专题22 几何图形（3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题22 几何图形 （3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：立体图形 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展：常见的立体图形有两种分类方法： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列几何体中，属于柱体的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）下列图中柱体有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 知识点2：棱柱的相关概念 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）下列是棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） 6．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）    知识点3：点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即时训练】 7．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．长方体是四棱柱 B．五棱柱有7个面 C．八棱柱有16条棱 D．六棱柱有12个顶点 8．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知一个直棱柱有9个面，且每条侧棱长为，底面边长均为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个顶点，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和． 【题型1 常见的几何体】 1．下面几何体的名称是 （   ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．正方体 2．下列几何体中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 3．在下列几何图形中，属于平面图形的有 (填序号) ①线段，②球，③正方体，④三角形，⑤角，⑥圆 4．积木是很多同学小时候玩过的一种玩具，对于锻炼手眼协调能力，培养科学思维很有帮助．如图所示是用积木拼成的小车，写出你能看出的立体图形： ．（写两种即可） 5．用线把实物图与相应的几何图形连接起来．    【题型2 组合几何体的构成】 6．若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 7．用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 8．十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 9．在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 10．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【题型3 立体图形的分类】 11．下列几何体中，不是柱体的是（ ） A． B． C． D． 12．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是 ，属于平面图形的是 ．（填序号） 14．将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序号） 15．在正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、六棱锥中属于柱体有 个． 【题型4 几何体中的点、棱、面】 16．如图，祖母绿被称为绿宝石之王，属于绿柱石矿物，通常为六棱柱形状，这是由晶体的内部结构决定的，那么这个六棱柱祖母绿共有（    ）个面 A．6 B．7 C．8 D．9 17．下列说法错误的是（    ） A．柱体有两个互相平行、形状相同且大小相等的面 B．棱锥除底面外，其余各面一定都是三角形 C．圆柱的侧面是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 18．一个正方体，每次截取一个顶点，8个顶点都被截去后，得到一个新的几何体，这个新的几何体有 个面， 个顶点， 条棱． 19．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个，则 ． 20．如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【题型5 平面图形旋转后所得的立体图形】 21．如图，将矩形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 22．将如图所示的直角三角形绕直线旋转一周得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 23．一个直角三角形直角边为5，12，若以直角边所在直线为轴旋转一周所成旋转体的体积为 ．（保留π） 24．已知长方形的长为，宽为，记这个长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱的侧面积为，这个长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱的侧面积为，则的值为 ． 25．如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)所得几何体名称叫 ，把这个几何体底面朝下放置，则它从 面和 面看形状相同；（填“正”或“上”或“左”） (2)根据图中数据，求出该几何体的表面积．（结果保留） 【题型6 点、线、面、体四者之间的关系】 26．下面现象说明“线动成面”的是（    ） A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 B．汽车雨刷在档风玻璃上面画出的痕迹 C．天空划过一道流星 D．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 27．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 28．用数学原理分析下列生活实例： （1）钢笔写字 ； （2）自行车的辐条运动形成几何图形 ； （3）直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥体 ． 29．有下面四种现象：①旋转一扇门，门运动的痕迹；②扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；③夜晚天空划过流星的痕迹；④汽车雨刷在挡风玻璃上画出的痕迹．其中能说明“线动成面”的现象是 （填序号）． 30．小丽跟妈妈到银行办理业务，她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成的．此情此景，让她想起了六年级数学第一章《丰富的图形世界》里的知识，她提出了以下问题，你能帮她解决吗？ (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是______． (2)这能说明的事实是______（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (3)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π） 【题型7 平面图形形状的识别】 31．下列图形中是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 32．下列说法正确的是（   ） A．各边相等的多边形一定是正多边形 B．各角相等的多边形一定是正多边形 C．正多边形各边都相等，各角也相等 D．等边三角形不是正多边形 33．用、、、各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、正方形、圆）中的一种．图1至图4是由、、、中两种图形组合而成的（组合用“”表示），表示的有①~④4个组合图形可以供选择，其中正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 34．给图中的多边形写出一个合适的名称： （1） ；（2） ；（3） ． 35．如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是 ． 【题型8 用七巧板拼图形】 36．用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 37．小星在学习了七巧板一节内容后，用边长为的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，并将它拼成如图②所示的“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 38．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．数学兴趣小组在综合与实践课上用一张面积为的正方形纸片先制作了一副如图1所示的七巧板，再拼成如图2所示的作品，则图2中①和②的面积之和是（    ） A． B． C． D． 39．