专题15 整式（3知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题15 整式 （3知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的判定，掌握单项式的概念是关键． 数字与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，由此即可求解． 【详解】解：不是单项式， 是单项式， 是单项式， 是单项式， 不是单项式， ∴单项式有3个， 故选：C ． 2．下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义分析即可． 【详解】解：，，0是单项式； 是多项式； ，既不是单项式，也不是多项式． 故选D． 知识点2：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 3． 的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查单项式的系数及次数，根据单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数的和是次数即可解答． 【详解】解： 的系数是，次数是4． 故答案为：，4 4．在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式． 【详解】解：在代数式，，，0，，，中，单项式有，，0，，共4个，多项式有，，，共3个， 故选：C． 知识点3：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 5．在式子，，，，中，整式有 个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】解：式子，，，，中，整式有：，，，共3个． 故答案为：3． 6．已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有 ；（填序号） (2)属于多项式的有 ；（填序号） (3)属于整式的有 ．（填序号） 【答案】(1)①②⑥ (2)③⑤ (3)①②③⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式，掌握这三个定义的意义，是数字而不是字母是解题的关键． （1）根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行判断； （2）根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行判断； （3）根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式进行判断． 【详解】（1）解：属于单项式的有：①，② ，⑥， 故答案为：①②⑥； （2）属于多项式的有：③，⑤， 故答案为：③⑤； （3）属于整式的有：①，② ，③，⑤，⑥， 故答案为：①②③⑤⑥． 【题型1 单项式的判断】 1．下列各式不是单项式的是（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是单项式，掌握其定义是解决此题的关键．根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，找出单项式即可． 【详解】解：因为式子的分母含有字母， 所以式子不是单项式． 故选：C． 2．给出下列式子：0，，，，1，，，，其中单项式的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的判断， 根据定义解答，即数字与字母的乘积就是单项式，注意单独的数字和字母也是单项式 【详解】解：单项式有，一共4个，其中是多项式，而不是单项式，也不是多项式. 故选：B. 3．下列代数式，，，，，中，单项式的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查单项式，根据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：代数式，，，，，中，，，，0，属于单项式，共4个； 故选B． 4．在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义是解题的关键． 【详解】解：式子，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子，，不是单项式； 式子为等式，不是单项式； 故单项式有①③． 故答案为：①③． 5．下列代数式：①，②m，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，单项式共有 个． 【答案】3 【分析】由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：，，是单项式； ，，是多项式； ，中分母含有字母，不是单项式， 单项式共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查单项式的概念，关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 【题型2 单项式的系数次数】 6．单项式的次数为（　　） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的次数，单项式的次数是所有字母的指数之和，与系数无关．根据单项式次数的求解方法进行求解即可得答案． 【详解】解：所有字母的指数之和为． 因此，该单项式的次数为4． 故选A． 7．单项式的系数和次数分别是（    ） A．和2 B．2和2 C．和3 D．2和3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义即可求解． 【详解】解：单项式的系数是，次数是3． 故选：C． 8．若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、代数式求值，熟知单项式的系数、次数是解题的关键．数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，单独的一个数或字母也是单项式，据此求得m，n值即可求解． 【详解】解：由题意，单项式的系数，次数是， ∴， 9．写出一个只含有字母、，并同时满足以下两个条件的单项式： ①系数是负数；②次数是．这个单项式可以是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．据此求解即可． 【详解】解：①系数是负数；②次数是．这个单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10．指出下列各单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的系数是，次数是2 (2)的系数是，次数是4 (3)的系数是2，次数是1 (4)的系数是，次数是3 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可． 【详解】（1）解：的系数是，次数是； （2）解：的系数是，次数是； （3）解：的系数是2，次数是1； （4）解：的系数是，次数是． 【题型3 写出满足某些特征的单项式】 11．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A、系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B、系数是3，次数是3，故本选项不符合题意； C、系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D、系数是-2，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 12．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，根据单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的字数和是单项式的次数，逐个判断即可． 【详解】解：A、的系数是2，次数是4，不符合题意； B、的系数是2，次数是3，符合题意； C、的系数是3，不符合题意； D、的系数是，不符合题意． 故选B 13．请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 14．一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数的概念，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵单项式满足∶①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母 ∴满足单项式的条件如：， 故答案为：． 