专题20 一元一次方程的应用（2知识点+15大题型+6大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题20 一元一次方程的应用 （2知识点+15大题型+6大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：15大核心考点精准练+6大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 知识点2：常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 【答案】该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系． 先设应该安排x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子）”列出方程求解． 【详解】解：设应该安排x台机器人生产上衣， 根据题意得，， 解得， （台）， ∴该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子． 2．某校六年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学活动．小明因事迟到小时才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了半小时在路上追上了大客车．已知小汽车的速度比大客车的速度每小时多千米，则大客车、小汽车的速度各是多少？ 【答案】大客车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 设大客车的速度为千米/小时，可用表示出小汽车的速度，再根据“小李因事迟到小时才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了半小时在路上追上了大客车”列出方程求解． 【详解】解：设大客车的速度为千米/小时，则小汽车的速度为千米/小时， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：大客车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时． 3．如图是某校运动场的平面图，学校计划在硬化的中心区域（阴影部分）铺设人造草坪，中心区域最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米． (1)运动场中心区域周长为_____米；（结果用含、的代数式表示，保留）； (2)若，且运动场中心区域周长为400米． ①求半径（取3）； ②在①的条件下，若人造草坪每平方米60元，则学校共需付多少铺设费用？（取3）． 【答案】(1) (2)①；②600000元 【分析】本题主要考查圆的周长，面积的计算，代数式的运用，一元一次方程的运用，理解数量关系，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据图示，圆的周长的计算方法计算即可； （2）①代入计算即可求解；②根据图示先计算出阴影部分的面积，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：中心区域周长等于长方形的两条长与圆的周长的和， ∴运动场中心区域周长为， 故答案为：； （2）解：①，且运动场中心区域周长为400米， ， ， ； ②中心区域（阴影部分）面积， 铺设费用（元）， 学校共需付铺设费用600000元． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）某中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛每队进行10场比赛）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 勤勉队 10 8 2 26 无限队 10 ？ ？ 22 进取队 10 5 5 20 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积_____分，负一场积_______分； (2)求无限队的胜场数和负场数． 【答案】(1)3，1 (2)无限队胜了场，负了场 【分析】本题主要考查一元一次方程与积分问题，理解数量关系，掌握一元一次方程组解积分问题是关键． （1）根据超越队的比赛情况，设负一场得分，由此列式得到负一场得分数，再根据进取队的积分可得到胜一场得积分，由此求解即可； （2）根据胜一场，负一场积分，设无限队胜场，则负场，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：根据超越队的积分可设负一场得分， ∴， 解得，，即负一场得分， 根据进取队的积分可得， ∴胜一场得分，负一场得分， 故答案为：，； （2）解：设无限队胜场，则负场， ∴， 解得，， ∴无限队胜了场，负了场． 5．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）某校八年级（1）班学生在自主合作学习《利用分式方程解决工程问题》这一学习项目时，遇到了如下一个问题： 一项工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要30天，甲乙合作8天后，甲另有任务，余下工程由乙单独完成，乙还需要工作多少天才能全部完成？ 设乙还需要天才能全部完成． 第一小组分析已知条件，并结合所设未知数x列表如下： 工作效率 工作时间 所列方程 甲乙合作 8 ② 乙单独做 ① 第二小组分析已知条件，并结合所设未知数x列表如下： 工作效率 工作时间 所列方程 甲 8 ④ 乙 ③ 请你根据以上信息，完成下面的题目． (1)请填写表格中①、③所表示的代数式和②、④所表示的方程： ①____________；②_________；③_________；④_________； (2)请你选择以上两个小组分析方法中的一种，解决这个问题． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系是解答本题的关键． （1）根据题目一步一步做即可；（2）按照步骤解方程即可． 【详解】（1）解：①设乙还需要天才能全部完成， 乙单独做的时间为； ②根据题目可得：； ③设乙还需要天才能全部完成， 乙做的时间为； ④根据题目可得：； （2）解：选第一小组可得到方程：， 解得， 答：乙还需要工作天才能全部完成； 选第二小组可得到方程：， 解得， 答：乙还需要工作天才能全部完成． 6．根据图中信息，解答下列问题． (1)购买6个篮球需付款_______元，购买10个篮球需付款_______元． (2)小丽比小刚多买了2个篮球，付款时小丽反而比小刚少付42元．问：小丽买了多少个篮球？ 【答案】(1) (2)小丽买了个篮球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用解题，关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件找出合适的等量关系，列出方程再求解． （1）根据总价单价数量，现价原价，列式计算即可求解； （2）设小丽购买篮球个，根据等量关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（元）， ， （元）， 故答案为：； （2）解：设小丽购买篮球个， 列方程得， 解得， 答：小丽买了个篮球． 7．如图，数轴上从左到右依次有 ，，三点，点表示的数为，电子蚂蚁甲从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过秒恰好运动到点． (1)点所表示的数为 ． (2)电子蚂蚁乙从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且与电子蚂蚁甲同时出发，恰好在点相遇，求点所表示的数． 【答案】(1) (2)点所表示的数为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，列出方程，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据点表示的数为，即可得到点表示的数； （2）设电子蚂蚁甲和乙运动秒后在点相遇，则，即，解出，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵电子蚂蚁甲从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过秒恰好运动到点， ∴， ∵点表示的数为， 随意点表示的数为：． 故答案为：． （2）解：设电子蚂蚁甲和乙运动秒后在点相遇， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为：． 8．为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示．已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为元，经测算，比不使用峰谷电节约元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？ ：每千瓦时元（峰电价格） ：每千瓦时元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时元 【答案】峰电140千瓦时，谷电60千瓦时 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，解答此题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，得出等量关系式，问题即可逐步求解． 根据“付电费元，经测算，比不使用峰谷电节约元”，求不用“峰谷”电表的钱数：（元），所以用电量为：（千瓦时）．设用“峰电”x千瓦时，则“谷电”千瓦时，根据电费列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：（千瓦时）， 设用峰电x千瓦时，则谷电千瓦时， ， ， ， ， （千瓦时）， 答：该家庭当月使用峰电140千瓦时，使用谷电60千瓦时． 9．某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 (1)求上表中m的值； (2)第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 【答案】(1) (2)甲种篮球打了九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程即可； （2）根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得：； （2）解：由（1）得（元/个）． 第二次采购甲、乙两种篮球共花费（元）． 设甲种篮球打了x折， 则两种篮球共卖出元． 根据题意，得， 解得． 答：甲种篮球打了九折． 【题型1 配套问题】 1．某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件28个或乙种零件14个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 【答案】应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设应分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件28个或乙种零件14个，可列方程求解． 【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则人生产乙种零件，则共生产甲零件个和乙零件， 依题意得方程：， 解得，（人）． 答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套． 2．太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 【答案】分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． 【分析】本题考查一元一次方程的应用——配套问题，根据套数相等建立方程是解题的关键． 设分配名工人生产镜架，用含的代数式表示镜架和镜片的数量，根据套数相等建立方程，求解即可． 【详解】设分配名工人生产镜架，则有人生产镜片，根据题意列方程 ，得 ， 解得：， ， 答：分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． 3．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 4．制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有木材． (1)应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子呢？ (2)这样制作，一共能制作多少套？ 【答案】(1)应用木材作桌面，木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子 (2)这样制作，一共能制作200套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． （1）设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为，桌腿需要木材为，根据等量关系列方程求解即可得； （2）根据题意求出木材可制作200个桌面，进而求解即可． 【详解】（1）解：设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为，桌腿需要木材为 根据题意得， 解得， ∴， ． 答：应用木材作桌面，木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子； （2）解：∵木材可制作20个桌面 ∴木材可制作200个桌面 ∴这样制作，一共能制作200套． 【题型2 工程问题】 5．一项工程，单独做，甲需12天，乙需15天，两人同时合做多少天后剩下的部分由乙单独做6天完成？ 【答案】4 【分析】设两个人合作x天后，剩下的部分由乙单独做6天完成，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握工程问题的解法是解题的关键． 【详解】解：设两个人合作x天后，剩下的部分由乙单独做6天完成， 根据题意，得， 解方程得． 答：两个人合作4天后，剩下的部分由乙单独做6天完成． 6．汾河，黄河中游支流，位于山西省境内，发源于宁武县境内管涔山脚下的雷鸣寺泉，向南流经忻州、太原、晋中、吕梁、临汾、运城等市，于万荣县庙后村汇入黄河．为把汾河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的沿河旅游风景区，现将一段长为290米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时25天．甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】甲工程队分别整治河道120米、乙工程队整治河道170米 【分析】设甲队工作了天，则乙队工作了天，根据题意，得，解方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用—工程问题，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设甲队工作了天，则乙队工作了天， 根据题意，得， 解得， 故， 答：甲工程队整治河道120米、乙工程队整治河道170米． 7．渭河特大桥作为渭河最长干线公路桥梁，在建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，求甲工程队每天铺设桥梁构件的件数． 【答案】38件 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意设甲工程队每天铺设桥梁构件件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，列出方程式求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件． 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天铺设桥梁构件38件． 8．小方和小胡值日并打扫教室卫生，小方单独打扫完教室卫生，需20分钟，小胡单独打扫完教室卫生，需16分钟．因小胡要先将数学作业本交到老师办公室，故先由小方单独打扫2分钟，余下的再由两人一起完成，求小胡需要花多长时间打扫完教室的卫生． 【答案】小胡需要花8分钟打扫完教室的卫生 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设小胡需要花分钟打扫完教室的卫生，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设小胡需要花分钟打扫完教室的卫生， 由题意得，， 解得：， 答：小胡需要花8分钟打扫完教室的卫生． 【题型3 销售盈亏】 9．某商店进了两种不同的文具套装，其中类套装的进价为每套50元，类套装的进价为每套40元，总共进了40套，共花费1850元．问商店进了A类和B类文具套装各多少套？ 【答案】A类的文具套装25套，B类的文具套装15套 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．设商店进了50元的文具套装x套，40元的文具套装套，根据题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：设商店进了A类的文具套装x套，B类的文具套装套， 由题意得：， 解得：， 答：A类的文具套装25套，B类的文具套装15套． 10．大三学生小凡参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和2000元现金，当他工作满20天时因故结束实习，结算工资时公司给了他一台型平板电脑和500元现金． (1)这台型平板电脑公司的报价是多少元？ (2)小凡若工作天，将上述约定工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含的代数式表示）？ (3)若某电脑经销商正在经销这款型平板电脑，他按进货价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每台仍可获利340元，这款型平板电脑每台的进货价是多少元？ 【答案】(1)这台型平板电脑公司的报价是2500元 (2)他应获得150n元的报酬 (3)这款型平板电脑每台的进货价是2000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出他应获得的报酬；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设这台M型平板电脑公司的报价是x元，利用日均工资不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用日均工资这台M型平板电脑公司的报价，可求出日均工资，再利用他应获得的报酬=日均工资×小凡的工作时间，即可用含n的代数式表示出他应获得的报酬； （3）设这款M型平板电脑每台的进货价是y元，利用利润=售价-进价，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这台型平板电脑公司的报价是x元， 由题意，得：， 解得：， 因此，这台型平板电脑公司的报价是2500元； （2）解：由题意，得：， 因此，他应获得150n元的报酬； （3）解：设这款型平板电脑每台的进货价是元， 由题意，得：， 解这个方程，得， 因此，这款型平板电脑每台的进货价是2000元． 11．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”，回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些如图所示的纪念品送给在北京的小伙伴们，她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要554元，试判断：小云有600元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶？ 【答案】小云有600元能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握理解题意、列出方程是解题的关键； 设每个毛绒玩偶x元，则每个冰箱贴元，根据：买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要554元，即可列出方程，求出x后再进一步计算判断即可． 【详解】解：设每个毛绒玩偶x元，则每个冰箱贴元， 根据题意得， 解得， （元）， 小云要买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶的费用为：（元）， ， 小云有600元能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 12．