如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 40．二七区是国家唯一因纪念重大革命历史事件而命名的城区，也是著名的红色教育基地．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图①的七巧板，设计拼成图②的“奔跑者”形象来激励自己．已知图①正方形纸片的边长为4，则“奔跑者”在奔跑方向的手和足（图②中阴影部分）的面积之和为 ． 【拓展训练一 几何体中的点、棱、面综合】 41．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面氨、面数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 _____ 长方体 8 6 12 正八面体 _____ 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)根据表格，直接写出你发现顶点数、函数、棱数之间存在的关系式_____． (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，应用（2）的结论，求这个多面体的面数． 42．【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体 的名称叫做三棱台、如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一 个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 (1)在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图． （注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） (2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） … 棱数（E） … 顶点数（V） … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：， 你认为她 的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 43．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 ； (2)一个多面体的面数比顶点数小，且有条棱，则这个多面体的面数是 ； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有条棱．若该多面体外表面三角形的个数是八边形的个数的倍多，求该多面体外表面三角形的个数． 【拓展训练二 几何体展开图计算表面积、体积】 44．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 45．作图解决问题 如下图是由8个相同的边长为1的小正方体组成的几何体，按要求完成以下问题． (1)请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状图； (2)请求出这个几何体的表面积； (3)如果要保证从正面和左面看到的形状图不变，最多可以添加 个相同的小正方体；如果在保证从正面、左面、上面看到的形状图都不变，是否可以添加小正方体？最多可以添加 个相同的小正方体，请在几何体上标出添加位置． 46．聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：      (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______． (2)聪聪一共剪开了_________条棱． (3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况． 【拓展训练三 平面旋转后所得的立体图形相关计算】 47．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 48．一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，） (1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由． 49．探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．    (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 【拓展训练四 七巧板拼图形综合】 50．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 51．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”． (1)请你用3块板拼一个三角形． (2)请你用4块板拼一个三角形． (3)请你任意拼出图形，并配上恰当的解说词．（请在图中标注使用板块的序号） 52．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 1．下面几何体中，是圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是直角三角形．将绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 3．七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 4．一个长方形的长是6厘米，宽是2厘米．以它的长为轴旋转一周所得到的圆柱体的体积是（　　）立方厘米（取） A． B． C． D． 5．如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的两个数字互为相反数，则的值为（　　） A．18 B． C． D． 6．如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 7．如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有 （填写序号即可） 8．已知将下面的图形折成一个正方体纸盒后，数字“9”与其相对面上的数互为相反数，数字“”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 9．下列几何体的性质：①侧面是平行四边形；②上、下底面形状相同；③上、下底面平行；④棱长相等，是棱柱的性质的有 ．（填写序号） 10．一个直角三角形两条直角边分别为和，以这个三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积是 ．（结果保留） 11．《冷庐杂识》有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．如图，小明拼凑出爱心形状，若爱心的面积为48，那么七巧板中正方形的面积为 ． 12．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为 ． 13．一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要 个小立方块． 14．如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为40和32，且四个阴影部分的周长为44，则长方形的周长为 ．    15．将图中的图形分类，并说说分类的依据． 16．已知一个直棱柱有9个面，且每条侧棱长为，底面边长均为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个顶点，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和． 17．如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 18．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 19．如图是用棱长为2的小立方体搭成的几何体 (1)分别画出该几何体从正面看，从左面看，从上面看的形状图； (2)求该几何体的体积与表面积． 20．如图a是正方体木块，把它切去一块，得到如图b、c、d、e四种木块． (1)我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b、c、d、e中木块的顶点数、棱数、面数补全下表： 图号 顶点数 棱数 面数 (2)分析上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； (3)根据猜想计算：若一个多面体的顶点数为2024个，棱数为4047条，试求它的面数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 几何图形 （3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：立体图形 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展：常见的立体图形有两种分类方法： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列几何体中，属于柱体的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，锥体包括圆锥和棱锥；柱体包括棱柱和圆柱，长方体是四棱柱属于柱体． 