15．请写出一个单项式，使它满足系数为负数，次数为4，且含有字母，，这个单项式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式次数与系数，直接利用单项式次数、系数与所含字母得出答案． 【详解】解：由题意得，这个单项式可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型4 单项式规律题】 16．观察下列关于的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式有关的规律探索，这一列单项式的系数是从1开始的连续的奇数，次数是从1开始的连续的自然数，据此可得答案． 【详解】解：观察可知这一列单项式的系数是从1开始的连续的奇数，次数是从1开始的连续的自然数， ∴第2024个单项式是， 故选：D． 17．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的变化类、单项式，根据题目中的单项式，可以发现系数是从1开始连续的正整数，指数是从2开始的连续的正整数，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解： ∴第n个单项式是， 故选：C． 18．探索规律∶观察以下单项式∶，，，…第个单项式为 （用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式，观察单项式可得，第个单项式为． 【详解】观察单项式可得，第个单项式为． 故答案为： 19．观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子，则第n个式子为 ． 【答案】 【分析】观察各单项式的系数、对应字母的次数，即可找到一般规律求解． 【详解】解：观察可知：奇数项系数为正，偶数项系数为负，故则第n个式子的系数为： 关于的部分依次为：故则第n个式子关于的部分为： 关于的部分依次为：故则第n个式子关于的部分为： 则第n个式子为： 故答案为： 【点睛】本题考查单项式中的规律问题．旨在考查学生的抽象概括能力． 20．观察下列单项式：0，…按此规律，则第n个单项式为 ． 【答案】 【分析】按照单项式系数和次数的变化规律即可得到答案． 【详解】解：分析可知：第n个单项式为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了单项式，找到单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 【题型5 多项式的判断】 21．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式，根据单项式的和的形式叫做多项式进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式，不符合题意； B、是单项式，不符合题意； C、是单项式，不符合题意； D、是多项式，符合题意； 故选D． 22．代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的判断， 根据多项式和单项式的定义解答即可．数字和字母的乘积是单项式，单独的数也是单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】代数式是单项式； 是多项式， 多项式有3个． 故选：B． 23．整式，，，，，中，多项式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是多项式，掌握多项式的定义是解本题的关键．根据定义判断即可． 【详解】解：多项式有，，，共3个 故选：B． 24．下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式： ；多项式： ． 【答案】 ， ， 【分析】根据单项式和多项式的定义来求解． 【详解】解：，，，，，0中： ，是单项式； ，是多项式； ，即不是单项式，也不是多项式． 故答案为：，；，． 【点睛】本题考查单项式与多项式的识别，解题的关键是掌握单项式和多项式的定义．数与字母乘积的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 25．对于式子：，其中有 个多项式． 【答案】2 【分析】利用多项式的定义分析得出答案． 【详解】解：在中， 多项式为：， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键． 【题型6 多项式的项、项数或次数】 26．多项式的次数是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题直接根据多项式次数的定义作答即可． 【详解】解：由题可得：中的次数最高，是3次， 故选：B． 27．下列说法错误的是（   ） A．的次数是3 B．2是单项式 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式及多项式的相关概念，熟练掌握和运用单项式及多项式的相关概念是解决本题的关键．根据单项式：“数字与字母的乘积，单个数字，字母也是单项式”，次数：“所有字母的指数和”，多项式的项数：“单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，常数项：“不含字母的项”，进行判断即可． 【详解】解：A．的次数是2，故该说法错误，符合题意； B．2是单项式，故该说法正确，不符合题意； C．是二次二项式，故该说法正确，不符合题意； D．多项式的常数项为，故该说法正确，不符合题意． 故选：A． 28．多项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的次数，根据多项式中最高项的次数为多项式的次数，进行作答即可． 【详解】解：多项式的次数为的次数，是3； 故答案为：3． 29．是几次几项式 ． 【答案】三次三项式 【分析】本题主要考查了多项式的项及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此确定项数和次数即可得到答案． 【详解】解：是三次三项式， 故答案为；三次三项式． 30．对于多项式． (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值； (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项数、项是解题的关键． （1）此多项式是三次三项式，可得，，，即可求出m的值； （2）此多项式不含常数项，可得，即可求出k的值． 【详解】（1）解：多项式是关于x的三次三项式， ，，， ，， m的值为． （2）解：关于x的多项式不含常数项， ， ． k的值为1． 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 31．已知多项式是关于x的二次三项式，则k的值为（　　） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的相关定义．根据二次三项式的定义，可得各项次数最高的那一项的次数为2、项数是3，最后据此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， ∴． 故选：B． 32．多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解；∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 33．如果是关于的一次式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键．利用关于的多项式的次数为，得，且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一次式， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 34．关于、的多项式是四次二项式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，熟练掌握多项式的次数和项数的定义是解决本题的关键．根据多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【详解】解：由题意，得当，时，，原多项式为； 当时，，原多项式为， 综上所述，m的值为2或， 故答案为：2或． 35．已知多项式是八次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】12 【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义，即可求解． 