为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/袋） m 售价（元/袋） (1)甲的进价______元，乙的进价______元； (2)若小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ 【答案】(1)10，8 (2)小卖部本次购进甲种食品350袋，乙种食品450袋 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“购买400袋甲和300袋乙共需要6400元”列方程，解方程即可求解； （2）设甲种绿色袋装食品购进x袋，则乙种绿色袋装食品购进袋，由全部售完后总利润（利润售价进价）为5750元可列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， ， 即甲的进价为10元，乙的进价为8元， 故答案为：10，8； （2）解：设甲种绿色袋装食品购进x袋，则乙种绿色袋装食品购进袋， 由题意得：， 解得， ， 答：小卖部本次购进甲种食品350袋，乙种食品450袋． 【题型4 比赛积分】 13．某学校九年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．九年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，九（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问九（1）班第一轮胜了多少场？ 【答案】九（1）班胜了7场 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．设九（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设九（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，得 ， 解得． 答：九（1）班胜了7场． 14．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 15．中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 【答案】她答对了道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，根据题意，解得，即可得到答案． 【详解】解：设她答对了道题，则她答错或不答一题为道， 根据题意得， 解得， 答：她答对了道题． 16．近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)4，1 (2)答对了道题 (3)参赛者不可能得分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解； （2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解； （3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断； 【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分； 故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 【题型5 方案选择】 17．王大伯家去年收获了24吨苹果，这些苹果均达到了一、二级质量标准，其中达到一级质量标准的苹果质量是达到二级质量标准苹果的． 方案一：如果分等级出售，那么一级苹果每吨售价万元，二级苹果每吨售价万元． 方案二：如果不分等级出售，那么所有苹果每吨售价万元． 请你算一算，按哪种方案出售比较合算． 【答案】方案一，详见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． 先设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为，由题意得：，求出一、二级质量标准的苹果质量，再分别求出两个方案的收入，比较即可． 【详解】解：设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为， 由题意得：， 解得：（吨）， 则达到一级质量标准苹果的质量为（吨）， 那么方案一：总收入：（万元）， 方案二：总收入：（万元）， ∵， ∴方案一收入更高，即按分等级出售方案比较合算． 18．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解掌握统计表的特点及作用，并根据统计表提供的信息，解决有关实际问题． （1）根据题意和表格中的数据可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：方式一：（元）， 方式二：（元）， 答：一个月内在本地通话分钟,按方式一需交费元，按方式二需交费元. （2）解：设分钟两种计费方式收费一样多， 根据题意得，， 解得， 答：当通话分钟时，两种计费方式收费一样. 19．问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． 问题： (1)请算出两个班各有多少名学生? (2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗? 【答案】(1)（1）班48人，（2）班56人 (2)能，较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元． 【分析】（1）设七年级（1）班有x 人，（2）班有y人，根据“七年级（1），（2）两个班共104人，且以班为单位分别购票一共应付1240元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出七年级（1）班购买51张及48张票所需费用，比较作差后，即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 【详解】（1）解：设七年级(1)班有x人，(2)班有y人，根据题意， 列方程组： 解得：． 答：七年级(1)班有48 人，(2)班有56人． （2）能 若 （1）班先到达乐园，想要单独购票，我建议（1）班购买51张票，购票金额为（张）， ∵购买48张票，购票金额为（元），，（元）， ∴比较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元． 20．2024年11月28日-12月1日，岚山区中学生足球联赛成功举办，比赛不仅丰富了校园文体生活，还极大激发了同学们对足球运动的兴趣，某校足球社团人数迅增，需要购进一批足球和足球护腿板．经调查发现，同一型号的足球和护腿板在甲、乙两家商店标价均相同，其中足球每个标价80元，护腿板每副标价30元．两家商店分别有庆元旦促销活动，优惠方式如下： 甲商店：足球和护腿板都按9折出售． 乙商店：每购满三个足球就送一副护腿板． 学校计划订购足球36个，护腿板若干（不少于12副），单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购护腿板的数量是16个，如果在乙商店订购，购买足球和护腿板的总费用是多少元？ (2)当订购护腿板的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买足球和护腿板的总费用相同？ (3)若订购护腿板数量与（2）中的数量相同，但临时需要再多购买4个足球，则在哪家商店购买更合算？请说明理由． 【答案】(1)元 (2)订购护腿板的数量是24个时，在甲、乙两家商店购买足球和护腿板的总费用相同 (3)在甲商店购买更合算，理由见解析 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式． （1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可； （2）设订购护腿板的数量是个时，在甲、乙两家商店购买足球和护腿板的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可． （3）分别求出在甲、乙商店购买的费用并进行比较即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：购买足球和护腿板的总费用是3000元． （2）解：设订购护腿板的数量是个， ， 解得． 答：订购护腿板的数量是24个时，在甲、乙两家商店购买足球和护腿板的总费用相同． （3）解： 在甲商店购买的费用：（元）． 在乙商店购买的费用：（元）． 因为，所以在甲商店购买更合算． 【题型6 数字问题】 21．如图，数学兴趣小组编写了一道数学谜题：．其中，“○”和“□”各表示一个数字，且两个数字之和为9，请求出“○”和“□”各表示的数字． 【答案】3；6 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，找准等量关系列方程求解即可得到答案，理解题意，由等量关系列一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设“○”表示的数字为，则“□”表示的数字为， 根据题意得， 解这个方程得， ， 则“○”表示的数字为3，“□”表示的数字为6． 22．一个防盗门的密码由4个数字按从大到小的顺序组成，这4个数字之和是16，并且相邻的两个数字都相差2，这个密码是多少？ 【答案】7531 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，通过设未知数，根据题意列出等量关系式是完成本题的关键． 由于是从小到大相差2的4个数字，可设最小的数字是n，则第二个是第三个是，第四个是，又这4个数字之和是16，由此可得：，由此完成即可． 【详解】解：设最小的数字是n，可得： ， 整理得：， 解得：． 即最小的数字是1， 所以这四个数字分别是：7531． 23．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数． (1)设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为_________，这个两位数是_________，对调后得到的两位数是_________（以上都用x的代数式表示） (2)根据题意列出方程为_________ (3)解这个方程得_________ (4)则这个两位数是 _____ ． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)63 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用． （1）设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为，对调后十位数字为x，个位数字为，分别表示出对调前后的两位数即可． （2）根据题意列出关于x的一元一次方程即可． （3）解（2）的方程即可． （4）根据x的解求出原来的两位数即可． 【详解】（1）解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为， 这个两位数是， 对调后，十位数字为：x，各位数字为：， 则对调后的两为数为：， 故答案为：，， （2）解：根据题意列方程如下： （3）解： （4）解：这个两位数为： 24．阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例， 设，由，可知，解得，于是． (1)请把无限循环小数化为分数是___________； (2)请把无限循环小数化为分数； (3)请把无限循环小数（其中循环节为16）化为分数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，循环小数化为分数，掌握互化的方法是解本题的关键； （1）设，由可知，再建立方程求解即可； （2）设，则，建立方程求解即可， （3）设，同理可求解． 【详解】（1）解：设， 由，可知，所以， 解得，于是． （2）设，则， ，解得：， 即． （3）设， 由，可知， ． ． 【题型7 几何问题】 25．如图所示，一个正方形纸片，先沿剪去宽为的长方形，再沿剪去宽的长方形．记长方形的面积为，长方形的面积为，若，求原正方形纸片的边长． 【答案】正方形纸片的边长为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用. 设原正方形纸片的边长为，根据题意列方程计算即可. 【详解】解：设原正方形纸片的边长为，则根据题意，得 ， 解得， ∴原正方形纸片的边长为． 26．如图，在一个正方形中先剪去一个宽为的长方形，再从剩下部分剪去一个宽为的长方形，若剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的面积． 【答案】原正方形的面积为． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，注意：第一次剪完后，剩下的这边为，难度一般，正确列出方程是解题关键．设原正方形的边长为，根据两次剪下的长方形面积正好相等，可得出方程，解出边长即可． 【详解】解：设原正方形的边长为， 根据题意得：， 解得：， ∴原正方形的面积为． 27．如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相遇？ 【答案】(1)； (2)； (3)秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，列代数式，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式和两点中点计算公式求解即可； （2）用点A表示的数加上点P运动的路程即可表示出点P表示的数，用点B表示的数减去点Q运动的路程即可表示出点Q表示的数； （3）当P，Q两点相遇时，二者表示的数相同，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6， ∴，线段的中点M所表示的数为； （2）解：∵点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动， ∴点P运动t秒后所在位置的点表示的数为；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为； （3）解：当P，Q两点相遇时，二者表示的数相同，即， 解得， ∴P、Q两点经过秒会相遇． 28．如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米． (1)若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F的边长=_______；正方形E的边长=________；正方形C的边长=________； (2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的．试根据此等量关系求出x的值； (3)此健身广场的周长为 ． 【答案】(1)米；米；米或米 (2)7 (3)48米 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的运用，在求x的值时运用长方形的性质建立方程是关键． （1）根据图形由最小的正方形的边长为1可以得出正方形F、E和C的边长； （2）由建立方程求出其解即可； （3）根据周长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 正方形F的边长米， 正方形E的边长米， 正方形C的边长米或米； 故答案为：米；米；米或米； （2）解：由图形，得 ，， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵米， 米， ∴周长为：米． 故答案为：52． 【题型8 动点问题】 29．如图，在一条不完整的数轴上有，两点，它们表示的数分别为和5． (1)设、两点所对应的数的和是，求出的值； (2)求线段的长度． (3)若点沿数轴正方向运动，点沿数轴负方向运动，速度均为每秒1个单位长度，同时运动秒． ①求6秒后点表示的数； ②求为何值时，线段的长度为2． 【答案】(1) (2)14 (3)①；②或 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可； （3）①根据点A运动的速度和方向，列出算式进行计算即可； ②先表示出秒后，点表示的数是，点表示的数是，然后根据两点间距离公式，分两种情况列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，两点表示的数分别为和5， ∴； （2）解：； （3）解：①∵， ∴6秒后点表示的数是； ②秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当线段的长度为2时， 或 解得：或 ∴当或时，线段的长度为2． 30．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)个单位/秒 (3)存在，6秒或12秒 【分析】（1）根据非负数的性质，可得，，求解即可获得答案； （2）设点的运动速度为个单位长度/秒，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，可得点对应的数为，结合点，对应的数，求得，的值，然后根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 所以A，B两点之间距离为：． 故答案为：16． （2）解：设点Q的运动速度为x个单位/秒， 根据题意，得， 解得， 所以点Q的运动速度为1.2个单位/秒． （3）解：存在，理由如下： 因为点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒， 则点P对应的数为， 所以，． 因为，所以， 当时， 解得秒， 当时， 解得秒， 所以当t的值为6秒或12秒时，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用以及绝对值方程等知识，理解题意，根据题目中的描述找到等量关系式是解题的关键． 31．如图，数轴上一动点沿数轴向右移动4个单位长度到达点，再向左移动10个单位长度到达点．    (1)若点表示的数为0，则点，点表示的数分别为________，________； (2)若点，点表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)在（1）的条件之下，若电动蚂蚁小米从点出发，以每秒0.3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只电动蚂蚁小粒从点出发，以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设两只电动蚂蚁在数轴上的点相遇，求点表示的数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用及相反数．关键是能根据题意列出算式，是一道比较容易出错的题目． （1）依据点表示的数为0，利用数轴上两点间距离的求法，可得点、点表示的数； （2）设点表示的数为，则点表示的数是；点表示的数是，依据点表示的数互为相反数，列方程求解可得点表示的数； （3）由（1）知，点与点之间的距离是10，根据两值蚂蚁运动路程之和为10可求出相遇时间，进而得到其中一只蚂蚁的运动距离，最后结合数轴上两点之间距离表示方法即可得到答案． 【详解】（1）解：点表示的数为0， ∵， ∴点表示的数为4， ∵， ∴点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为， 点表示的数是；点表示的数是； 点，点表示的数互为相反数， ，解得 ∴点表示的数； （3）解：由（1）知，点与点之间的距离是10， ， 则电动蚂蚁小米从点出发，以每秒0.3个单位长度的速度沿数轴向左运动时，运动距离为， 点表示的数为4， 点表示的数是． 32．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或， t (2)点M所对应的数是 (3)存在，或，见解析 【分析】（1）分①当时，②当时，两种情况进行讨论； （2）设经过a秒，P、Q两点相遇，根据题意列出方程，求出a的值，即可得到点M所对应的数； （3）分三种情况进行讨论即可． 本题考查了一元一次方程，数轴，掌握一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； ②当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； C、Q两点在数轴上相距的长度为t； 故答案为：或；t； （2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇， ， 解得：， 则点M所对应的数是：， 即点M所对应的数是； （3）解：存在，或，理由如下： ①当时， ， 解得：； ②当时， ， 解得：； ③当时， ， 该方程无解； 综上所述：或 【题型9 和差倍分问题】 33．饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍．饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？ 【答案】黑兔45只，白兔225只 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设原来有黑兔x只，则原来有白兔只，根据题意列出一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：设原来有黑兔x只，则原来有白兔只， ， ， ， ， 答：饲养场原来有白兔225只，黑兔45只． 