【详解】解：圆锥是锥体，不是柱体，三棱锥是锥体，不是柱体，长方体是四棱柱属于柱体，球是球体，不属于柱体，圆柱属于柱体， 长方体、圆柱属于柱体， 属于柱体的有个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）下列图中柱体有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据柱体的定义（一个多面体有两个面互相平行且相等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体为柱体）即可判断． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱， 图中的柱体有①③④⑥，共4个． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了柱体的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念即可． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧ 【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、曲面的定义进行求解即可． 【详解】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧， 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧． 知识点2：棱柱的相关概念 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）下列是棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查几何图形的知识，解题的关键是掌握棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体，进行解答，即可． 【详解】解：∵棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体 ∴上述图形中属于棱柱的几何体为： 共3个． 故选：B． 5．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） 【答案】②③⑥ 【分析】本题考查了柱体的定义，属于基础题，掌握基本的概念是解题的关键． 根据柱体的分类：棱柱和圆柱，结合图形进行选择即可． 【详解】下列图形中，是柱体的有②长方体③圆柱⑥三棱柱． 故答案为：②③⑥． 6．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）    【答案】③④⑤⑥ 【分析】根据几何体的分类即可求得答案． 【详解】①为圆柱体，不属于棱柱； ②为圆锥体，不属于棱柱； ③为长方体，属于棱柱； ④为正方体，属于棱柱； ⑤为长方体，属于棱柱； ⑥为六棱柱，属于棱柱； ⑦为球体，不属于棱柱． 故答案为：③④⑤⑥． 【点睛】本题主要考查几何体的分类，牢记几何体的分类是解题的关键． 知识点3：点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即时训练】 7．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．长方体是四棱柱 B．五棱柱有7个面 C．八棱柱有16条棱 D．六棱柱有12个顶点 【答案】C 【分析】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的特点． 根据四、五、六、八棱柱的特点可得答案． 【详解】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意； B、五棱柱有个面，选项说法正确，不符合题意； C、八棱柱有条棱，选项说法错误，符合题意； D、六棱柱有个顶点，选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【答案】 【分析】本题考查立体几何的知识，解题的关键是掌握八棱柱的立体图形，根据图形，进行解答，即可． 【详解】解：八棱柱是一个有个侧面的棱柱，每个侧面都是矩形，有两个底面，每个底面都是都是一个八边形，每个底面有个顶点；每个底面有条棱，每个底面的顶点都于另一个底面对应的顶点相连； ∴八棱柱有个角；有条棱；有个面；有个顶点； 故答案为：；；；． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知一个直棱柱有9个面，且每条侧棱长为，底面边长均为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个顶点，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)七，14，21 (2) 【分析】本题考查直n棱柱有条棱，有个顶点，有个面，其侧面积的计算．熟练掌握基本几何体的特点是解题关键． （1）根据直n棱柱有条棱，有个顶点，有个面解答即可； （2）计算侧面的有一个面，再乘7即可． 【详解】（1）解：， 这个直棱柱是七棱柱； ， 这个直棱柱有14个顶点； ， 这个直棱柱有21个顶点． 故答案为：七，14，21； （2）解：， 所以这个直棱柱的所有侧面的面积之和为． 【题型1 常见的几何体】 1．下面几何体的名称是 （   ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．正方体 【答案】B 【分析】本题主要考查了对立体图形的认识，熟记常见立体图形的特征是解题关键． 根据图示的立体图形的特征判断即可． 【详解】解：根据图示可知：此几何体有四条棱，顶面和底面都是相同的四边形，故其名称是四棱柱． 故选：B． 2．下列几何体中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查常见几何体的识别，底面为三角形的柱体叫作三棱柱，由此直接判断即可得出答案． 【详解】解：A．选项中的图形为长方体，不合题意； B．选项中的图形为圆柱，不合题意； C．选项中的图形为三棱锥，不合题意； D．选项中的图形为三棱柱，符合题意； 故选D． 3．在下列几何图形中，属于平面图形的有 (填序号) ①线段，②球，③正方体，④三角形，⑤角，⑥圆 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查了学生对平面图形与立体图形的理解与辨识能力．在数学几何学中，平面图形指的是所有点都位于同一平面上的图形，而立体图形则是在三维空间中占据体积的图形．因此，解题的关键在于准确区分这两种图形． 【详解】解：线段，三角形，角，圆是平面图形，球和正方体是立体图形， 故答案为：①④⑤⑥． 4．积木是很多同学小时候玩过的一种玩具，对于锻炼手眼协调能力，培养科学思维很有帮助．如图所示是用积木拼成的小车，写出你能看出的立体图形： ．（写两种即可） 【答案】长方体、三棱柱（答案不唯一） 【分析】本题考查了立体图形，有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形的定义看图写出两种即可． 【详解】解：立体图形有长方体、三棱柱、圆柱体，写出两种即可， 故答案为：长方体、三棱柱（答案不唯一）． 5．用线把实物图与相应的几何图形连接起来．    【答案】见解析 【分析】根据立体图形的相关概念连线即可． 【详解】解：连线如图所示：．    【点睛】本题考查了立体图形的识别，解题关键是准确识别立体图形． 【题型2 组合几何体的构成】 6．若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 7．用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】用大正方体体积除以小正方体体积即可得到答案． 【详解】解：∵大正方体的体积为 ，每个小正方体的体积为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查立体图形认识，解题的关键是掌握体积公式． 8．十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 【答案】A 【分析】由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和， ∴该几何体前后左右上下各都有6个小正方形，共36个小正方形， ∵小正方体的棱长为 a， ∴该图形的表面积为 36a2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何图形与同底数幂的乘法，熟练掌握正方体的表面积及同底数幂的乘法是解题的关键． 9．在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【详解】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 10．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何体的表面积与体积求法，在一个大正方体的上面的一个角上挖出一个棱长的小正方体，那么它的表面积没有发生变化；用原大正方体的体积减去小正方体的体积就得到余下部分的体积．据此解答即可． 【详解】解：余下部分的体积： ； 表面积：； 答：余下部分的表面积是，体积是． 【题型3 立体图形的分类】 11．下列几何体中，不是柱体的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据柱体：“一个多面体有两个面互相平行，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体”，进行逐项判断即可．