【详解】解：多项式是八次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与这个多项式的次数相同， ， 解得：， 把，，代入： ． 【点睛】本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式的次数与单项式的次数的概念．单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【题型8 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 36．多项式按的降幂排列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，熟练掌握多项式的相关知识是解题的关键． 将多项式按照字母的指数由大到小的顺序排列即可． 【详解】解：多项式按的降幂排列为：， 故选：C． 37．多项式是按（　　） A．的降幂排列 B．的升幂排列 C．的降幂排列 D．的升幂排列 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的项的概念和升幂排列的概念．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式是按的升幂排列. 故选： B． 38．将多项式按的升幂排列的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了升幂排列的定义：我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列称为按这个字母的升幂排列．多项式能够重新排列的依据是加法的交换律．注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．先分清多项式的各项，再把各项按字母x的指数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式的各项为，，，， 按字母x的升幂排列是：． 故答案为：． 39．把多项式按要求重新排列： (1)把这个多项式按的降幂重新排列； (2)把这个多项式按的升幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的相关定义． （1）按x的指数从大到小的顺序排列即可； （2）按y的指数从小到大的顺序排列即可． 【详解】（1）解：多项式按的降幂重新排列如下：； （2）解：多项式按的升幂重新排列如下：． 40．将多项式先按x的降幂排列，再按y的升幂排列，并指出它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少． 【答案】；，六次五项式，常数项为0，最高次项系数为1 【分析】按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式 中x的指数依次是3，1，4，0，2．按x的降幂排列为，y的次数依次为3，4，1，4，2， 按y的升幂排列，有四个单项式组成，常数项没有，即为0． 【详解】解：，按x的降幂排列为， 按y的升幂排列为， 它是六次五项式，常数项为0，最高次项系数为1． 【点睛】按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”． 【题型9 整式的判断】 41．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：根据整式的定义可知，整式有①②③⑤，共4个， 故选：C． 42．下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．多项式的常数项是 C．0不是整式 D．单项式的系数是，次数是2 【答案】B 【分析】本题考查了整式、单项式和多项式的概念，单项式是指数字和字母的乘积，单项式的次数是指所有字母的指数和，系数是指单项式的数字部分；多项式是多个单项式的和，不含字母的项称为常数项；单项式和多项式统称为整式．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、是多项式，原说法错误，不符合题意； B、多项式的常数项是，原说法正确，符合题意； C、0是整式，原说法错误，不符合题意； D、单项式的系数是，次数是3，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 43．下列各式，，，，中，整式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称整式，数或字母的积的式子叫单项式，单个的数或单个的字母也是单项式，几个单项式的和叫做多项式．注意整式的分母里不含字母，且整式中不含等号，根据定义判断即可． 【详解】解：，，，，中，整式有，，，，共4个， 故答案为：． 44．有下列式子：；；；；；．其中属于单项式的有 ，属于多项式的有 ，属于整式的有 ．（填序号） 【答案】 ①⑤ ②④⑥ ①②④⑤⑥ 【分析】根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式，可以判断出是单项式；根据几个单项式的和叫做多项式，可以判断出属于多项式的有；根据单项式和多项式统称整式，可以判断出属于整式的有． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式， 是与的积， 是单项式， 是、、的积， 是单项式， 属于单项式的有； 几个单项式的和叫做多项式， ，是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 是单项式与的和， 是多项式， 属于多项式的有； 单项式和多项式统称整式， 属于整式的有． 中的分母中含有字母， 是分式，既不是单项式也不是多项式，也不是整式． 【点睛】本题主要考查了单项式、多项式、整式．解决本题的关键是熟练地掌握单项式、多项式、整式的定义． 45．在式子，，，，，中，整式的个数是 个． 【答案】 【分析】整式包括单项式，多项式，当个数或字母也是单项式，分母中含有字母的不是整式，由此即可求解． 【详解】解：整式有，，，，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的定义，理解并掌握单项式的定义，多项式的定义是解题的关键． 【题型10 数字类规律探索】 46．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的规律探索．根据所给多项式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给多项式可知， 的次数依次为，，，…， 所以第个多项式中的次数为； 的系数依次为，，，…， 所以第个多项式为． 故选：A． 47．是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．例如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，，以此类推，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，数字规律，理解新定义的运算法则，找出数字规律是解题的关键． 根据新定义的计算法则分别算出，找到规律即可求解． 【详解】解：是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”， ∵， ∴，，，，， ∴每4个一循环， ∴， ∴， 故选：B ． 48．【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 【答案】A 【分析】本题考查数字规律，据图象观察不难发现，每个数为一个循环组依次进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→，进行解答，即可． 【详解】解：由图可知，箭头的方向以每个数为一个循环组进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→， ∴是第个自然数， ∴， ∴位于的位置， ∴从到，箭头的方向应该是↓→． 故选：A． 49．观察如图所示的数表（横为行，竖为列），按数表中的规律，若在第a行，第b列，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式发现第n行的左起第一个数为，且该行所有数的分子、分母的和为是解题的关键． 根据所给排列方式，发现第n行的左起第一个数为，且该行所有数的分子、分母的和为，分子依次增加1，分母依次减少1，据此可解决问题． 【详解】解：根据所给排列方式可知， 第n行的左起第一个数为，且该行所有数的分子、分母的和为， ∵，， ∴在第行． 又∵每行数的分子依次增加1， ∴在行的第17列， 则， ∴． 故答案为：2025． 50．