形内一点，，若，且是等边三角形，则的周长为（　　）    A．12 B．18 C．24 D．30 13．（24-25七年级下·上海·期中）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题： （1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．） 14．（24-25山西八年级上期末）已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 15．（24-25浙江八年级期中）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 题型四：等腰三角形中的维维尼亚模型 16．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 17．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 18．（23-24八年级上·广东·课后作业）阅读材料： 文字描述 图形展示 如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰，的距离分别为，，可得结论．    证明；连接，，，， 又，，∵，， 结论：等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离和等于一腰的高 【解决问题】如图，在等腰中，，其一腰上的高为，且在延长线上，到腰，的距离分别为，．，，之间有什么样的结论？依据所画图形，证明你的结论．    19．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______； (3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 20．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长． 题型五：等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 21．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 23．（24-25八年级上·广东中山·期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)． (1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由． 24．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M． 猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______． 深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明． 25．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 题型六：等边截等长模型（定角模型） 26．（2024八年级·重庆·培优）如图，为等边三角形，且与相交于点，则（    ）． A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定 27．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③的面积是面积的2倍；④；一定正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 29．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 30．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求的长．    题型七：等边内接等边 31．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 32．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 33．（24-25八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    34．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．求证：.    35．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 题型八：角平分线第二定理模型 36．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 37．（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 38.（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 39．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线， ______① ， ；______②    ，______③ 是的角平分线______ ④   ；， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 40.（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，，∴ ． ∵，，∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 八大重要的特殊三角形模型 题型一：平行+平分现等腰模型 题型二：平分+射影现等腰模型 题型三：等腰三角形中的维维尼亚模型 题型四：等边三角形中的维维尼亚模型 题型五：等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 题型六：等边截等长模型（定角模型） 题型七：等边内接等边模型 题型八：角平分线第二定理模型 题型一：平行+平分现等腰模型 1．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得为的角平分线，， ， ，，则， ∴，，故选：C． 2．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点作交于M，交于N，若，，则线段的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：∵、的平分线相交于点，∴，， ∵，∴，， ∴，，∴，， ∵，∴．故选B． 3．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平分，∴， ∵，∴，∴，∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（），中，，、的平分线相交于点，过点作交于． (1)与间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明） (2)若，第①问中与间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证明过程．(3)若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图（），与间的关系如何？为什么？ 【答案】(1)(2)仍然成立，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分，∴，， ∵， ∴，， ∴，，∴，，∵，∴； （2）解：当时，仍然成立，理由如下： ∵平分，∴，， ∵， ∴，， ∴，，∴，，∵，∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，∴，， ∵， ∴，， ∴，，∴，，∵，∴． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴是等腰三角形；故答案为：等腰； （2）∵平分，，∴， ∴，∴；故答案为：3； （3）同法（2）可得：，∴；故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长；故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长；故答案为：5cm． 题型二：平分+射影现等腰模型 6．（24-25八年级·绵阳市·假期作业）如图，在中，，于点D，的平分线交于F，交于E，若，，则 ． 【答案】5 【详解】∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为：5. 7.（24-25.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 【答案】4cm； 【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证； 由角度分析易知，即，则有； 又可证，则，则，． 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 8．（24-25·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）    A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF 【答案】C 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF， ∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故选C． 9.（24-25.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 【答案】5 【详解】由角度分析易知，即， ∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 10.（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．(1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： ； （2）证明：∵，∴，∴在中，， ∵，∴，∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，由（1）知是的高，即， ∵，∴，∵平分，∴， ∴． 题型三：等边三角形中的维维尼亚模型 11．（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且，则的边长为 ． 【答案】3 【详解】解：连接，，， ∵，，，∴． ∵为等边三角形，， ∴，解得，即的边长为3．故答案为：3 12．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，是三角形内一点，，若，且是等边三角形，则的周长为（　　）    A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【详解】解：延长交于，延长交于，   ， ，四边形，四边形是平行四边形，， 是等边三角形，，， ，是等边三角形，同理：是等边三角形， ，，， 的周长为，故选：B． 13．（24-25七年级下·上海·期中）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题： （1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．） 【答案】（1）h=h1+h2，理由见解析；（2）h=h1+h2+h3，理由见解析；（3）h=h1+h2−h3 【详解】（1）h=h1+h2，理由如下：连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC ∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2 又∵△ABC是等边三角形∴BC=AB=AC，∴h=h1+h2． （2）h=h1+h2+h3，理由如下：连接AP、BP、CP，则S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP ∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF+BC⋅PE即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2+BC⋅h3 又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC．∴h=h1+h2+h3． （3）h=h1+h2−h3． 当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2−h3=h． 理由如下：连接PB，PC，PA；由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC−S△PBC， 即BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PE−BC⋅PF， ∵AB=BC=AC，∴h1+h2−h3=h，即h1+h2−h3=h． 14．（24-25山西八年级上期末）已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析. 