本题考查了几何图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：A、是圆柱，是柱体，故该选项不符合题意； B、是正方体，是柱体，故该选项不符合题意； C、是三棱柱，是柱体，故该选项不符合题意； D、是圆锥，不是柱体，故该选项符合题意； 故选：D 12．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球体，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：①是圆锥，属于锥体，符合题意， ②是三棱锥，属于锥体，符合题意， ③是四棱柱，属于柱体，不符合题意， ④是球体，不符合题意， ⑤是圆柱，属于柱体，不符合题意， ∴属于锥体的有①②，共个． 故选：B． 13．下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是 ，属于平面图形的是 ．（填序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①②④ 【分析】本题考查了学生对平面图形与立体图形的理解与辨识能力.在数学几何学中，平面图形指的是所有点都位于同一平面上的图形，而立体图形则是在三维空间中占据体积的图形.因此，解题的关键在于准确区分这两种图形. 【详解】解：根据平面图形与立体图形的定义： 平面图形：①三角形，②长方形，④圆，这些图形的点都在同一平面上，因此它们是平面图形. 立体图形：③正方体，⑤圆锥，⑥圆柱，这些图形在三维空间中占据体积，因此它们是立体图形. 故属于立体图形的是③正方体，⑤圆锥，⑥圆柱，属于平面图形的是①三角形，②长方形，④圆. 故答案为：③⑤⑥； ①②④． 14．将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤⑥/⑥⑤ ④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． 根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】解：根据图形可知 柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有①②③；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有球属于单独的一类，球有④． 故答案为：①②③；①②③；④． 15．在正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、六棱锥中属于柱体有 个． 【答案】4 【分析】根据柱体、锥体、球体的概念进行判断即可． 【详解】解：属于柱体的有：正方体、长方体、圆柱，六棱柱，共4个，圆锥、六棱锥属于锥体，球属于球体， 故答案为：4． 【点睛】本题考查认识立体图形，掌握锥体、柱体、球体的特征是正确判断的关键． 【题型4 几何体中的点、棱、面】 16．如图，祖母绿被称为绿宝石之王，属于绿柱石矿物，通常为六棱柱形状，这是由晶体的内部结构决定的，那么这个六棱柱祖母绿共有（    ）个面 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，根据六棱柱的结构特征求解即可，注意面有侧面与底面两种． 【详解】解：这个六棱柱有6个侧面，2个底面，共8个面． 故选：C． 17．下列说法错误的是（    ） A．柱体有两个互相平行、形状相同且大小相等的面 B．棱锥除底面外，其余各面一定都是三角形 C．圆柱的侧面是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．柱体有两个完全相同且相互平行的面，故选项说法正确，不符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项说法正确，不符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项说法错误，符合题意； D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 18．一个正方体，每次截取一个顶点，8个顶点都被截去后，得到一个新的几何体，这个新的几何体有 个面， 个顶点， 条棱． 【答案】 14 24 36 【分析】本题结合截面考查多面体的相关知识．要注意截去顶点后，新几何体中，面，顶点和棱的变化．每截去一个顶点就会多出1个面，2个顶点和3条棱，故能得到答案． 【详解】解：每截去一个顶点就会多出1个面，2个顶点和3条棱，那么得到的新的几何体就应该有个面，个顶点，条棱． 故填14、24、36． 19．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查长方体的相关知识．观察后动手操作，判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置，是解决本题的关键．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， 两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， 一面涂色的小正方体有（个）． ，， ， 故答案为：0． 20．如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)5，9，6 (2)6，12，8 (3)7，15，10 (4)，， 【分析】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点． （1）结合图形及四棱柱的特点即可求解； （2）结合图形及五棱柱的特点即可求解； （3）结合图形及六棱柱的特点即可求解； （4）由三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，总结即可． 【详解】（1）解：三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点； 故答案为：5，9，6； （2）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； 故答案为：6，12，8； （3）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； 故答案为：7，15，10； （4）n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，． 【题型5 平面图形旋转后所得的立体图形】 21．如图，将矩形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转体的定义和常见的几何体，掌握常见的几何体是解题的关键． 根据旋转体的定义和几何体的侧面展开图即可得出答案． 【详解】解：将矩形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱． 故选：B 22．将如图所示的直角三角形绕直线旋转一周得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点线面体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题关键．根据题意可得答案． 【详解】解：直角三角形绕斜边旋转是上下两个底面重合的圆锥，且上方圆锥的高更短． 故选：C． 23．一个直角三角形直角边为5，12，若以直角边所在直线为轴旋转一周所成旋转体的体积为 ．（保留π） 【答案】或 【分析】本题考查了点，线，面，体，根据题意判断出几何体的形状为圆锥，然后根据体积公式计算即可，解题的关键是掌握圆锥的体积公式． 【详解】解：由题意得，以5为直角边所在的直线为轴旋转一周得到几何体为圆锥， ∴圆锥的体积， 由题意得，以12为直角边所在的直线为轴旋转一周得到几何体为圆锥， ∴圆锥的体积， 故答案为：或． 24．已知长方形的长为，宽为，记这个长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱的侧面积为，这个长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱的侧面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平面图形的旋转体、圆柱的侧面积计算法则，解题关键是熟练掌握圆柱的侧面积计算法则．先根据题意得到旋转得到圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的侧面积计算法则进行计算即可得解． 【详解】解：依题得：长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱底面半径为，高为， 则侧面积； 长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱底面半径为，高为， 则侧面积， ． 故答案为：． 25．如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)所得几何体名称叫 ，把这个几何体底面朝下放置，则它从 面和 面看形状相同；（填“正”或“上”或“左”） (2)根据图中数据，求出该几何体的表面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，正，左（或左，正） (2) 【分析】本题考查了面动成体，从不同方向看几何体，圆柱表面积的计算等知识，关键是掌握长方形绕其中一条边所在直线旋转一周所得的图形是圆柱． （1）根据长方形绕其中一条边所在直线旋转一周所得的图形是圆柱，由圆柱的特点即可求解； （2）先计算出圆柱的底面积与底面周长，则可计算出侧面积，从而求得表面积． 