34．世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米．古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ (1)下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内___________． (2)请列方程解决这个问题． 【答案】(1)① (2)50毫米 【分析】（1）把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示，由此判断哪个图是正确的． （2）把吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，根据“吸蜜蜂鸟的体长毫米=巨蜂鸟的体长”列方程解答． 本题考查了方程的应用，正确理解题意以及正确列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示， 故图①正确表达了题目的意思． （2）解：设吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，则 答：吸蜜蜂鸟的体长是50毫米． 35．为助力乡村振兴，某村计划对村集体公顷土地的种植项目调整为种植油桃和香梨，且油桃的种植面积比香梨种植面积的倍少公顷，油桃和香梨的种植面积分别为多少公顷？ 【答案】油桃的种植面积为公顷，香梨的种植面积为公顷 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设香梨的种植面积为公顷，则油桃的种植面积为公顷，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设香梨的种植面积为公顷，则油桃的种植面积为公顷． 根据题意，得． 解得． ； 答：油桃的种植面积为公顷，香梨的种植面积为公顷． 36．在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A、B两种套餐进行了调查研究．（每天只提供一种午餐） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬菜类（克） 其它（克） A 160 95 120 125 B 200 70 140 90 为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A、B套餐各几天时，能达到控制主食摄入量的目的（说明：一周按5天计算） 【答案】在一周里小丽同学应该选择A套餐3天，B套餐2天时，能够达到控制主食摄入量的目的． 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题， 设在一周里小丽同学应该选择A套餐m天，则选择B套餐天，根据一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设在一周里小丽同学应该选择A套餐m天，则选择B套餐天， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：在一周里小丽同学应该选择A套餐3天，B套餐2天时． 【题型10 电费和水费问题】 37．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过8立方米 每立方米元 超过8立方米 超过的部分每立方米元 (1)写出每月用水量不超过8立方米和超过8立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过8立方米时，________； ②每月用水量超过8立方米时，________； (2)若某户居民某月用水量为立方米，则应交水费多少元？ 【答案】(1)①，② (2)应交水费元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关于的函数关系式，再根据函数关系式求值． （1）根据用水量是否超过立方米，分两种情况建立水费与用水量的关系式．对于超过的情况，需先计算不超过部分的费用，再计算超出部分的费用； （2）用水量立方米超过立方米，代入第二个关系式计算，即可求解． 【详解】（1）解：①当每月用水量不超过立方米时，， 故答案为：； ②当每月用水量超过立方米时，， 故答案为：； （2）当时，（元）， 答：应交水费元． 38．某中学七年级（1）班3名老师决定带领本班名学生去某革命胜地参观．该革命胜地每张门票的票价为60元，现有A、B两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生六折； 方案：不分教师与学生，全部六五折优惠． (1)若按方案购票，需付款_____元（用含的代数式表示）； 若按方案购票，需付款_____元（用含的代数式表示）； (2)当学生人数为何值时，选择两种方案的费用相同？ (3)当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？ 【答案】(1)； (2)当学生人数为21时，选择两种方案的费用相同 (3)选择方案更为优惠，见解析 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，解一元一次方程，理解题意正确列出代数式是解决问题的关键． （1）根据题意，由A，B两种方案进行表示即可； （2）根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案 （3）当时，代入（1）中的两个代数式，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：按方案购票，需付款元； 按方案购票，需付款元 （2）解：由题意得：， 解得：， 当学生人数为21时，选择两种方案的费用相同． （3）解：当时， 选择方案所需的费用为：（元）， 选择方案所需的费用为：（元）， 因为， 所以选择方案更为优惠． 39．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，某户月份用吨水． 月用水量 不超过吨 超过吨不超过吨 超过吨 收费标准（元/吨） (1)请分别写出，，时，水费的代数式； (2)某户用水吨，吨，吨，各需付水费多少元？ (3)某户月份水费为元，则用水量是多少吨？ 【答案】(1)当时，水费为元；当时，水费为元；当时，水费为元 (2)各需付水费元，元，元 (3)用水量为吨 【分析】本题考查代数式，一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出代数式，一元一次方程的应用，进行解答，即可． （1）根据表格，列出代数式，即可； （2）由（1）可得，各间段的收费，再根据用水吨，吨，吨求出各需付水费，即可； （3）由题意得，当用水吨时，需付水费为（元）小于元，可得月用水量超过吨，设月用水量为吨，列出方程，即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当时，水费为元， 当时，水费为：元， 当时，水费为：元． （2）解：当用水吨时，需付水费为：（元）； 用水吨时，需付水费为：（元）； 用水吨时，需付水费为：（元）． （3）解：当用水吨时，需付水费为（元）小于元， ∴月用水量超过吨， 设月用水量为吨， ∴， 解得：， 答：用水量为吨． 40．某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费．已知月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过24吨 超过24吨 备注：月用水量另收取污水处理费0.5元/吨． 水费单价 4元/吨 不超过24吨的部分仍按4元/吨计费，超过部分按a元/吨计费 例如：一用户二月份用水量为12吨，则该月应缴水费为（元）． (1)若用户五月份用水量为20吨，则该用户该月应缴水费_____元； (2)若用户六月份用水量为40吨，缴水费212元，求a的值； (3)在（2）的条件下，若用户七月份共缴水费342元，求该用户该月用水量． 【答案】(1)90 (2) (3)该用户该月用水量为60吨 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解分段收费的计算方法，正确列式求解是关键． （1）根据用水量为20吨，运用第一段的收费方式计算即可； （2）用水量为40吨，按照第二段的收费方式列式求解； （3）共缴水费342元，先判定该用户用水量，再根据分段收费的方法计算即可． 【详解】（1）解：五月份用水量为20吨， ∴该用户该月应缴水费：（元）， 故答案为：； （2）解：六月份用水量为40吨， ∴缴费为：， 解得，； （3）解：∵342元212元， ∴该用户七月份用水量大于40吨， 设该用户该月用水量为吨，由题意可得，， 解得，， 答：该用户该月用水量为60吨． 【题型11 行程问题】 41．甲、乙、丙三人沿着环形跑道从同一起点出发，丙与甲、乙的方向相反．40秒后，甲与丙第一次相遇，又过了1分钟，乙与丙第二次相遇．问再过多少秒，甲将第一次追上乙？ 【答案】100秒 【分析】本题主要考查行程问题；设全程为“1”，分别列出甲、丙第一次相遇，乙、丙第二次相遇的式子，两式相减，再求出甲、乙同向时追及的时间，最后列式计算即可． 【详解】解：设全程为“1”． 因为40分钟，甲、丙第一次相遇，所以，①； 又过1分钟，乙、丙第二次相遇，所以②， ①②：， ． 甲、乙同向，追及时间：（秒）， 再过秒，甲第一次追上乙． 答：再过100秒，甲将第一次追上乙． 42．甲、乙两地相距1040千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半多7千米，动车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】动车平均每小时行驶302千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设动车平均每小时行驶千米，则快车平均每小时行驶千米；根据等量关系：两车行驶的路程和为1040千米，列出一元一次方程，最后求解即可． 【详解】解：设动车平均每小时行驶千米，则快车平均每小时行驶千米， 依据题意得出：． 解得：， 答：动车平均每小时行驶302千米． 43．一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米．这架飞机最多飞行多少千米就需要往回飞？ 【答案】这架飞机最多飞行4000千米就需要往回飞 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设去时用了小时，回来用了小时．结合飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米，列出方程，再解得，即可作答． 【详解】解：设去时用了小时，回来用了小时． 依题意，得 解得 ∴飞出去路程：（千米） 答：这架飞机最多飞行4000千米就需要往回飞． 44．【问题背景】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题． 下面是智慧小组同学的学习报告： 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 A，B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶．如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 示意图 等量关系 相遇时，甲走的路程+乙走的路程 解决问题 设经过两人相遇， 根据题意得， 解得， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过相遇． 请根据以上内容，继续完成任务： (1)任务1：如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距? (2)任务2：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设经过甲、乙相距，分相遇前相距及相遇后相距两种情况考虑，利用路程=速度×时间，结合甲、乙的路程之和为或，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设经过乙追上甲，利用路程=速度×时间，结合乙、甲的路程之差为，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设经过甲、乙相距， 当相遇前相距时，， 解得：； 当相遇后相距时，， 解得：． 答：经过或甲、乙相距； （2）解：设经过乙追上甲， 根据题意得：， 解得：． 答：经过乙追上甲； 【题型12 比例分配】 45．列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．根据比例设三种型号的洗衣机分别为台，台，台，再结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设计划生产Ⅰ型洗衣机台，则Ⅱ型洗衣机台，Ⅲ型洗衣机台， 由题意得，， 解得：， 则（台）， （台）， （台）， 答：洗衣机厂该月计划生产Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台． 46．为鼓励学生参加体育锻炼，某学校计划购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为，单价之和为70元，则篮球和排球的单价分别为多少钱？ 【答案】篮球的单价为40元，排球的单价为30元． 【分析】设篮球的单价为x元，则排球的单价为元，然后根据篮球和排球的单价之和为70元，列出方程求解即可． 【详解】解：设篮球的单价为x元，则排球的单价为元， 根据题意得，， 解得， 故． 答：篮球的单价为40元，排球的单价为30元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 47．学校要为图书室的地面铺上方砖，如果用边长为3分米的方砖铺地，需要用600块，如果改用边长为5分米的地砖铺地，需要多少块？（用比例知识解答） 【答案】需要多少216块 【分析】由题意可知：图书馆的面积是一定的，则方砖面积与方砖的块数成反比例，据此即可列比例求解． 【详解】解：设如果改用边长5分米的地砖铺地，需要多少块， 则有：， 答：如果改用边长5分米的地砖铺地，需要多少216块． 【点睛】本题考查了比例问题，解题的关键是掌握面积为定值，建立等式求解． 48．白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？ 【答案】大货车用4辆．小货车用6辆 【分析】设载重量为14吨的大货车x辆，根据两种车型共10辆则需要载重量为10吨的小货车为 (10-x)辆，然后再根据所有车辆一共运输白菜等于116吨这个等量关系列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设大货车x辆，则小货车有辆， ， 解得：， （辆）， 答：大货车用4辆．小货车用6辆． 【点睛】解题的关键是：利用总运量=大车载重量×大车数量＋小车载重量×小车数量找准等量关系，正确列出一元一次方程求解． 【题型13 日历问题】 49．如图，这是2025年1月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为1，求Y形框框中的这四个数字之和． (2)在表中移动Y形框的位置，若Y形框框住的四个数字之和为85，求这四个数字中最小的数． 【答案】(1)29 (2)15 【分析】本题以生活中常见的日历为背景，考查了有理数的运算及一元一次方程的求解． （1）根据图形的数字计算即可； （2）设框住的这四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 答：Y形框框中的这四个数字之和为29． （2）设框住的这四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为． 根据题意，得， 解得． 答：这四个数字中最小的数是15． 50．如图是某月的月历表，在此月历表上用一个“十”字形方框任意框出5个数． (1)若框出的5个数中，最中间的数为a，则它左边的数为，下面的数为___________． （用含 a的代数式表示） (2)若框出的5个数之和为100，则框出的5个数中，最中间的数为多少？ 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据一星期为7天即可得出答案． （2）设最中间的数为a，则它左边的数为，右边数为，下面的数为，上面的数为，然后根据框出的5个数之和为100列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：框出的5个数中，最中间的数为a，则它左边的数为，下面的数为：， 故答案为：． （2）解：如（1）设最中间的数为a，则它左边的数为，右边数为，下面的数为，上面的数为， ， 整理得：， 解得：， 则最中间的数为20． 51．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 【答案】(1)68 (2)； (3)能等于2025，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． （1）由可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论； （3）根据，代入2025求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值能等于2025． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴； 故答案为：68； （2）解：由题意得，，，； ∴， ∴； （3）解：能等于2025，理由如下： ∵， 当时，， ∵405为奇数，，所以2025在第34行第5列， ∴的值能等于2025． 52．如图是2024年2月的日历表． (1)在图中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 ． (2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的五个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 ． (3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和不能为，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）将五个数相加，即可求出结论； （2）若最小的数字为x，则另外四个数分别为，将五个数相加，即可用含x的代数式表示出U形框框住的五个数字之和； （3）假设框住的五个数字之和能为，设最小的数字为y，根据五个数字之和为，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，由2月16号为周五，不符合题意，可得出假设不成立，进而可得出框住的五个数字之和不能为． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：； （2）解：若最小的数字为x，则另外四个数分别为 ∴U形框框住的五个数字之和为． 故答案为：； （3）解：在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和不能为，理由如下： 假设框住的五个数字之和能为，设最小的数字为y， 根据题意得：， 解得：， ∵2月16号为周五，不符合题意， ∴假设不成立，即在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和不能为． 【题型14 古代问题】 53．《九章算术》中有这样的一道题：今有四人共车，一车空．三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有32人，9辆车 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设有辆车，根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设有辆车，根据题意得： ， 解得， （人）， 答：共有32人，9辆车． 54．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据绳子的长度不变，得出关于x的一元一次方程，即为答案． 【详解】解：设长木为x尺，则绳长为尺 依题意得 解这个方程，得 答：长木为6.5尺. 55．丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 【答案】丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁 【分析】本道题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握是解答本题的关键．设丢番图的年龄为岁，由此得出他的每个阶段的经历的年数列出等量关系即可解答． 【详解】解：设丢番图去世时的年龄是岁． 根据题意，得， 解得， （岁）， 答：丢番图结婚时的年龄是33岁，去世时的年龄是84岁． 56．“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 【题型15 其他问题】 57．洋葱学园张老师一年前存入一笔钱，年利率为，到期共获得本息和为71365元，求张老师一年前存入银行的本金是多少元？ 