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数，第n行共有______个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是______，最后一个数是______． 【答案】(1)64，8，15， (2)， 【分析】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键． （1）根据图中的数据，总结规律求解即可； （2）根据图中的数据，总结规律求解即可． 【详解】（1）第1行的最后一个数是，它是自然数1的平方，第1行共有个数； 第2行的最后一个数是，它是自然数2的平方，第2行共有个数； 第3行的最后一个数是，它是自然数3的平方，第3行共有个数； 第4行的最后一个数是16=42，它是自然数4的平方，第4行共有个数； …； ∴第8行的最后一个数是，它是自然数8的平方，第8行共有个数； 第n行共有个数； 故答案为：64，8，15，； （2）第1行的第一个数是，最后一个数是； 第2行的第一个数是，最后一个数是； 第3行的第一个数是，最后一个数是； 第4行的第一个数是，最后一个数是； …； ∴第n行的第一个数是，最后一个数是； 故答案为：，． 【题型11 图形类规律探索】 51．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（   ） A．85 B．81 C．73 D．71 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要根， 故选：B ． 52．如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第个图案由个小正方形组成，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据规律归纳出第个图形中小正方形的数量解题的关键．根据前面几个图形可得到第个图形中小正方形的数量为，即可求解． 【详解】解：第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图形由小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 故选：C． 53．数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 【答案】个 【分析】本题考查了图形规律，理解图示，找出规律是关键．根据题意得到当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为个，由此即可求解． 【详解】解：当五边形内有1个点时，可分得5个三角形； 当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形），及； 当五边形内有3个点时，可分得9个三角形（不计被分割的三角形），即； ， ∴当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为个， 故答案为：个 ． 54．小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②），最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④） 小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现并总结出一般规律是解题的关键． 由图形总结出画条直线，条直线，条直线，，条直线时最多的区域数和交点数，据此即可得出结论． 【详解】解：由图可知： 当画条直线时：直线数为1，最多区域数为，交点数为， 当画条直线时：直线数为2，最多区域数为，交点数为， 当画条直线时：直线数为3，最多区域数为，交点数为， ， 当画条直线时：直线数为a，最多区域数为，交点数为， ， 故答案为：． 55．下列各图形中的“ ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的： (1)观察图形，填写下表： 第n个图形 1 2 3 4 5 … n 的个数 3 6 9 ______ ______ … ______ 的个数 1 3 6 ______ ______ … ______ (2)当 n=_____时，“ ”的个数是“ ”的个数的 2 倍 【答案】(1)12、15、3n、10、15、． (2)11． 【分析】（1）由图形知，“●”的个数是序数的3倍，“△”的个数是从1开始到序数为止连续整数的和，据此可得； （2）根据（1）中所得结果列出关于n的方程，解之可得答案． 【详解】（1）完成表格如下： （2）根据题意知2×3n，解得：n=0（舍）或n=11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． 【拓展训练一 单项式综合】 56．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【答案】(1)⑤；⑥ (2) (3)8088 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律． （1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解； （2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式； （3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可． 【详解】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数， ∴第n个单项式为； 故答案为：； ⑥根据该规律可得第2023个单项式， ； 故答案为： ； （2）∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， ∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数， ∴按规律，第n个等式是： （n是正整数）；． 故答案为： ； （3）由（2）得： ， 故的值为：8088． 57．观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，… （1）写出第10个和第2020个单项式． （2）写出第n个单项式． 【答案】（1）﹣19x10y，﹣4039x2020y；（2）(﹣1)n+1(2n﹣1)xny． 【分析】（1）通过观察题意可得：10为偶数，单项式的系数为负数，是﹣19，x的指数为10，y的指数不变，还是1，由此可得出第10个单项式，同理第2020个单项式也可由此得出； （2）通过观察题意可得：n为奇数时，单项式的系数为正数，n为偶数时，单项式的系数为负数．系数的数字部分是连续的奇数，可用2n﹣1来表示，第n个单项式的x的指数为n，y的指数不变，还是1，由此可解出本题． 【详解】解：（1）∵当n＝1时，xy， 当n＝2时，﹣3x2y， 当n＝3时，5x3y， 当n＝4时，﹣7x4y， 当n＝5时，9x5y， ∴第10个单项式是﹣(2×10﹣1) x10y，即﹣19x10y． 第2020个单项式是﹣(2×2020﹣1) x2020y，即﹣4039x2020y． 故答案为：﹣19x10y，﹣4039x2020y． （2）∵n为奇数时，单项式的系数为正数，n为偶数时，单项式的系数为负数． ∴符合可用(﹣1)n+1表示， ∵系数的数字部分是连续的奇数， ∴可用2n﹣1来表示， 又∵第n个单项式的x的指数为n，y的指数不变，还是1， ∴第n个单项式可表示为(﹣1)n+1(2n﹣1)xny． 故答案为：(﹣1)n+1(2n﹣1)xny． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． 58．观察下列单项式：，，，，…，，，…写出第个单项式．为解决这个问题，特提供下面的解题思路：通过观察单项式的结构特征，分三步确定：先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数． （1）这组单项式系数的符号规律是________系数的绝对值规律是________； （2）这组单项式的次数的规律是________；第六个单项式是________； （3）根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是________； （4）请你根据猜想，写出第2019个单项式． 【答案】（1）（-1）n，2n-1；（2）从1开始的连续自然数，11x6；（3）（-1）n（2n-1）xn；（4）-4037x2019 【分析】（1）根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律； （2）根据已知数据次数得出变化规律； （3）根据（1）（2）中数据规律得出即可； （4）利用（3）中所求即可得出答案． 