【详解】（1）解：长方形绕其中一条边所在直线旋转一周所得的图形是圆柱； 圆柱从正面看与从左面看，其形状相同，都是长方形； 故答案为：圆柱，正，左（或左，正）； （2）解：根据题意可得：，， 所以， 所以． 【题型6 点、线、面、体四者之间的关系】 26．下面现象说明“线动成面”的是（    ） A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 B．汽车雨刷在档风玻璃上面画出的痕迹 C．天空划过一道流星 D．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键，点动成线、线动成面、面动成体． 【详解】解：A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，此现象给我们“面动成体”的感觉，故A不符合题意； B．汽车挡风玻璃上的“刮雨器”可以看成“线段”，雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，给我们的感觉是“线动成面”，故B符合题意； C．天空划过一道流星，给我们的感觉为“点动成线”，故C不符合题意； D．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线，给我们感觉为“面动成体”，故D不符合题意； 故选：B． 27．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线， 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的关系，掌握点动成线，线动成面，面动成体，是解题的关键． 28．用数学原理分析下列生活实例： （1）钢笔写字 ； （2）自行车的辐条运动形成几何图形 ； （3）直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥体 ． 【答案】 点动成线 圆形 面动成体 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体进行判断即可． 【详解】解：（1）钢笔的笔尖可以近似看作是一个点，写字的笔画可以看作线， 因此钢笔写字可以解释为：点动成线， 故答案为：点动成线； （2）行车的辐条看成线段，线动成面，可得辐条运动形成几何图形是圆形， 故答案为：圆形； （3）直角三角形看成面，根据面动成体，可得转动一周所得到的几何体为圆锥， 故答案为：面动成体． 【点睛】本题考查点、线、面、体，理解点动成线，线动成面，面动成体是正确判断的前提． 29．有下面四种现象：①旋转一扇门，门运动的痕迹；②扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；③夜晚天空划过流星的痕迹；④汽车雨刷在挡风玻璃上画出的痕迹．其中能说明“线动成面”的现象是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体的特征对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】①旋转一扇门，门运动的痕迹是面动成体，不符合题意； ②扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是点动成线，不符合题意； ③夜晚天空划过流星的痕迹是点动成线，不符合题意； ④汽车雨刷在挡风玻璃上画出的痕迹是线动成面，符合题意． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力． 30．小丽跟妈妈到银行办理业务，她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成的．此情此景，让她想起了六年级数学第一章《丰富的图形世界》里的知识，她提出了以下问题，你能帮她解决吗？ (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是______． (2)这能说明的事实是______（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (3)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π） 【答案】(1)圆柱 (2)C (3) 【分析】（1）旋转门的形状是长方形； （2）长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （3）根据圆柱体的体积＝底面积×高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱， （2）这能说明的事实是面动成体． 故选： C． （3）该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键． 【题型7 平面图形形状的识别】 31．下列图形中是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形的认识．熟悉平面图形与立体图形的特点是解本题的关键． 有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形；有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形．根据概念逐一分析即可． 【详解】解：三角形的边与角都在平面内，是平面图形，故A符合题意； 正方体，球，六棱柱都是立体图形，故B，C，D不符合题意； 故选A． 32．下列说法正确的是（   ） A．各边相等的多边形一定是正多边形 B．各角相等的多边形一定是正多边形 C．正多边形各边都相等，各角也相等 D．等边三角形不是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键； 根据正多边形的定义可得：正多边形的各边相等，各个角也相等，即可求解； 【详解】解：A.各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故错误； B.各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形，故错误； C.正多边形各边都相等，各角也相等，故正确； D.等边三角形是正多边形，故错误； 故选：C 33．用、、、各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、正方形、圆）中的一种．图1至图4是由、、、中两种图形组合而成的（组合用“”表示），表示的有①~④4个组合图形可以供选择，其中正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了通过观察、分析识别图形，通过观察图形，确定各代表什么图形是解题的关键． 根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得到答案． 【详解】解：结合图形中的4个图形，我们不难看出代表正方形，代表三角形，代表圆，代表线段， ∴组合的图形是圆加线段。 故选：B． 34．给图中的多边形写出一个合适的名称： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 五边形 三角形 四边形 【分析】本题考查了多边形，由多边形是根据其边数来命名的即可得解． 【详解】解：由图可得：（1）五边形；（2）三角形；（3）四边形； 故答案为：五边形，三角形，四边形． 35．如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是 ． 【答案】55 【分析】本题考查的是几何图形的拼接，理解题意，得到新的长方形的长与宽即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：新的长方形的长为：，宽为； 如图， 或 ∴最大面积为， 故答案是：55； 【题型8 用七巧板拼图形】 36．用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形对角线的性质及用七巧板拼图，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分的面积为． 故选：C． 37．小星在学习了七巧板一节内容后，用边长为的正方形纸板制成一副如图①所示的七巧板，并将它拼成如图②所示的“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，个大等腰直角三角形的面积等于正方形面积的一半，中等腰直角三角形的边长正方形边长的一半．阴影的面积总面积空白的面积，而空白面积个大等腰直角三角形的面积个中等腰直角三角形的面积，结合三角形的面积公式，计算出阴影的面积． 【详解】解：从七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形， 其中，大等腰直角三角形的斜边正方形的边长， 中等腰直角三角形的直角边长， “小天鹅”图案的面积正方形的面积， “小天鹅”图案空白部分的面积个大等腰直角三角形的面积个中等腰直角三角形的面积 阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题主要考查七巧板的知识点，七巧板分成的三角形都是等腰直角三角形，大三角形和中三角形的各边长与正方形边长的关系，用总面积空白的面积，间接求得阴影的面积． 38．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．