【详解】（1）. 根据三角形的面积公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD即: ∵△ABC是等边三角形,即:AB=AC=BC,∴. （2） 理由如下：∵为等边三角形∴ ∵为边上的高∴ 又∵，，∴∴ （3） 理由如下：如图，连接， ∵为等边三角形，∴ ∵为边上的高，∴ ∵，，，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ 15．（24-25浙江八年级期中）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析(2)10(3) 【详解】（1）解：，证明如下：连结，如图（1）所示：         设，是等边三角形，， 于点，于点，于点， ，，， ，，； （2）解：连结、、，如图（2）所示： 设，是等边三角形，， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ，，， ，，的值为； （3）解：，理由如下：连结、、，如图（3）所示： 设，是等边三角形，， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ，，． 题型四：等腰三角形中的维维尼亚模型 16．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：连接，如图，    ∵、分别与两边垂直，面积为20， ，     ，，，故选：A． 17．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：连接、，如图所示： ∵﹐且，，，， ∴，∵， ∴，∴．故答案为：． 18．（23-24八年级上·广东·课后作业）阅读材料： 文字描述 图形展示 如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰，的距离分别为，，可得结论．    证明；连接，，，， 又，，∵，， 结论：等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离和等于一腰的高 【解决问题】如图，在等腰中，，其一腰上的高为，且在延长线上，到腰，的距离分别为，．，，之间有什么样的结论？依据所画图形，证明你的结论．    【答案】，见解析 【详解】解：，理由如下：， 又∵，，，． 19．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______； (3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 【答案】(1)(2)25(3)(4)见解析 【详解】（1）解：，，； （2）解：过点B作，交AC于点H，则：，         ，，，； （3）解：连接，如图所示：，点D为边的中点，平分， ，，（角平分线的性质）； ∵，，， 由（2）知，，； （4）证明：连接，如图所示： ∵，，，，，， ，，， 即：，． 20．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长． 【答案】证明见解析 【详解】（1）过点作，垂足为点；连接． ∵，∴． 又∵，∴，为定长．即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长． （2）过点作，垂足为点；连接． ∵，∴． 又∵，∴，为定长． 即等腰三角形底边的延长线上的任意一点，到两腰的距高之差等于定长． （3）∵，∴． 又∵为等边三角形，∴．∴，为定长． 即等边三角形内一点到三边距离之和为定长． 题型五：等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 21．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：过P作PM∥BC，交AC于M， ∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形； 又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一） ∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q； 又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中，，∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM； ∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故选：C． 22．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解 【详解】（1）证明：过点作交于，如下图， ∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，， ∵，∴，由（1）可知，， ∴，∴，∴为定值． 23．（24-25八年级上·广东中山·期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)． (1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)为定值5，理由见解析 【详解】（1）证明：、的移动速度相同，， ，； （2）如图，过点P作，交于点F， ，， ，，，，由（1）得，， 在与中，，，； （3）解：为定值5，理由如下：如图，过点P作，交于点F， 由（2）得：，为等腰三角形， ，，由（2）得，， ，为定值5． 24．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M． 猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______． 深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】（1）解：，理由如下：过点E作交于点F， ∵，，∵，，， ，∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解： 理由如下：如图，过点E作交的延长线于点F， ∵，，， 在和中，，∴，； 25．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； ②∵，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴． 题型六：等边截等长模型（定角模型） 26．（2024八年级·重庆·培优）如图，为等边三角形，且与相交于点，则（    ）． A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定 【答案】B 【详解】∵等边，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故选B． 27．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC．∴∠BAC=∠C． 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD=∠CAE．∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．∴∠BPF=∠APD=60°． ∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．∴．故选：B． 28．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③的面积是面积的2倍；④；一定正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】∵    ，∴， ∵，，∴，， ∴，且，，∴(SAS) ∴，故①正确． ∵，∴，故②正确． ∵，∴，， ∴，∴，故③正确． 如图，延长至，使，连接，，过点作于， ∵∴是等边三角形，∴， ∴，， ∴，且，，∴(SAS)， ∴，，，设，则，， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∵是等边三角形，， ∴，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，且， ∴四边形是矩形，∴，故④正确．故选：A． 29．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明∶∵是等边三角形，∴，， 又，∴，∴． 30．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2)8 【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴， 在和中，∴，∴． （2）解：∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，又∵，∴． 题型七：等边内接等边 31．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，同理：，∴是等边三角形．∴． 在中，，∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴ ∴，∴，∴的周长为．故选：B． 32．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴， 同理得：，∴， ∵的周长为15，∴，∴，故选：B． 33．（24-25八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴． ∴． ∴．∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形，∴． 在和中，，∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴． 34．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．求证：.    【答案】见详解 【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形， ∴，，∵，∴， 在和中，，∴； 35．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）18 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵BD=CE，∴BD=CE=AF， 在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF， 同理可得△BDE≌△AFD，∴DE=FD，∴DE=FD=EF，∴△DEF为等边三角形； （2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，∴∠FEC=90°， ∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°， ∵BD=CE=2，∴CF=AD=BE=2BD=4，∴AB=BC=AC=6，∴等边△ABC的周长为：6×3=18 题型八：角平分线第二定理模型 36．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F，点O是内心，． 故选：D． 37．（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2 【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H ∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= = （2）作BECA垂足为E；则有： = = ∴= （3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5， 故答案为：2 38.（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 39．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线， ______① ， ______②    ，______③ 是的角平分线______ ④     ， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 【答案】(1)见解析(2)；；；；成比例 【详解】（1）解：所作图形，如图所示，    （2）证明：是的角平分线， ，，， ，，是的角平分线，， ，，． ∴三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例． 故答案为：；；；；成比例． 40.（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，，∴ ． ∵，，∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵是的角平分线，且，，∴，故答案为：； （2）证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P． ∵是的角平分线，∴． ∴，，∴； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$