【答案】张老师一年前存入银行的本金是元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设张老师一年前存入银行的本金是元，根据利息等于本金乘以利率，本息和等于本金加上利息，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设张老师一年前存入银行的本金是元，由题意，得： ， 解得：； 答：张老师一年前存入银行的本金是元． 58．笑笑乘坐公交车回家，她上车后，发现车上还有3个空座位．当公交车在人民大街站停车时，车上有的乘客下车，又有12人上车，这时车上座位正好坐满．这辆公交车一共有多少个座位？（用方程解） 【答案】这辆公交车一共有 30 个座位 【分析】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键． 根据题意把公交车上的座位数看作单位“ 1”，由“车上有 3 个空座位，车上有的乘客下车，又有 12 人上车，这时车上座位正好坐满”可列出等量关系式：（座位数，设这辆公交车一共有个座位，据此列方程解答． 【详解】解：设这辆公交车一共有个座位． 则， ∴， ∴， ∴， 答：这辆公交车一共有 30 个座位． 59．P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： 计算：原式 Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 【答案】(1)①9；②6 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意计算出的结果即可得到答案；②根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）设这个数为x，由题意得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； （2）解：设这个数为x， 由题意得， ， ， 解得， 即符合条件的数为． 60．习近平总书记强调：“一个博物院就是一所大学校”．某校联系研学社组织学生到博物院研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1800元后，再每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 已知研学人数超过50，且上述两种方案的收费相同，求研学人数． 【答案】参加研学的总人数是90人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：根据题意得：采用方案一的收费为元； 采用方案二的收费为元； 根据题意得：， 解得：． 答：参加研学的总人数是90人． 【拓展训练一 一元一次方程的销售问题综合】 61．张先生向商店订购了每件定价为元的某种商品件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了列方程解决问题的方法，抓住降价前后利润的变化，找到等量关系是解题的关键．根据题意，把商品原来每件的定件元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的，则每件减少了元；已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了件，加上原来订购的件，现在一共订购件；根据“获得的利润反而比原来多元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数原来每件商品的利润原来订购的件数降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解；最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价． 【详解】解：根据题意得，减价：（元）， 多订购的件数：（件）， 降价后共订购：（件）， 设原来每件商品的利润为元，则这种商品的成本是元， （元）， （元）， 答：这种商品的成本是70元． 62．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，；③3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． ③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元）， 一台A型号冰箱的利润为（元）， B型号冰箱的成本价为（元）， 一台B型号冰箱的利润为（元）， 假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台； 故答案为：3或6． 63．西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 64．列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价； （2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 故答案为：，； （2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 【拓展训练二 一元一次方程的配套问题综合】 65．根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒：3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务1 制作图3规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板可以做成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ 任务2 制作图3、图4规格的纸盒共11个 若有25张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板能够恰好完成制作？ 【答案】任务1：用18张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，用3张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，可以做成的无盖纸盒数最多，最多为9个； 任务2：当裁剪长方形的纸张的数量为20，裁剪小正方形的纸张数量为5时，恰好完成制作 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：设用张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，则用张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，根据4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒，列出方程进行求解即可； 任务2：设制作图3规格的纸盒为个，则制作图4规格的纸盒为个，根据纸张共25张，列出方程进行求解即可． 【详解】任务1：设用张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，则用张长方形纸板按图2所示的方法裁剪， 由题意，得：， 解得：， ∴， ∴可以裁剪小正方形的个数为：， ∴用18张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，用3张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，可以做成的无盖纸盒数最多，最多为9个； 任务2：设制作图3规格的纸盒为个，则制作图4规格的纸盒为个，由题意，得： ， 解得：， ∴裁剪小正方形的纸张数量为： ，裁剪长方形的纸张的数量为：； 答：当裁剪长方形的纸张的数量为20，裁剪小正方形的纸张数量为5时，恰好完成制作． 66．小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案： 小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？ 【答案】(1)用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒 (2)小军做出的包装盒更多，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键 （1）设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答； （2）分别按小红和小军设计的方案列出方程解答，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒； （2）解：小红的方案，设张做盒身，则有张做盒盖， 根据题意得：， 解得：； 小军的方案，设余下的纸板张做盒身， 根据题意得：， 解得：， ， 则小军做出的包装盒更多． 67．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球两种部件组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌）． (1)生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请你补全正方体模型的直观图． (2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．同一个工人同一天不能同时生产两种部件．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 【答案】(1)见解析 (2)6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程及分类思想的应用． （1）根据题意画出正方体即可； （2）设x名工人生产塑料棒，根据生产车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个，列出一元一次方程，解方程即可； 【详解】（1）解：如图所示，长方体即为所求． ； （2）解：设让x名工人生产塑料棒，则让名工人生产金属球， 根据题意可得， 解得：． ∴． 答：安排6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒． 68．综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【答案】任务1：，；任务2：16个；任务3：当，时，柜子数量最多，为个 【分析】本题考查了列代数，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据图1求解； （2）根据“小正方形和小长方形的数量比为”列方程求解； （3）设制作竖式柜子a个，先用x和a表示柜子的总数，当x增大时，柜子的数量也增大． 【详解】任务1：解：由题意得∶A方法得小长方形木块块，B方法得小正方形块， 故答案为∶，； 任务2：由题意得：， 解得， 则， 所以能做出16个竖式柜． 任务3：设制作竖式柜个，则制作横式柜个， 做出的柜子数量为个． 由题意得：， 化简得：． 因为，和均为正整数， 当增大时，柜子数量也增大， 所以当，时，柜子数量最多，为个． 【拓展训练三 一元一次方程的方案选择综合】 69．某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，这两种出租车的收费方式如下． A专车：3千米以内（包括3千米）收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用： B快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 8元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费：远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元． (1)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元； (2)如果乘车路程是千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元；（用含的式子表示，结果要化简） (3)如果乘车路程是千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行的费用省3元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)y的值为9或15 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）由乘车路程是10千米，可得专车3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费元，快车收起步价与里程费，再计算即可； （2）由乘车路程是千米，可得专车3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费元，快车收起步价与里程费，远程费，再计算即可； （3）根据（2）中所列代数式结合乘车路程是千米，再分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：专车费用：乘车路程是10千米，3千米内收费10元，超过3千米的部分是千米，这部分每千米收费元， ∴专车费用为元； 快车费用：乘车路程10千米，起步价8元包含2千米，超过起步里程千米，里程费每千米2元， ∴费用为元； 故答案为：，． （2）解：专车费用： 乘车路程是千米，3千米内收费10元，超过3千米的部分是千米，这部分每千米收费元， ∴专车费用为元． 快车费用： 乘车路程千米，起步价8元包含2千米，里程费部分是元， 远途费部分是∵超过12千米，超出部分是千米，每千米加收1元，即元， ∴总费用为元， 故答案为：，． （3）解：当时： ∵快车费用比专车最多少元， ∴不符合题意舍去； 当时： ∵快车费用比专车最多少元， ∴不符合题意舍去； 当时： 由题意可得：， 解得：； 当时： 由题意可得：， 解得：， ∴y的值为9或15． 70．某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表： 篮球 排球 进价（元/件） 60 40 售价（元/件） 100 60 (1)该超市购进篮球和排球各多少个？ (2)该超市若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价） (3)某学校准备到该体育用品商量购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案一：两种球类售价都打8折；方案二：购买2个篮球赠送一个排球． 学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的．请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？ 【答案】(1)购进篮球50个，排球120个 (2)一共可获得4400元利润 (3)学校准备购买篮球12个，排球10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设超市购进篮球个，则购进排球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据题意列式计算即可得解； （3）设学校准备购买篮球y个，则学校准备购买排球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设超市购进篮球个，则购进排球个，则 ， 解得，， ， 答：购进篮球50个，排球120个； （2）解：（元）， 答：一共可获得4400元利润； （3）解：设学校准备购买篮球y个，则学校准备购买排球个， 由题意可得：， 解得：， ， 答：学校准备购买篮球12个，排球10个． 71．某打印店为吸引顾客，推出大额打印优惠活动，有如下两种优惠方案： 方案一：花费30元，即可成为白金会员，白金会员可享受累计最多免费打印500张的权益，超出500张的部分按每张0.3元收费； 方案二：花费45元，即可成为黑金会员，黑金会员可享受累计最多免费打印750张的权益，超出750张的部分按每张元收费． 注：①每位顾客只能选择其中一种方案成为会员； ②以上优惠活动仅限于打印单面纸张，以下均默认打印的是单面纸张． (1)当顾客甲的打印量为800张时，若按方案一收费，需支付______元；若按方案二收费，需支付______元（用含的代数式表示）； (2)若顾客乙按方案一打印共支付费用42元，求他共打印了多少张； (3)当时，设顾客丙的打印量为张，若他选择方案一和方案二的收费相等，请求出的值． 【答案】(1)120； (2)540张 (3)550或1000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出或用含n的代数式表示出选择两种方案所需费用；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用按方案一所需费用（顾客甲的打印量），即可求出结论；利用按方案二所需费用（顾客甲的打印量），即可用含n的代数式表示出按方案二所需费用； （2）设顾客乙共打印了x张，根据按方案一打印共支付费用42元，列方程求解即可； （3）分及两种情况，根据选择方案一和方案二的收费相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当顾客甲的打印量为800张时，若按方案一收费，需支付（元）； 若按方案二收费，需支付（元）． 故答案为：120；． （2）解：设顾客乙共打印了x张，根据题意，得 ， 解得：， 答：顾客乙共打印了540张． （3）解：根据题意，得 当时，， 解得； 当时，， 解得． 答：x的值为550或1000． 72．为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)乙校单独购买服装应付元． (2)甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； (3)最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 【分析】考查一元一次方程的应用及方案选择问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出乙校参加演出的人数即可求解； （2）甲校的人数多于乙校的人数，可得甲校服装的单价为50，乙校服装的单价为60元，等量关系为：甲校服装的总价乙校服装的总价，把相关数值代入求解即可； （3）比较校合买服装的总价钱以及按照单价元买时的总价钱即可得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：甲校有50人参加演出，则乙校参加演出的人数为：（人）， ∴乙校单独购买服装应付：（元） 答：乙校单独购买服装应付元； （2）解：设甲校人，则乙校人， 依题意得，甲校的人数多于乙校的人数，则, ∴， 解得：， ∴（人）， 答：甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； （3）解：甲校有人参加演出，乙校有人参加演出， 两校联合：元， 而此时比各自购买节约了：元， 若两校联合购买了套只需：元， 此时又比联合购买每套节约：元， 因此，最省钱的购买方案是两校联合购买套服装， 即比实际人数多买套， 答：最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 【拓展训练四 一元一次方程的水电费综合】 73．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2025年1月用水15吨，交水费30元；2月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值； (2)如果小王家3月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ 【答案】(1) (2)40吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）由题意可知，（元），（元），（元）． 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． 74．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)40吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨． ①当， 可得， 解得； ②当， 可得， 解得 (舍去)． 即小王家11月份用水13吨． 75．为了让市民树立起“珍惜水、保护水”的用水概念，某市从2014年6月起，居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 20吨及以下 0.80 超过20吨但不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 3.30 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费自来水费用污水处理费用） 已知小李家今年1月份用水20吨，交水费48元，2月份用水25吨，交水费64.5元． (1)求表中、的值； (2)小李家3月份的水费正好是小李家庭月收入的，已知小李家的月收入为8560元，试求小李家3月份的用水量． 