数学兴趣小组在综合与实践课上用一张面积为的正方形纸片先制作了一副如图1所示的七巧板，再拼成如图2所示的作品，则图2中①和②的面积之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由七巧板的制作过程可知，②与③的面积相等，且面积是正方形的，①②③的和为正方形面积的，据此可求图中①和②的面积之和． 【详解】解：如图，②与③的面积相等，且面积是正方形的，①②③的和为正方形面积的， 图2中①和②的面积之和为100×（） ＝100 ＝18.75（cm2）． 故图中①和②的面积之和是18.75cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，正确地识别图形是解题的关键． 39．如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：25． 40．二七区是国家唯一因纪念重大革命历史事件而命名的城区，也是著名的红色教育基地．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图①的七巧板，设计拼成图②的“奔跑者”形象来激励自己．已知图①正方形纸片的边长为4，则“奔跑者”在奔跑方向的手和足（图②中阴影部分）的面积之和为 ． 【答案】3 【分析】根据七巧板的特点进行求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特点可知图②中阴影部分为四边形的部分的面积占图①中大正方形面积，图②中阴影部分为三角形的部分的面积占图①中大正方形面积， ∴图②中阴影部分的面积为， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了七巧板的特点，熟知七巧板中各图形面积与大正方形面积之间的关系是解题的关键． 【拓展训练一 几何体中的点、棱、面综合】 41．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面氨、面数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 _____ 长方体 8 6 12 正八面体 _____ 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)根据表格，直接写出你发现顶点数、函数、棱数之间存在的关系式_____． (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，应用（2）的结论，求这个多面体的面数． 【答案】(1)6；6 (2) (3)20 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，从表格中得出这三者的关系是解题的关键． （1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得顶点数面数棱数； （3）代入（2）中的式子即可得到面数． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6； 故答案为：6、6、 （2）解：观察模型中的四面体，长方体，正八面体的顶点数、函数、棱数， 则有，，， ∴顶点数、函数、棱数之间存在的关系式是， （3）解：由题意得：，解得． 42．【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体 的名称叫做三棱台、如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一 个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 (1)在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图． （注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） (2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） … 棱数（E） … 顶点数（V） … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：， 你认为她 的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)①结论正确，理由见详解；②，理由见详解 【分析】（1）理解题干三棱台，三棱锥的过程，模仿作图，即可作答． （2）①先观察，分别填写表格，总结规律棱台有个顶点，个棱，个面，……，进行验证，即可作答． ②先观察，分别填写表格，总结规律个顶点，个棱，个面，进行验证，即可作答． 本题考查了几何体中的点、棱、面，用代数式表示数、图形的规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：截得的四棱台，四棱锥的平面直观图如图所示： （2）解：依题意， 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 5 6 7 … 棱数（E） 9 12 15 … 顶点数（V） 6 8 10 … ①结论正确，理由如下： 结合上表，得出三棱台有个顶点，个棱，个面， 四棱台有个顶点，个棱，个面， 五棱台有个顶点，个棱，个面， 依次类推…… 棱台有个顶点，个棱，个面， 故． 解：②，理由如下： 依题意，如图所示： 三棱锥 四棱锥 五棱锥 … 面数（F） 4 5 6 … 棱数（E） 6 8 10 … 顶点数（V） 4 5 6 … 结合上表，得出三棱锥有个顶点，个棱，个面， 四棱锥有个顶点，个棱，个面， 五棱锥有个顶点，个棱，个面， 依次类推…… 棱锥有个顶点，个棱，个面， 则， 故． 43．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 ； (2)一个多面体的面数比顶点数小，且有条棱，则这个多面体的面数是 ； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有条棱．若该多面体外表面三角形的个数是八边形的个数的倍多，求该多面体外表面三角形的个数． 【答案】(1)6，6，； (2)12； (3)10． 【分析】本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键． （1）从表格观察发现：顶点数+面数-棱数=2； （2）根据多面体的面数比顶点数小，且有条棱，得到关于E，F，将其代入顶点数+面数-棱数即可求解； （3）设八边形的个数为y个，则三角形的个数为个，由题意可得，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：； ； ∵， ∴点数、面数、棱数之间存在的关系式是； 故答案为：6；6；； （2）解：根据题意得，，则有： ， 解得，， ∴； （3）解：因为，所以 又因为， 所以 设八边形的个数为，则三角形的个数为根据题意，得 ， 解得 所以，即该多面体外表面三角形的个数为． 【拓展训练二 几何体展开图计算表面积、体积】 44．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 表面积． 45．作图解决问题 如下图是由8个相同的边长为1的小正方体组成的几何体，按要求完成以下问题． (1)请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状图； (2)请求出这个几何体的表面积； (3)如果要保证从正面和左面看到的形状图不变，最多可以添加 个相同的小正方体；如果在保证从正面、左面、上面看到的形状图都不变，是否可以添加小正方体？最多可以添加 个相同的小正方体，请在几何体上标出添加位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；从上面看到的图形决定底层立方块的个数． （1）根据从不同方向看几何体作图即可得； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解； （3）根据题意结合从正面、左面、上面看到的形状图，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解： （3）解：如果要保证从正面和左面看到的形状图不变，如图所示， 最多可以添加个相同的小正方体； 如果在保证从正面、左面、上面看到的形状图都不变，最多可以添加1个相同的小正方体，如图所示 46．聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：      (1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______． (2)聪聪一共剪开了_________条棱． (3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况． 【答案】(1)70 (2)8 (3)见解析 【分析】本题考查长方体体积，将长方形裁成两图需剪开的棱数，画长方体所有展开图问题，掌握长方体体积公式，会画长方体平面展开图是解题关键． （1）利用体积公式：长宽高计算即可； （2）由总的棱数减去没剪开的棱数即可得到答案； （3）根据长方体的平面展开图再画图即可． 【详解】（1）解： ． 该长方体纸盒的体积是． 故答案为：70； （2）解：把纸盒剪成了两部分，即图（2）中的①和②．共有12条棱，4条没剪开， 聪聪一共剪开条棱； 故答案为：8； （3）解：如图，就是所画的图形（答案不唯一）． 【拓展训练三 平面旋转后所得的立体图形相关计算】 47．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 【答案】(1)圆柱； (2)． 【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握知识点的应用解题的关键． （）根据面动成体即可解答； （）设图形的体积分别为、，然后分别求得图形的体积，然后作差即可解答． 