【详解】解：（1）根据各项系数的符号以及系数的值得出： 这组单项式的系数的符号规律是（-1）n，系数的绝对值规律是2n-1． 故答案为：（-1）n，2n-1； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．第6个单项式为：11x6 故答案为：从1开始的连续自然数，11x6． （3）第n个单项式是：（-1）n（2n-1）xn． 故答案为：（-1）n（2n-1）xn； （4）第2019个单项式是-4037x2019． 故答案为：-4037x2019． 【点睛】此题主要考查了单项式变化规律，得出次数与系数的变化规律是解题关键． 【拓展训练二 多项式综合】 59．已知多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为-7，求m+n-k的值． 【答案】5 【分析】先根据这是三系三项式可求出m的值，再根据一次项的系数为-7可知k、n的值，然后代入求解即可. 【详解】由题意，得m=3，k=0，-（3n+1）=-7. 解得n=2. 所以m+n-k=3+2-0=5. 【点睛】此题考查的是对多项式定义的理解．几个单项式的和叫做多项式；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；此时，这个单项式的次数是几，就把这个单项式叫做几次项，而且多项式的次数是所有单项式的最高次． 60．当x＝1，y＝﹣1时，关于x、y的二次三项式值为0，那么当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+的值为 ． 【答案】5 【分析】根据二次三项式的次数和项数的定义，确定m值，再把m代回二次三项式中得到等式，再把x和y值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整体代入所求，即可得到结果． 【详解】解：∵+（m+1）by﹣3是关于x、y的二次三项式， ∴当x＝1，y＝﹣1时，有a﹣（m+1）b﹣3＝0，m2＝1， ∴m＝±1， 当m＝﹣1时不合题意， ∴m＝1， ∴a﹣2b﹣3＝0， ∴a﹣2b＝3， ∴， ∴当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+＝＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查多项式的次数项数的定义、多项式的代入求值的相关计算，根据次数项数定义确定m的取值要考虑全面，这是本题的易错点． 61．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ． 【答案】22020﹣1 【分析】先令x＝1，再令x＝﹣1得出a0+a2+a4…+a2020=22021÷2，最后令x＝0，a0＝1计算即可 【详解】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；① 令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；② ∴①+②得：a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021=22021 2（a0+a2+a4…+a2020）=22021 a0+a2+a4…+a2020=22021÷2 令x＝0， ∴a0＝1； ∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2﹣1＝22020﹣1， 故答案为：22020﹣1． 【点睛】本题考查赋值法求二项式系数和的问题，正确使用赋值法是解题关键 【拓展训练三 数字类规律探索综合】 62．将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了探究规律—数字类，由图得对于整数，当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列；当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列；即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：由图得 对于整数， 当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列； 当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列； ， ， 在第行，第列， ，， 故答案为：，． 63．将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为 ，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为 ，判断2024所在的位置是第 行，第 列． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 1 4 5 16 17 … 第2行 2 3 6 15 18 第3行 9 8 7 14 19 第4行 10 11 12 13 20 第5行 25 24 23 22 21 第6行 26 … 【答案】 81 34 45 2 【分析】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 根据题意得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方；根据题意第1行第6列的数为，且第6列的数向下依次减小，可得第3行第6列的数为34；又由，可得2024在第45行，向右依次减小，即可求解． 【详解】解：根据题意得：第1列第1行的数为， 第1列第3行的数为， 第1列第5行的数为， 由此得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方， ∴第1列第9行的数为9的平方，即：； 根据题意得：第1行第2列的数为， 第1行第4列的数为， 第1行第6列的数为， ∵第6列的数向下依次减小， ∴第3行第6列的数为34； ∵， ∴2025在第1列第45行， 而奇数行的数往后在递减， ∴2024在2025的后面，即第2列第45行， 故答案为：81；34；45；2． 64．【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 【答案】（1），，；  （2）   （3）     【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律等知识，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律是解答本题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）根据“倒数差”的定义列式计算即可； 先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ； （3）数组确定为， 第一次变换后， ， ，即变换后得到的数组为， 故答案为：； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 同理可得：，，， ，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 【拓展训练四 图形类规律探索综合】 65．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，设出正方形的边长，根据甲的速度是乙的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答，根据题意找到规律是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵乙的速度是甲的速度的倍，时间相同， ∴甲乙所行的路程比为， 把正方形的每一条边平均分成份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ∴四次一个循环， ∵， ∴它们第次相遇在边上， 故选：． 66．“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 【答案】 【分析】本题主要考查了逻辑推理和数字组合的概念，解题的关键在于通过合理断开两个环，将连环拆分成不同数量的小部分，使得这些小部分能够通过组合和交换的方式，满足每天获取对应数量银环的要求．根据题意尝试找出一种合理的拆分方式，然后根据每天的获取规则来验证是否可行即可得解． 