【答案】(1) (2)52吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——用水分段计费问题，解题关键是要读懂表格中每段计费标准，总价、单价和数量的关系． （1）根据等量关系：“小李家1月份用水20吨，交水费48元，2月份用水25吨，交水费64.5元”可列方程组求解即可． （2）先求出小李家3月份的水费，小李家3月份的用水量范围，再根据3月份的水费正好是家庭月收入的，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ， 解得． （2）解：当用水量为30吨时，水费为： (元）， （元）， ， ∴小李家3月份用水超过30吨， （吨）； 故小李家3月份的用水量是52吨． 76．滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】(1)14.95元 (2)4.3千米 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题，读懂题意，理解滴滴网约车各费用项计价方式是解题的关键． （1）晚上9时属于17：00~00：00这个时间段，起步价是6元，先用6.5千米减去2.3千米，求出超出2.3千米的距离是千米，4.2千米按照5千米计费，用起步价加上超出4.2千米的钱数，也就是每千米1.55元，再用所用的时间减去7即可求出超出的时长，再成0.3即可求出超出时长的费用，再加上超出起步时长的费用即可． （２）设本次里程最长x千米，起步价加上里程加数减去2.3千米乘每千米的计费标准就等于支付的钱数，列方程，解方程，即可解答． 【详解】（1）解：（千米） 4.2千米千米 （元） 答：李叔叔需要支付14.95元． （2）解：设李叔叔本次里程最长x千米． ， 解得， 答：李叔叔本次里程最长4.3千米． 【拓展训练五 一元一次方程的动点问题综合】 77．如图，点表示的数是，点表示的数是，满足．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)________，________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①问点运动多少秒时追上点？ ②问点运动多少秒时使得？ (3)若为的中点，在点到达点之前，试说明的值为定值． 【答案】(1)10；； (2)①9秒；②7秒或者11秒； (3)见解析． 【分析】本题考查了数轴与一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①由题意得：，，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点追上点时两点在数轴上表示的数相同列方程即可求解；②由点表示的数是，点表示的数是，可得，根据列方程即可求； （3）分别表示出、、，再求的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， 故答案为：10，； （2）运动时间为秒时，点表示的数为， 点表示的数为． ①由题意，可得， 解得， ∴点运动9秒时追上点． ②由题意，可得， 即或， 解得或， ∴点运动7秒或者11秒时可使得． （3）（秒）． 当运动的时间为秒时，点表示的数为． ∵为的中点， ∴点表示的数为， ∴，， ， ∴， ∴的值为定值2. 78．【问题背景】 在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离为或．例如：数轴上表示3和4的两点之间的距离是1． 【问题解决】 （1）数轴上表示和10两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示x和的两点之间的距离是________； 【关联运用】 （2）如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，18，设点P在数轴上对应的数为． ①若点为线段的中点，则________； ②若点为线段上的一个动点，化简； ③动点从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，请直接写出使得时的值． 【答案】（）14，18，；（）2；；当时，的值为或4或． 【分析】（）根据数轴上两点距离公式即可求解； （）由点为线段的中点，则，然后解出方程即可； 由点为线段上的一个动点，可得，然后化简绝对值即可； 分当时，和当时，两种情况分析即可． 【详解】解：（）根据距离公式可得： 数轴上表示和10两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示x和的两点之间的距离是， 故答案为：14，18，； （）∵点为线段的中点， ∴， 解得：， 故答案为：2； ∵点为线段上的一个动点， ∴， ∴ ； 由题意得：点表示的数为，点从到需要（秒），点从到需要（秒）， ∴当时，点表示的数为， 当时，点从到运动，此时点表示的数为， ∵， ∴当时，， 解得：或； 当时，， 解得：或（舍去）， 综上可知：当时，的值为或4或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 79．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，为原点．且满足，是单项式的次数的相反数．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)求出数轴上点表示的数和点表示的数，用含的式子表示出数轴上点表示的数； (2)当点在点的左侧运动时，、分别是线段、的中点，求的值； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，运动多少秒时、两点重合，此时点在数轴上的点对应的数值是多少？ 【答案】(1)点表示的数是：； (2)； (3)秒时、两点重合，此时点在数轴上的点对应的数值是． 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示，相反数性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，属于基础题型，解题的关键理解题意，掌握以上相关知识点，结合数轴进行分析． （1）根据已知条件，是单项式的次数的相反数，即可求出，，的值，再根据数轴上的点左移减，右移加，即可求出点表示的数； （2）表示出，，利用中点的性质表示出 ，，进一步即可表示出； （3）设运动秒，、两点重合，根据题意得：，解方程，进而求得点在数轴上的点对应的数． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又单项式的次数是，是其次数的相反数， ， 点表示的数是，点表示的数是， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点表示的数是：． （2）解：当点在点的左侧运动时，，， 、分别是、的中点， ，， ． （3）解：设运动秒，、两点重合，根据题意得： ， 解得：， ， 所以秒时、两点重合，此时点在数轴上的点对应的数值是． 80．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点表示数，将点向右移动5个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； （2）如果点表示数2，将点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； 【深入研究】 （3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．如图，两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜两次，求点最终位置表示的数，点最终位置表示的数，、两点间的距离； ②若在次“剪刀、石头、布”中，平局有次，甲胜有次，请用含、、的式子表示点和点最终表示的数；点和点会重合吗？如果能重合，请求出的值． 【答案】（1）；（2）7；（3）①点最终位置表示的数为；点最终位置表示的数为；，、两点间的距离为；②点A最终表示的数为，点B最终表示的数为，当A、B重合时，；当点A和点B最终表示的数相距2时，或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解一元一次方程，整式的加减计算 （1）用点A表示的数加上移到的距离即可得到答案； （2）用点A表示的数减去向左移动的距离再加上向右移动的距离即可得到答案； （3）①当时，其中平局一次，甲胜两次，乙胜一次，再根据移到规律分别求出点A和点B最终表示的数，再根据两点距离计算公式求解即可；②在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次，再根据移到规律分别求出点A和点B最终表示的数，再根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点A表示数，将点A向右移动5个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）∵点A表示数2，将A点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：7； （3）①当时，其中平局一次，甲胜两次，乙胜一次，则点A最终位置表示的数为，点B最终位置求示的数为， ∴此时两点间的距离为 ∴点最终位置表示的数为；点最终位置表示的数为；，、两点间的距离为； ②在m次“剪刀、石头、布”中，平局有x次，甲胜有y次，则乙胜次， ∴点A最终表示的数为， 点B最终表示的数为， 当A、B重合时，则， 解得； 当点A和点B最终表示的数相距2时，则， ∴， 解得或 【拓展训练六 一元一次方程的几何问题综合】 81．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） (2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 【答案】(1) (2)； (3)或 (4)t的值为或2 【分析】（1）求出，则； （2）先求出点P的运动路程再减去的长即可得到答案；根据题意可得方程，解方程求出t的值，然后再求出解得即可； （3）分两种情况：当点P在上运动时，当点P在上运动时，建立方程求解即可； （4）根据三角形面积公式求出，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在上运动时，， ∴； （2）解：由题意得，当点P在上运动时， ； 由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上运动时，则， 解得：； 当点P在上运动时，则， 解得； 综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或； （4）解：∵的面积是， ∴， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当的面积是时t的值为或2． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 82．如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1) (2)①，；②当秒时，恰为线段的中点；③点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度 【分析】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． （1）根据已知条件求得的长度，即可写出点表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出，，再根据线段的中点定义可得，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据可得，根据线段的和差关系可得到点表示的数； ②当在原点的左侧，根据题意得方程即可得到结论；当在原点的右侧，根据题意得方程即可得到结论； ③根据，，求得，于是得到点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在左侧， ∴∴点A表示的数为：． 故答案为：． （2）①由题意得：，， 如图所示： 为中点， ， 在数轴上点表示的数是， 点在上，，， 在数轴上点表示的数是． ②原点恰为线段的中点时，点表示的数与点表示的数互为相反数， 即，解得： 当秒时，恰为线段的中点． ③，， ， 点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 答：点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度． 83．如图，在长方形中，．动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点到达点时，求点走过的路程． (2)在点在到达终点之前的运动过程中．用含的代数式表示的长． (3)当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，求t的值． (4)连结、、、．当三角形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）求出点到达点时的用时，即可求出答案； （2）分当点P在上时和当点P在上时两种情况列出代数式即可； （3）分当相遇前和当相遇后两种情况列方程进行解答即可； （4）分两种情况画出图形列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：当点到达点时，用时， 则点走过的路程为． （2）当点P在上时，，其中， 当点P在上时，，其中， ∴ （3）当相遇前在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，则 或 解得或， 当相遇后在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，则 解得， 综上可知，当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，t的值为或或． （4）当在上，在上时，此时，,其中， ∴ ∵ ∴ 解得，符合题意， 当在上，在上时，此时，,其中， ∵ ∴ 解得， 综上可知，或， 即当三角形的面积与三角形的面积相等时，或 84．如图，甲、乙两位同学在长方形的场地上绕着四周跑步，甲沿着方向循环跑步，同时乙沿着方向循环跑步，米，米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． (1)设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米； (2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点的位置． (3)若甲改为沿着的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点的位置并直接写出、两点间的距离． 【答案】(1) (2)26秒，见解析 (3)130秒，见解析，、两点间的距离为8米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）利用路程=速度×时间，可用含t的代数式表示甲的路程； （2）利用甲、乙的路程之和等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其代入2t中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点P的位置； （3）利用甲、乙的路程之差等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其代入2t中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点Q的位置，再利用，即可求出结论． 【详解】（1）解：用含的代数式表示甲的路程为米， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得：， ∴（米）， （米）． 当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为26秒，相遇点的位置如图所示： （3）解：依题意，得， 解得：， ∴（米）， （米）， （米）． 答：经过130秒，乙第一次追上甲，相遇点的位置如图所示，此时、两点间的距离为8米． 1．《孙子算经》一书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的应用，解答即可． 本题考查了古籍中的一元一次方程，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设木长x尺，根据题意，得， 故C，B，D都是错误的，A是正确的， 故选：A． 2．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的7折出售将赚25元，则每件服装的成本价为（   ） A．185元 B．190元 C．195元 D．200元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正解题意，找到等量关系列出方程是关键；设每件服装的标价为元，根据成本价不变建立方程，解出标价后计算成本价即可． 【详解】解：设标价为元；按5折出售亏35元，即成本价为元；按7折出售赚25元，即成本价为元； 根据成本价相等，列方程：； 解方程得：； 则成本价：； 即每件服装的成本价为185元； 故选A． 3．如图，方格内每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示第一行、第三行及第二列、第三列上的三个数的和是解题的关键．根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等分别列方程求得再求出代数式的值即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ，， 解得， ， 故选：D． 4．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？小安假设“共有x辆车”，小溪假设“共有y人”，下列说法正确的是（   ） A．按小安的设元方法，则共有人 B．按小溪的设元方法，则共有辆车 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 【答案】D 【分析】本题考查列代数式、列一元一次方程，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据两人所设的未知数，结合题意正确列出相应代数式及方程，然后判断即可． 【详解】解：A、按小安的设元方法，则共有人，该选项说法错误，不符合题意； B、按小溪的设元方法，则共有辆车，该选项说法错误，不符合题意； C、按小安的设元方法，应列方程为，该选项说法错误，不符合题意； D、按小溪的设元方法，应列方程为，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（    ） A．669 B．670 C．671 D．675 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，解题的关键是先根据题意找出题中的规律，再根据规律用正整数n表示第n次操作后所得正方形的个数． 第一次可得到4个正方形；第二次可得到个正方形；第三次可得到个正方形；则第n次可得个正方形，然后列出方程求解即可． 【详解】解：第一次可得到4个正方形； 第二次可得到个正方形； 第三次可得到个正方形； 则第n次可得个正方形， ∵若要得到2026个小正方形， ∴ 解得． 故选：D． 6．某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个， 由题意得，， 解得， 故选：A． 7．在东汉许慎所著的《说文解字·序》里记载：“神农氏结绳为治，而统其事．”想象在遥远的神农氏时代，有一位聪慧的村民，为了准确记录每次狩猎所获猎物的数量，采用了结绳计数的方法．他计数时遵循“从右往左，满五进一”的规则（具体示意如图所示）．已知这位村民某次一共狩猎到了43只动物，那么在他所结的绳中，第二根绳子上的打结个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设第二根绳子上的打结个数为x个，根据一共狩猎到了43只动物建立方程求解即可． 【详解】解：设第二根绳子上的打结个数为x个， 由题意得，， 解得， ∴第二根绳子上的打结个数为3个， 故选；C． 8．如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点、、、对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是、、、，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识．设点对应的数是，则点表示的数是：，点表示的数是：，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设点对应的数是， 数轴上每相邻两点相距一个单位长度， 点表示数位：，点表示的数是：，点表示的数是：， 又点、、、所表示的数分别是、、、，且， ， 解得：， 故选：D． 