【详解】（1）解：以长方形的边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：设图形的体积分别为、， 则， ， ∴， 即立体图形比立体图形的体积大． 48．一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，） (1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由见解析 【分析】本题主要考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高成为解题的关键． （1）先根据题意确定圆锥的高与半径，然后求出体积即可； （3）先分别求出两种图形的体积，然后再比较即可． 【详解】（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：． （2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下： 如图：∵， ∴， 所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为； 所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为， ∵， ∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 49．探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．    (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 【答案】(1)方案一构造的圆柱的体积大，见解析 (2)324π（cm3） 【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可； （2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可． 【详解】（1）方案一：（cm3）， 方案二：（cm3）， ∵， ∴方案一构造的圆柱的体积大； （2）以较短一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）， 以较长一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）． 【点睛】本题考查基本图形旋转得到的体积问题，掌握解决旋转半径与圆柱体的高是解题关键． 【拓展训练四 七巧板拼图形综合】 50．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【答案】(1)4，6，7 (2)见解析 (3)见解析，正方形的面积为8． 【分析】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）先计算出各个图块的面积，可得出答案； （2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可； （3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可． 【详解】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 图形块1，2的面积为：， 图形块3的面积为：， 图形块4的面积为：， 图形块5的面积为：， 图形块6的面积为：， 图形块7的面积为：， 面积为2的图形块有4，6，7， 故答案为：4，6，7； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 正方形的面积为8． 51．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”． (1)请你用3块板拼一个三角形． (2)请你用4块板拼一个三角形． (3)请你任意拼出图形，并配上恰当的解说词．（请在图中标注使用板块的序号） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形与正方形的画法，熟悉七巧板的结构是解题关键． 解此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形，其中两个全等较大的，一个中等的，两个全等较小的；一个正方形；一个平行四边形． （1）用其中三块板拼成一个三角形，需使用一个小正方形与两个较小的等腰直角三角形； （2）用其中的四块板拼成一个三角形，需有一个正方形，一个较大的等腰直角三角形和两个较小的等腰直角三角形； （3）用全部七块板拼成一个英文字母“E”． 【详解】（1）3块板拼成一个三角形如图所示： （2）4块板拼成一个三角形如图所示： （3）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，由七块板组成，可以拼出许多有趣的图案，如动物、人物、建筑、交通、字母、数字等．以下示例的是用全部七块板拼成一个字母“E”． 52．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、七巧板问题的求解等知识与方法，正确地找出组成图中阴影部的图形与图中的对应图形是解题的关键． 由题意可知四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为，则，所以，求得，而平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积，所以，因为图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，由题意可知，四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ， 、、都是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ∴平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积， ， ∵图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成， ， 故答案为： 1．下面几何体中，是圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的分类，正确记忆相关知识点是解题关键．根据几何体的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据几何体的分类，逐一进行判断如下： A、是圆柱体，符合题意； B、是圆锥，不符合题意； C、是圆台，不符合题意； D、是长方体，不符合题意． 故选：A． 2．已知是直角三角形．将绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键． 【详解】解：将一个直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆锥． 故选：D． 3．七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了七巧板问题，分数的定义，解答此题的关键是要明确七块板的图形的特征．把整个图形的面积看作单位“1”，图中①号部分和②号部分的面积占整个图形面积的，图中①号部分和②号部分的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：， ∴图中①号部分的面积是正方形面积的， 故选：B． 4．一个长方形的长是6厘米，宽是2厘米．以它的长为轴旋转一周所得到的圆柱体的体积是（　　）立方厘米（取） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆柱的体积计算，根据圆柱的体积公式进行计算即可． 【详解】解：一个长方形的长是6厘米，宽是2厘米．以它的长为轴旋转一周所得到的圆柱体的体积是： （立方厘米）， 故选：A． 5．如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的两个数字互为相反数，则的值为（　　） A．18 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再根据相对面上的两个数互为相反数，求出，然后代入代数式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ，， 解得， ∴， 故选：A． 6．如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 7．如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有 （填写序号即可） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合长方体、正方体、圆柱体、三棱锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】①当正方体盒子水平放置时，水在盒子里可以形成长方体； ②因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体； ③正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体； ④将正方体盒子倾斜放置，让水刚好充满三棱锥的空间部分，可以形成三棱锥； ⑤把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状． 