【详解】解：断开第环和第环，断开后形成了个(第环断开产生)单环、个单环(第环断开产生)、一个环(环)、一个环(环)、一个环(环)， 每天获取工钱的具体方式如下， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环和一个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 故答案为：，． 67．综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 【答案】(1)； (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ），证明见解析 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、 有理数的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和这一规律可得即可得解； （2）（ⅰ）根据图形面积即可得解； （ⅱ）根据所给规律总结证明即可． 【详解】（1）解：斐波那契数列第9个数为，第10个数为；若用表示斐波那契数列中的第个数，则， 故答案为：；； （2）（ⅰ）解：第④个图形的面积为：， 第⑤个图形的边长为， 第⑤个图形的面积为：， 填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 40 104 …… （ⅱ）解：， 证明：记斐波那契数列为：，，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，熟练掌握定义是解题的关键；直接利用单项式的次数与系数、多项式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【详解】A．单项式的系数是，而非，故错误，该选项不符合题意； B．多项式中，项的系数是1，但题目未指明具体项的系数，故错误，该选项不符合题意； C．单项式的次数为字母指数之和，即的次数为，而非6，故错误，该选项不符合题意； D．多项式由（一次项）、（二次项）和（常数项）组成，最高次数为2，且有三项，是二次三项式，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 2．在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：用减号连接两个项，是多项式，不是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：分母含字母，是分式，不是单项式． ：单独的数字，是单项式． ：单独的字母，是单项式． 综上，共有4个单项式， 故选C． 3．“”是益智拼图中的一块，以“”为基本图形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“”，第②个图案中有9个“”，第③个图案中有12个“”，第④个图案中有15个“”，…，按此规律，则第⑧个图案中“”的个数是（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】第①个图案中有（个）， 第②个图案中有（个）， 第③个图案中有（个）， 第④个图案中有（个）， ∴第个图案中有个， ∴第⑧个图案中“”的个数为． 故选：A． 4．用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个五角星，第②个图案中有6个五角星，第③个图案中有8个五角星，第④个图案中有10个五角星，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中的五角星个数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查图形类规律探索；根据题意找出规律即可得出结论． 【详解】解：第①个图案， 第②个图案， 第③个图案， 第④个图案， ．．． 第⑧个图案， 故选：C． 5．按一定规律排列的单项式：，，，，……，则第7个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式规律题，找到规律是解题的关键．根据题意，可得单项式的系数的绝对值为，序数为奇数时，符号为正，序数为偶数时，符号为负，字母为，次数从 0 次开始，据此即可求解． 【详解】解：∵按一定规律排列的单项式：，，，，……， ∴第个单项式为， ∴第 7 个单项式是． 故选：D． 6．从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究；计算连续自然数平方和的个位数，只需关注每个数平方后的个位数之和的个位． 【详解】解：每个数的平方个位数仅由其个位数字决定．的平方个位依次为，，，，，，，，，，每个数的平方个位数之和为，个位为． 个数包含个完整周期（个数），余下个数为、、，其个位分别为、、． 个周期的个位和为，个位为． 余下数的平方个位为，个位为． 总和的个位为． 故选：C． 7．等差数列：2、5、8、11、……，其中92是这个数串中的第 个数． 【答案】 【分析】本题考查了等差数列，根据第项首项公差列式计算即可得解，熟练掌握等差数列的公式计算即可得解． 【详解】解：（个）， 故其中92是这个数串中的第个， 故答案为：． 8．多项式是 次 项式． 【答案】 三 三 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，组成该多项式中的单项式的个数就是多项式的项数；根据多项式的项、次数的相关知识解答即可． 【详解】解：多项式是三次三项式． 故答案为：三；三． 9．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 10．1−9这九个数字的乘方所得的结果，其个位数是有规律的，试求的个位数字是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的乘方运算，找出其中的规律是解本题的关键． 根据 （n是正整数）的个位数字按3，9，7，1，…的规律变化，依此类推，结果个位数字是以3，9，7，1，…循环的，由2025除以4余1，得到结果个位上数字为3． 【详解】解：通过观察可以发现，（n为正整数）的个位数字的规律是：3，9，7，1，…每4次一循环，依次为3，9，7，1， ∵ ∴的个位数字是3， 故答案为：3． 11．如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中数字的变换类，解题的关键是找出变换规律“当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据偶数列首位数的变化，找出变化规律是关键． 设第n列第一个数为（n为正整数），观察发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…再根据，得出399在第20列第二行，即可得出答案． 【详解】解：设第n列第一个数为（n为正整数）， 观察偶数列第一个数：，，，… ∴发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为， 第n列第二行数为，第n列第三行数为，… ∵ ∴399在第20列第二行， ∴数对应的有序数对为． 故答案为：． 12．据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块． 【答案】120 【分析】本题考查了图形规律，根据图形找到规律是解答关键． 根据题意，找到规律来求解． 【详解】解：第1层，用砖1块，新增外围用砖（块）， 第2层，新增外围用砖（块）， 第3层，新增外围用砖（块）， 第4 层，新增外围用砖（块）， 所以第层新增外围用砖为块， 所以第16层，新增外围用砖为（块）． 故答案为：． 13．已知；若、b均为整数)，则 ． 【答案】109 【分析】本题考查了数字类规律探索，找到规律是解题的关键； 根据前几个等式可以得到规律：，进而求解． 【详解】解：因为， ， ， ……， 所以第n个等式为：， 所以若、b均为整数)，则， 所以； 故答案为：109． 14．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【答案】143 【分析】本题考查了数字类的变化规律，找出每一次操作比前一次操作所增加的数之和是解题的关键．根据题意可知，每一次操作都比前一次操作所增加的数之和为5，据此即可求解． 【详解】解：第一次操作增加的数为7和，增加的数之和为， 第二次操作比第一次操作增加的数为5，2，，9，增加的数之和为， …… 依次操作下去，每一次操作都比前一次操作所增加的数之和为5， 操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是． 故答案为：143． 15．观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 【答案】都是单项式 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察可发现以上式子都为单项式， 故它们的共同点为都是单项式． 