9．一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍．如果把十位上的数字和个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数大36，原来的两位数为 【答案】26 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系． 设原两位数的十位上的数字为，那么个位上的数字是；原两位数可表示为，而新两位数可表示为，再根据“新两位数比原两位数大36”，列方程解答即可． 【详解】解：设原两位数的十位上的数字为，个位上的数字是，原两位数为，而新两位数可为， 则， 解得：， 故原来的两位数是，， 故答案为：26． 10．明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中给出这样一道题：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（明代时，1斤两）．若用方程解答这道题，设共有个客人，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．根据银子数相等列方程即可． 【详解】解：设共有个客人， 根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 11．小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价的85%付钱，黑笔按定价的80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔 支． 【答案】36 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设红笔有x支，那么黑笔有支，根据题意列出一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：设红笔有x支，那么黑笔有支， 买笔原价为：元， 优惠后价为：元， 由此可得： ， 解得：； 答：他买了36只红笔． 故答案为：36. 12．有一旅客带行李从西安到广州，按民航规定，旅客最多可免费携带行李，超过部分每千克按飞机票价的购买行李票，已知该旅客购买的行李票为198元，则他的飞机票价为 元． 【答案】880 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设他的飞机票价为x元，根据该旅客购买的行李票为198元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设他的飞机票价为x元， 根据题意得：， 解得：， 他的飞机票价为880元． 故答案为：. 13．北京市三帆中学科技节的活动丰富多彩，其中体验类项目中“书本灯制作”和“自制充电宝”深受大家的欢迎，“科技状元榜”更是万众瞩目的竞赛类项目．初一某班共有名同学，每名同学至少参与了其中一个项目，其中人参与了“书本灯制作”，个人参与了“自制充电宝”的体验，人有“科技状元榜”的工作任务．因为赛程安排，“科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与．现有以下结论： 只参与了“书本灯制作”的学生有人； 同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数； 只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少． 正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了有理数的加法、一元一次方程的应用，根据“科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与，并且可以计算出参与“科技状元榜”和“自制充电宝”的学生共有人，可以计算出参与本次活动的共有人，所以可知这次活动中有人同时参与了两个项目，所以可得只参与了“书本灯制作”的学生有人；同时参与了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有人，则同时参与了“书本灯制作”和“自制充电宝”的学生人数有人，如果参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数相等，可得方程，解方程可得：，因为代表的是人数，不能是分数，所以同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数不可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数；由可知，这次活动中有人同时参与了两个项目，只参加了一个项目的人数是人，所以只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少． 【详解】解：由题意可知：参与“科技状元榜”和“自制充电宝”的学生共有人， 参与了“书本灯制作”的有人， 参与本次活动的共有人， 人， 这次活动中有人同时参与了两个项目， “科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与， 同时参与两个项目的同学一定有一项是“书本灯制作”， 人， 只参与了“书本灯制作”的学生有人， 故正确； 设同时参与了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有人， 则同时参与了“书本灯制作”和“自制充电宝”的学生人数有人， 只参加了“自制充电宝”的学生人数为人， 根据题意可得：， 解得：， 必须是正整数， 同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数不可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数， 故错误； 由可知，这次活动中有人同时参与了两个项目， 只参与了一个项目的人数有人， ， 只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少， 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故答案为：． 14．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方-九宫格．图①就是一个幻方，将9个不同数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和都相等．图②是一个未完成的幻方，则m的值是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最左下角的数和最中间的数，再利用第三行和第二列的数字之和相等列出方程，解之即可，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵幻方的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和都相等， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：14． 15．数轴上两点A、B所表示的数分别为和6，点P、Q分别是数轴上两动点，点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，当时，点Q在数轴上对应的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查用代数式表示数轴上的点，以及求数轴上两点间的距离，以及解一元一次方程． 设时间为t，用含t的代数式表示出P、Q两点，然后分情况讨论列出方程求解，分为P、Q两点相遇前和相遇后两种情况． 【详解】解：设运动时间为t， 则P点表示的数为，Q点表示的数为， ①P、Q相遇前， ， 解得：； 此时点Q在数轴上对应的数为， ②P、Q相遇后， ， 解得：． 此时点Q在数轴上对应的数为， 故答案为：或． 16．由于同学们最近表现很好，老师买了一些糖果分给若干个学生，如果每人分4颗，则剩下9个；如果每人分6颗，则最后一个学生分得的糖果少得3颗，问共几个学生，分了多少颗糖？ 【答案】共6个学生，分了33颗糖 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设出未知量，找到等量关系是解题的关键．设共有x个学生，根据每人分4颗，则剩下9个；如果每人分6颗，则最后一个学生分得的糖果少得3颗，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设共有x个学生，根据题意得： ， 解得：， （颗）， 答：共6个学生，分了33颗糖． 17．如图，数轴上点表示的为是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． (1)求出数轴上点表示的数___________； (2)求经过几秒点追上点？ (3)经过几秒，、两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)经过秒以后，点追上点 (3)经过4秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． （1）根据数轴上表示数的方法和求解即可； （2）设经过秒以后，点追上点，根据题意列出方程求解即可； （3）设经过秒以后，两点的距离为6个单位长度，根据题意分两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的为，点在点左边且点与点的距离， 数轴上点表示的数是， 故答案为：； （2）解：设经过秒以后，点追上点， 则， 解得， ∴经过秒以后，点追上点； （3）解：经过秒以后，两点的距离为6个单位长度，依题意有： ①相遇前两点的距离为6个单位长度，则， 解得， 点表示的数是； ②相遇后两点的距离为6个单位长度，， 解得， 点表示的数是； 经过4秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是． 18．临近“五一”，各大商场掀起促销狂潮，甲、乙、丙三个商场的促销活动如下表所示： 商场 促销活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元的购物券”的优惠，再购物时，购物券可冲抵现金．（如：顾客购物240元，赠券200元；再购买340元的商品时可抵现金200元，只需付款140元，不再送券．） 丙 实行“每满100元减50元”的优惠．（如：顾客购物240元，可减100元，只需付款140元．） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一双标价299元的皮鞋和一双标价229元的运动鞋，王阿姨想买这两双鞋，她应选哪家商场？ (2)张阿姨发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，两家商场所需费用相等，求这条裤子的标价． (3)丙商场又推出“先打九折”，再实行“每满100元减50元”的新优惠活动．李阿姨购买了该商场一件标价600元的小家电，她按照新优惠活动结算，发现费用反而比老优惠活动多20元，求被墨水遮盖的数字． 【答案】(1)选丙商场 (2)370元 (3)五 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程进行求解． （1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，再比较得出答案即可； （2）设这条裤子的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可； （3）根据题意可得可减费用为元，设打m折，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：甲商场所需费用为（元） 乙商场所需费用为（元） 丙商场所需费用（元） 因为， 因此，应选丙商场． （2）解：设这条裤子的标价是x元，根据题意，得∶ ， 解这个方程，得． 因此，这条裤子的标价是370元． （3）解：老优惠活动所需费用为（元）， 由题意，得这件小家电打完折后的价格在之间， 所以可减费用为：（元）． 设打m折，由题意，得： ． 解得． 即被墨水遮盖的数字为五． 19．阅读材料，回答问题． (1)材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布通知，明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元，税率级数如下（部分）： 级数 原来（每月）工资薪金 现行（每月）工资薪金 税率 0 3500元 5000元 免税 1 不超过1500元的部分 不超过3000元的部分 2 超过1500元到4500元的部分 超过3000元到12000元的部分 3 超过4500元到9000元的部分 超过12000元到25000元的部分 4 超过9000元到35000元的部分 超过25000元到35000元的部分 根据材料1，完成下列表格填空： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小林 7000 60 小陈 15000 1870 (2)材料2：2019年1月1日起正式实施新个税法，在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，部分扣除如下： 子女教育（每个子女） 赡养两位老人 住房贷款 继续教育 租房租金 大病医疗 每月扣除1000元 每月扣除2000元 每月扣除1000元 每月扣除400元或300元 每月扣除1200、1000或800元 每年扣除60000元限额（据实） 根据材料2，小张和妻子都是独生子女，需赡养双方父母，共四位老人，养育两个孩子（都在接受教育），现在已知夫妻双方每月工资薪金共21000元，两人均申报了赡养两位老人的专项附加扣除免税，“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在小张一方，妻子和小张的家庭个税共220元，妻子的税率（算上专项附加扣除免税）达到第1级，请问妻子与小张每月工资薪金各是多少元？ (3)在第（2）问的条件下，若“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在妻子一方，此时家庭个税比之前________（填“多”或“少”）________元． 【答案】(1)245，790 (2)妻子每月工资薪金元，则小张每月工资薪金元； (3)多， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据表格税率与税级的数据分别计算求解，即可解题； （2）设妻子每月工资薪金元，则小张每月工资薪金元，得到妻子个税为：，再分情况当小张个税为1级时，当小张个税为2级时；分别表示出小张个税，结合“妻子和小张的家庭个税共220元，”建立方程求解，即可解题； （3）根据（2）中数据计算出此时家庭个税，再与之前的家庭个税进行比较求解，即可解题． 【详解】（1）解：（元）， 则小林原应纳个税（元）， （元）， 则小陈现应纳个税（元）， 表格填空如下： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小林 7000 245 60 小陈 15000 1870 790 故答案为：245，790； （2）解：设妻子每月工资薪金元，则小张每月工资薪金元， 根据题意可得妻子个税为：， 当小张个税为1级时； 小张个税为：， 则， 整理得方程无解； 当小张个税为2级时； 小张个税为：， 则， 解得， 则小张每月工资薪金为元， 答：妻子每月工资薪金元，则小张每月工资薪金元； （3）解：若“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在妻子一方， ， 妻子个税为0， 则此时家庭个税为： （元）， （元）， 此时家庭个税比之前多元． 故答案为：多，． 20．【问题背景】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题． 下面是智慧小组同学的学习报告： 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 A，B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶．如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 示意图                等量关系 相遇时，甲走的路程+乙走的路程 解决问题 设经过两人相遇， 根据题意得， 解得， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过相遇． 请根据以上内容，继续完成任务： (1)任务1：如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)任务2：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ (3)任务3：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间甲、乙相距？ 【答案】(1)经过或甲、乙相距 (2)经过乙追上甲 (3)经过或甲、乙相距 【分析】（1）设经过甲、乙相距，分相遇前相距及相遇后相距两种情况考虑，利用路程速度时间，结合甲、乙的路程之和为或，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设经过乙追上甲，利用路程速度时间，结合乙、甲的路程之差为，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设经过甲、乙相距，分相遇前相距及相遇后相距两种情况考虑，利用路程速度时间，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设经过甲、乙相距， 当相遇前相距时，， 解得：； 当相遇后相距时，， 解得：． 答：经过或甲、乙相距； （2）解：设经过乙追上甲， 根据题意得：， 解得：． 答：经过乙追上甲； （3）解：设经过甲、乙相距， 当相遇前相距时，， 解得：； 当相遇后相距时，， 解得：． 答：经过或甲、乙相距． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 一元一次方程的应用 （2知识点+15大题型+6大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：15大核心考点精准练+6大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 知识点2：常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 2．某校六年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学活动．小明因事迟到小时才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了半小时在路上追上了大客车．已知小汽车的速度比大客车的速度每小时多千米，则大客车、小汽车的速度各是多少？ 3．如图是某校运动场的平面图，学校计划在硬化的中心区域（阴影部分）铺设人造草坪，中心区域最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米． (1)运动场中心区域周长为_____米；（结果用含、的代数式表示，保留）； (2)若，且运动场中心区域周长为400米． ①求半径（取3）； ②在①的条件下，若人造草坪每平方米60元，则学校共需付多少铺设费用？（取3）． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）某中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛每队进行10场比赛）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 勤勉队 10 8 2 26 无限队 10 ？ ？ 22 进取队 10 5 5 20 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积_____分，负一场积_______分； (2)求无限队的胜场数和负场数． 5．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）某校八年级（1）班学生在自主合作学习《利用分式方程解决工程问题》这一学习项目时，遇到了如下一个问题： 一项工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要30天，甲乙合作8天后，甲另有任务，余下工程由乙单独完成，乙还需要工作多少天才能全部完成？ 设乙还需要天才能全部完成． 第一小组分析已知条件，并结合所设未知数x列表如下： 工作效率 工作时间 所列方程 甲乙合作 8 ② 乙单独做 ① 第二小组分析已知条件，并结合所设未知数x列表如下： 工作效率 工作时间 所列方程 甲 8 ④ 乙 ③ 请你根据以上信息，完成下面的题目． (1)请填写表格中①、③所表示的代数式和②、④所表示的方程： ①____________；②_________；③_________；④_________； (2)请你选择以上两个小组分析方法中的一种，解决这个问题． 6．