综上所述：可能是盒子里的水形成的几何体的有①长方体，④三棱锥，⑤三棱柱； 故答案为：①④⑤． 8．已知将下面的图形折成一个正方体纸盒后，数字“9”与其相对面上的数互为相反数，数字“”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体展开图的相对面，相反数，代数式求值，正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定9的相对面是，的相对面是，5的相对面是，再根据题意求出��，��，��的值，然后求解即可，解题的关键在于能够熟练掌握正方体展开图． 【详解】解：由图可得9的相对面是，的相对面是，5的相对面是， ∵数字“9”与其相对面上的数互为相反数，数字“”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为， ∴，，， 解得，，， ∴， 故选：D． 9．下列几何体的性质：①侧面是平行四边形；②上、下底面形状相同；③上、下底面平行；④棱长相等，是棱柱的性质的有 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了棱柱的性质，根据棱柱的性质分析即可．棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是长方形；正棱柱的各个侧面都是全等的长方形，②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形，③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形． 【详解】解：棱柱的侧面是平行四边形，故①正确； 棱柱的上、下底面形状相同，故②正确； 棱柱的上、下底面平行，故③正确； 棱柱只有侧面的棱长相等，故④不正确 综上所述，正确的有①②③ 故答案为：①②③． 10．一个直角三角形两条直角边分别为和，以这个三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积是 ．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了求旋转体的体积，根据圆锥的体积公式，分两种情况，计算即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当以边为轴旋转时，体积为， 当以边为轴旋转时，体积为， 综上所述，得到几何体的体积是或， 故答案为：或． 11．《冷庐杂识》有云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”七巧板作为中国古老的益智玩具之一，已有千年的历史，素有“来自中国的拼图”“东方魔板”之称，是世界公认的中国优秀智力玩具代表作．如图，小明拼凑出爱心形状，若爱心的面积为48，那么七巧板中正方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了七巧板的认识, 设的面积为，根据爱心形状的面积之和为，列出方程，解方程，即可作答． 【详解】解：如图：设的面积为， 结合七巧板的性质得各个面积的情况如图所示： 依题意， 解得 ∴正方形的面积为． 故答案为：6． 12．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，一元一次方程，根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答，熟练掌握根据正方体的表面展开图找出相对面，是解题的关键． 【详解】解：由图可知： 2与相对，与相对，5与相对， 正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ，， ，， ， 故答案为：． 13．一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要 个小立方块． 【答案】7 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，具备较强的空间想象能力是解题关键．在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数，由此即可得． 【详解】解：在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数如下： 或 则搭成这样的几何体最少需要的小立方块的个数为（个）， 故答案为：7． 14．如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为40和32，且四个阴影部分的周长为44，则长方形的周长为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，列代数式，代数式求值，长方形的性质，求出的长是解答此题的关键． 根据小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长可求出的长，再根据两正方形的周长可得和的长即可得出结论． 【详解】解：由图形可得：小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长，即4个的长，    即：， ， 长方形的长为，宽为， ， ∵， ， 长方形的周长为， 故答案为： 15．将图中的图形分类，并说说分类的依据． 【答案】圆柱和圆锥；圆柱有两个圆形底面和一个曲面侧面，圆锥有一个圆形底面和一个曲面侧面 【分析】本题考查的是圆柱、圆锥的特征和区别，关键是区分清楚圆柱有两个圆形底面和一个曲面侧面，圆锥有一个圆形底面和一个曲面侧面． 根据立体图形的特点，将图形分为两类：圆柱和圆锥；圆柱由2个圆形底面和1个曲面侧面组成，圆锥由1个圆形底面和1个曲面侧面组成． 【详解】解：将图形分为两类：圆柱①②⑥和圆锥③④⑤， 依据：圆柱有两个圆形底面和一个曲面侧面，圆锥有一个圆形底面和一个曲面侧面． 16．已知一个直棱柱有9个面，且每条侧棱长为，底面边长均为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个顶点，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)七，14，21 (2) 【分析】本题考查直n棱柱有条棱，有个顶点，有个面，其侧面积的计算．熟练掌握基本几何体的特点是解题关键． （1）根据直n棱柱有条棱，有个顶点，有个面解答即可； （2）计算侧面的有一个面，再乘7即可． 【详解】（1）解：， 这个直棱柱是七棱柱； ， 这个直棱柱有14个顶点； ， 这个直棱柱有21个顶点． 故答案为：七，14，21； （2）解：， 所以这个直棱柱的所有侧面的面积之和为． 17．如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)这个图形的侧面积是． 【分析】本题主要考查了面动成体，解答此题的关键是找出旋转所得到的图形与原图形之间的数据关系． （1）根据面动成体可知将正方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱； （2）根据圆柱的高和底面周长，进行计算即可． 【详解】（1）解：将长方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：这个立体图形的侧面积为； 答：这个图形的侧面积是． 18．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，理解题意找到几何体的特征是解题的关键．根据题意可得，从正面看有4列，每列小正方数形数目分别为2，3，2，4；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1，据此即可画出图形． 【详解】解：如图所示，从正面和左面看到的这个几何体的形状图即为所求： 19．如图是用棱长为2的小立方体搭成的几何体 (1)分别画出该几何体从正面看，从左面看，从上面看的形状图； (2)求该几何体的体积与表面积． 【答案】(1)见解析 (2)体积为；表面积为 【分析】本题考查了从不同方向观察几何体； （1）分别画出从正面、左面和上面看到的图形即可； （2）根据（1）的图形分别求得体积与表面积，即可求解． 【详解】（1） （2）解：该几何体的体积为： 该几何体的表面积为： 20．如图a是正方体木块，把它切去一块，得到如图b、c、d、e四种木块． (1)我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b、c、d、e中木块的顶点数、棱数、面数补全下表： 图号 顶点数 棱数 面数 (2)分析上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； (3)根据猜想计算：若一个多面体的顶点数为2024个，棱数为4047条，试求它的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2025 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、列代数式及几何体，熟练掌握几何体的特征及一元一次方程的应用是解题的关键； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由（1）中表格可得顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； （3）根据（2）中结论可直接代值进行求解 【详解】（1）解：由题意可得表格如下： 图号 定点数 棱数 面数 （2）解：； ， ； （3）解：， ， 解得． 即它的面数是2025． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$