16．已知是关于的一次式，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一次式， ∴， ∴． 17．已知是多项式的次数，和分别是单项式的系数和次数，是数轴上到原点距离为1的数，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式的次数的定义，单项式次数和系数的定义，数轴上两点的距离，多项式中次数最高的项为多项式的次数，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，到原点距离为1的点表示的数为，据此可得a、b、c、d的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵是多项式的次数，和分别是单项式的系数和次数， ∴，， ∵是数轴上到原点距离为1的数， ∴， ∴或 ． 18．已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 19．如图，图1中小黑点的个数记为，图2中小黑点的个数记为，图3中小黑点的个数记为，… 根据以上图中的规律完成下列问题： (1)图5中小黑点的个数记为，则__________； (2)图中小黑点的个数记为，则___________（用含的式子表示）； (3)若第个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则的值是多少？ 【答案】(1)=26 (2)= (3) 【分析】（1）由已知图形得出可得； （2）由题意得，整理即可得； （3）利用（2）中所得结果列出方程，解之可得答案． 本题考查了图形的变化类问题，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现，解题的关键是能够找到图形变化的通项公式，难度不大． 【详解】（1）解∶将黑点从左向右分列观察计算， ， ， ， …… ∴； （2）由（1）可知 ； （3）由题意得， 则 ， 解得：． 20．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)；（2） (2)，见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知等式即可得第5个等式； （2）结合（1）即可得第n个等式，然后通过计算左边等于右边即可证明． 【详解】（1） 解：根据已知等式可知，第5个等式: ， 故答案为：； （2） 解：第n个等式: 证明：左边 右边， 故猜想成立 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 整式 （3知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 知识点2：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 3． 的系数是 ，次数是 ． 4．在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 知识点3：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 5．在式子，，，，中，整式有 个． 6．已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有 ；（填序号） (2)属于多项式的有 ；（填序号） (3)属于整式的有 ．（填序号） 【题型1 单项式的判断】 1．下列各式不是单项式的是（    ） A． B．a C． D． 2．给出下列式子：0，，，，1，，，，其中单项式的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列代数式，，，，，中，单项式的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ． 5．下列代数式：①，②m，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，单项式共有 个． 【题型2 单项式的系数次数】 6．单项式的次数为（　　） A．4 B．5 C．6 D． 7．单项式的系数和次数分别是（    ） A．和2 B．2和2 C．和3 D．2和3 8．若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 9．写出一个只含有字母、，并同时满足以下两个条件的单项式： ①系数是负数；②次数是．这个单项式可以是： ． 10．指出下列各单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 写出满足某些特征的单项式】 11．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 12．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（     ） A． B． C． D． 13．请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 14．一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ． 15．请写出一个单项式，使它满足系数为负数，次数为4，且含有字母，，这个单项式可以为 ． 【题型4 单项式规律题】 16．观察下列关于的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是（    ） A． B． C． D． 17．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 18．探索规律∶观察以下单项式∶，，，…第个单项式为 （用含n的式子表示）． 19．观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子，则第n个式子为 ． 20．观察下列单项式：0，…按此规律，则第n个单项式为 ． 【题型5 多项式的判断】 21．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 22．代数式中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．整式，，，，，中，多项式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式： ；多项式： ． 25．对于式子：，其中有 个多项式． 【题型6 多项式的项、项数或次数】 26．多项式的次数是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 27．下列说法错误的是（   ） A．的次数是3 B．2是单项式 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 28．多项式的次数是 ． 29．是几次几项式 ． 30．对于多项式． (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值； (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值． 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 31．已知多项式是关于x的二次三项式，则k的值为（　　） A．2 B． C． D．无法确定 32．多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ） A． B． C． D．或 33．如果是关于的一次式，那么 ． 34．关于、的多项式是四次二项式，则 ． 35．已知多项式是八次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【题型8 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 36．多项式按的降幂排列的是（   ） A． B． C． D． 37．多项式是按（　　） A．的降幂排列 B．的升幂排列 C．的降幂排列 D．的升幂排列 38．将多项式按的升幂排列的结果为 ． 39．把多项式按要求重新排列： (1)把这个多项式按的降幂重新排列； (2)把这个多项式按的升幂重新排列． 40．将多项式先按x的降幂排列，再按y的升幂排列，并指出它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少． 【题型9 整式的判断】 41．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 42．下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．