根据图中信息，解答下列问题． (1)购买6个篮球需付款_______元，购买10个篮球需付款_______元． (2)小丽比小刚多买了2个篮球，付款时小丽反而比小刚少付42元．问：小丽买了多少个篮球？ 7．如图，数轴上从左到右依次有 ，，三点，点表示的数为，电子蚂蚁甲从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过秒恰好运动到点． (1)点所表示的数为 ． (2)电子蚂蚁乙从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且与电子蚂蚁甲同时出发，恰好在点相遇，求点所表示的数． 8．为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示．已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为元，经测算，比不使用峰谷电节约元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？ ：每千瓦时元（峰电价格） ：每千瓦时元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时元 9．某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 (1)求上表中m的值； (2)第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 【题型1 配套问题】 1．某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件28个或乙种零件14个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 2．太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 3．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 4．制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有木材． (1)应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子呢？ (2)这样制作，一共能制作多少套？ 【题型2 工程问题】 5．一项工程，单独做，甲需12天，乙需15天，两人同时合做多少天后剩下的部分由乙单独做6天完成？ 6．汾河，黄河中游支流，位于山西省境内，发源于宁武县境内管涔山脚下的雷鸣寺泉，向南流经忻州、太原、晋中、吕梁、临汾、运城等市，于万荣县庙后村汇入黄河．为把汾河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的沿河旅游风景区，现将一段长为290米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时25天．甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ 7．渭河特大桥作为渭河最长干线公路桥梁，在建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，求甲工程队每天铺设桥梁构件的件数． 8．小方和小胡值日并打扫教室卫生，小方单独打扫完教室卫生，需20分钟，小胡单独打扫完教室卫生，需16分钟．因小胡要先将数学作业本交到老师办公室，故先由小方单独打扫2分钟，余下的再由两人一起完成，求小胡需要花多长时间打扫完教室的卫生． 【题型3 销售盈亏】 9．某商店进了两种不同的文具套装，其中类套装的进价为每套50元，类套装的进价为每套40元，总共进了40套，共花费1850元．问商店进了A类和B类文具套装各多少套？ 10．大三学生小凡参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和2000元现金，当他工作满20天时因故结束实习，结算工资时公司给了他一台型平板电脑和500元现金． (1)这台型平板电脑公司的报价是多少元？ (2)小凡若工作天，将上述约定工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含的代数式表示）？ (3)若某电脑经销商正在经销这款型平板电脑，他按进货价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每台仍可获利340元，这款型平板电脑每台的进货价是多少元？ 11．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”，回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些如图所示的纪念品送给在北京的小伙伴们，她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要554元，试判断：小云有600元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶？ 12．为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/袋） m 售价（元/袋） (1)甲的进价______元，乙的进价______元； (2)若小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ 【题型4 比赛积分】 13．某学校九年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．九年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，九（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问九（1）班第一轮胜了多少场？ 14．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 15．中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 16．近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【题型5 方案选择】 17．王大伯家去年收获了24吨苹果，这些苹果均达到了一、二级质量标准，其中达到一级质量标准的苹果质量是达到二级质量标准苹果的． 方案一：如果分等级出售，那么一级苹果每吨售价万元，二级苹果每吨售价万元． 方案二：如果不分等级出售，那么所有苹果每吨售价万元． 请你算一算，按哪种方案出售比较合算． 18．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 19．问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． 问题： (1)请算出两个班各有多少名学生? (2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗? 20．2024年11月28日-12月1日，岚山区中学生足球联赛成功举办，比赛不仅丰富了校园文体生活，还极大激发了同学们对足球运动的兴趣，某校足球社团人数迅增，需要购进一批足球和足球护腿板．经调查发现，同一型号的足球和护腿板在甲、乙两家商店标价均相同，其中足球每个标价80元，护腿板每副标价30元．两家商店分别有庆元旦促销活动，优惠方式如下： 甲商店：足球和护腿板都按9折出售． 乙商店：每购满三个足球就送一副护腿板． 学校计划订购足球36个，护腿板若干（不少于12副），单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购护腿板的数量是16个，如果在乙商店订购，购买足球和护腿板的总费用是多少元？ (2)当订购护腿板的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买足球和护腿板的总费用相同？ (3)若订购护腿板数量与（2）中的数量相同，但临时需要再多购买4个足球，则在哪家商店购买更合算？请说明理由． 【题型6 数字问题】 21．如图，数学兴趣小组编写了一道数学谜题：．其中，“○”和“□”各表示一个数字，且两个数字之和为9，请求出“○”和“□”各表示的数字． 22．一个防盗门的密码由4个数字按从大到小的顺序组成，这4个数字之和是16，并且相邻的两个数字都相差2，这个密码是多少？ 23．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数． (1)设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为_________，这个两位数是_________，对调后得到的两位数是_________（以上都用x的代数式表示） (2)根据题意列出方程为_________ (3)解这个方程得_________ (4)则这个两位数是 _____ ． 24．阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例， 设，由，可知，解得，于是． (1)请把无限循环小数化为分数是___________； (2)请把无限循环小数化为分数； (3)请把无限循环小数（其中循环节为16）化为分数． 【题型7 几何问题】 25．如图所示，一个正方形纸片，先沿剪去宽为的长方形，再沿剪去宽的长方形．记长方形的面积为，长方形的面积为，若，求原正方形纸片的边长． 26．如图，在一个正方形中先剪去一个宽为的长方形，再从剩下部分剪去一个宽为的长方形，若剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的面积． 27．如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相遇？ 28．如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米． (1)若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F的边长=_______；正方形E的边长=________；正方形C的边长=________； (2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的．试根据此等量关系求出x的值； (3)此健身广场的周长为 ． 【题型8 动点问题】 29．如图，在一条不完整的数轴上有，两点，它们表示的数分别为和5． (1)设、两点所对应的数的和是，求出的值； (2)求线段的长度． (3)若点沿数轴正方向运动，点沿数轴负方向运动，速度均为每秒1个单位长度，同时运动秒． ①求6秒后点表示的数； ②求为何值时，线段的长度为2． 30．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 31．如图，数轴上一动点沿数轴向右移动4个单位长度到达点，再向左移动10个单位长度到达点．    (1)若点表示的数为0，则点，点表示的数分别为________，________； (2)若点，点表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)在（1）的条件之下，若电动蚂蚁小米从点出发，以每秒0.3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只电动蚂蚁小粒从点出发，以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设两只电动蚂蚁在数轴上的点相遇，求点表示的数． 32．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 【题型9 和差倍分问题】 33．饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍．饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？ 34．世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米．古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ (1)下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内___________． (2)请列方程解决这个问题． 35．为助力乡村振兴，某村计划对村集体公顷土地的种植项目调整为种植油桃和香梨，且油桃的种植面积比香梨种植面积的倍少公顷，油桃和香梨的种植面积分别为多少公顷？ 36．在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A、B两种套餐进行了调查研究．（每天只提供一种午餐） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬菜类（克） 其它（克） A 160 95 120 125 B 200 70 140 90 为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A、B套餐各几天时，能达到控制主食摄入量的目的（说明：一周按5天计算） 【题型10 电费和水费问题】 37．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过8立方米 每立方米元 超过8立方米 超过的部分每立方米元 (1)写出每月用水量不超过8立方米和超过8立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过8立方米时，________； ②每月用水量超过8立方米时，________； (2)若某户居民某月用水量为立方米，则应交水费多少元？ 38．某中学七年级（1）班3名老师决定带领本班名学生去某革命胜地参观．该革命胜地每张门票的票价为60元，现有A、B两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生六折； 方案：不分教师与学生，全部六五折优惠． (1)若按方案购票，需付款_____元（用含的代数式表示）； 若按方案购票，需付款_____元（用含的代数式表示）； (2)当学生人数为何值时，选择两种方案的费用相同？ (3)当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？ 39．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，某户月份用吨水． 月用水量 不超过吨 超过吨不超过吨 超过吨 收费标准（元/吨） (1)请分别写出，，时，水费的代数式； (2)某户用水吨，吨，吨，各需付水费多少元？ (3)某户月份水费为元，则用水量是多少吨？ 40．某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费．已知月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过24吨 超过24吨 备注：月用水量另收取污水处理费0.5元/吨． 水费单价 4元/吨 不超过24吨的部分仍按4元/吨计费，超过部分按a元/吨计费 例如：一用户二月份用水量为12吨，则该月应缴水费为（元）． (1)若用户五月份用水量为20吨，则该用户该月应缴水费_____元； (2)若用户六月份用水量为40吨，缴水费212元，求a的值； (3)在（2）的条件下，若用户七月份共缴水费342元，求该用户该月用水量． 【题型11 行程问题】 41．甲、乙、丙三人沿着环形跑道从同一起点出发，丙与甲、乙的方向相反．40秒后，甲与丙第一次相遇，又过了1分钟，乙与丙第二次相遇．问再过多少秒，甲将第一次追上乙？ 42．甲、乙两地相距1040千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半多7千米，动车平均每小时行驶多少千米？ 43．一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米．这架飞机最多飞行多少千米就需要往回飞？ 44．【问题背景】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题． 下面是智慧小组同学的学习报告： 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 A，B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶．如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 示意图 等量关系 相遇时，甲走的路程+乙走的路程 解决问题 设经过两人相遇， 根据题意得， 解得， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过相遇． 请根据以上内容，继续完成任务： (1)任务1：如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距? (2)任务2：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ 【题型12 比例分配】 45．列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 46．为鼓励学生参加体育锻炼，某学校计划购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为，单价之和为70元，则篮球和排球的单价分别为多少钱？ 47．学校要为图书室的地面铺上方砖，如果用边长为3分米的方砖铺地，需要用600块，如果改用边长为5分米的地砖铺地，需要多少块？（用比例知识解答） 48．白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？ 【题型13 日历问题】 49．如图，这是2025年1月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为1，求Y形框框中的这四个数字之和． (2)在表中移动Y形框的位置，若Y形框框住的四个数字之和为85，求这四个数字中最小的数． 50．如图是某月的月历表，在此月历表上用一个“十”字形方框任意框出5个数． (1)若框出的5个数中，最中间的数为a，则它左边的数为，下面的数为___________． （用含 a的代数式表示） (2)若框出的5个数之和为100，则框出的5个数中，最中间的数为多少？ 51．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 52．如图是2024年2月的日历表． (1)在图中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 ． (2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的五个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 ． (3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【题型14 古代问题】 53．《九章算术》中有这样的一道题：今有四人共车，一车空．三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 54．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 55．丢番图的墓志铭． 古希腊数学家丢番图被认为是代数学的鼻祖，但历史上没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍，甚至连他的国籍都没有明确的记载，然而有趣的是，他竟然有一个墓志铭，上面镌刻着他的一些情况：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须．又过了生命的七分之一才结婚．再过5年，他感到很幸福，得了一个儿子．可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，他在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯．”你知道丢番图结婚时和去世时的年龄分别是多少吗？ 56．“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【题型15 其他问题】 57．洋葱学园张老师一年前存入一笔钱，年利率为，到期共获得本息和为71365元，求张老师一年前存入银行的本金是多少元？ 58．笑笑乘坐公交车回家，她上车后，发现车上还有3个空座位．当公交车在人民大街站停车时，车上有的乘客下车，又有12人上车，这时车上座位正好坐满．这辆公交车一共有多少个座位？（用方程解） 59．P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： 计算：原式 Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 60．习近平总书记强调：“一个博物院就是一所大学校”．某校联系研学社组织学生到博物院研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1800元后，再每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 已知研学人数超过50，且上述两种方案的收费相同，求研学人数． 【拓展训练一 一元一次方程的销售问题综合】 61．张先生向商店订购了每件定价为元的某种商品件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多元，这种商品的成本是多少元？ 62．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 63．西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 64．列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【拓展训练二 一元一次方程的配套问题综合】 65．根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒：3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务1 制作图3规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板可以做成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ 任务2 制作图3、图4规格的纸盒共11个 若有25张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板能够恰好完成制作？ 66．小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案： 小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？ 67．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球两种部件组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌）． (1)生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请你补全正方体模型的直观图． (2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．同一个工人同一天不能同时生产两种部件．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 68．综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【拓展训练三 一元一次方程的方案选择综合】 69．某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，这两种出租车的收费方式如下． A专车：3千米以内（包括3千米）收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用： B快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 8元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费：远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元． (1)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元； (2)如果乘车路程是千米，使用A专车出行，需支付的费用是______元；使用B快车出行，需支付的费用是______元；（用含的式子表示，结果要化简） (3)如果乘车路程是千米时，使用B快车出行的费用比使用A专车出行的费用省3元，求的值． 70．某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表： 篮球 排球 进价（元/件） 60 40 售价（元/件） 100 60 (1)该超市购进篮球和排球各多少个？ (2)该超市若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价） (3)某学校准备到该体育用品商量购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案一：两种球类售价都打8折；方案二：购买2个篮球赠送一个排球． 学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的．请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？ 71．某打印店为吸引顾客，推出大额打印优惠活动，有如下两种优惠方案： 方案一：花费30元，即可成为白金会员，白金会员可享受累计最多免费打印500张的权益，超出500张的部分按每张0.3元收费； 方案二：花费45元，即可成为黑金会员，黑金会员可享受累计最多免费打印750张的权益，超出750张的部分按每张元收费． 注：①每位顾客只能选择其中一种方案成为会员； ②以上优惠活动仅限于打印单面纸张，以下均默认打印的是单面纸张． (1)当顾客甲的打印量为800张时，若按方案一收费，需支付______元；若按方案二收费，需支付______元（用含的代数式表示）； (2)若顾客乙按方案一打印共支付费用42元，求他共打印了多少张； (3)当时，设顾客丙的打印量为张，若他选择方案一和方案二的收费相等，请求出的值． 72．为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【拓展训练四 一元一次方程的水电费综合】 73．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2025年1月用水15吨，交水费30元；2月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值； (2)如果小王家3月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ 74．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 75．为了让市民树立起“珍惜水、保护水”的用水概念，某市从2014年6月起，居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 20吨及以下 0.80 超过20吨但不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 3.30 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费自来水费用污水处理费用） 已知小李家今年1月份用水20吨，交水费48元，2月份用水25吨，交水费64.5元． (1)求表中、的值； (2)小李家3月份的水费正好是小李家庭月收入的，已知小李家的月收入为8560元，试求小李家3月份的用水量． 76．滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【拓展训练五 一元一次方程的动点问题综合】 77．如图，点表示的数是，点表示的数是，满足．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)________，________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①问点运动多少秒时追上点？ ②问点运动多少秒时使得？ (3)若为的中点，在点到达点之前，试说明的值为定值． 78．【问题背景】 在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离为或．例如：数轴上表示3和4的两点之间的距离是1． 【问题解决】 （1）数轴上表示和10两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示x和的两点之间的距离是________； 【关联运用】 （2）如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，18，设点P在数轴上对应的数为． ①若点为线段的中点，则________； ②若点为线段上的一个动点，化简； ③动点从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，请直接写出使得时的值． 79．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，为原点．且满足，是单项式的次数的相反数．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)求出数轴上点表示的数和点表示的数，用含的式子表示出数轴上点表示的数； (2)当点在点的左侧运动时，、分别是线段、的中点，求的值； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，运动多少秒时、两点重合，此时点在数轴上的点对应的数值是多少？ 80．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点表示数，将点向右移动5个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； （2）如果点表示数2，将点先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度得到点，那么终点表示的数是______； 【深入研究】 （3）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．如图，两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是2；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜两次，求点最终位置表示的数，点最终位置表示的数，、两点间的距离； ②若在次“剪刀、石头、布”中，平局有次，甲胜有次，请用含、、的式子表示点和点最终表示的数；点和点会重合吗？如果能重合，请求出的值． 【拓展训练六 一元一次方程的几何问题综合】 81．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） (2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 82．如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 83．如图，在长方形中，．动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点到达点时，求点走过的路程． (2)在点在到达终点之前的运动过程中．用含的代数式表示的长． (3)当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，求t的值． (4)连结、、、．当三角形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值 84．如图，甲、乙两位同学在长方形的场地上绕着四周跑步，甲沿着方向循环跑步，同时乙沿着方向循环跑步，米，米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． (1)设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米； (2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点的位置． (3)若甲改为沿着的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点的位置并直接写出、两点间的距离． 1．《孙子算经》一书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的7折出售将赚25元，则每件服装的成本价为（   ） A．185元 B．190元 C．195元 D．200元 3．如图，方格内每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 4．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？小安假设“共有x辆车”，小溪假设“共有y人”，下列说法正确的是（   ） A．按小安的设元方法，则共有人 B．按小溪的设元方法，则共有辆车 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 5．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（    ） A．669 B．670 C．671 D．675 6．某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 7．在东汉许慎所著的《说文解字·序》里记载：“神农氏结绳为治，而统其事．”想象在遥远的神农氏时代，有一位聪慧的村民，为了准确记录每次狩猎所获猎物的数量，采用了结绳计数的方法．他计数时遵循“从右往左，满五进一”的规则（具体示意如图所示）．已知这位村民某次一共狩猎到了43只动物，那么在他所结的绳中，第二根绳子上的打结个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点、、、对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是、、、，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 9．一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍．如果把十位上的数字和个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数大36，原来的两位数为 10．明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中给出这样一道题：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（明代时，1斤两）．若用方程解答这道题，设共有个客人，则的值为 ． 11．小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价的85%付钱，黑笔按定价的80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔 支． 12．有一旅客带行李从西安到广州，按民航规定，旅客最多可免费携带行李，超过部分每千克按飞机票价的购买行李票，已知该旅客购买的行李票为198元，则他的飞机票价为 元． 13．北京市三帆中学科技节的活动丰富多彩，其中体验类项目中“书本灯制作”和“自制充电宝”深受大家的欢迎，“科技状元榜”更是万众瞩目的竞赛类项目．初一某班共有名同学，每名同学至少参与了其中一个项目，其中人参与了“书本灯制作”，个人参与了“自制充电宝”的体验，人有“科技状元榜”的工作任务．因为赛程安排，“科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与．现有以下结论： 只参与了“书本灯制作”的学生有人； 同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数； 只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少． 正确的结论是 （填写序号）． 14．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方-九宫格．图①就是一个幻方，将9个不同数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和都相等．图②是一个未完成的幻方，则m的值是 ． 15．数轴上两点A、B所表示的数分别为和6，点P、Q分别是数轴上两动点，点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，当时，点Q在数轴上对应的数为 ． 16．由于同学们最近表现很好，老师买了一些糖果分给若干个学生，如果每人分4颗，则剩下9个；如果每人分6颗，则最后一个学生分得的糖果少得3颗，问共几个学生，分了多少颗糖？ 17．如图，数轴上点表示的为是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． (1)求出数轴上点表示的数___________； (2)求经过几秒点追上点？ (3)经过几秒，、两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少？ 18．临近“五一”，各大商场掀起促销狂潮，甲、乙、丙三个商场的促销活动如下表所示： 商场 促销活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元的购物券”的优惠，再购物时，购物券可冲抵现金．（如：顾客购物240元，赠券200元；再购买340元的商品时可抵现金200元，只需付款140元，不再送券．） 丙 实行“每满100元减50元”的优惠．（如：顾客购物240元，可减100元，只需付款140元．） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一双标价299元的皮鞋和一双标价229元的运动鞋，王阿姨想买这两双鞋，她应选哪家商场？ (2)张阿姨发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，两家商场所需费用相等，求这条裤子的标价． (3)丙商场又推出“先打九折”，再实行“每满100元减50元”的新优惠活动．李阿姨购买了该商场一件标价600元的小家电，她按照新优惠活动结算，发现费用反而比老优惠活动多20元，求被墨水遮盖的数字． 19．阅读材料，回答问题． (1)材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布通知，明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元，税率级数如下（部分）： 级数 原来（每月）工资薪金 现行（每月）工资薪金 税率 0 3500元 5000元 免税 1 不超过1500元的部分 不超过3000元的部分 2 超过1500元到4500元的部分 超过3000元到12000元的部分 3 超过4500元到9000元的部分 超过12000元到25000元的部分 4 超过9000元到35000元的部分 超过25000元到35000元的部分 根据材料1，完成下列表格填空： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小林 7000 60 小陈 15000 1870 (2)材料2：2019年1月1日起正式实施新个税法，在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，部分扣除如下： 子女教育（每个子女） 赡养两位老人 住房贷款 继续教育 租房租金 大病医疗 每月扣除1000元 每月扣除2000元 每月扣除1000元 每月扣除400元或300元 每月扣除1200、1000或800元 每年扣除60000元限额（据实） 根据材料2，小张和妻子都是独生子女，需赡养双方父母，共四位老人，养育两个孩子（都在接受教育），现在已知夫妻双方每月工资薪金共21000元，两人均申报了赡养两位老人的专项附加扣除免税，“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在小张一方，妻子和小张的家庭个税共220元，妻子的税率（算上专项附加扣除免税）达到第1级，请问妻子与小张每月工资薪金各是多少元？ (3)在第（2）问的条件下，若“养育两个孩子的教育费用”扣除额计算在妻子一方，此时家庭个税比之前________（填“多”或“少”）________元． 20．【问题背景】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题． 下面是智慧小组同学的学习报告： 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 A，B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶．如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 示意图                等量关系 相遇时，甲走的路程+乙走的路程 解决问题 设经过两人相遇， 根据题意得， 解得， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过相遇． 请根据以上内容，继续完成任务： (1)任务1：如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)任务2：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ (3)任务3：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间甲、乙相距？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$