多项式的常数项是 C．0不是整式 D．单项式的系数是，次数是2 43．下列各式，，，，中，整式有 个． 44．有下列式子：；；；；；．其中属于单项式的有 ，属于多项式的有 ，属于整式的有 ．（填序号） 45．在式子，，，，，中，整式的个数是 个． 【题型10 数字类规律探索】 46．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 47．是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．例如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，，以此类推，则（   ） A．3 B． C． D． 48．【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 49．观察如图所示的数表（横为行，竖为列），按数表中的规律，若在第a行，第b列，则的值为 ． 50．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数，第n行共有______个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是______，最后一个数是______． 【题型11 图形类规律探索】 51．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（   ） A．85 B．81 C．73 D．71 52．如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第个图案由个小正方形组成，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 54．小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②），最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④） 小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 ． 55．下列各图形中的“ ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的： (1)观察图形，填写下表： 第n个图形 1 2 3 4 5 … n 的个数 3 6 9 ______ ______ … ______ 的个数 1 3 6 ______ ______ … ______ (2)当 n=_____时，“ ”的个数是“ ”的个数的 2 倍 【拓展训练一 单项式综合】 56．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 57．观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，… （1）写出第10个和第2020个单项式． （2）写出第n个单项式． 58．观察下列单项式：，，，，…，，，…写出第个单项式．为解决这个问题，特提供下面的解题思路：通过观察单项式的结构特征，分三步确定：先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数． （1）这组单项式系数的符号规律是________系数的绝对值规律是________； （2）这组单项式的次数的规律是________；第六个单项式是________； （3）根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是________； （4）请你根据猜想，写出第2019个单项式． 【拓展训练二 多项式综合】 59．已知多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为-7，求m+n-k的值． 60．当x＝1，y＝﹣1时，关于x、y的二次三项式值为0，那么当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+的值为 ． 61．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ． 【拓展训练三 数字类规律探索综合】 62．将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    63．将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为 ，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为 ，判断2024所在的位置是第 行，第 列． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 1 4 5 16 17 … 第2行 2 3 6 15 18 第3行 9 8 7 14 19 第4行 10 11 12 13 20 第5行 25 24 23 22 21 第6行 26 … 64．【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 【拓展训练四 图形类规律探索综合】 65．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（   ） A． B． C． D． 66．“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 67．综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 1．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 2．在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．“”是益智拼图中的一块，以“”为基本图形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“”，第②个图案中有9个“”，第③个图案中有12个“”，第④个图案中有15个“”，…，按此规律，则第⑧个图案中“”的个数是（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 4．用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个五角星，第②个图案中有6个五角星，第③个图案中有8个五角星，第④个图案中有10个五角星，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中的五角星个数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 5．按一定规律排列的单项式：，，，，……，则第7个单项式是（   ） A． B． C． D． 6．从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 7．等差数列：2、5、8、11、……，其中92是这个数串中的第 个数． 8．多项式是 次 项式． 9．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 10．1−9这九个数字的乘方所得的结果，其个位数是有规律的，试求的个位数字是 ． 11．如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 12．据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块． 13．已知；若、b均为整数)，则 ． 14．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 15．观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 16．已知是关于的一次式，求的值． 17．已知是多项式的次数，和分别是单项式的系数和次数，是数轴上到原点距离为1的数，求的值． 18．已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 19．如图，图1中小黑点的个数记为，图2中小黑点的个数记为，图3中小黑点的个数记为，… 根据以上图中的规律完成下列问题： (1)图5中小黑点的个数记为，则__________； (2)图中小黑点的个数记为，则___________（用含的式子表示）； (3)若第个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则的值是多少？ 20．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$